最新高教版数学教案——等差数列与等比数列的应用

等差数列与等比数列的应用

教学目标：

1.使学生了解等差数列和等比数列在社会生活中有广泛的应用，并能解有关简单应用题.

2.复习巩固等差数列、等比数列的有关知识，加深对等差数列、等比数列概念的理解.

3.培养学生分析问题，解决问题的能力，应用数学的意识和理论与实际关系的科学观点. 教学重点：等差数列与等比数列的应用.

教学难点：将实际问题化归为等差、等比数列的问题. 教学方法：启发式讲解法.

教学过程：

一、复习提问

1.等差数列的定义，通项公式，前项和公式？

2.等比数列的定义，通项公式，前项和公式？

二、新课导入：我们学习了等差数列和等比数列这两个重要数列，它们在社会生产生活中有广泛应用，今天我们就以举例的形式来说明它们的应用.

三、新课教学

下面我们来看几个例子.

例1 (教材中的例2)某林场计划造林5，以后每年比上一年多造林3，问20年后林场共造林多少公顷？

例2 某林场计划第1年造林80，以后每一年比前一年多造林20%，第5年造要多少公顷？（将例1，例2同时并排列在黑板上，引起学生对比思考.）

分析：先看例1，由“每年比上一年多造林3”可以得出第2年造林减去第1年造林数与第3年造林数减去第2年造林数，…都等于3，也就是这20年各年的造林数依次排出来，成一个公差为3的等差数列，于是＝5，＝3，＝20，求20年后共造林，则为求.

再看例2，由“每一年比前一年多造林20%，可以得出第2年比前一年多造林数为80，第2年实际造林数为80(1＋ )，第3年又比第2年多，

即多80(1＋)· ，第3年实际为80(1＋ )，由此可知，将每年造林数依此排出来是一个公比为1＋的等比数列，求的是第5年造林数，显然是求第5项.

下面我们在练习本上自己写出解题过程.然后教师出示正确答案：

例1：解：依题意，林场每年造林的公顷数成等差数列｛｝，

其中＝5，＝3，＝20. ∴＝20×5＋＝670.

答：20年后林场造林670.

例2：解：依题意，林场每年造林的公顷数成等比数列｛｝，

其中＝80，＝1＋，＝5.

∴＝80×(1＋ )4＝80×1.24＝165.888.

答：第5年造林165.888.

大家对比这两道例题，思考：1.如何确定一道题是应用等差数列还是等比数列？

2. 怎样判定是求还是?

( 积累一下经验. 出示例3、例4、方式同例1、例2.)：

例3 某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降低到58元，这种产品平均每次降价的百分率大约是多少？

例4 某种细菌在培养过程中，每30 分裂一次(一个分裂为两个)，经过4 h，这种细菌可繁殖多少个？

分析：看例3，“三次降价，原来单价为174，后来为58”将这几次的价钱排出来为178，，，58.才是三次降价.因而＝58，＝178，由求“平均每次降价的百分率”知是比例问题，设其为，则有比178少178，即为178－178＝178(1－)，同样又是的(１－)倍，可见“后项比前项”为(１－)，即此题为等比数列.＝58，又＝178(1－).

看例4，由“一个分列为两个”知原来的那个细菌已不存在，若将一次次分裂后的细菌数排出来，则为

原30 30 30 … 30 …

1 2 4 8

…

4 h有多少个30 ，4×60＝240 240÷30＝8.

下面同学们在练习本上作出这两题，教师给出正确解答：

例3：解：设平均每次降价的百分率是，则每次降价后的单价是降价前的(1－)倍.这样，将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，记为｛｝，其中

＝174，＝58，＝4，＝1－， 0＝.

由等比数列的通项公式，得 58＝174(1－).

整理，得， (1－)＝≈0.693.

因此，≈1－0.693≈31%.

答：即上述电子产品平均每次降价的百分率大约是31%.

例4：解：细菌分裂一次，一个分裂成两个，即公比＝2，4h＝8×30 ，所以分裂8次，将每次分裂后的细菌数依次排成数列为等比数列，＝2，＝1，分裂8次后的细菌数为，＝9，所以＝＝＝256(个)

答：经过4 h，这种细菌可繁殖256个.

由这个两个例子的分析和解答，思考： 1. 怎样确定?

2. 怎样确定是求还是？如果例4换成一只兔子一个月可繁殖2个，经过半年地繁殖成多少个？那么是求，还是求?

四、课堂小结：

今天我们学习了等差数列、等比数列的一些应用，它们的应用远不仅如此，仅就今天研究的4个例题，可以在应用等差数列、等比数列知识解题时应注意：

1. 判断它是否是等差数列、等比数列.

2. 若是等差数列、它的公差是多少？一般地“增加”或“减少”的具体数量.

3. 若是等比数列，它的公比一般是(1＋增长率)或(1－降低率).

4. 对项数n要弄清楚，拿不准时不妨实地排一下.

5. 分清是求还是.切忌不加分析，盲目套用公式.

五、课后作业

1. 复习作业：阅读课文5.4等差数列与等比数列的应用.重点看懂例1和例4，对例4若有不明白的地方可以和同学讨论或问老师.

2. 书面作业：教材第149页习题5－2第1～4题.