理论力学达朗贝尔原理b讲解
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FAx ?OA? FBx ?OB ? M y
由上述5个方程解得轴承的全约束力为
FAx
?
?
1 AB
??(M y
?
FRx
?OB)
例4 如图所示，均质杆AB 的质量m＝40 kg，长l
＝4 m，点A以铰链连接于小车上。不计摩擦，
当小车以加速度a＝15 m/s2向左运动时，求D处
和铰链A处的约束力(此时杆AB 与D处接触)。
解：以杆为研究对象，受
B
力如图，建立如图坐标。
D
杆作平移 , 惯性力的大小为 1m
30° A
FIR＝ma。假想地加上惯性力, a
r 2 ? ( l )2 ?a
2
A
ra
l
B
O
M IO ? JOa ? (JC ? m ?OC 2 )a
?
?1 ??12
ml 2
?
m(r 2
?
l2 4
)??a
?
? (1 ml 2 ? mr2 )a
3
y
MA FAy C
B
FAx A j
x
F IR O
a aC
mg
MIO
y
由质点系的达朗贝尔原理
M A FAy C
解出 a ? 3g
整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中
MIA
FIA ? mAaA ,
M IA
?
1 2
m
Ar
2
a r
A
FIA
由方程 ? Fy ? 0, 得
F
mAg FN
F
C FIC mg B
FN ? (mA ? m)g
S
为求摩擦力，可以圆轮为研究对象
FA?x
M A FA?y
mAg
IA
F
IA
FN Fs
2
? m)
3g
FA?x
M A FA?y
mAg
IA
F
IA
FN Fs
由此，静滑动摩擦因数为
fs
?
Fs FN
?
3mA 2(mA ? m)
11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
如图，以 O为简化中心， 所有主动力和 惯性力系都向 该点简化，形 成一空间任意 力系，列平衡 方程
11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
B
? Fx ? 0 FAx ? FIR sin j ? 0
FAx A j
x
? Fy ? 0
FAy ? FIR cosj ? mg ? 0 FIR O
a aC
mg
? M A(F ) ? 0
M
A
?
M
IO
?
mg
l 2
?
FIR
sin
MIO
j ?r ?
0
sinj ? r
cosj ? l
r2 ? l2 4
2 r2 ? l2 4
? Fx ? 0 ? Fy ? 0 ? Fz ? 0 ? Mx ? 0 ? MIx ? 0 ? My ? 0 ? MIy ? 0
FAx ? FBx ? FRx ? FIx ? 0 FAy ? FBy ? FRy ? FIy ? 0 FAz ? FBz ? FRz ? FIz ? 0 FBy ?OB ? FAy ?OA? Mz
B
受力如图。假想地加上惯性力
M
FI
?
Pa g
M IB
源自文库
?
J Ba
?
1 2
G g
r2
a r
?
Gr 2g
a
由质点系的达朗贝尔原理
α
FBy C MIB
? M B (F ) ? 0 M ? M IB ? r(P ? FI ) ? 0
代入MIB 和FI得
a ? 2(M ? Pr) g r(G ? 2P)
FBx B M
G Ca
FI P
再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力
由质点系的达朗贝尔原理
? Fx ? 0 FAx ? 0
FAy α
MIB
? Fy ? 0
FAy ? W ? G ? P ? FI ? 0
FAx A M A
BM W
? M A(F ) ? 0
G
MA
?W
l 2
?
Gl
?
M
?
M IB
?
(P ?
FI )(l
?
r)
?
0
代入MIB 和FI解得
Ca FI P
2(M ? rP) FAy ? W ? G ? P ? r(G ? 2P) P
MA
?
l (W 2
?
G) ?
M
?
(M ? rP) G ? (G ? 2P)
(l
?
r)
rG ? 2M r(G ? 2P)
P
[例7] 均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆 长l=2r，质量为 m。杆端点 A与轮心为光滑铰 接，如图所示。如在 A处加一水平拉力 F，使 轮沿水平面纯滚动。问力 F多大能使杆的 B端 刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面 间的静滑动摩擦因数应为多大？
则由质点系的达朗贝尔原理 B
y
? M A(F ) ? 0
D
x
a
F IR
mg l cos30 2
l
l
? FD 2 ? FIR 2 sin 30
?0
FD
mg FAx
A FAy
于是得 FD ? m( g cos30 ? a sin 30 )
? Fx ? 0 FAx ? FIR ? FD sin 30 ? 0
? Fy ? 0 FAy ? FD cos30 ? mg ? 0
代入数据, 解之得：
FAx ? ? 617.9N FAy ? 357.82N FD ? 39.47N
B
y
a
D
x F IR
mg A
FD
FAx
FAy
例5 质量为m, 长为l的均质直杆 AB 的一端A焊
接于半径为r的圆盘边缘上, 如图。今圆盘以角
加速度 a绕其中心 O转动。求圆盘 刚开始转动
时，杆AB 上焊接点A处的约束力。 l
解: 以杆为研究对象 , 受
A
力如图。
ra
B
aC ? aCt ? OC ?a
O
? r 2 ? ( l )2 ?a
2
将惯性力系向 转轴 O简 化，惯性力的大小为
y
FAx
MA
FAy
Aj
C
B
x
F IR
O
a
MIO
aC mg
FIR ? maC ? m
A F
C B
解：
A
F
C
细杆刚离地面时仍为平移，地面 支持力变为零，设其加速度为 a。 以杆为研究对象，杆承受的力并 加 上 惯性 力 如图 所 示 ， 其 中 FIC =maC=ma 。
B 按达朗贝尔原理列出方程
FAy A FAx
C FIC a
mg 30? B
? MA( F ) ? 0 mar?sin30 ? mgr?cos30 ? 0
将已知数值代入以上三式，解之得
FAx ? mra
FAy
?
mg
?
l 2
ma
MA
?
1 mgl ? 2
1 ml 2a
3
[例6] 均质杆AB 长l，重W，B端与重G、半径为
r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为 M的力
偶，借助于细绳提升重为 P的重物C。试求固定
端A处的约束力。
l
解：先以 轮和重物 为研究对象 , A
由方程 ? M A(F) ? 0 ，得
Fsr
?
M IA
?
1 2
mAra
解得
Fs
?
1 2
m
Aa
?
3 2
mA
g
1
3
Fs ? 2 mAa ? 2 mA g
MIA
再以整个系统为研究对象，
F
? A
FIA
mAg
C mg
FN Fs
FIC B
由方程 F ? FIA ?
Fx ? 0 FIC ? Fs
，得 ? (3mA
由上述5个方程解得轴承的全约束力为
FAx
?
?
1 AB
??(M y
?
FRx
?OB)
例4 如图所示，均质杆AB 的质量m＝40 kg，长l
＝4 m，点A以铰链连接于小车上。不计摩擦，
当小车以加速度a＝15 m/s2向左运动时，求D处
和铰链A处的约束力(此时杆AB 与D处接触)。
解：以杆为研究对象，受
B
力如图，建立如图坐标。
D
杆作平移 , 惯性力的大小为 1m
30° A
FIR＝ma。假想地加上惯性力, a
r 2 ? ( l )2 ?a
2
A
ra
l
B
O
M IO ? JOa ? (JC ? m ?OC 2 )a
?
?1 ??12
ml 2
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3
y
MA FAy C
B
FAx A j
x
F IR O
a aC
mg
MIO
y
由质点系的达朗贝尔原理
M A FAy C
解出 a ? 3g
整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中
MIA
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M IA
?
1 2
m
Ar
2
a r
A
FIA
由方程 ? Fy ? 0, 得
F
mAg FN
F
C FIC mg B
FN ? (mA ? m)g
S
为求摩擦力，可以圆轮为研究对象
FA?x
M A FA?y
mAg
IA
F
IA
FN Fs
2
? m)
3g
FA?x
M A FA?y
mAg
IA
F
IA
FN Fs
由此，静滑动摩擦因数为
fs
?
Fs FN
?
3mA 2(mA ? m)
11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
如图，以 O为简化中心， 所有主动力和 惯性力系都向 该点简化，形 成一空间任意 力系，列平衡 方程
11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
B
? Fx ? 0 FAx ? FIR sin j ? 0
FAx A j
x
? Fy ? 0
FAy ? FIR cosj ? mg ? 0 FIR O
a aC
mg
? M A(F ) ? 0
M
A
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M
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B
受力如图。假想地加上惯性力
M
FI
?
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M IB
源自文库
?
J Ba
?
1 2
G g
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Gr 2g
a
由质点系的达朗贝尔原理
α
FBy C MIB
? M B (F ) ? 0 M ? M IB ? r(P ? FI ) ? 0
代入MIB 和FI得
a ? 2(M ? Pr) g r(G ? 2P)
FBx B M
G Ca
FI P
再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力
由质点系的达朗贝尔原理
? Fx ? 0 FAx ? 0
FAy α
MIB
? Fy ? 0
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FAx A M A
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2(M ? rP) FAy ? W ? G ? P ? r(G ? 2P) P
MA
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M
?
(M ? rP) G ? (G ? 2P)
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P
[例7] 均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆 长l=2r，质量为 m。杆端点 A与轮心为光滑铰 接，如图所示。如在 A处加一水平拉力 F，使 轮沿水平面纯滚动。问力 F多大能使杆的 B端 刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面 间的静滑动摩擦因数应为多大？
则由质点系的达朗贝尔原理 B
y
? M A(F ) ? 0
D
x
a
F IR
mg l cos30 2
l
l
? FD 2 ? FIR 2 sin 30
?0
FD
mg FAx
A FAy
于是得 FD ? m( g cos30 ? a sin 30 )
? Fx ? 0 FAx ? FIR ? FD sin 30 ? 0
? Fy ? 0 FAy ? FD cos30 ? mg ? 0
代入数据, 解之得：
FAx ? ? 617.9N FAy ? 357.82N FD ? 39.47N
B
y
a
D
x F IR
mg A
FD
FAx
FAy
例5 质量为m, 长为l的均质直杆 AB 的一端A焊
接于半径为r的圆盘边缘上, 如图。今圆盘以角
加速度 a绕其中心 O转动。求圆盘 刚开始转动
时，杆AB 上焊接点A处的约束力。 l
解: 以杆为研究对象 , 受
A
力如图。
ra
B
aC ? aCt ? OC ?a
O
? r 2 ? ( l )2 ?a
2
将惯性力系向 转轴 O简 化，惯性力的大小为
y
FAx
MA
FAy
Aj
C
B
x
F IR
O
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MIO
aC mg
FIR ? maC ? m
A F
C B
解：
A
F
C
细杆刚离地面时仍为平移，地面 支持力变为零，设其加速度为 a。 以杆为研究对象，杆承受的力并 加 上 惯性 力 如图 所 示 ， 其 中 FIC =maC=ma 。
B 按达朗贝尔原理列出方程
FAy A FAx
C FIC a
mg 30? B
? MA( F ) ? 0 mar?sin30 ? mgr?cos30 ? 0
将已知数值代入以上三式，解之得
FAx ? mra
FAy
?
mg
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l 2
ma
MA
?
1 mgl ? 2
1 ml 2a
3
[例6] 均质杆AB 长l，重W，B端与重G、半径为
r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为 M的力
偶，借助于细绳提升重为 P的重物C。试求固定
端A处的约束力。
l
解：先以 轮和重物 为研究对象 , A
由方程 ? M A(F) ? 0 ，得
Fsr
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M IA
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1 2
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解得
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再以整个系统为研究对象，
F
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由方程 F ? FIA ?
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