高斯小学奥数六年级下册含答案第02讲_余数问题综合提高

第二讲 余数问题综合提高

本讲知识点汇总：

一． 求余数

1． 直接做除法．

2． 特征求余（注意和整除特征对比）；

3． 替换求余

4． 周期求余

5． 分解求余

二． 物不知数问题（求被除数）

1． 也称“韩信点兵”，关于它的解法，后人总结出“中国剩余定理”（也称“孙子定理”）．

物不知数问题的基本解法是：逐步增加条件，逐步找寻

2． 分解求余

三． 同余

1． 概念

如果a 和b 除以c 的余数相同，则称a 、b 对c 同余，例如：10和28对9同余．

2． 如果a 、b 对c 同余，则是c 的倍数．

例1． （1）4188141616⨯⨯除以7、8、9、11的余数分别是多少？

（2）892除以7的余数是多少？

（3）89143的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以11和13的余数呢？

「分析」（1）替换求余法；（2）周期求余法解这道题目；（3）同上．

a b -

练习1、的个位数字是多少？除以7的余数是多少？

例2． 44443444421Λ2003

20032003032003200320个除以9的余数是多少？除以11的余数是多

少？除以99的余数是多少？

「分析」截段求和法．

练习2、201320132003200320032003n L 14444244443除以

9的余数是多少？除以11的余数是

多少？除以99的余数是多少？

例3． 有一种三位数，它除以9所得的余数等于它的各位数字的平方和，

这样的三位数可能是多少？请写出所有可能答案．

「分析」尝试枚举出一个符合题意数来，总结一下这样的数有什么特点．

练习3、一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个；如果9个一包，最后还剩8个；…；如果5个一包，最后还剩4个．那么如果13个一包，最后还剩多少个？

例4．

（1）一个三位数除以9余2，除以12余2，那么这个三位数最小是多少？ （2）一个数除以4余3，除以6余5，除以7余6，那么这个数最小是多少？

（3）一个三位数除以3余2，除以5余3，除以7余4，那么这个三位数最小是多少？ 「分析」（1）余数相同；（2）余数和除数的差相同；（3）逐步满足条件法．

20132013

练习4、（1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？

（2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？

（3）一个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？

例5．三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为多少？

「分析」能否将这道题目中三个连续的被除数，转化为同一个数，而这个数又有什么样的特点呢？

例6．有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？

「分析」如果把余数都去掉后，剩余的数有什么特点？

作业

1． 的个位数字是多少？除以7的余数是多少？

2． （1）一个三位数除以4余2，除以6余2，那么这个三位数最小是多少？

（2）一个三位数除以3余1，除以4余2，除以6余4，那么这个三位数最小是多少？

（3）一个数除以9余2，除以12余5，那么这个数最小是多少？

3． 一个盒子中装有棒棒糖100多个，

如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个．那么如果每次取12个，最后剩多少个？

4． 一个两位数去除531，得到的余数是69，这个两位数是多少？

5． 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数

中最大的一个是多少？

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第二讲 余数问题综合提高

例7． 答案：（1）4、0、8、0；（2）4；（3）3；5；0；0．解答：（1）按替换求余计算即可；（2）按周期

求余：2、22、32、42……、除以的余数依次是2、4、1、2、4……、每三个数一个周期，所以，892除以7的余数是4；（3）按周期求余即可，143=11×13，143是11和13的倍数．

例8． 答案：7；1；34．解答：除以9的余数，按“特性求余”数字和为()2003200310015+++⨯=，而

100157++++=，所以，20032003

2003200320032003n L 14444244443除以9的余数是7；除以11的余数，也可用“特性

求余”法；除以99的余数，两位截段求和判断即可．

例9．

答案：100、101、110、111． 解答：一个数除以9的余数就是等于这个数的数字和除以9的余数，又要等于它的各位数字的平方和，所以只有上述的4种答案．

例10． 答案：110；83；158．

解答：（1）余数相同，9和12的最小公倍数时36，所以，除以9余2，除以12余2，的数最小是36238+=，又由于要符合三位数这个条件，所以，38362110+⨯=；（2）“差同”差为1，[]4,6,784=，84183-=；

（3）逐步满足条件．

例11． 答案：627．

解答：一个数满足：是13的倍数，且加1后是11的倍数，那么这个数最小是65，下一个是65143208+=，而209、210分别是11、7的倍数，所以和最小是208209210627++=．

例12． 答案：41．

解答：157、234和324的和是715，减去100的差是615，615是这个整数的倍数，而615的约数有1、

3、5、15、41、123、205、615，验算只有41满足余数和是100．