圆锥曲线的切线方程的推导

圆锥曲线的切线方程的

推导

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圆锥曲线的切线方程的推导

1.若点00(,)P x y 是椭圆22221x y a b

+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221x x y y a b

+=。 证明：由22221y x b a

=-⇒2222(1)x y b a =-……① 1°当x a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x x k y == ∴对①式求导：20222'b yy x a

=-， ∴02020'|x x b x k y a y =-==∴切线方程为200020

()b x y y x x a y --=--…………② ∵点00(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=上， 故 2200221x y a b += 代入②得00221x x y y a b +=…………③ 而当x a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式 故00221x x y y a b

+=是椭圆过点00(,)P x y 的切线方程.

2. 若点00(,)P x y 是双曲线22221x y a b

-=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：

00221x x y y a b

-=。 证明：由22221y x b a =-⇒2222(1)x y b a =-……① 1°当x a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x x k y == ∴对①式求导：20222'b yy x a

=∴02

020'|x x b x k y a y === ∴切线方程为200020()b x y y x x a y -=--…………② ∵点00(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=上，故22

00221x y a b -= 代入②得00221x x y y a b

-=…③

而当x a =±时，00y =,切线方程为x a =±，也满足③式. 故00221x x y y a b

-=是双曲线过点00(,)P x y 的切线方程.

3.若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()y y p x x =+ 证明：由22y px =，对x 求导得：002'2'|x x p yy p k y y ==⇒==。 当00y ≠时，切线方程为00

()p y y x x y -=- 即200

0y y y px px -=-，而200002()y px y y p x x =⇒=+………………① 而当000,0y x ==时，切线方程为00x =也满足①式。故抛物线在该点的切线方程是00()y y p x x =+.