(8)质心系
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2 v1 ⋅ v 2 = 0 2 2
在平面上两相同的球做非对心完全弹性碰撞，其中一 球开始时处于静止状态，另一球速度为 v。 求证：碰撞后两球速度总互相垂直。 解：设碰撞后两球速度 v1 , v 2 非对心完全弹性碰撞 1、由动量守恒 mv = mv1 + mv2 v = v1 + v2
2 2 v1 2 v2
3.5
质心参考系中的动量
y
rCO
O
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
rio = ric + rco
vio = vic + vco
r
viC
riO
mi viO
x
p系O = ∑ mi vio = ∑ mi (vic + vco ) = ∑ mi vic + ∑ mi vco
x O = ∑ mi ric × vic + ( ∑ mi ric ) × vco + ∑ mi rco × vic+ ∑ mi rco × vco
= ∑ ric × mi vic + ∑ mi ric × mv + rco × ∑ mi vic co m L系C
rcc × mvco
0
riO
mi viO
16
两个轻弹簧连着滑块A和B，滑块A的质量为m/2，B的 质量为m，弹簧的倔强系数为k，A，B静止在光滑的水 平面上（弹簧为原长）。若滑块A被水平方向射来的质 量为m/2，速度为v0的子弹射中，则在射中后的运动过 程中，滑块B的最大速度为__________。
m v0 = mv 2 v0 v= 2
重力力矩之和为零，系统 对质心的角动量守恒。 做圆周运动
4a
v0 此后，两个小球以角速度 4a
x
y
v0 − 2
B
v0 o 2a ω = 30 4a
Ci
v0 A 2
x
重力力矩之和为零，系统 对质心的角动量守恒。 此后，两个小球以 v0 做 4 匀速率圆周运动
2aπ 6 t= = v0 3v 0 4a
M
解
小球与框架组成的系统，合外力为零，整个运动过 程中系统动量守恒。
mv = ( M + m )VC
小球在框架内运动的时间为
mv VC = ( M + m)
⎛ 2 2a 2 ⎞ T =⎜ ⎜ 4× 2 a ⎟ ⎟ v= v ⎝ ⎠
质心相对于纸面的位移为
a v M
7
m
mv 2 2a S = VC T = ( M + m) v
M 力O = M 力C + M CO ？ ？ d d d L系O = L系C + LCO dt dt dt
= ∑ ric × Fi + rco × ∑ Fi M 力C M CO
d d LCO= ( rCO × mvCO ) dL系C M 力C = dt dt dt d d = ( rCO ) × mvCO + rCO × ( mvCO ) 质心系角动量定理 dt dt 外力对质心的力矩之和 = vCO × mvCO + rCO × ( maCO ) 等于系统对质心角动量 = 0 + rCO × ∑ Fi = M CO 的变化率
π
4.2 质心系能量定理
y
rCO
1 1 2 2 riO EkO = ∑ mi viO = ∑ mi (vic + vco ) x O i 2 i 2 1 2 2 ( 2 = m v + v ⋅ v + v ∑ i ic iC co co ) E KO = E KC + ECO 2 1 1 质点组相对于某 = ∑ m v 2 + ∑ m v ⋅ v + ∑ m v 2 i ic i iC co i co 2 2 惯性系的总动能 1 = 系统相对质心 1 2 2 = m v + 0 + mv ∑ i ic co 的动能 + 质心相 2 2 对于该系的动能 ECO E KC 内动能 轨道动能
mg α
Lo =
则对O 点角动量守恒, (大小、方向均不变) R × m v Lo = Rmv = mvl sin θ
例3.
摆球对O和O’点的角动量是否守恒？ 2) 对固定点O’ 质点m 所受合外力矩:
.
∑M
o'
= mgl sin θ
≠0
L
L+
+
×
对O’点角动量
Lo' = l × m v
大小 Lo’=mvl 方向随时间变化, 不守 *合外力矩、角动量均对同一点而言
riO
mi viO
x
19
§4-8
碰撞
特点：碰撞时间短 碰撞体间的作用力 >> 外力(外力可略) 动量守恒 m1v10 + m 2 v 20 = m1v1 + m 2 v 2 牛顿的碰撞定律：碰撞前后两球的相对速度 的比值由两球的材料性质决定。 v − v 2 1 0≤e≤1 e= ຫໍສະໝຸດ Baidu复系数
v 20 − v10
= ∑ mi vic + m vco = p系C + pCO = 0 + pCO
质心参考系中，质心的速度为零
vcc = 0
∑m v
m
i ic
=0
∑m v
i ic
=0
质量为Ｍ的刚性匀质正方形框架，在某边的中点开 一个小口，小口对质量分布的影响可以忽略。将框 架静止地放在无摩擦水平面上。令质量为m的刚性 小球在此水平面上从缺口处以速度v进入框内，方向 与框架的夹角为45o，设小球与框架发生的碰撞均为 a 完全弹性碰撞。 （１）证明小球必将通过缺口离开框架。 （２）求小球从进入框架到离开，相对 v m 纸面移动的位移
i
v0 4
m
v0 4
m
C
i
v0 4
m
初始时刻
弹簧再回到原长时
18
y
rCO
O
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
r
viC
p系O = p系C + pCO = 0 + pCO
L系O = L系C + LCO
M 力 O = M 力 C + M CO
M 力C dL系C = 质心系角动量定 dt
+ rco × mvco
LCO
0 即：质点系统相对任意参考点O的角动量=系统相 其质心的角动量+质心相对O的角动量
L系O = L系C + LCO
M 力O = ∑ rio × Fi = ∑ ( ric + rco ) × Fi
rio = ric + rco
vio = vic + vco
L系O = L系C + LCO
1）e=1，碰撞前后相对速率相等，相对动能完全无耗散 ——完全弹性碰撞 2）e=0， 碰撞后两物融合，相对速度为零，相对动能 ——完全非弹性碰撞 完全耗散 3）0<e<1， 碰撞后物体有变形, 相对动能部分耗散 ——非弹性碰撞
+ 2v1 ⋅ v 2 + 两边平方 v = 2、由动能守恒 1 mv 2 = 1 mv 2 + 1 mv 2 1 2
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
r
viC
一. 质心动能定理 (科尼希定理)
mi viO
rio = ric + rco vio = vic + vco
y
rCO
O
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
mv = mv1 + mv2 v = v1 + v2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 v = v + v mv = mv1 + mv2 1 2 2 2 2 2v2 v1 = 0 v1 = 0
v2 max
v0 = 2
17
以地面为参照系 以质心为参照系
v0 2
C
v0 Vc = 4
i
m
m
v0 4
m
C
r
viC
p系O = p系C + pCO = 0 + pCO
L系O = L系C + LCO
M 力 O = M 力 C + M CO
riO
mi viO
x
E KO = E KC + ECO
dL系C M 力C = 质心系角动量定理 dt 质心参考系中，角动量定理、功能原理、机械能守恒 定律，都成立
15
【质心参考系的功能原理】（证明略） 相对于质心参考系，外力及非保守内力做的功等于系 统内能（系统相对质心系的动能+系统势能）的增量。 【质心参考系的机械能守恒定律】（证明略） 相对于质心参考系，若外力及非保守内力不做功，则 系统内能（系统相对质心系的动能+系统势能）守恒。 显然：质心参考系是一个很特殊的参考系，无论 是否惯性系，角动量定理、功能定理、机械能守 定理都成立。
复习上次课主要内容
质点的角动量定理
dL M= dt dL M= dt
质点系的角动量定理
1
例3.
摆球对O和O’点的角动量是否守恒？ 1) 对固定点O, 质点m所受合外力矩:
O’
L+
.
T m
l
θ
R
L+ × o
∑M
M = R × ( m g + T ) 以逆时针为
o
=
mgR − TR sin α = mgR − TR cosθ = 0
M力C = 0; L系C = C
质心系角动量守恒定律 外力对质心的力矩之和等于0，则系统对质心 角动量守恒
y
A
2 a 30
o
v0
x
B
质量相同的小球A、B，用长为 2a的无弹性不可伸长的轻绳连 接。开始与水平方向的夹角为 30o。现给A在水平方向一个初 速度v0。问经多长时间，A、B 恰好第一次位于同一水平线 上？
3.5 质心参考系中的动量
y
rCO
O
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
r
viC
O为惯性系S的坐标原点， C为质心。 质心参考系： 以质心为参考原点的参考
riO
mi viO
x
（可以是惯性系，也可以是非惯性系）
rio = ric + rco vio = vic + vco
v =
2
2 v1
+
2 v2
两球速度总互相垂直
完全非弹性碰撞
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v
m1 v1 + m2 v2 v= = vc (m1 + m2 ) 1 2 (m1 + m2 )v c 碰撞之后的总动能为 2
此即碰撞之前的轨道动能 完全非弹性碰撞将内动能完全损失，轨道动能保持不变
11
y
mv0 + 0 v0 以地面为参照系，vCx = 初始时刻， = 2m 2 2a A vCy = 0
Ci
B
30o
v0 2
v0
x
以质心为 参照系，
y
v0 − 2
B
30o 2a
Ci
ω=
v0 A 2 v
0
v0 v ACx = , v ACy = 0 2 v0 v BCx = − , v BCy = 0 2
• 作业 • P142 • P143
4.8 4.9 4.1 4.5 4.12
3.9 质心参考系中的角动量
y
rCO
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
r
viC
rio = ric + rco vio = vic + vco
L系O = ∑ mi riO × viO = ∑ mi ( ric + rco ) × (vic + vco )
在平面上两相同的球做非对心完全弹性碰撞，其中一 球开始时处于静止状态，另一球速度为 v。 求证：碰撞后两球速度总互相垂直。 解：设碰撞后两球速度 v1 , v 2 非对心完全弹性碰撞 1、由动量守恒 mv = mv1 + mv2 v = v1 + v2
2 2 v1 2 v2
3.5
质心参考系中的动量
y
rCO
O
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
rio = ric + rco
vio = vic + vco
r
viC
riO
mi viO
x
p系O = ∑ mi vio = ∑ mi (vic + vco ) = ∑ mi vic + ∑ mi vco
x O = ∑ mi ric × vic + ( ∑ mi ric ) × vco + ∑ mi rco × vic+ ∑ mi rco × vco
= ∑ ric × mi vic + ∑ mi ric × mv + rco × ∑ mi vic co m L系C
rcc × mvco
0
riO
mi viO
16
两个轻弹簧连着滑块A和B，滑块A的质量为m/2，B的 质量为m，弹簧的倔强系数为k，A，B静止在光滑的水 平面上（弹簧为原长）。若滑块A被水平方向射来的质 量为m/2，速度为v0的子弹射中，则在射中后的运动过 程中，滑块B的最大速度为__________。
m v0 = mv 2 v0 v= 2
重力力矩之和为零，系统 对质心的角动量守恒。 做圆周运动
4a
v0 此后，两个小球以角速度 4a
x
y
v0 − 2
B
v0 o 2a ω = 30 4a
Ci
v0 A 2
x
重力力矩之和为零，系统 对质心的角动量守恒。 此后，两个小球以 v0 做 4 匀速率圆周运动
2aπ 6 t= = v0 3v 0 4a
M
解
小球与框架组成的系统，合外力为零，整个运动过 程中系统动量守恒。
mv = ( M + m )VC
小球在框架内运动的时间为
mv VC = ( M + m)
⎛ 2 2a 2 ⎞ T =⎜ ⎜ 4× 2 a ⎟ ⎟ v= v ⎝ ⎠
质心相对于纸面的位移为
a v M
7
m
mv 2 2a S = VC T = ( M + m) v
M 力O = M 力C + M CO ？ ？ d d d L系O = L系C + LCO dt dt dt
= ∑ ric × Fi + rco × ∑ Fi M 力C M CO
d d LCO= ( rCO × mvCO ) dL系C M 力C = dt dt dt d d = ( rCO ) × mvCO + rCO × ( mvCO ) 质心系角动量定理 dt dt 外力对质心的力矩之和 = vCO × mvCO + rCO × ( maCO ) 等于系统对质心角动量 = 0 + rCO × ∑ Fi = M CO 的变化率
π
4.2 质心系能量定理
y
rCO
1 1 2 2 riO EkO = ∑ mi viO = ∑ mi (vic + vco ) x O i 2 i 2 1 2 2 ( 2 = m v + v ⋅ v + v ∑ i ic iC co co ) E KO = E KC + ECO 2 1 1 质点组相对于某 = ∑ m v 2 + ∑ m v ⋅ v + ∑ m v 2 i ic i iC co i co 2 2 惯性系的总动能 1 = 系统相对质心 1 2 2 = m v + 0 + mv ∑ i ic co 的动能 + 质心相 2 2 对于该系的动能 ECO E KC 内动能 轨道动能
mg α
Lo =
则对O 点角动量守恒, (大小、方向均不变) R × m v Lo = Rmv = mvl sin θ
例3.
摆球对O和O’点的角动量是否守恒？ 2) 对固定点O’ 质点m 所受合外力矩:
.
∑M
o'
= mgl sin θ
≠0
L
L+
+
×
对O’点角动量
Lo' = l × m v
大小 Lo’=mvl 方向随时间变化, 不守 *合外力矩、角动量均对同一点而言
riO
mi viO
x
19
§4-8
碰撞
特点：碰撞时间短 碰撞体间的作用力 >> 外力(外力可略) 动量守恒 m1v10 + m 2 v 20 = m1v1 + m 2 v 2 牛顿的碰撞定律：碰撞前后两球的相对速度 的比值由两球的材料性质决定。 v − v 2 1 0≤e≤1 e= ຫໍສະໝຸດ Baidu复系数
v 20 − v10
= ∑ mi vic + m vco = p系C + pCO = 0 + pCO
质心参考系中，质心的速度为零
vcc = 0
∑m v
m
i ic
=0
∑m v
i ic
=0
质量为Ｍ的刚性匀质正方形框架，在某边的中点开 一个小口，小口对质量分布的影响可以忽略。将框 架静止地放在无摩擦水平面上。令质量为m的刚性 小球在此水平面上从缺口处以速度v进入框内，方向 与框架的夹角为45o，设小球与框架发生的碰撞均为 a 完全弹性碰撞。 （１）证明小球必将通过缺口离开框架。 （２）求小球从进入框架到离开，相对 v m 纸面移动的位移
i
v0 4
m
v0 4
m
C
i
v0 4
m
初始时刻
弹簧再回到原长时
18
y
rCO
O
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
r
viC
p系O = p系C + pCO = 0 + pCO
L系O = L系C + LCO
M 力 O = M 力 C + M CO
M 力C dL系C = 质心系角动量定 dt
+ rco × mvco
LCO
0 即：质点系统相对任意参考点O的角动量=系统相 其质心的角动量+质心相对O的角动量
L系O = L系C + LCO
M 力O = ∑ rio × Fi = ∑ ( ric + rco ) × Fi
rio = ric + rco
vio = vic + vco
L系O = L系C + LCO
1）e=1，碰撞前后相对速率相等，相对动能完全无耗散 ——完全弹性碰撞 2）e=0， 碰撞后两物融合，相对速度为零，相对动能 ——完全非弹性碰撞 完全耗散 3）0<e<1， 碰撞后物体有变形, 相对动能部分耗散 ——非弹性碰撞
+ 2v1 ⋅ v 2 + 两边平方 v = 2、由动能守恒 1 mv 2 = 1 mv 2 + 1 mv 2 1 2
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
r
viC
一. 质心动能定理 (科尼希定理)
mi viO
rio = ric + rco vio = vic + vco
y
rCO
O
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
mv = mv1 + mv2 v = v1 + v2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 v = v + v mv = mv1 + mv2 1 2 2 2 2 2v2 v1 = 0 v1 = 0
v2 max
v0 = 2
17
以地面为参照系 以质心为参照系
v0 2
C
v0 Vc = 4
i
m
m
v0 4
m
C
r
viC
p系O = p系C + pCO = 0 + pCO
L系O = L系C + LCO
M 力 O = M 力 C + M CO
riO
mi viO
x
E KO = E KC + ECO
dL系C M 力C = 质心系角动量定理 dt 质心参考系中，角动量定理、功能原理、机械能守恒 定律，都成立
15
【质心参考系的功能原理】（证明略） 相对于质心参考系，外力及非保守内力做的功等于系 统内能（系统相对质心系的动能+系统势能）的增量。 【质心参考系的机械能守恒定律】（证明略） 相对于质心参考系，若外力及非保守内力不做功，则 系统内能（系统相对质心系的动能+系统势能）守恒。 显然：质心参考系是一个很特殊的参考系，无论 是否惯性系，角动量定理、功能定理、机械能守 定理都成立。
复习上次课主要内容
质点的角动量定理
dL M= dt dL M= dt
质点系的角动量定理
1
例3.
摆球对O和O’点的角动量是否守恒？ 1) 对固定点O, 质点m所受合外力矩:
O’
L+
.
T m
l
θ
R
L+ × o
∑M
M = R × ( m g + T ) 以逆时针为
o
=
mgR − TR sin α = mgR − TR cosθ = 0
M力C = 0; L系C = C
质心系角动量守恒定律 外力对质心的力矩之和等于0，则系统对质心 角动量守恒
y
A
2 a 30
o
v0
x
B
质量相同的小球A、B，用长为 2a的无弹性不可伸长的轻绳连 接。开始与水平方向的夹角为 30o。现给A在水平方向一个初 速度v0。问经多长时间，A、B 恰好第一次位于同一水平线 上？
3.5 质心参考系中的动量
y
rCO
O
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
r
viC
O为惯性系S的坐标原点， C为质心。 质心参考系： 以质心为参考原点的参考
riO
mi viO
x
（可以是惯性系，也可以是非惯性系）
rio = ric + rco vio = vic + vco
v =
2
2 v1
+
2 v2
两球速度总互相垂直
完全非弹性碰撞
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v
m1 v1 + m2 v2 v= = vc (m1 + m2 ) 1 2 (m1 + m2 )v c 碰撞之后的总动能为 2
此即碰撞之前的轨道动能 完全非弹性碰撞将内动能完全损失，轨道动能保持不变
11
y
mv0 + 0 v0 以地面为参照系，vCx = 初始时刻， = 2m 2 2a A vCy = 0
Ci
B
30o
v0 2
v0
x
以质心为 参照系，
y
v0 − 2
B
30o 2a
Ci
ω=
v0 A 2 v
0
v0 v ACx = , v ACy = 0 2 v0 v BCx = − , v BCy = 0 2
• 作业 • P142 • P143
4.8 4.9 4.1 4.5 4.12
3.9 质心参考系中的角动量
y
rCO
• • • • • • • • • • iC • • • • • • • ••
C
vCO
r
viC
rio = ric + rco vio = vic + vco
L系O = ∑ mi riO × viO = ∑ mi ( ric + rco ) × (vic + vco )