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人教A版高中数学必修二高一下学期

目录：

第四章圆与方程

第一节圆的方程

第二节直线、园的位置关系

第四章圆与方程

第一节圆的标准方程

第一课时

我的学习目标：

1、在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程；

３、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

我的学习过程:

（一）生活引入

同学们，你们做过摩天轮吗?登高而望远，不

亦乐乎.

世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔

的英航伦敦眼，距地总高达１35公尺.然而，由

于伦敦眼属于观景摩天轮结构,有些人认为其在

排行上应该与重力式摩天轮分开来计算．因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈，是直径１1２公尺，离地总高12０公尺的摩天轮。

对于这些摩天轮，我们如何通过建立平面直角坐标系，利用方程的知识来研究呢？

二、基本功训练：

１．知识点学习：

问题1、具有什么性质的点的轨迹称为圆？

问题1答案：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。 问题２:图2-9中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

问题２答案:圆心C 是定点，圆周上的点M

是动点,它们到圆心距离等于定长，圆心和

半径分别确定了圆的位置和大小.

问题３：按照下图的建系，求圆的方程

问题3答案：

解法一:。以圆心C 为直角坐标原点，建立坐标系，设M(）是任一点,则圆可以看做集合｛｝，由两点距离公式，所示条件可转化为方程表示：22x y r +=两边平方,得x 22２

解法二．不选择圆心C 为直角坐标系的原点，设圆心C 坐标为（)（)为任一动点． 则圆可以看做集合{｝, 由两点距离公式，所示条件可转化为方程表示：()()22

x a y b r -+-=

两边平方得： （）2+（)２2.

问题4：上述两个方程是圆的方程吗。

问题４答案:要说明上述方程是圆的方程，必须具备两种对应关系，一方面曲线圆上点的坐标应是方程的解，另一方面以方程解为坐标

的点在圆上。因此我们应进一步说明方程的解为坐标的点在圆上，显然上述两个方程的解为坐标的点表示的是到原点和Ｍ()距离为r 的点的集合,故上述方程表示圆

问题5：归纳刚才求得圆的方程的方法.

问题５答案：我们是通过建系的方法，将曲线视为满足某种约束条件的点的集合，然后再用含有x 和ｙ 代数式将这种关系用方程的形式表示出来,最后将方程化简整理。

方程1是方程２的圆心在坐标原点时的特殊形式，因此把方程2叫做圆的标准方程。

问题6:点和圆的位置关系有且只有三种：点在圆上、点在圆外、点在圆内.那么如何来判断给定点和圆的位置关系呢?

问题6答案：根据点到圆心的距离和半径的大小来比较,设点到圆心的距离为ｄ，圆半径为r,若 点在圆上；点在圆外 d ＞r ；点在

圆内 d ＜r 。 ２.知识点演练 例1求满足下列条件的各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是5;（1)答案522=+y x

（2）圆心在点Ｃ（8，8）,半径是２008;（2）答案2222008)8()8(=-+-y x

(３）经过点P(5,1），圆心在点C(8,3-）. (3）答案方法一:

∵圆的半径5)31()85(22=++-==CP r ，圆心在点C(8，3-），

∴圆的方程是25)3()8(22=++-y x ．

方法二：

∵圆心为C （8，3-)，故设圆的方程为222)3()8(r y x =++-, 又∵点Ｐ(５，1）在圆上，∴222)31()85(r =++-，∴252=r . ∴所求圆的方程是25)3()8(22=++-y x 。

例２ 写出下列方程表示的圆的圆心和半径．

（1）222=+y x ；（1） 答案圆心（0，０）,半径为2； （2)222)3(a y x =+-(0≠a ）；（2) 答案圆心(3，0)，半径为||a ； （３）222)1()2(b y x =+++(0≠b ）． (3） 答案圆心（1,2--），半径为||b 。

三。题型训练

1。★圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程为（ ）．

A ．22(2)(3)13x y ++-=ﻩＢ．22(2)(3)13x y -++=

C 。

22(2)(3)x y ++-= D.22(2)(3)x y -++=1．解析：因为圆C 经过坐标原点，所以圆C 的半径

r =.因此,所求圆的方程是222(2)(3)13x y -++==． 答案：B,如果你选C 、D ，没有注意圆的半径要开方.如果你选择A 你把圆的标准记错了。

２。圆22(8)(8)10x y ++-=的圆心和半径分别为（ ）

Ａ．

(8,8),10-ﻩB ． (8,8),10- Ｃ． (8,-D ． (-2.解析:根据圆的标准方程的定义和参数的几何意义，直接写出圆心坐标和半径．答案:D.如果你选择Ａ、B ，半径求错了，如果你选择C 则圆心求错了。

3.★经过点)0,0(,圆心在x 轴负半轴上，半径等于５的圆的方程.

3.解析:根据条件得出圆心为)0,5(-，5=r ，故方程是25)5(22=++y x 。

答案:25)5(22=++y x .

4．★圆5)1()4(22=-+-y x 内一点)0,3(P ,则过P 点的最短弦的弦长为,最短弦所在的直线方程为.

4.解析：设圆心为Ｑ,最短弦应是过P 点且与垂直的直线。 答案：32，03=-+y x 。

５、写出以点A(2，3-）为圆心，５为半径的圆的标准方程,并判断点Ｍ（５，7-)，Ｎ（2,1-),P （１０，9-）与该圆的位置关系． ５、分析:先求出圆的标准方程，然后再判断.

解：圆的标准方程为25)3()2(22=++-y x .

方法一:因为r MA ==+-+-=5)73()52(||22,所以点M 在圆上. 因为r NA <=+-+-=2)13()22(||22,所以点N 在圆内。 因为r PA >=+-+-=10)93()102(||22，所以点Ｐ在圆外.

方法二：因为25)37()25(22=+-+-,所以点M 在圆上．

因为254)31()22(22<=+-+-，所以点N 在圆内.

因为25100)39()210(22>=+-+-，所以点P 在圆外．

６。根据下列条件求圆的方程:

（１）圆心在点C （-2， 1）, 并过点Ａ(2， -2）

（1)答案r = ＝5 ⇒ 圆方程为:（ x + 2 )2 + （ ｙ -1 ）２