组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题1
《组合数学》练习题一参考答案
《组合数学》练习题一参考答案《组合数学》练习题一参考答案一、填空：1.!()!m n P n m m n m =- 2.2)1(-n n 3. 0. 4. 2675.),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n .6.4207.78.()()!!11...!31!21!111n n n ??-++-+-9.22 10.267二、选择：1. 1—10 A B D D A D A B B C三、计算： 1. 解因为]250[=25, ]450[=12, ]850[=6, ]1650[=3, ]3250[=1, ]6450[=0, 所以, 所求的最高次幂是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解由我们最初观察的式子,有614,1124,634,144=??===, 再利用定理1,我们得到24!415,102)15(545,155==??=-?==, 3511642434435=+?=???+=, 5061141424425=+?=??+=. 所以,x x x x x x f 24503510)(23455+-+-=.3. 解：设所求为N ，令}2000,,2,1{ =S ，以A ，B ，C 分别表示S 中能被32?，52?，53?整除的整数所成之集，则53466663133200333 532200053220003532000522000322000 =+?-++=+-???????+???????+???????=+---++==C B A C B C A B A C B A CB A N 4. 解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾的取帽子方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的这样的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。
科技大学数学系《组合数学》试题及答案
组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页科技大学研究生试卷及答案（考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 20XX 年 XX 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。
2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。
解：1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。
-----------------4分2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。
-----------------4分故R(C 4,C 4)>=6。
-----------------2分二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。
假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。
问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。
-----------------4分学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页1 5432EDCBA由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)=3223)21()21()1(])21)(1()1([x x x x x x x x x +++++++++ ----------------4分＝543211242281x x x x x +++++-----------------4分 所以安排方案数为5! - 8·4! + 22·3! - 24·2! +11-1 -----------------4分 = 22即共有22种。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题4答案
习题四（容斥原理）1．试求不超过200的正整数中素数的个数。
解：因为2215225,13169==，所以不超过200的合数必是2,3,5,7,11,13的倍数，而且其因子又不可能都超过13。
设i A 为数i 不超过200的倍数集，2,3,5,7,11,13i =，则22001002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，3200663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，5200405A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7200287A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 112001811A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，132001513A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，232003323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 252002025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，272001427A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2112009211A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 2132007213A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，352001335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，37200937A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 3112006311A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，3132005313A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，57200557A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 5112003511A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，5132003513A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，7112002711A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 7132002713A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，111320011113A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2352006235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 2372004237A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231120032311A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231320022313A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦ 2572002257A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251120012511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251320012513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 271120012711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，271320012713A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 21113200021113A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，3572001357A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，351120013511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦351320013513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，371120003711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，…， 235720002357A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦，…，23571113200023571113A A A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦， 所以 23571113200(1006640281815)(3320149713965533221)(6432211110111i i j i j k i j k lii ji j ki j k li j k l m i j k l m ni j k l mi j k l m nA A A A A A S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A <<<<<<<<<<<<<<<=-+-+-+=-++++++++++++++++++++-+++++++++++++∑∑∑∑∑∑0)00041+-+=但这41个数未包括2,3,5,7,11,13本身，却将非素数1包含其中， 故所求的素数个数为：416146+-=2．问由1到2000的整数中：（1）至少能被2，3，5之一整除的数有多少个？ （2）至少能被2，3，5中2个数同时整除的数有多少个？ （3）能且只能被2，3，5中1个数整除的数有多少个？ 解：设i A 为1到2000的整数中能被i 整除的数的集合，2,3,5i =，则2200010002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，320006663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，520004005A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 23200033323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，25200020025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，35200013335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 235200066235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， （1）即求235A A A ++，根据容斥原理有：235235232535235()1000666400(333200133)661466A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-+++=（2）即求232535A A A A A A ++，根据容斥原理有：232535232535235235235235()333200133266534A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-⨯=（3）即求[1]N ，根据Jordan 公式有：1112233235232535235[1]2()310006664002(333200133)366932N q C q C q A A A A A A A A A A A A =-+=++-⨯+++⨯=++-⨯+++⨯=3．求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。
电路_第二版课后习题答案(西安电子科技大学出版社)
习题解答汇编
1.4 解：
X 2 R2
R1 100
R2 R1
6
X1 X s R1(R2 R1) 10 6
L X1 0.195H, 0
C 1 195 pF
0 X 2
习题解答汇编 1.5 解:设计型匹配网络如题1.5图所示,其中
L1C1是增大网络 , L2C2是减小网络 ．
习题解答汇编
因为
Qe
0 (r
1 rx )
CxC Cx C
所以
rx r 15.9
习题解答汇编
1.2 解：根据原电路可以画出等效电路如题1.2图所示:
L
1
02C
586 H,
g
g
' s
ge0
g
' L
n12 g s
ge0
n22 g L
其中
n1
40 160
Ucm
UCC
ucemin
UCC
Icm gcr
24
2.2 0.8
21.25V
PO
1 2
I c1mU cm
1 2
0.96
21.25
10.19W
习题解答汇编
PC PD PO 13.36 10.19 3.17 W
c
PO PD
10.19 13.36
, n2
10 160
,
ge0
1
0 LQ0
g 13.65,
Qe
1
组合数学考试题附答案2
组合数学试题 共 4 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14：30 至 16：30 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉，张先迪 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2006 年 12 月 2 日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题（每空2分，共22分）1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有5个，第二种有6个，第三种有7个， (1) 从中取出4个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ； (2) 从中取出6个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ；（3）若将所有的月饼排在一个货架上，则排法数有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
（4）若将所有的月饼装在三个不同的盒子中，盒内有序（即盒内作线排列），盒子不空，则不同的装法数又有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
2．棋盘C 如图1所示，则棋子多项式R (C ) =3．设有足够多的红球、黄球和绿球，同色球不加区分，设从中无序地取出n 个球的方式数为a n ，有序地取出n 个球的方式数为b n ，但均需满足红球的数量为偶，黄球的数量为奇，则(1) 由组合意义写出的{a n }的普通母函数为 ；求和后的母函数为 。
(2)由组合意义写出的{b n }的指数母函数为 ；求和后的母函数为 。
4．（1） 将6个无区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………图1题……………无效…组合数学试题 共 4 页 ，第 2 页（2）将6个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
（已知将5个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为25）二、（14 分） 给定重集B = {3·A , 3·B , 4·C ,10·D }。
《组合数学》工学研究生1
西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：组合数学考试日期：考试时间：120 分考试方式：闭卷任课教师：学生姓名：学号：一、 （10分）请计算多项式8322⎪⎭⎫⎝⎛++-c b a 的展开式中222c b a和22bc a 两项的系数。
① ()222232121!2!2!2!2!8⎪⎭⎫⎝⎛-＝22680 (5)分②()32232121!3!2!1!2!8⎪⎭⎫⎝⎛-＝－22680 (5)分二、 （10分）满足不定方程4321x x x x +++＝62的整数解共有多少组？其中要求31-≥x ，52≥x ，03≥x ，04≥x 。
① 做变换11x y =＋3, 22x y =－5, 33x y =,44x y = ……………………………… 2分 ② 原方程化为4321y y y y +++＝60 (2)分③ 问题等价于从4种相异元素中可重复地选60个元素的组合问题 (3)分④ 答案为601604C-+＝363C＝!60!3!63 (2)分⑤ 结果为39711 ………………………………………………………………………………………… 1分三、 （10分）一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，最多工作10个小时。
问共有多少种不同的安排方案？假设一周有5个工作日。
① 分析问题，写相应的（普）母函数 …………………………………………………………… 4分()x G ＝()51065x x x +++② 母函数展开得 ()x G ＝25x＋526x＋…＋67638x＋…＋50x…………………………… 4分()x G ＝()552251xxx x++++＝25x(1＋2x ＋32x ＋43x ＋54x ＋65x ＋…＋10x )350⎪⎭⎫⎝⎛∑=i i x （系数对称）＝25x(1＋3x ＋62x ＋103x ＋154x ＋215x ＋256x ＋277x ＋…＋15x)250⎪⎭⎫⎝⎛∑=i i x ＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x＋14610x ＋…＋20x )⎪⎭⎫⎝⎛∑=50i i x＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x＋14610x ＋…＋20x )⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=50i i x＝25x (1＋5x ＋152x ＋353x ＋704x ＋…＋78013x ＋…＋524x ＋25x )＝25x＋526x＋1527x＋3528x＋7029x＋…＋78038x＋…＋549x＋50x③ 答：共有780种选法 …………………………………………………………………………… 2分四、 （10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题3
习题三（递推关系）1．解下列递推关系：（1）120171000,1n n n a a a a a ---+=⎧⎨==⎩ （2）12016900,1n n n a a a a a --++=⎧⎨==⎩ （3）20100,2n n a a a a -+=⎧⎨==⎩ （4）120121n n n a a a a a --=-⎧⎨==⎩ （5）123012990,1,2n n n n a a a a a a a ---=+-⎧⎨===⎩ 解：（1）对应的特征方程为：27100x x -+=，解得122,5x x ==。
所以齐次递推方程的通解为：25n n n a A B =+，代入初始条件，得：00a A B =+=，1251a A B =+=，解得：11,33A B =-=， 故 112533n n n a =-+。
（2）对应的特征方程为：2690x x ++=，解得：123x x ==-，所以，齐次递推方程的通解为：()(3)n n a A Bn =+-，代入初始条件，00a A ==，1()(3)1a A B =+-=，解得：10,3A B ==-，故1(3)3n n a n =--。
（3）对应的特征方程为：210x +=，解得：12,x i x i ==-，所以，齐次递推方程的通解为：()()n n n a A i B i =+-，代入初始条件，00a A B =+=，12a A i B i =-=，解得：,A i B i =-=，故 11()()n n n a i i --=+-。
（4）对应的特征方程为：2210x x -+=，解得：121x x ==，所以，齐次递推方程的通解为：n a A Bn =+，代入初始条件，01a A ==，11a A B =+=，解得：1,0A B ==，故 1n a =。
（5）对应的特征方程为：32990x x x --+=，解得：1231,3,3x x x ===-，所以，齐次递推方程的通解为：3(3)n n n a A B C =++-，代入初始条件，00a A B C =++=，1331a A B C =+-=，2992a A B C =++=， 解得，111,,4312A B C =-==-，故 1113(3)412n n n a -=-+--2．求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第五章抽屉原理
5.3 Ramsey问题
5.3 Ramsey问题
应用 一篮子水果装有苹果、香蕉和橘子。为了保证篮子里或 者至少有8个苹果或者至少有6个香蕉或者至少有9个橘子，则 放入篮子中的水果的最小件数是多少？
第五 章 抽屉原理和瑞姆赛理论
5.1 抽屉原理 5.2 应用 5.3 Ramsey问题 5.4 Ramsey数
5.1 抽屉原理
5.1 抽屉原理
5.1 抽屉原理
5.1 抽屉原理
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
应用一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他 决定每天至少下一盘棋，但为了不使自己过于疲劳他还决 定每周下棋不能超过12盘。证明存在连续若干天，其间这 位大师恰好下了21盘棋。
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.2 应用
5.3 Ramsey问题
5.3 Ramsey问题
5.3 Ramsey问题
对10个顶点的完全图K10任意进行红、蓝两边着色，都或者 存在一个红色K4，或者存在一个蓝色K3。 对9个顶点的完全图K9任意进行红、蓝两边着色，都或者存 在一个红色K4，或者存在一个蓝色K3。 对于பைடு நூலகம்意给定的两个正整数a和b，如果存在最小的正整数 r(a,b)使得当N>=r(a,b)时，对KN任意进行红、蓝两边着色， 都或者存在一个红色Ka，或者存在一个蓝色Kb。则r(a,b)称 为Ramsey数。
5.3 Ramsey问题
2 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 3 3 6 9 14 18 23 4 4 9 18 25 5 5 14 25 6 6 18 7 7 23 8 8 28 9 9 36
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题5
习题五（抽屉原理）1．证明：在边长为2的等边三角形中任取5点，至少有两个点相距不超过1。
证明：如图所示，将正三角形分成4个边长为1的小等边三角形，现在取5点，有4个小等边三角形，根据抽屉原理，则至少有两点落在同一个小等边三角形中，其距离不超过1。
2．在一个边长为1的正方形内任取9个点，证明以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于18。
证明：如图所示，将正方形分为4个边长为12的小正方形，现取9个点，则至少有三个点落在同一个小正方形中，以这三点为顶点的三角形的面积不大于121121218⨯⨯=⨯⨯=长高。
3．把从1到326的326个正整数任意分成5组，试证明其中必有1组，该组中至少有一个数是同组中某两个数之和，或是同组中某个数的两倍。
证明：用反证法。
设任何一组中的每一个数，它既不等于同组中另外两数之和，也不等于同组中另一数的两倍。
即任何一组数中任意两个数之差总不在该组中。
（1）由抽屉原理知，五组中必有一组其中至少有66个数，设为A 组。
从中取66个数，记为1266,,,a a a ，不妨设66a 最大， 令 (1)66,1,2,,65i i a a a i =-=，显然(1)1326i a ≤<，由假设知 (1)i a A ∉，故这65个数必在另外四组B 、C 、D 、E 中。
（2）由抽屉原理知，B 、C 、D 、E 四组中必有一组至少含有17个(1)i a ，设为B 组，从中取17个(1)i a ，记为1217,,,b b b ，同理不妨设17b 最大， 令 (1)171,2,,16i i b b b i =-=，显然(1)1326i b ≤<，且由假设知，(1)i b B ∉，又 (1)176666()()i i j k k j b b b a a a a a a A =-=---=-∉，所以这16个数(1)i b 必在C 、D 、E 中。
（3）由抽屉原理知，C 、D 、E 三组中必有一组至少含有6个(1)i b ，设为C 组，从中取6个(1)i b ，记为126,,,c c c ，同理不妨设6c 最大，令 (1)6i i c c c =-，1,2,,5i =，显然(1)1326i c ≤<，且由假设知(1)i c C ∉，又 (1)61717()()i i jk k j c c c b b b b b b B =-=---=-∉ (1)6666()()i k j n m m n c b b a a a a a a A =-=-----∉所以这五个数必在D 、E 组中。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版
g ( x) (1 x x ....)( 1 x x ...)
3 6 4 8
(1 x 2 x 4 ....)( 1 x 5 x10 ...) 1 1 1 1 3 2 4 5 1 x 1 x 1 x 1 x
sfsf
15
2.1母函数
n
r C n , r x n 0
例 从n双互不相同的五指袜子中取出r只，要求没有任何两只是 成对的，共有多少种不同的取法？
r r C n , r 2 x 解：生成函数为: G( x ) (1 2 x)
n
n 0
sfsf
17
2.1母函数
例 某班有甲乙丙三个小组，人数分别为5，6，9。把5本相同的 书分给甲、乙、丙3个小组，再发到个人手上，每人最多发一本。 考虑将分给某组的某本书发给该组的同学A与将其发给同学B被 认为是不同的分法（每个同学最多一本），而且甲、乙两组最 少1本，甲组最多5本，乙组最多6本，丙组最少2本，最多9本， 问有多少种不同的分配方案？ 解：
5 6 9 4 5 6 9 5 6 9 5 6 9 5 1 1 2 x 1 1 3 1 2 2 2 1 2 x 5 6 9 20 5 6 9 x
sfsf
52
2.3指数型母函数
例、求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数（每个数 字可重复出现），要求1、3、7出现的次数一样多，5和9 出现的次数不加限制。求这样的n位数的个数。
sfsf
53
2.3指数型母函数
电路_第二版课后习题答案(西安电子科技大学出版社) 39页PPT文档
习题解答汇编
因为
Qe
0(r
1
rx
)
CxC Cx C
所以
rx r1.59
习题解答汇编
1.2 解：根据原电路可以画出等效电路如题1.2图所示:
L102C586H,
g g s ' g e 0 g L ' n 1 2 g s g e 0 n 2 2 g L
其中
n11460,n 021160,g 0e00L 10 Q
g1.365,
Qe
1
g0L
43
BW0.7
f0 Qe
10.8
习题解答汇编
C
I
' s
g
' s
g e0
L
g
' L
题1.2图
习题解答汇编
1.3 解：
C 2 ' C 2C L4p 0F
CCsCC 11CC 2' 2' 18.3pF
则
Re
1
1
Q
2 2
RL
1
0C2
RL Q2
RL
Re , RLRe
习题解答汇编
0L 2Q 2R eR e(R LR e)
C2
Q 0R 2L,L2
Q2Re
0
令Q1
R1 Re Re
则0 L 有 1 Q 1 R eR e(R 1 R e),
1
0C1
R1 Q1
第2章
2.1 解：根据公式:
gie 2.8mS,
Cie
3.5
2f0
103
18.6pF,
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题2
习题二（母函数及其应用）1．求下列数列的母函数(0,1,2,)n =（1）(1)n a n ⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（2）{5}n +； （3）{(1)}n n -； （4）{(2)}n n +；解：（1）母函数为：00()(1)()(1)nn n a n n a a G x x x x n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑；（2）母函数为：22554()(5)5(1)1(1)nnn n n n x xG x n x nx x x x x ∞∞∞===-=+=+=+=---∑∑∑； ♦ 方法二：()()()001022()(5)14414111114541(1)1nnnn n n n n G x n x n x x x x x x x x x x ∞∞∞===∞+==+=++''⎛⎫=+=-+⎪---⎝⎭-=+=---∑∑∑∑ （3）母函数为：2323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)nnnn n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ♦ 方法二：()()()()()2202222002222023()(1)00121121nn n n nn n n n n G x n n x xn n xxn n x xx x x x x x x x ∞∞-==∞∞+==∞+==-=++-"=++=""⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=-∑∑∑∑∑（4）母函数为：232300023()(2)(1)(1)(1)(1)nnnn n n x x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞===-=+=++=+=---∑∑∑。
♦ 方法二：()()()()()()()()00212100023223()(2)1211111121111111131nnnnn n n n n n n n n n n n G x n n x n n x n x x x x x x x xx x x x x x x x x x x ∞∞∞∞====∞∞∞∞++++=====+=++-+-"'"'⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭"'⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪----⎝⎭--⎝⎭-=-∑∑∑∑∑∑∑∑2．证明序列(,),(1,),(2,),C n n C n n C n n ++ 的母函数为 11(1)n x +- 。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题5
习题五（抽屉原理）1．证明：在边长为2的等边三角形中任取5点，至少有两个点相距不超过1。
证明：如图所示，将正三角形分成4个边长为1的小等边三角形，现在取5点，有4个小等边三角形，根据抽屉原理，则至少有两点落在同一个小等边三角形中，其距离不超过1。
2．在一个边长为1的正方形内任取9个点，证明以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于18。
证明：如图所示，将正方形分为4个边长为12的小正方形，现取9个点，则至少有三个点落在同一个小正方形中，以这三点为顶点的三角形的面积不大于1212121218⨯⨯=⨯⨯=长高。
3．把从1到326的326个正整数任意分成5组，试证明其中必有1组，该组中至少有一个数是同组中某两个数之和，或是同组中某个数的两倍。
证明：用反证法。
设任何一组中的每一个数，它既不等于同组中另外两数之和，也不等于同组中另一数的两倍。
即任何一组数中任意两个数之差总不在该组中。
（1）由抽屉原理知，五组中必有一组其中至少有66个数，设为A 组。
从中取66个数，记为1266,,,a a a ，不妨设66a 最大，令 (1)66,1,2,,65i i a a a i =-= ，显然(1)1326i a ≤<，由假设知 (1)i a A ∉，故这65个数必在另外四组B 、C 、D 、E 中。
（2）由抽屉原理知，B 、C 、D 、E 四组中必有一组至少含有17个(1)i a ，设为B 组，从中取17个(1)i a ，记为1217,,,b b b ，同理不妨设17b 最大，令 (1)171,2,,16i i b b b i =-= ，显然(1)1326i b ≤<，且由假设知，(1)i b B ∉， 又 (1)176666()()i i j k k j b b b a a a a a a A =-=---=-∉，所以这16个数(1)i b 必在C 、D 、E 中。
（3）由抽屉原理知，C 、D 、E 三组中必有一组至少含有6个(1)i b ，设为C 组，从中取6个(1)i b ，记为126,,,c c c ，同理不妨设6c 最大，令 (1)6i i c c c =-，1,2,,5i = ，显然(1)1326i c ≤<，且由假设知(1)i c C ∉， 又 (1)61717()()i i jk k j c c c b b b b b b B =-=---=-∉(1)6666()()i k j n m m n c b b a a a a a a A =-=-----∉所以这五个数必在D 、E 组中。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题6
习题六（Polya 定理）1．一张卡片分成42⨯个方格，每格用红蓝两色涂染，可有多少种方法？ 解：如图所示将卡片的八个格进行编号，则对应集合{1,2,,8}S =，用红蓝两色涂染，卡片只能旋转，不能翻转，则可得S 上的置换群12{,}Q p p =， 其中，1(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)p =，2(18)(27)(36)(45)p =， 现在用两种颜色进行涂染，则不同的涂染方案有：841(22)1362L =+=（种）♦ 若卡片还能翻转，但同一个格子对应的正反面要求同色，则除了上述两个置换外，还有沿着横、竖两个对称轴翻转的置换()()()()317283546p =，()()()()412345678p = 从而可知不同的染色方案有：()8421223764L =+⨯=（种） ♦ 若同一个格子对应的正反面不要求同色，且卡片既能旋转，又能翻转，则相应的置换为：()()()()()()1128q A B H =，2(18)(27)(36)(45)()()()()q A H B G C F D E =()()()()()()()()312345678q G H E F C D A B =， ()()()()()()()()412345678q B A D C F E H G =其中,,,A B H 是卡片的背面分别依序与1,2,,8对应的格子。
那么，此时的染色方案有()16831223165764L =+⨯=（种）2．一根木棍等分成n 段，用m 种颜色涂染，问有多少种染法？当2n m ==和3n m ==时各有多少种方法？ 解：如图给木棍的每段依次编号为1,2,,n ，则对应集合{1,2,,}S n =，用m 中颜色进行涂染，当n 为偶数时，可得S 上的置换群112{,}Q p p =，其中1(1)(2)()p n =，2(1)(21)(1)22n np n n =-+，（木棍只能翻转180） 用m 种颜色进行涂染，则不同的染色方案有：211()2nnL m m =+；当n 为奇数时，可得S 上的置换群213{,}Q p p =，其中1 2 …… 1n - n3111(1)(21)(2)()222n n n p n n --+=-+，则不同的染色方案有：1221()2n nL m m +=+。
电子科大组合试题及答案09.12(工硕)
组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉、杨国武 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2009 年 12 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、(14分) 现安排从星期一至星期五对5个项目A, B, C, D, E 进行评审，每个项目安排一天，每天安排一个项目。
但要求项目A 不安排在星期二评审，项目B 不安排在星期三和星期五评审，项目C 不安排在星期四评审，项目D 不安排在星期一评审，项目E 不安排在星期三和星期四评审。
问有多少种不同的评审安排方案？解 原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。
-----------------4分由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)== 1+7x+17x 2+18x 3+8x 4+x 5 -----------------5分所以安排方案数为5! - 7·4! + 17·3! - 18·2! + 8-1 -----------------4分= 25即共有25种。
-----------------1分 二、（10分）用2种颜色对下图的小圆点着色，证明必存在两列，其着色完全相同。
证明：因每个小圆点有2种颜色可选,故每列恰有8 种着色方案, -------------5分学 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………A B C D E 1 2 3 4 5组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页现有9列,由鸽笼原理,知必有两列着色相同. -------------5分 三、（16 分）求方程⎩⎨⎧≤≤≤≤≤=+++2,62,63133214321x x x x x x x 的正整数解的个数。
解 等价于求集合S 0＝{3.A,4.B,1.C ,∞.D}的所有6-组合构成的集合。
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习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？ 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取4，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从{0}A -中选取，剩下的两位数可从A 其余7个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有277294P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1，3，4中选取，剩下的三位数从A 中剩下的7个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有373630P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从0，1，3中选取，剩下的两位数从A 中剩下的6个数字中选2个进行排列，共有26390P ⨯=个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：749294630901070++++=个；3．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定；（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。
5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ，剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种，根据乘法原理，就座方式总共有：(8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种）（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。
可分成三种情况分别讨论：① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ；② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ；③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ；各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为：(14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000C P P C P P C P P ++= ♦ 典型错误：先选6人坐前排，再选4人坐后排，剩下的4人坐入余下的6个座位。
故总的入坐方式共有：()()()(14,6)8,6(8,4)8,46,4C P C P P 种。
但这样计算无疑是有重复的，例如恰好选6人坐前排，其余8人全坐后排，那么上式中的()(8,4)8,4C P 就有重复。
4．一位学者要在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。
该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。
故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种）♦ 另解：因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。
从而不定方程的整数解共有：212019181716(,6)(1661,6)54264654321RC C ⨯⨯⨯⨯⨯∞=+-==⨯⨯⨯⨯⨯（组） 即共有54 264种安排方案。
5．若某两人拒绝相邻而坐，问12个人围圆周就坐有多少种方式？解：12个人围圆周就坐的方式有：(12,12)11!CP =种，设不愿坐在一起的两人为甲和乙，将这两个人相邻而坐，可看为1人，则这样的就坐方式有：(11,11)10!CP =种；由于甲乙相邻而坐，可能是“甲乙”也可能是“乙甲”；所以则满足条件的就坐方式有：11!210!32659200-⨯=种。
6．有15名选手，其中5名只能打后卫，8名只能打前锋，2名只能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？解：用A 、B 、C 分别代表5名打后卫、8名打前锋、2名可打前锋或后卫的集合，则可分为以下几种情况：（1）7个前锋从B 中选取，有78C 种选法，4个后卫从A 中选取，有45C 种，根据乘法法则，这种选取方案有：7485C C 种； （2）7个前锋从B 中选取，从A 中选取3名后卫，从C 中选1名后卫，根据乘法法则，这种选取方案有：731852C C C 种； （3）7个前锋从B 中选取，从A 中选取2名后卫，C 中2名当后卫，根据乘法法则，这种选取方案有：7285C C 种；（4）从B 中选6个前锋，从C 中选1个前锋，从A 中选4个后卫，根据乘法法则，这种选取方案有：614825C C C 种；（5）从B 中选6个前锋，从C 中选1个前锋，从A 中选3个后卫，C 中剩下的一个当后卫，选取方案有：613825C C C 种； （6）从B 中选5个前锋，C 中2个当前锋，从A 中选4个后卫，选取方案有：5485C C 种； 根据加法法则，总的方案数为：7473172614613548585285825825851400C C C C C C C C C C C C C C C +++++=7．求8(2)x y z w --+展开式中2222x y z w 项的系数。
解：令,,2,a x b y c z d w ==-=-=，则8()a b c d +++中2222a b c z 项的系数为88!7!22222!2!2!2!2⎛⎫== ⎪⎝⎭，即8(2)x y z w --+中，2222()(2)x y z w --的系数， 因此，2222x y z w 的系数为：227!2(1)(2)10080--=。
8．求4()x y z ++的展开式。
解：4,3n t ==，展开式共有(,4)(431,4)15RC C ∞=+-=（项）， 所以，444433222223322344444()400040004310301444220202211444413010311212144013031x y z x y z x y x z x y x z x yz xy xz xyz xy z yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛++ ⎪ ⎝⎭⎝3224443333332222222224022444444666121212y z y z x y z x y x z xy xz yz y zx y x z y z x yz xyz xy z⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎭⎝⎭=++++++++++++++9．求1012345()x x x x x ++++展开式中36234x x x 的系数。
解：36234x x x 的系数为： 1010!840031603!1!6!⎛⎫== ⎪⎝⎭11．证明(1,)(1)(,1)nC n r r C n r -=++，并给出组合意义。
证明：因为(,)(,)(,)(,)C n k C k l C n l C n l k l =--，现令1k r =+，1l =，则可得 (,1)(1,1)(,1)(C n r C r C n C n r ++=-，即(1,)(1)(,1)nC n r r C n r -=++ 组合意义：将n 个元素分为3堆，1堆1个元素，1堆r 个元素，1堆1n r --个元素。
可以有下面两种不同的分法：（1）先从n 个元素中选出1r +个元素，剩下的1n r --个作为1堆；再将选出的1r +个元素分为两堆，1堆1个，1堆r 个。
（2）先从n 个元素中选出1人作为1堆，再从剩下的1n -个中选出r 个作为1堆，剩下的1n r --作为1堆。
显然，两种分法是等价的，所以等式成立。
12．证明 11(,)2n n k k C n k n -==∑ 。
证明：采用殊途同归法。
♦ 组合意义一：考虑从n 个人中选出1名正式代表和若干名列席代表的选法（列席代表人数不限，可以为0）。
可以有以下两种不同的选法：（1）先选定正式代表，有1n C n =种选法；然后从1n -人中选列席代表，这1n - 个人都有选和不选的两种状态，共有12n -种选法；根据乘法法则，共有 12n n - 种选法；（2）可以先选出1(0,1,2,,1)k k n +=-人，然后再从中选出1名正式代表，其余k 人作为列席代表，对于每个k ，这样的选法有：111k n k C C ++，从而总选法有： 1011(,1)(1,1)(,)(,1)(,)n n nk k k C n k C k C n k C k kC n k -===++==∑∑∑显然，两种选法是等价的，所以等式成立。