工程力学A 单辉祖-第12章(弯曲变形)

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§12-3 计算梁位移的积分法
积分法计算梁的变形过程
分段建立梁的弯矩方程 根据弯矩方程建立挠曲轴近似微分方程 分段两次积分获得转角方程和挠曲轴方程 利用边界条件和连续条件确定积分常数
例12-1：已知EI，建立该梁的挠曲轴和转角方程， 并计算最大挠度和转角。
w A
x
l
B F
x
解: 1、建立弯矩方程
(2) 分段建立挠曲轴近似微分方程
AC段（0 ≤ x≤a）
d 2 w1 bF EI x 2 dx l
CB段（a ≤ x≤l）
d 2 w2 bF EI x F ( x a) 2 dx l
(3) 分段两次积分
AC段（0 ≤ x≤a） 转角方程
bF 2 EI 1 ( x ) x C1 2l EI 2 ( x ) bF 2 F x ( x a )2 C 2 2l 2
§12-5 简单静不定梁
§12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计
§12-1 引言
回顾
拉压杆的变形：伸长或缩短 (Dl)
圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转角j )
梁的弯曲变形：怎样描述以及定量计算？
§12-1 引言
1.弯曲变形的特点
挠曲轴
梁轴线由直线变曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴
挠曲轴是一条连续、光滑曲线。 对称弯曲时，挠曲轴是位于纵向对称面内的平面曲线。
边界条件： 固定端A： wA 0, A 0 连续条件： 中间铰B： 铰支座C： E点： 铰支座C： wC 0
w w
左 B
右 B
左 右 左 右 wC wC C C
左 右 左 右 wE wE , E E
第十二章 弯曲变形
§12-3 计算梁位移的积分法
二、位移边界条件与连续条件
wc
Iz wz arctg tg 方位角 arctg I wy y
F 一般 ，弯曲变形不发生在外力作用面内。
例：外伸梁所受载荷及尺寸如图， 弯曲刚度EI已知。求截面C的挠度。
qa
A B
qa2/2
C
l
A B
a
q
C
l
a
逐段变形效应叠加法：静定梁或刚 架的任一横截面的总位移，等于各 梁段单独变形 ( 其余梁段刚化 ) 在该 截面引起的位移的代数和或矢量和。 (逐段分析求和法、逐段刚化法)
工程力学A
Engineering Mechanics A
主讲教师：李荣涛
建筑工程学院
College of Civil Engineering and Architecture
本章主要研究：

弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
第十二章 弯曲变形
§12-1 引言 §12-2 挠曲轴近似微分方程 §12-3 计算梁位移的积分法 §12-4 计算梁位移的叠加法C源自lFz F
z
3. 合成为总的C点位移
解：(1) 载荷分解
Fy
y
Fy F cos
Fz F sin
(2) 分力作用下端点位移
l
wCy Fy l 3 3 EI z
Fz
C
wCz
wcz
wC w w
2 Cy 2 Cz
Fz l 3 3 EI y
Fy
wcy
θ
F

I Fl 3 cos 2 z sin 2 3 EI z Iy
连续条件
先使用连续条件，后边界条件。
Fb 2 2 C1 C 2 (b l ) 6l
D1 D2 0
(5) 挠曲轴方程和转角方程
AC段（0 ≤ x≤a） 转角方程
1 bF 2 Fb 2 2 1 ( x ) [ x (b l )] EI 2l 6l 挠曲轴方程 1 bF 3 Fb 2 2 w1 ( x ) [ x (b l ) x ] EI 6l 6l
对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计，因
而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交。
§12-1 引言
2.弯曲变形的位移
1）挠度（w） 横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的线位移。
向上的挠度
向下的挠度
w0 w0
w w (x)
－挠曲轴方程
§12-1 引言
2.弯曲变形的位移
2）转角（ θ ） 横截面的角位移（rad)，也等于挠曲轴在该截面处的切线与x 轴的夹角θ '。 逆转
4、积分常数的确定 x=0处，w= 0 x=0处， θ= 0 5、挠曲轴和转角方程
F x2 x ( lx ) EI 2
D=0 C=0
F lx 2 x 3 w x ( ) EI 2 6
w
A
x
B F
x
6、最大挠度和最大转角
max
Fl 2 2 EI
Fl 3 3 EI
二、分解梁法
例：外伸梁所受载荷及尺寸如图， 弯曲刚度EI已知。求截面C的挠度。
CB段（a ≤ x≤l） 转角方程 1 bF 2 F Fb 2 2 2 ( x) [ x ( x a )2 (b l )] EI 2l 2 6l 挠曲轴方程 1 bF 3 F Fb 2 2 3 w2 ( x ) [ x ( x a) (b l ) x ] EI 6l 6 6l
w( x )
32
M x EI
正负号?——坐标系确定
w
w向上为正
负弯矩
正弯矩
x x
w 0 w 0
(数学定义) M 0 (本书规定)
M 0
方程取正号
M x EI
挠曲轴近似微分方程 w
§12-3 计算梁位移的积分法 一、梁的挠曲轴方程及转角方程
M x w EI


3 2
—— 二阶非线性常微分方程
Q 挠曲轴微分方程
1 [ w ( x )]
w ( x )
2 32
M x EI
8
§12-2 挠曲轴近似微分方程
2. 方程简化
w'=θ
( w) 1
2
小变形
1 w 1
2
w( x )
M x EI
1 [w( x )]2
2 2
x=
l 3
wmax w x
l 3

Me l 2 9 3 EI
例12-3：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作用 ，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确 定挠度的最大值。
解：⑴ 求支反力，列弯矩方程
AC段（0 ≤ x≤a）
bF x l CB段（a ≤ x≤l） bF M2 ( x) x F ( x a) l M1 ( x )
xl
wmax w x l
例12-2：已知EI，承受集中力偶Me作用的简支梁，计 算最大挠度。
解：（1）计算支反力，列弯矩方程
FAy FBy M e / l
Me x l （2）挠曲轴近似微分方程 M ( x )
Me w x EIl
（3）两次积分得挠曲轴和转角方程 Me 2 w x C 2 EIl Me 3 w x Cx D 6 EIl （4）积分常数的确定
转角方程 挠曲轴近似微分方程
dw M x dx C dx EI
M x 挠曲轴方程 w dx Cx D EI
F 弯矩方程需分段建立，挠曲轴近似微分方程也需分段建立。 F C、D为积分常数，它们由位移边界条件与连续条件确定。
§12-3 计算梁位移的积分法 二、位移边界条件与连续条件 M x w dx Cx D EI 位移边界条件
顺转
0 0
t a n w ( x )
w ( x )
－转角方程
§12-2 挠曲轴近似微分方程
1. 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1


M （纯弯） EI
1 M ( x ) （忽略剪力影响 推广到非纯弯） ( x) EI
Q 由高等数学知识 1 w ( x ) ( x) 1 [ w ( x )]2
(6) 确定最大挠度 最大挠度发生在较长梁段中，若a>b,则最大挠度发生在AC 段
0, w1 1 bF 2 Fb 2 2 [ x (b l )] 0 EI 2l 6l
l 2 b2 x 3
wmax
l 2 b2 w( ) 3
3Fb ( l 2 b 2 )3 27 EI z l
§12-4 计算梁位移的叠加法
叠加法原理：
梁在几个载荷同时作用下的变形，等于各个载荷单 独作用下的变形的代数和。
前提条件：线弹性、小变形
一、分解荷载法
wM、θM
?
wF、θF
?
wq、θq
?
w= wM + wF + wq θ= θ M + θ F + θ q
叠加法的特征：
1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
(4) 确定积分常数
边界条件
x 0, w1 0
x l , w2 0
x a, w1 w2 x a,1 2
挠曲轴方程 bF 3 EIw1 ( x ) x C1 x D1 6l bF 3 F EIw2 ( x ) x ( x a )3 C 2 x D2 6l 6
注意：请熟记P350附录D中1、3、4、6、8、9 各梁的挠度和转角。