计算方法模拟试题及答案

3. 若实方阵 A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵 L 和上三角
阵 R ，使 A LR 。
A. det A 0
B. 某个 det Ak 0
C. det Ak 0 (k 1,n 1) D. det Ak 0 (k 1,, n)
2 1 1
4.已知 A 1 2 2 ，则 A （ ）。
证明 由 xn1 (xn ) n 0,1, ，得到的序列xn 收敛于 x 。
2．
对于初值问题，
y y(0)
10 1
y
证明当 h 0.2 时，欧拉法绝对稳定。
计算方法模拟试题答案
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．B． 2. C. 3. C. 4. D. 5. B
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
由 1 得 xn x*(n ) 。
5分
2. 由欧拉公式得
yn (1 10h) yn1 ~yn (1 10h)~yn1
所以， en 1 10h en1 1 10h n e0
当 h 0.2 时，有 1 10h 1, en e0
所以欧拉法绝对稳定。
5分
的最小二乘解。
2．用列主元法解方程组
2 2
x1 x1
5x2 4x2
3x3 3x3
6 5
4x1 6x2 2x3 4
3．已知方程组
4 a 0 x1 1
a
4
a
x2
3
0 a 4 x3 1
（1） 写出雅可比法迭代公式；
（2） 证明 a 2 时，雅可比法收敛；
（3） 取 a 1 ，初始值 X (0) (1, 1, 1)T ，求出 X 。 (1)
4．用
n
4
的复化梯形公式计算积分
2
1
1 x
dx
，并估计误差。
5．用切线法求方程 x4 3x 1 0 的最小正根。 （1） 确定含根区间，检验切线法收敛条件 （2） 写出切线法迭代公式； （3） 选初始值 x0 ，计算出 x1。
四、证明题（本题 10 分，每小题 5 分）
1． 设 x (x ), max (x) 1
取 x0
0 ，用上迭代公式计算得 x1
1 3
12 分
证明题（每小题 5 分，共 10 分）
1.证明 由 xn1 (xn ) n 0,1, ， x (x )
两式相减，应用中值定理得
xn x* (xn1 ) (x* ) ( n ) xn1 x* xn x* n xn x*
1. 3.142.
2. x1 x2 .
3. 1
4. 全部特征值和特征向量
y 0 n1
yn
hf (xn , yn )
5.
y
m1
n 1
yn
h 2
f (xn , yn )
f
(
xn1
,
y
m
n1
)
.
m 0,1,... n 0,1,, N 1
三、计算题(每题 12 分，共 60 分)
1． 解
。
2. 已知近似值 x1, x2 ，则 (x1 x2 )
。
3．已知 f (x) x2 1，则差商 f [1,2,3]
。
4．雅可比法是求实对称阵
的一种变换方法。
5．改进欧拉法的公式为
。
三、计算题（每小题 12 分 ，共 60 分）
1. 求矛盾方程组；
x1 x1
x2 3 2x2 4
x1 x2 2
2 5 3 6 4 6 2 4 4 6 2 4
解 2 4 3 5 0 1 2 3 0 2 2 4
4 6 2 4 0 2 2 4 0 0 1 1
故得方程组的解为 x1 1, x2 1, x3 1,
12 分
3. （1） 雅可比法迭代公式为：
x (m1) 1
1 4
(1
ax2(m
)
)
x (m1) 2
在区间[0, 0.5] 上 , f (x) 4x3 3 0, f (x) 12x 0,
则由条件 f (x0 ) f (x) 0, 取 x0 0.5 ，切线法收敛。
4分
（2）切线法迭代公式为：
xn1
xn
x
4 n
3xn
1 ,
4xn3 3
n 0,1,
8分
（3）由
f (x0 ) f
(x) 0,
计算方法模拟试题
一、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．近似值 0.450 102 的误差限为（ ）。
A． 0.5
B. 0.05
C． 0.005
D. 0.0005.
2.
求积公式
2
0
f
( x)dx
1 3
f
(0)
4 3
f
(1)
1 3
f
(2) 的代数精确度为（
）。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1 3 5
A. 4 C. 6
B. 5 D9
5.当实方阵 A 满足 1 2 , 2 i (i 2) ，则乘幂法计算公式 e1 =
（ ）。
A. xk1 C. xk
B. xk1 1xk D. xk1 1xk
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 3.14159，具有 4 位有效数字的近似值为
12 分
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4.解
2
1
dx
1 [1
4 2(
4
4 )
1 ]
0.697
1x
8
567 2
用
f (x)
1 ,
x
f
( x)
1 x2
,
f
( x)
2 x3
,
M2
max
f
( x)
2
所以，
R4 ( f )
M2 12 42
1 96
12 分
8分
5．（1） 由于 f (0) 1 0, f (0.5) 0.4375 0 所以 x* [0, 0.5]
(x1, x2 ) (x1 x2 3)2 (x1 2x2 4)2 (x1 x2 2)2
6分
由
x1
x 2
3x1 2x2 9 0 2x1 6x2 9 0
解得
x1
18 , 7
x2
9 14
9分
故该矛盾方程组的最小二乘解为
x1
18 , 7
x2
9 14
。
12 分
2.
1 4
(3
ax1(m)
ax3(m) )
x (m1) 3
1 4
(1
ax2(m
)
)
m 0,1,
5分
（2）因为 a 2 时， A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。
8分 （3）取 a 1 ， X (0) (1, 1, 1)T ， 计算得 X (0) ( 2 , 5 , 2)T
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