数学归纳法及其应用 论文
数学归纳法及其应用
玉林师范学院本科生毕业论文数学归纳法及其应用Mathematical Induction and Application数学归纳法及其应用摘要理解数学证明思想方法和原理在数学学习中十分重要．证明原理不理解，就很难切实有效的理解概念、掌握知识内容、解决问题．数学归纳法是高中的一个重要的证明思想方法之一．高中新课程标准要求学生了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．本文是对高中数学归纳法的研究，通过对数学归纳法在最近10年全国高考和最近3年全国各地高考所出现的情况进行统计分析，确定数学归纳法的地位，使大家认识到数学归纳法的重要性．同时列举数学归纳法的各种题型，以便大家能更方便的学习数学归纳法．关键词：归纳，数学归纳法，分析，证明Mathematical Induction and applicationMathematics and applied mathematics2004-2 Chen Jin-rongSupervisor Zhao QiangAbstractUnderstood that mathematics proof thinking method and the principle are very important in mathematics study, if you don’t understood the proof principle, you may be difficult to understand concept, to grasp the knowledge content, to solve the problem. The Mathematical Induction is one of important proof thinking methods in high school. New curriculum standard requests the student to understand that the principle of Mathematical Induction,And requests they can use the mathematical induction to prove some simple mathematics proposition. This article is research the Mathematical Induction in high school,The Mathematical Induction 's status is through statistical analysis the situation which appears at the recent 10 year national and the recent 3 year different area college entrance examination, It makes everybody to realize to the mathematical induction importance.And enumerates a kind of topic of the Mathematical Induction, so that everybody can more convenient to study Mathematical Induction.Key words：Induction, mathematical induction, analysis, proof目录1引言 (1)1.1问题的起源 (1)1.2问题的阐述 (1)2基本概念 (2)2.1归纳 (2)2.2数学归纳法 (2)3数学归纳法的地位作用 (5)4数学归纳法的应用 (7)4.1证明恒等式 (7)4.2证明整除性 (8)4.3证明不等式 (9)4.4在证明数列题中的应用 (11)4.5在证明排列和组合中的应用 (16)4.6在几何中的应用 (17)5结束语 (17)5.1总结 (17)5.2建议 (18)致谢 (18)参考文献 (19)玉林师范学院本科生毕业论文（设计）1引言1.1问题的起源数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，一般认为，归纳推理可追溯到公元6世纪的毕达哥拉斯时代，小亚西亚西岸米利都城的泰勒斯开创了证明的几何学，证明几何学的重要意义之一在于泰勒斯为几何定理本身提供了某种逻辑推理，尽管这种推理还没建立在自然数的公理系统之上，它还是标志着证明数学的诞生．这一时代杰出的数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行探讨．他确信无疑地得出：22+++-+2(n=5)131n毕达哥拉斯可能以为这就是一种证明，他的几乎所有的有关点子数的命题，都是由有限个特殊情况而作出一般的结论，但这种推理只是简单的枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推理．尽管如此，他仍为数学归纳法的确定奠定了一定的基础．早期的数学归纳法是欧几里得对系数个数无穷的证明，他指出若有n个系数，就必有1n个系数，这一关于系数个数无穷的具体证明为后人对数学归纳法的认识提供+了原形．欧几里得以后,印度的拜斯迦罗和法国的莱维本热尔松用数学归纳法讨论级数求和,及从n个东西中取r个的组合数．16世纪，经过文化复兴洗礼的欧洲学者越来越意识到数学的重要性．1575年，意大利的数学家莫罗利科在他所著的《算术》一书中，提出了这样的一个递归推理思想，它首先确定命题对于第一个自然数是真的，然后再去确证命题具有后续数也是真的．这是一个重大的突破，它是现代数学归纳法表述的模式．应该说数学归纳法早就被明确提出并广泛应用了，但数学归纳法的逻辑基础仍然是不明确的．直到1889年，意大利数学家皮亚诺发表《算术原理新方法》．他从不经定义的“集合”、“后继者”以及“属于”等概念出发，建立起关于自然数的五条公理，其中第五条归纳公理：若有一个由自然数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a 时，它一定也含有a的后继者，则S就含有全部自然数．自然数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定，也就是严格意义下的数学归纳法的进一步明确．1.2问题的阐述从上一小节我们可以知道数学归纳法和归纳法有一定的联系，普通归纳法为数学陈金荣 数学归纳法及其应用归纳法奠定了一定的基础．我们应注意的是，虽然数学归纳法和普通归纳法有相似之处，但本质是完全不同的.归纳法常常是通过简单的枚举而没有碰到矛盾事实出发的，在这种方法里，它的前提只是已被考察过的部分对象的属性，而结论却是关于同类对象全体的．因此，由归纳所得出的结论并不一定是可靠的.比如，法国数学家费马曾根据655371225712171251243212222=+=+=+=+，，，都是素数而提出如下猜想：“任何形如)(122N n n=+的数（即费马数，记为n F ）都是素数．”然而，半个世纪后，欧拉给出当5=n 时，670041764142949729712525⨯==+=F ，推翻了费马猜想．归纳法不能用来作为严格的、科学的证明，仅能帮助我们从需要情况的考察中揭露并找出一般的规律性．然而，数学归纳法则不同.它的基础是递归推理原理，隐含着推向无穷的可能.归纳法能导致错误这个道理太明显了(归纳在一定意义上是以偏概全)，而且出现错误的机会占据了绝大多数．所以笔者在本文章中没有过多的介绍普通归纳法，但普通归纳法有时能够导出真理．本文会出现用归纳法归纳出来的结论再用数学归纳法进行证明．笔者主要是对高中的数学归纳法进行研究，所以本文是介绍高中数学归纳法的定义、地位、作用和应用的方式方法．2基本概念本论主要研究数学归纳法的应用，所以这里有必要先呈现一些关键的概念:归纳、归纳法和数学归纳法． 2.1归纳所谓归纳，郑毓信认为是指通过特例的观察和综合去发现一般的规律．而波利亚在《数学与猜想》中认为归纳是指从特殊例子推出一般规律或者从提出事实到证明一般命题的过程．“归纳”一词可以包含三种意思．它是一种研究方法，用以由两个或几个单称判断或特称判断得出一个新的全称判断（结论）．它是一种研究方法，当需要研究某一对象（或者某一现象）时，用它可以研究各个对象（情况），从中找出整个对象集所具有的性质．它也可以是一种叙述的形式，借以表述从个别情况到一般情况的过渡．玉林师范学院本科生毕业论文（设计）简而言之，归纳法是由个别（特殊）到一般的推理方法，是由个别或特殊场合的知识推出一般原理的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法两种． 2.1.1 不完全归纳法不完全归纳法是根据事物或现象中出现的部分或特殊性质，推理其整体或一般的性质的方法．其一般推理模式为：1S 具有性质P ， 2S 具有性质P ，……………n S 具有性质P ， )},,({21S S S S n ,则S 中所以元素都具有性质P]2[．不完全归纳法包括枚举归纳法和因果关系归纳法，然而两种不完全归纳法，都只是寻找真理与发现真理的一种手段，对其所作的猜想，必须补充严格的证明方能成为真命题．尽管如此，不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题的思路中有着它的独特的作用．书上有些公式和定理，常用不完全归纳法给出．例如，等差数列与等比数列的通项公式在教材中就是如此处理的，很多数列的题目，都是用不完全归纳法在探索得到结论，而后再用数学归纳法加以证明． 2.1.2 完全归纳法完全归纳法即是在考察某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况后得到该类事物的普遍命题或一般结论．其一般的推理模式为：1S 具有性质P ， 2S 具有性质P ，……………n S 具有性质P ，陈金荣 数学归纳法及其应用)},,,({21S S S S n = ,则S 中所以元素都具有性质P]2[．完全归纳法又包括穷举归纳和类分法． 2.2数学归纳法我们知道完全归纳法是在研究一切情况得到普遍命题或一般结论的推理方法．数学中作为完全归纳法的“数学归纳法”，在数学解题中有着广泛的应用．下面介绍数学归纳法的几种形式． 2.2.1 第一数学归纳法数学归纳法的理论基础是皮亚诺公理，它包括以下五条： （1）1是自然数．（2）若x 是自然数，则x 的后继数（记作+x ）也是自然数． （3）对任意1,≠+x x ． （4）若++=y x ,则y x =．（5）任意一个自然数的集合，如果包含1；另外，假设集合中包含x 也必然包含+x ，那么这个集合包含所有的自然数．其中第（5）条公理就是数学归纳法的根据，称为数学归纳法原理，可用符号表述如下：若S 是自然数N 的一个子集，且满足 （1）S ∈1；（2）S k S k ∈+⇒∈1；则N S =．据此得到第一归纳法的推理格式，它分两个步骤：（1）归纳基础，即验证)1(P 为真，这里“1”指使命题成立的最小自然数； （2）归纳递推，即设)(k P 为真，推出)1(+k P 为真]3[． 2.2.2 第二数学归纳法第二数学归纳法的步骤为：玉林师范学院本科生毕业论文（设计）（1）验证1=n 是命题成立（1为起始值）；（2）假设当k n ≤≤1时命题成立，推出当1+=k n 时命题成立．据（1）、（2）知对N n ∈命题)(n P 成立．第二数学归纳法的理论根据是最小数原理；自然数非空集合A 一定含有最小者，即A 中存在一个自然数a ，对于A 中任意x 都有x a ≤]3[． 2.2.3跳跃归纳法跳跃归纳法的步骤为（1）验证当l n ,2,1=时命题成立；（2）假设当k n =时命题成立，推出当l k n +=时命题成立． 当项数中出现“间隔型”，即宜用跳跃归纳法]3[． 2.2.4反向归纳法反向归纳法是由于在归纳递推中采用反向递推而得名．其主要的步骤为： （1）证明有无穷多个自然数使命题成立；（2）假设当1+=m n 时命题成立，推出当m n =时命题成立．其中（1）的证明常常取)(2N k n k ∈=加以过渡．可以证明，反向归纳法与第一，第二数学归纳法是等价的，在解题时可把反向归纳法和其他归纳法变通使用．一些有名的不等式（如凹、凸函数定理、平均不等式等）都可以用反向归纳法加以证明]3[． 2.2.5跷跷扳归纳法当有一些与自然数有关的命题难以直接应用前面的数学归纳法证明时，可以根据具体情形，主动加强命题，设计一个更一般性的新命题，通过新命题的证明来确定原命题的正确性，这就是跷跷扳归纳法的初衷．其形式简述为“两个与自然数有关的命题1,,A B A n n 成立”，假设“k A 成立k B ⇒成立；k B 成立1+⇒k A 成立”，那么“n n B A ,正确”]2[．跷跷扳归纳法它适用于两个相关命题的证明．3数学归纳法的地位作用陈金荣数学归纳法及其应用归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的重要思想方法,是寻找真理和发现真理的主要手段,科学上的无数定理、定律都是归纳的结果．而数学归纳法则是对定理、定律的证明．在高中新课程标准明确要求要高中学生掌握数学归纳法，能用数学归纳法证明一些命题．本文主要研究的是高中数学归纳法在试题中的应用，我们研究数学归纳法的地位作用时，主要是对数学归纳法在历年全国高考题和最近这几年全国各地高考题所出现的情况进行统计分析．下面几个表就是关于数学归纳法在最近10年全国高考题和最近这3年全国各地高考题所出现的情况（其中√表示有出现数学归纳法的试题，○表示没有出现）．表3.1最近10年全国高考Table3.1 the recent 10 year national college entrance examination表3.2 2005年全国各地高考Table3.2 National college entrance examination in 2005表3.3 2006年全国各地高考Table3.3 National college entrance examination in 2006表3.4 2007年全国各地高考对于上面4个表，作出以下说明和总结：(1)、全国历年统一高考中，2004年后每年都出了4份试卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，每份又分理科和文科．而本文只是对试卷Ⅰ理科进行统计，但发现有些年份试卷Ⅰ没有出现数学归纳法时，在其他卷出现了，比如2006年试卷Ⅰ没有出现数学归纳法，但在试卷Ⅱ却出现了．(2)、全国各地高考中，独自命题的省份（除了江苏和广东）所出的试卷都分为理科和文科（2007年广东也分文理卷）．而本文也只是对理科进行统计．(3)、从上表来看，出题情况：最近10年高考，有5年出现数学归纳法，占50％；2005年全国各地高考14省有8省出现数学归纳法，占57％；2006年全国各地高考16省有4省出现数学归纳法，占25％；2006年全国各地高考16省有8省出现数学归纳法，占50％．(4)、从上面的数据看，数学归纳法在高考占有比较大的地位，这说明在高中必须掌握数学归纳法，特别要能灵活运用数学归纳法证明各种体型．4数学归纳法的应用数学归纳法在证明等式和不等式、数列中通项公式的探索、代数中的整除问题以及在数学领域中得到广泛的应用．当用数学归纳法证题要注意下面几点：(1)证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程．(2)成败的关键在于第二步对一时的证明：①要突破对“归纳假设”的运用；②要用好命题的条件；③要正确地运用与命题有关的知识及变换技巧．用数学归纳法证明有关的命题,关键是“一凑一证”,常用比较法、作差法、分析综合法、放缩法等方法完成．4.1证明恒等式例4.1.1 用数学归纳法证明 *)()1(25312N n n n ∈=+++++ .分析 应用数学归纳法解题时,第一个步骤中的初始值0n 是使命题成立的最小正整数, 在本题这个正整数是1,所以第一步可以直接验证1=n 时命题的正确性．证明 （1）当1=n 时,左边1=,右边1=,等式成立.（2）假设当k n =时等式成立，就是2)12(531k k =+++++ ，则当1+=k n 时， 22)1(12]1)1(2[)12(531+=++=-+++++++k k k k k ，即 1+=k n 时，等式成立.根据（1）、（2）可知,等式对任何*N n ∈都成立.例4.1.2 用数学归纳法证明： *)(212111211214131211N n nn n n n ∈+++++=--++-+- . 分析 这种等式的左边、右边都是数列的和的题目,我们证明时要注意的是，当k n = 到1+=k n 时，等式两边会增加多少项，增加怎么样的项，并要注意项的合并．证明（1）当1=n 时，左边21211=-=，右边21=，命题成立. （2）假设当k n =时命题成立，即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+-，那么当1+=k n 时， 左边221121211214131211+-++--++-+-=k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k 2211213121++++++++=k k k k上式表明当1+=k n 时命题成立.由（1）、（2）可知，命题对一切正整数都成立.4.2证明整除性例4.2.1 设n 是任何的正整数，求证：n n 53+能被6整除.分析：与正整数有关的整除问题,常用数学归纳法解决,在这题的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”,即把1+=k n 代入被除式，然后再设法证明“剩余部分”．证明（1）当1=n 时，61513=⨯+，命题显然成立.（2）假设当k n =时，k k 53+能被6整除.由于6)1(3)5(55133)1(5)1(3233++++=+++++=+++k k k k k k k k k k .因为两个连续的正整数)1(+k k 是偶数，所以)1(3+k k 能被6整除．同时由假设我们知道k k 53+能被6整除．因此6)1(3)5(3++++k k k k 能被6整除，即1+=k n 时，命题成立．根据（1）、（2）可知，命题成立.例4.2.2 试证当n 为正整数时，983)(22--=+n n f n 能被64整除.分析：这道题目也可以和例4.2.1一样，拼凑出“归纳假设”，再证明“剩余部分”．在这里我们可以将归纳假设转化变通，我们可以令m k k 6498322=--+，当把1+=k n 代入)(n f 时，能够更容易解题．证明（1）当1=n 时，64983)1(4=--=f ，命题显然成立．（2）假设当k n =时，983)(22--=+k k f k 能被64整除.由归纳假设，设m k k 6498322=--+（m 为大于1 的正整数），将9864322++=+k m k 代入到)1(+k f 中，得 )19(649)1(8)9864(9)1(++=-+-++=+k m k k k f ，∴1+=k n 时命题也成立.根据（1）、（2）知，对于任意*N n ∈，命题都成立.4.3证明不等式例4.3.1 比较12+n 与2n 的大小*)(N n ∈.分析：解本题我们要注意的是，本题先归纳，然后再用数学归纳法对其归纳的结果进行证明，题中当1=n 时，212n n >+；当2=n 时，212n n >+；当3=n 时，212n n =+ ；当3>n 时，212n n >+．所以用数学归纳法证明时，第（1）步应令4=n ，而不是令3≤n 的整数．解:：当1=n 时，21112>+，即212n n >+；当2=n 时，22212>+，即212n n >+；当3=n 时，23312=+，即212n n =+；当4=n 时，24412>+，即212n n >+；当5=n 时，25512>+，即212n n >+；…………猜想：当4≥n 时，212n n >+.下面用数学归纳法证明猜想成立.证明（1）当4=n 时，有上面可知猜想成立.（2）假设)4(≥=k k n 时，命题成立，即212n n >+.∴222221)1()12(212212+=++>+=>+=+••+k k k k k k k k ，即1+=k n 时命题成立.根据（1）、（2）知，当4≥n 时，212n n >+.例4.3.2 若*N n ∈，且1>n ，求证：241321312111>+++++++n n n n . 分析：（1）20=n ；（2）注意由k n =变化到1+=k n 时，不等式左边不是单纯增加)1(21+k ，而是增加了221121+++k k ，又减少了11+k ． 证明（1）当2=n 时，241324141274131>==+，∴不等式成立. （2）设n n n n S n 21312111)(+++++++= .假设k n =时，有2413)(>n S 成立，那么，因221121213121)1(+++++++++=+k k n n n S k +=)(k S 221121+++k k 11+-k 2413)1)(12(21)()(>>+++=k k S k k S ∴1+=k n 时，原不等式也成立.根据（1）、（2）知原不等式对1*,>∈n N n 均成立.例4.3.3 求证*)(12131211222N n n n ∈-≤++++ . 分析：数学归纳法证题关键是第二步，难点也是第二步，我们不能象证等式那样，将不等式式中右边k 12-和2)1(1+k 相加，一般来说，这两项相加并不恰好等于112+-k ，这正是难点所在，所以经常利用归纳假设结合分析法、求差法、比较法和放缩法等，从k n =推出1+=k n 时命题成立．证明（1）当1=n 时，1121-≤，命题成立 （2）假设k n =时，命题成立，即 k k12131211222-≤++++ ，当1+=k n 时，22222)1(112)1(1131211++-≤++++++k k k k 11211112)1(112+-=+-+-=++-≤k k k k k k k ，命题成立. 根据（1）、（2）知，原不等式当*N n ∈时成立.例4.3.4 用数学归纳法证明 ).()1211)(21(2N n n nn ∈≥++++++ 分析：本题可能由于大家不够仔细，很容易作出以下错误的证明证明（1）当1=n 时，左边111=⨯=，右边1=，原式成立.（2）假设k n =时，原式成立，即.)1211)(21(2k k k ≥++++++ 立.于是有]111211)][1(21[++++++++++k k k k )21(11)1211)(21(k k k k +++++++++++=)11)(1()1211)(1(++++++++k k k k 123)1(2)1(112++++++≥••k k k k k 22)1(1232+=+++≥k k k k . 即当1+=k n 时，原式成立. 根据（1）、（2）知，原不等式均成立.不知大家看到了没有，上述证明忽略了在第一步验证0n n =后，第二步中所考虑的k 必须满足0n k ≥的一切自然数，然而以上证明的第二步用的不等式关系231211≥+++k 却默认了1>k 而不允许1=k ，因而第二步所形成的递推就失去了基础，所以上述证明是错误的．正确的证明：应在上述证明的第一步中加上验证2=n 不等式也成立，这样归纳 假设中可以取2≥k ．4.4在证明数列题中的应用本小节数学归纳法在数列}{n a 的应用,它包括一些等式、不等式证明和归纳通项公式，再加以证明等等．高考中这一类题型是命题的重点．例4.4.1（2007年天津高考）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；分析：这类先归纳再证明的题目，并不是很难的题，类似等式的证明．归纳时多加小心就可以了．解（Ⅰ）22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+，3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+ 对任何n *∈N 都成立．（Ⅱ）略.例4.4.2 对于数列}{n a ，若nn a a a a a a a a 1),1,0(1111-=≠>+=+且. （1）求,,32a a 并猜想n a 的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想；分析：这类题题目很明确n n a a 和1+有直接的关系的，当由k n =推到1+=k n ，直接把假设k a 代到关系式kk a a a 111-=+中去，即可． 解（1）∵,1,1111nn a a a a a a -=+=+∴)1(111111122422112+++=+-+=+-+=-=a a a a a a a a a a a a a a a )1(11)1(11242462422213+++++=+++-+=-=a a a a a a a a a a a a a a a . 猜想)1(11111)1(1222222224222222--=----=++++++=++---•n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a . （2）（ⅰ）当1=n 时，右12241)1(1a a a a a a =+=--=，∴等式成立. （ⅱ）假设当*)(N k k n ∈=时，等式成立，即,)1(1222--=+k k k a a a a 则当1+=k n 时，)1()1()1)(1(1)1(112222222222211----+=---+=-=++++k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a )1(1)1(2)2(2--=++k k a a a . 也就是说，当1+=k n 时，等式也成立.根据（ⅰ）、（ⅱ）知，对于一切)1(1*,222--=∈+n n n a a a a N n . 例4.4.3 设,1,1,101a a a a a a nn +=+=<<求证：对一切自然数1,>n a n 有 . 分析：设k n =时，1>k a 成立；则当1+=k n 时，a a a k k +=+11.因1>k a ，11<k a ，故无法由a a a k k +=+11推出11>+k a .怎么办呢？要想证11>+k a ，只要证11>+a a k ，即证a a k -<11，只要把命题加强为aa -<<111即可完全归纳过渡． 证明 （1）当1=n 时，111>+=a a ，又由112<-a 可得a a -=+111，∴aa -<<1111.（2）假设aa N k k n k -<<∈=111,)(时，那么当a a a k n k k +=+=+1,11时，假设得,111<<-k a a ∴a a a a k -<+<+<11111，∴aa k -<<+1111. 根据（1）、（2）知对任意自然数n ，都有a a n -<<111，从而有)(1N n a n ∈>. 例4.4.4（2005年江西高考）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ 证明;,21N n a a n n ∈<<+分析：此题当由k n =推到1+=k n 时，从)4(211k k k a a a -=+很容易知道21<+k a ，但要判断1+<k k a a 就很难，所以在这里我们可以运用求差法，即作差1+-k k a a ，看是大于0还是小于0，即可．证明（1）当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确.（2）假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 )4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=----- 而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a 又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时，命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a例4.4.5已知数列}{n a ),2,1( =n ，若对任意自然数n ，都有120+-≤>n n n a a a a 及，试证：)(1N n na n ∈<． 分析：此题证明时，由假设当k n =时不等式成立，即.1k a k <当1+=k n 时，由于12+-≤k k k a a a ，即有)1(1k k k a a a -≤+.显然110<-<k a ，从而有k k a a <+1，因此，若有11,111+<<+<+k a a k a k k k 则，但k a k 1<，所以我们要另外考虑ka k k 111<≤+．证明（1）当1=n 时，由021212>-≤a a a a ，且，可得1101<<a ，所以不等式立. （2）假设k n =时，命题成立，现在证+<⇒<+k a k a k k 111. 鉴于k a 的不确定性，需分类讨论.①11)1(,1101+<<-≤+<<+k a a a a k a k k k k k 时当. ②11)111(1)1(1111+=+-<-≤<≤++k k k a a a k a k k k k k 时，当. 根据（1）、（2）可知，)(1N n n a n ∈<成立. 例4.4.6（1998年高考全国卷）已知数列{b n }是等差数列, b 1=1, b 1 + b 2 + ⋅⋅⋅+ b 10 = 145.（Ⅰ）求数列{b n }的通项b n ;（Ⅱ）设数列{a n }的通项a n =log a (1+ 1/ b n ) (其中a>0, 且a ≠1), 记S n 是数列{a n }的前n 项和.试比较S n 与13log a b n+1 的大小 ,并证明你的结论． 分析：由（Ⅰ）我们易得到,23-=n b n 并分别代入n S 与13log a b n+1整理后知，只要比较313)2311()411)(11(+-+++n n 与 的大小．这显然是与自然数有关的问题，取,3,2,1=n 可以发现前者大于后者． 由此我们可以猜测313)2311()411)(11(+>-+++n n （*） 下面我们对其进行证明（1）当1=n 时，不等式成立；（2）假设当k n =时，不等式（*）成立，即313)2311()411)(11(+>-+++k k ，那么，当1+=k n 时，)1311(13)1311)(2311()411)(11(3+++>++-+++•k k k k 32)13(23++=k k（若继续用综合法顺推，则放缩难度很大，此时应瞄准特征的结论，改用分析法探路）要证33243)23(23+>++k k k ，只要证23)13)(43()23(++>+k k k ，由其结构特征，运用均值不等式知233)13()13()43()13)(13)(43(3+=+++++<+++k k k k k k k 故23)13)(43()23(++>+k k k综上可知，当1+=k n 时，不等式)(*成立.又由于对数函数的单调性知，当1>a 时，31>n S ㏒1+n a b ； 当10<<a 时，31<n S ㏒1+n a b 点评：面对综合能力要求比较强的题目，“综合与分析”是利用归纳假设的常用方法，一般地，由归纳假设导出的式子与特征的式子联系较弱，不易证明，往往采用分析法．4.5在证明排列和组合中的应用数学归纳法最简单的应用之一，是用来研究排列和组合的公式．例4.5.1 证明)!(!!m n m n C m n -=. ① 分析：首先，,11=nC 这是显然的，如果再能证明当n m <<1的时候，111---+=m n m n m n C C C ，那么，式子①也就可用数学归纳法来证明．证明（1）当1=n 时，式子①显然成立我们假定有n 个不同的元素n a a a ,,,21 ,每次取出m 个元素的组合里,可以分为两类:一类含有1a ,一类不含有1a ,含有1a 的组合数,就等于从n a a a ,,,21 里取1-m 个元素的组合数,它等于11--m n C ;不含有1a 的组合数,就等于n a a a ,,,21 里取m 个的组合数,它等于m n C 1-,所以111---+=m n m n m n C C C（2）假设当1+=k n 时，式子①成立，那么有)1()!(!!)!()!1()!1()!1(!)!1(111k m m k m k m k m k m k m k C C C m k m k m k <<-=---+---=+=---这里玉林师范学院本科生毕业论文（设计）所以k n =时，式子①也成立根据（1）、（2）可知，)!(!!m n m n C m n -=成立. 4.6在几何中的应用例 4.6.1 在同一平面内有n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,证明这n 个圆将平面分成22+-n n 个部分.证明（1）当1=n 时,22112=+- ,即把平面分成两个部分,结论成立.（2）假设k n =时,k 个圆把平面分成22+-k k 个部分.若再增加一个圆,它与原来的k 个圆相交,共有k 2个交点,这些点把第1+k 个圆分成k 2段弧,而每段弧把它所在的那块平面分成两块,即增加了一个部分,因此总数增加了k 2个部分.所以,当1+=k n 时,平面被分成了2)1()1(2)2(22++-+=++-k k k k k 个部分,即1+=k n 时命题成立.根据（1）、（2）知，N n ∈时结论成立.5结束语本章主要是对文章进行一个总结，并当教师学生在教学学习数学归纳法时，给出一些的建议，以供大家参考．5.1总结本论文主要研究数学归纳法的定义、作用和应用．第二章研究了近年来高考情况，只是对数学归纳法是否出现在高考作出了一些统计分析，但没有更深入的了解研究在高考中数学归纳法的题型，以及其特征.而且在论述数学归纳法的地位只单一表现在高考上，这是不足之处；第三章阐述了数学归纳法的几种定义，但本文主要是对第一数学归纳法应用进行研究，而其他几种归纳法只是让大家知道，在本文就没有过多的论述；第四章是研究数学归纳法的应用，本文以数学归纳法的应用作为研究的重点，而数学归纳法在数列}{n a 和不等式中的应用又是本文章的重中之重，从第四章可以看出，所列出的应用题型中，数列包含着不等式，不等式包含着数列．陈金荣 数学归纳法及其应用5.2建议以下是作者对教师和学生提出的几点建议：（1）、教师在数学归纳法的教学中，通过探究，让学生经历观察、猜想、证明等过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，体验创造性工作的真实过程，领会归纳时的科学研究方法．（2）、教师应对数学归纳法有正确的认识．在课堂教学中教师引导着整节课的方向，教师对数学的认识决定和影响了具体的教学过程．首先教师要意识到数学归纳法在中学数学教学过程中的重要地位，同时教师应该对数学归纳法进行一个系统地整理，特别把数学归纳法应用中经典题型进行整理分类．（3）、学生在学习数学归纳法时，要了解重点所在．对于常规的数学问题中，并不是仅仅要求你给出一个证明，而是要求先通过归纳得出一个结论，再用数学归纳法证明，这里就要求正确的归纳，或者说归纳出一个正确的结论．就像归纳出一个通项公式、一个等式或其他公式，因此在归纳出一个结论后，要先做验证工作，否则“证明”是得不到好结果的．（4）、在数学归纳法的证明中，有时要用到各部分的知识、综合性较强．比如上面例4.4.6中，它还要求你懂对数函数、均值不等式知识，并能灵活的运用．所以说有时一个命题不会证明，并不是因为不熟悉数学归纳法，而是综合能力较弱．（5）、学生在用数学归纳法证明时，不能死套数学归纳法证明了两个步骤．有时命题在证明之前宜将形式作些变化，以便于证明与叙述．例如，用数学归纳法证明等差数列的前n 项的和的公式)(21n n a a n S +=，宜改成])1(2[21d n a n S n -+=．又如，在证明：当n 为奇数时，22y x +一定能被y x +整除；n 是偶数时，22y x -一定被y x -整除．宜将n n n n y x y x -+与改写成1212--+n n y x 及*)(22N n y x n n ∈-．致谢四年的学习生活即将结束，回首往事，难以忘怀在这四年的学习和生活中给予我关怀和支持的老师和同学们．我在玉林师范学院数学与计算机科学系学习期间，得到了系领导和其他老师的帮助，尤其是赵强老师，他在我的毕业论文写作过程中倾注了大量的精力，指导我顺利完成毕业论文写作．在此，谨向辛勤培育我的各位老师致以最诚挚的谢意．。
数学归纳法及其应用论文
数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当1n=时表示一个命题，当2n=时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础: 证明当1n=时表达式成立．第二步是递推的依据: 证明如果当=时成立，那么当1n k=+时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为n k归纳假设．不要把整个第二步称为归纳假设．) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．1数学归纳法的概述1．1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：1．1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法．1．1．2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]．1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．1.3 数学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G ．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N 的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：Ⅰ．0NÎ（即“0是自然数” ）．Ⅱ． 对于N 的每一个元素a ,在N 中都有一个确定的随从'a （我们用符号'a 表示a 的随从，以下类同）．Ⅲ． 0不是N 中任何一个元素的随从． Ⅳ． 由''a b=可以推出ab=（这就是说，N 中的每个元素只能是某一个元素的随从，或者根本不是随从）．Ⅴ． 设M 是自然数的集合，若它具有下列性质： （1）自然数0属于M ；（2）如果自然数a 属于M ，那么它的随从'a 也属于M ； 则集合M 包含一切自然数[1]．自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N 中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记'01=，'12=，'23=，…，'1n n =+，…，则{0,1,2,,,}N n =皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1 （最小数原理） 自然数集N 的任意非空子集A 都有最小数. 证 设M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合，即{|,}M n n N nm m A =危 且对任意由于A 非空，至少有一自然数a AÎ,而1()a a +>不在M 中，所以M N¹.从而必存在自然数0m MÎ，且01m M+ .因为若不然，就有（1）0MÎ(0不大于任一自然数）；（2）若m MÎ，则1mM+ .根据归纳原理，集合M 包含一切自然数．此与M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合矛盾.这个自然数0m 就是集合A 的最小数，因为对任何a AÎ，都有0m a£；而且0m AÎ.事实上，若0m AÏ，则有01m a+ ，对任意a AÎ，于是01m M+ ，这又与0m 的选取相矛盾.下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.定理2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题()T n ，如果（1）00()(0)T n n ³为真；（2）假设0()()T n nn ³为真，则可以推出(1)T n +也为真.那么，对所有大于等于0n 的正整数n ，命题()T n 为真.证 用反证法.若命题()T n 不是对所有的自然数n 为真，则0{|,()}M m m N mn T m =纬且不真非空.根据定理1，M 中有最小数0m .由（1），00m n >，从而001m n - 且0(1)T m -为真.由（2），取01nm =-即知0()T m 为真.此与0()T m 不真相矛盾.从而证明了定理2[4].因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。
数学归纳法及其在证明中的应用
数学归纳法及其在证明中的应用数学归纳法是一种基于自然数的证明方法，广泛应用于各个数学领域。
它的核心思想是通过证明基准情况和使用归纳假设，来证明所有自然数都满足所要证明的性质或命题。
本文将介绍数学归纳法的基本原理，并探讨其在证明中的应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以简述如下：首先，我们需要确定一个基准情况，即证明命题对于某个特定的自然数成立。
接下来，我们假设命题对于某个自然数 n 成立，即假设命题在 n 这个情况下成立，这被称为归纳假设。
最后，我们通过证明命题在 n+1 这个情况下也成立，从而推导出命题对于所有自然数都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在证明中的应用非常广泛。
以下将介绍几个常见的应用案例：1. 证明数学等式与不等式数学归纳法常用于证明数学等式与不等式。
例如，我们要证明对于任意正整数n，都有 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
首先，我们验证基准情况，当 n = 1 时，等式左边为 1，右边为 1*2/2 = 1，两边相等。
接下来，我们假设等式对于 n 成立，即假设 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 成立。
然后，我们证明等式对于 n+1 也成立，即证明 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = (n+1)(n+2)/2。
通过归纳假设，我们将左边的等式视为n(n+1)/2 + (n+1)，化简得到 (n^2 + 3n + 2)/2，而右边的等式也可以化简为(n+1)(n+2)/2，两边相等。
因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数 n，都有 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
2. 证明命题的递归定义数学归纳法还常用于证明命题的递归定义。
递归定义是一种通过引用自身来定义某个对象的方法。
例如，我们要证明指数的乘法规则：对于任意自然数 a 和 b，以及非负整数 n，都有 a^n * a^m = a^(n+m)。
关于数学归纳法的论文
数学归纳法在问题求解中的应用作者：管国策指导老师：张胜摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，在不少数学问题的证明中，它都有着其他方法所不能替代的作用.甚至在物理、生物等方面都有着广泛的前景，本文首先阐述数学归纳法的理论依据以及表现形式，然后通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学以及中学数学竞赛中的应用，最后详细叙述对数学归纳法的认识和使用中应该注意的问题.关键词数学归纳法数列行列式离散数学树数学竞赛1、数学归纳法的理论依据归纳法和演绎法都是重要的数学方法.归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现规律，不适用于数学严谨证明.数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列归纳公理：（1）存在一个自然数0∈N.（2）每一个自然数a有一个后继元素'a，如果'a是a的后继元素，则a叫做'a的生成元素.（3）自然数0无生成元素.（4）如果'a='b，则a=b.（5）（归纳公理）自然数N的每个子集M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M=N.自然数就是满足上述公理的集合N中的元素，关于自然数的所有性质都是这些公理的直接理论.由以上公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素.如果记'0=1，'1=2，'2=3，…，'n=n+1，…，则N={0,1,2，…，n，…}.由以上公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数在本质上是一致的.20世纪90年代以前的中学数学教材将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集.现在已统一采用上面的证法，即将0作为第1个自然数.为了阐述数学归纳法，我们首先介绍一下正整数集的最小数原理.最小数原理：正整数集中≤，的任意一个非空子集必含有一个最小数.也就是说，存在数a∈S，对于∀x∈S都有a x最小数原理也就是数学归纳法的理论依据.2、数学归纳法的表现形式2.1.第一数学归纳法在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n有关的命题()P n .如果：（1）当n =1时命题成立（2）假设n =k 时命题成立（3）若能证明n =k +1时命题也成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠∅.于是由最小数原理，S 中有最小数a .因为命题对于n =1时成立，所以1a ≠， a >1.从而a -1是个正整数.又由于条件（3），当n =a 时命题也成立.因此a S ∉，导致矛盾.因此该命题对于一切正整数都成立.定理证毕.在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c 开始的，这时在叙述上只要将n =1换成n =c 即可.第一数学归纳法主要可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明c 时命题成立（2）归纳假设：假设n =k 时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.2.2.第二数学归纳法第二数学归纳法与第一归纳法是等价的.在有些情况下，由归纳法“假设n =k 时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题()P n ，在证明(1)P k +成立，不仅依赖()P k 成立，而且依赖于前面各步成立，这时一般要选用第二数学归纳法.原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）当n =1时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n k ≤成立时（3）若能证明n =k +1时命题也成立.则这个命题对于一切正整数n 都成立.其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方不再赘述.第二数学归纳法可概括为一下几个三步：（1）归纳基础：证明n =1时命题成立（2）归纳假设：假设n k ≤时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.2.3.反向归纳法反向数学归纳法是数学家柯西最先使用的，下面我们就来介绍一下.原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）命题()P n 对于无限多个正整数n 成立（2）假设n =k 时命题成立（3）若能证明n =k -1时命题也成立，则这个命题对一切正整数n 都成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令A 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么A ≠∅.任取a A ∈，由条件（1）知必有正整数b >a ,使()P b 成立.令这样的正整数b 组成的集合为B .因为集合B ≠∅，故必有最小数，设这个最小数为m ，显然m >1,由条件（3）知：(1)P m -成立，由a 的取法知：3、数学归纳法的应用数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它不仅可以用来证明与自然数n 有关的初等代数问题，在高等数学、几何学、离散数学、概率论甚至物理、生物、计算机等方面的应用也相当突出.在用数学归纳法解决以上问题时，不仅思路清晰、大大降低了问题的复杂性，又能找出相应的递推关系，非常有效.下面重点谈谈它在初等代数、高等数学、离散数学以及数学竞赛中的应用. 3.1.数学归纳法在初等代数中的应用数学归纳法在恒等式问题、整除问题、三角函数问题、数列问题以及不等式问题中均有着广泛的应用.例1.求证：3n +5n （n N +∈）能被6整除证明：（1）当n =1时，31+51⨯=6能被6整除，命题成立（2）假设n =k 时，命题成立，即3k +5k 能被6整除当n =k +1时，有3(1)k ++5(1)k +=（3k +32k +3k +1）+（5k +5） =（35k k +）+3(1)k k ++6 因为两个连续的正整数的乘积(1)k k +是偶数，所以3(1)k k +能被6整除 则（35k k +）+3(1)k k ++6能被6整除，即当n =k +1时命题也成立 综上所述，对一切正整数n 命题都成立.例2.已知在各项均为正整数的数列{}n a 中，它的前n 项和n S 满足n S =11()2n na a +，试猜想数列{}n a 的通项公式，并有数学归纳法证明你的猜想. 解：1S =1111()2a a + 21a ∴=1n a >0 1a ∴=12S =1a +2a =2211()2a a +即22a +22a -1=0又n a >0 ∴2a-13S =1a +2a +3a=1+(1+3a =331()a a +即23a+3a -1=0 又n a >0 ∴3a…猜想：n an N +∈）下面用数学归纳法证明这个猜想（1）当n =1时，1a=1，命题成立（2）假设n k =（1k ≥）时，k a1n k =+时，有：1k a +=1k S +-k S =1111()2k k a a +++-11()2k ka a +，即1k a +=1111()2k k a a +++-12=1111()2k k a a +++21k a +∴1k a +-1=0又n a >0 1k a +∴∴当1n k =+时，命题也成立.由(1)(2)可知：当n N +∈时，n a 例3：已知数列{}n b 是等差数列， 1b =1，1b +2b +…10b =145 （1）求数列{}n b 的通项公式n b （2）设数列{}n a 的通项n a =1log(1)nb +(a >0且1a ≠)，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，试比较n S 与11log 3a nb +的大小并证明你的结论. 解：（1）设数列{}n b 的公差为d 由题意知：1b =1；1b +10(101)2d -=145 解得：d =3 ∴n b =3n -2（2）由n b =3n -2知：n S =log (11)a ++1log (1)4a ++ (1)log (1)32a n +- =1log [(11)(1)4a ++ (1)(1)]32n +-而11log 3a nb +=log an S 与11log 3a nb +的大小，就是要比较1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-的大小取n =1，有（1+1）取n =2，有1(11)(1)4++推测：1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-()* （1）当n =1时，已验证()*式成立（2）假设n k =（k >1且k N +∈）时()*式成立.即1(11)(1)4++ (1)(1)32k +-则当1n k =+时，1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)3(1)2k ++-1(1)31k ++=3231k k +-33332(31k k +-+=322(32)(34)(31)(31)k k k k +-+++=294(31)k k ++>0从而1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)31k ++即当n =1k +时()*式也成立由(1)(2)知：()*式对任意正整数n 都成立于是当a >1时，n S >11log 3a n b +；当0<a <1时，n S <11log 3a nb +3.2.数学归纳法在高等数学中的应用证明是高等数学的一个重要的组成部分，它的重要性，不仅表现在数学命题需要严格的推理证明，才能确定其真实性，更重要的还在于通过数学证明有助于学生弄清命题的条件与结论之间的本质联系，加强对数学问题的认识，有助于学生深刻理解数学本质，养成严谨的思考问题的习惯，从而自觉掌握数学规律，从根本上提高分析问题和解决问题的能力.例4：如果对一切实数x 和y ，等式()f x y +=()f x +()f y 成立，试证对一切有理数r ，有()f rx =()rf x证：令x =y ，则由已知条件有： (2)f x =()f x +()f x =2()f x (3)f x =()f x +(2)f x =3()f x用数学归纳法可证，对一切自然数n 有()f nx =()nf x另外，对正分数p q （,p q 互质且q >1）有：()pf x =()f px =()p f q x q =()p qf x q()p f x q ∴=()()pf x q令x =y =0，有(0)f =2(0)f ∴(0)f =0接着令y =x -，有()f x +()f x -=0 ∴()f x -=-()f x 同理，对负数p q -（,p q 互质且p >0, q >1）有：()p f x q-=pq -()f x因此，可知对一切有理数r 命题成立. 例5.证明211arctan2n n ∞=⋅∑收敛 证：令n a =21arctan2n ⋅ 求出该数列的部分和n S 1S =1arctan22S =1arctan 2+21arctan 22⋅=2211222arctan111222+⋅-⋅⋅=2arctan 3 3S =1a +2a +3a =2S +3a =2arctan 3+21arctan 23⋅=3arctan 4猜想：n S =arctan 1nn +下面用数学归纳法证明： 假设1k S -=1arctank k-，将上式两边同时加上k a ，得： k S =1k S -+k a =1arctan k k -+21arctan 2k ⋅=23(221)arctan 21k k k k k -+-+=arctan 1k k + 证出等式在n =k 时成立. 因此n S =arctan1nn + 又lim 1n n n →∞+=1，arctan1=4π，证得级数211arctan 2n n ∞=⋅∑收敛 S =4π例6：证明：n D =cos 10012cos 100012cos 012cos aa aa=cos na证：对n 施第二数学归纳法 （1）当n =2时，cos 112cos a a=22cos a -1=cos2a（2）假设<n 时结论成立，则当n 时n D =cos 1012cos 10012cos 001aa a -+21cos n aD - =2n D --+12cos n aD -=cos(2)n a --+2cos cos(1)a n a ⋅- =cos(2)n a --+2cos[(2)]cos n a a a -+⋅=cos(2)n a --+2[cos(2)cos sin(2)sin ]cos n a a n a a a -⋅--⋅ =cos(2)n a --+22cos(2)cos 2sin(2)cos sin n a a n a a a -⋅--⋅⋅=2cos(2)(2cos 1)sin(2)sin 2n a a n a -⋅---⋅ =cos(2)cos 2sin(2)sin 2n a a n a a -⋅--⋅ =cos[(2)2]n a a -+=cos na3.3.数学归纳法在离散数学中的应用随着计算机科学的发展，离散数学在计算机的研究中的作用越来越大，而离散数学中（特别是图论中）的许多命题的论证，数学归纳法不失为一种行之有效的方法.例7.设R 是集合X 上的关系，则()t R =1i i R ∞==R ⋃2R ⋃3R ⋃…证明：用第一归纳法先证明1i i R ∞=⊆()t R ；（1）当n =1时，根据传递闭包定义R ⊆()t R ； （2）假设1n ≥时，nR ⊆()t R .设(,)x y ⊆1n R+，因为1n R+⊆n R ⋃R ，故必有某个c x ∈，使(,)x c ∈n R ，(,)c y ∈R由归纳假设，有(,)x c ∈()t R ，(,)c y ∈()t R ，即(,)x y ∈()t R 1n R+∴⊆()t R故对任意的自然数n ，有nR ⊆()t R ，因而1i i R ∞=⊆()t R再证()t R ⊆1i i R ∞=设(,)x y ∈1ii R ∞=，(,)y z ∈1i i R ∞=，则必存在整数,s t ，使得(,)x y ∈s R ，(,)y z ∈t R这样(,)x z ∈s R ⋃tR ，即(,)x z ∈1i i R ∞=∴1i i R ∞=是传递的由传递闭包的定义可知：()t R =1i i R ∞=例8：设T 为任意一颗完全二元树，m 为边数，t 为树叶数，试证明m =22t -，这里2t ≥证明：对树叶数t 进行证明当t =2时，结点树为3，边数m =2，故m =22t -成立假设t =k (2)k ≥时，结论成立，下面证明t =1k +时结论也成立由于T 为二元数，因此T 中一定存在都是兄弟结点12,v v ，设v 是12,v v 的父亲，在T中删除12,v v ，得到'T ,'T 仍为二元完全树，这时结点v 成为树叶，树叶数't =21t -+=11k +-=k ，边数'm =2m -由归纳假设知：'m ='22t -所以2m -=2(21)2t -+-，故m =22t -3.4.数学归纳法在中学竞赛中的应用我们知道中学数学竞赛里有的知识解决需要用的数学归纳法，它方便了我们的解题，下面举几个例子看看它在数学竞赛里是如何运用的.例9.数列{}n a 中有1a =2a =1，1n a +=1n a -+n a (2)n ≥，请你证明：n a =]n n -（这个数列叫做斐波那契数列，它的前12项是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144）证明：（1）当1n =时，11522--=5(1)T ∴成立当2n =时，2211(]522+-=33(544+--=5(2)T ∴成立（2）假设n k =和1n k =+时，()T k ，(1)T k +都成立即k a ]k k -且1k a +11]k k ++- 则当2n k =+时，2k a +=k a +1k a +]k k -11]k k ++-(1(1k k +-+k k=221111[(()((]52222k k ⋅-⋅=2211[()(]522k k ++- (2)T k ∴+也成立.由(1)(2)可知：对一切正整数，n a =11()]522n n--恒成立. 例10.设x +1x =2cos θ（其中x 为复数），请用θ的三角函数式表示nx +1n x（n 是正整数），并用数学归纳法证明你的结论.解：（1）当1n =时，x +1x=2cos θ 当2n =时，2x +21x=21()2x x +-=22(2cos 1)θ-∴2x +21x=2cos2θ当3n =时，3x +31x =22111()()()x x x x x x++-+=2cos 2cos22cos θθθ⋅-=2cos32cos 2cos θθθ+- =2cos3θ 猜想：nx +1n x=2cos n θ （2）假设1n k =-时，1k x -+11k x -=2cos(1)k θ-n k =时，kx +1k x=2cos (2)k k θ≥ 那么1n k =+时，1k x ++11k x+=11111()()()k k k k x x x x x x --++-+=2cos 2cos 2cos(1)k k θθθ⋅--=2cos(1)2cos(1)2cos(1)k k k θθθ++--- =2cos(1)k θ+ (1)T k ∴+成立由(1)(2)知，对一切n 恒有nx +1n x=2cos n θ（其中n 为正整数） 4、对数学归纳法的认识数学归纳法有时也叫逐次归纳法或者完全归纳法.前面两种叫法最早见于英国数学家德摩根1838年所写的《小百科全书》的引言中.因为在使用这个方法论证的时候，有一个形式上的归纳步骤，即确证命题对于第一项为真时，并由此归纳得出命题对于第n 项为真，“这个和通常的归纳程序有极其相似之处”.所以德摩根赋予它“逐次归纳法”的名称.也许是由于这种方法主要被用来数学中的证明的缘故.在《引言》的结尾处，德摩根又提出“数学归纳法”这个名称.比起逐次归纳法，人们似乎更喜欢数学归纳法，因为后者更能表明它论证的可靠性.此后，1887年，德国数学家戴德金又称此法为“完全归纳法”.有一个时期，这个叫法在德国很流行，后来由于逻辑学上完全归纳法专指“从列举对应的一切特殊的前提中，推出关于全部对象的一般结论的一种推理方法”，所以与“数学归纳法”不完全等价了.虽然数学归纳法和普通归纳法有着相似之处，但本质是完全不同的.归纳法常常是通过简单的枚举而没有碰到矛盾事实出发的.在这种方法里，它的前提只是已被考察过的部分对象的属性，而结论却是关于同类对象全体的.因此，由归纳所得出的结论并不一定是可靠的.比如，从1到40个自然数中，归纳出素数公式是“n 2-n+41”，这个公式对于n=1,2,…,40是正确的，可是当n=41时，得出的412确不是素数，看来归纳法不能用来作为严格的、科学的证明，仅能帮助我们从需要情况的考察中揭露并找出一般的规律性.然而，数学归纳法则不同，它的基础是递归推理原理，隐含着推向无穷的可能.由于数学归纳法包括着一串有穷多个三段论，每一个三段论自身都是一致的，所以从一定意义上说它又是古典演绎逻辑的一种发展了的形式，其严密性与演绎推理相同.庞加莱很彻底地指出了普通归纳法和数学归纳法的本质区别.他说：“我们必须承认，这（数学归纳法）和通常的归纳法程序有极其相似的不同，归纳法，当其应用于自然科学时，常是不确定的，因为它的基础是相信宇宙中有一种普通顺序，一种在我们之外的顺序.相反，数学归纳法，即递归证法，把自身视为一种必然，因为它不过是心灵本身的一种性质……”庞加莱十分推崇数学归纳法，称它“是数学中全部优点的根源”，“我们只能循着数学归纳法前进，只有它能交给我们新的东西.如果没有这种与自然（普通）归纳法不同但却同样极为有用的归纳法的帮助，演绎法是无法去创造出一种科学来的."应该说数学归纳法早就被明确提出并广泛应用了，它在数学中的地位已经完全确立.其实不然，仔细想来，数学归纳法的逻辑基础仍然是不明确的.数学归纳法是说“一个对1真的命题，如果它对任一数为真的，对其后继数也为真，则这个命题对于一切数都是真的.”人们不禁要问，何以断定每一个数都有后继数呢？这个问题不解决，自然也就谈不到数学归纳法的可靠性，所以归纳法的逻辑基础问题，与自然数理论密切联系.有趣的是，数的推展是由自然数向着有理数、实数、复数的方向进行的；然而，数的逻辑基础的奠定却循着一个相反的方向.自然数理论建立以后，与有理数数论一起建立起来的.1889年，意大利数学家皮亚诺发表《算数原理新方法》，他从不经定义的“集合”、“后继者”以及“属于”等概念出发，建立起关于自然数的五条公理，即：（1）1是自然数;（2）1不是任何自然数的后继者;（3）每一个自然数a 都是一个后继者;（4）若a 和b 的后继者相等，则a 和b 也相等;（5）（归纳公理）若有一个由自然数组成的集合S 含有1，又若当S 中含有一个数a 时，它一定也含有a 的后继者，则S 就含有全部自然数.这样，皮亚诺不仅以公理的形式保证了一个数的后继者的存在，而且为用数学归纳法推证的结果对全体自然数的有效性作了保证.皮亚诺把数学归纳法原理奠基在下述事实的基础上：在任一整数a 之后接着便有下一个a+1，从而从整数1出发，通过有限次这种步骤，便能达到选定的整数n.自然数理论的简历，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定，也是严格意义下的数学归纳法的进一步明确.对于数学归纳法的深入研究，重在运用它去解决或证明一些问题，在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用.例如在中学数学中的许多重要定理或结论都可以用数学归纳法来证明.比如等差数列、等比数列的通项公式以及二项式定理.当然，我们在重视它的应用的同时，也不要忘记它的审美价值和哲学价值.数学是自然界中所有美的集合，也是哲学辩证思维和逻辑思维的重要组成部分.5.数学归纳法在应用中要注意的问题5.1在应用第一数学归纳法时，只有第2步而无第1步的证明可能导致错误.例11.设n =k ，等式2+4+…+2n =2n +n +1成立，即：2+4+…+2k =2k +k +1（1）两边同时加上2(1)k +，则有：2+4+…+2(1)k +=2(1)k ++(1)k ++1成立，即：如果n =k 时，等式（1）成立，则n =k +1时，等式也成立.由此得出结论：对于一切自然数n ，等式（1）是成立，这是错误的.因为n =1时，有2=3的错误. 5.2在应用第一数学归纳法时，只第1步骤而无第2步骤的归纳证明可能导致错误的结论.例12.在函数()f n =2n +n +17中，由(1)f =19，(2)f =23，(3)f =29，…，(15)f =257等都是质数，便说：“n 为任何自然数时()f n =2n +n +17的值都是质数”便是错误的.因为：(16)f =216+16+17=16（16+1）+17=17（16+1）=217=289就不是质数如果缺少了第2步，则不论对于多少个自然数来验证命题()T n 的正确性，都不能肯定命题对所有自然数都正确.例如：歌德巴赫猜想“对于不小于6的偶数都可以表示成两个质数之和”，虽然对大量偶数进行了具体验证，但因缺少第2步归纳递推，所以仍只停留在归纳的第1步，至今只是个猜想而已.第2步在证明(1)T n +为真时，一定要用到归纳假设，即要由()T n 为真，推出(1)T n +为真；或由“0()T n ，0(1)T n +，…，(1)T k -为真，推出()T k 为真”的实质蕴含真正体现出来，否则不是数学归纳法证明.5.3并不是凡与自然数相关的命题()T n 都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明的.结 束 语数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，第一数学归纳法与第二数学归纳法在数学的证明中经常用到，而反向归纳法在数学的证明中不是很常见.通过数学归纳法去证明与自然数有关的命题，可降低证明过程中的复杂性，使推理过程简单、清晰、也保证了推理的严谨性.正如华罗庚先生在《数学归纳法》一书中提到的：“数学归纳法整数体现了人的认识从有限到无限的飞跃.”参考文献[1]吉米多维奇,数学分析习题集题解[M],济南,山东科学技术出版社,1983.[2]王仁发,代数与解析几何[M],长春,东北师范大学出版社,1999年9月第一版.[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编,《高等代数》（第三版）.高等教育出版社.[4]左孝凌等《离散数学》[M],上海科学技术文献出版社,1982.[5]卢开澄,卢明华,图论及其应用[M],北京,清华大学出版社1995.[6]KAWAHIGASHIY.Generalized Longo-Rehren subfactors and A-induction[J],Comm Math Phys,2002,26(2),269-287[7]苏淳《数学奥赛辅导丛书,漫谈数学归纳法》[M],中国科学技术大学出版社,2009.4Mathematical induction application in problem solvingAuthor: Guan guoce Supervisor: Zhang ShengAbstract Mathematical induction is a kind of common methods of proof.In the proof of many mathematics problems ,it has the function which cannot be replaced by other methods,it has broad prospects even in physics,biology and so on.This paper firstly state the theoretical basis of Mathematical induction and its form of expression,then mainly discuss the Mathematical induction in elementary mathematics,higher mathematics,discrete mathematics and the application of mathematical contest through some representatively typical examples.Finally give an account of the cognition to Mathematicalinduction in detail and the problem when using it.Keywords Mathematical induction sequence determinant discrete mathematics tree mathematical contest。
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1），由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题论文
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题摘要在处理数学问题时，经常涉及与任意自然数有关的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的，我们往往不能逐一验证，这时，数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法，为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢？因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法，华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候，第K+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确.”其实，数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明，他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题.关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。
是用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立。
数学归纳法一般分为以下几种常见的方式：（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立，（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
浅谈数学归纳法的应用数学毕业论文
I浅谈数学归纳法的应用摘要数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。
数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学以及在高等数学中的应用。
要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其原理和意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。
最后我们在通过用数学归纳法证明一些数学问题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
关键词：归纳法，数学归纳法，证明II the Application of Mathematical InductionABSTRACTMathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning has the very big help to us, but in the higher mathematics study and research is also a kind of important method, mathematical induction test the correctness of the formulas is also has a lot of applications. Mathematical induction is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities of natural number set mathematical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and combination, geometric field, has a wide range of applications, here we mainly combined with junior high school textbooks to detailed mathematical induction method in middle school mathematics and application in advanced mathematics. To use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important to use inductive hypothesis, using the induction hypothesis launch a guess that the most important. Finally we through use mathematical induction to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering "induction - guess - proof" theIII discovery of thinking method.KEY WORDS: induction method, mathematical induction, proof目录1 绪论 (1)1.1 引言 (2)1.2 数学归纳法的来源 (2)2 数学归纳法的概述 (4)2.1 常用数学证明方法 (4)2.1.1 演绎法 (4)2.1.2 归纳法 (4)2.2 数学归纳法基本原理及其其它形式 (5)2.2.1 数学归纳法概念 (5)2.2.2 数学归纳法的基本原理 (5)2.2.3 数学归纳法的其它形式 (7)3 数学归纳法的步骤 (9)3.1 数学归纳法的步骤 (9)3.2 三个步骤缺一不可 (10)4 数学归纳法的典型应用 (13)4.1证明恒等式 (13)4．2 证明不等式 (15)4．3 证明整除问题 (18)IV4.4 证明几何问题 (19)4.5 行列式与矩阵的证明 (19)5运用数学归纳法时容易出现的错误分析 (22)5.1 忽略了归纳奠定基础的必要性 (23)5.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 (24)6 应用数学归纳法时的一些技巧 (25)6.1 灵活选取“起点” (25)6.2 恰当选取“跨度” (26)6.3 选取合适的假设方式 (27)6.3.1 以“假设n k=时成立” (27)£时成立”代替“假设n k6.3.2 以“假设n k=+时成立”代替“假设n k=时成立”28n k=，17 数学归纳法的地位和作用 (30)致谢 (31)参考文献 (33)浅谈数学归纳法的应用11 绪论在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立，学生也往往满足于“k时命题成立，那么1+k时命题也成立”的证明方法。
数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用近年来，教育改革的发展越来越重视对学生学习能力和专业能力的培养。
新课标要求教师要创新自己的教学模式，从学生的角度进行教学，真正地提高学生的逻辑能力。
数学是一门重要的学科，需要学生有足够的分析能力和总结问题的能力，让他们可以全面掌握复杂的数学知识点。
数学归纳法是解决数学问题十分关键的一种方法，对于数学学习有着重要的意义。
本文分析了数学归纳法的概念，并总结了归纳法在数学学习中的应用。
标签：数学归纳法;应用数学归纳法;应用数学归纳法是应用十分广泛的一种数学学习方法，在不等式证明、数列通项以及其他证明题目中都有涉及。
数学归纳法是一种逻辑推理的方法，可以将归纳原理和学生的逻辑思维能力结合，不仅在证明题目中有涉及，在其他的数学领域内应用也十分广泛[1]。
在解题过程中运用数学归纳法，不仅可以降低题目的难度，简化计算的过程，还可以让学生深入理解数学的本质问题，提高学生解决数学问题的能力。
一、数学归纳法的概念数学归纳法是数学证明方法的一种，可以证明许多既定命题在自然数的范围内是否成立，且在数学的各个知识领域中都有涉及。
除自然数外，数学归纳法也可以证明一般良基结构[3]。
数学归纳法在应用中十分灵活，有利于学生数学学习。
最常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明当n=1时命题成立。
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。
这种方式的原理是首先要证明在某個起点数值时命题成立，然后证明数值的过程。
当这两点都得到证明以后，那么任意的数值都可以通过数学归纳法得出结论。
二、数学归纳法的应用（一）数学归纳法在数列中的应用数学归纳法在证明题目中运用十分广泛，在解决题目时要主动利用数学归纳法进行思考。
用数学归纳法证明：（3n+1）×7n -1（n∈N*）可以被9整除。
我们可以用两种方法进行证明。
第一种方法，令f（1）=（3n+1）×7n-1（n∈N*），（1）f（1）=（3×1+1）×7l-1=27 能被9整除。
数学归纳法的原理与应用
数学归纳法的原理与应用在数学的广袤领域中，数学归纳法是一种极为重要的证明方法。
它为我们提供了一种有力的工具，用于证明与自然数相关的命题。
数学归纳法的原理就像是攀登一个无穷的楼梯。
假设我们要证明对于所有的自然数 n，某个命题 P(n) 都成立。
首先，我们需要证明当 n＝1 时，命题P(1) 成立，这就好比是我们踏上了楼梯的第一步。
然后，我们要假设当 n ＝ k 时命题成立，也就是我们在某一级楼梯上站稳了脚跟，接着去证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立，这相当于从当前的楼梯迈向更高的一级，并且能保证这样的步伐可以一直持续下去。
那么，为什么通过这样两步就能证明对于所有的自然数 n，命题都成立呢？我们可以这样来理解。
第一步证明了命题在起始点（n ＝ 1）成立，而第二步则表明如果命题在某个自然数 k 成立，那么它在 k ＋ 1 时也一定成立。
这就像我们已经有了踏上第一步的能力，并且知道只要能站在某一级楼梯上，就一定能踏上更高的一级。
所以，按照这样的逻辑，我们就能够从 1 逐步到达 2，从 2 到达 3，以此类推，最终能够到达任意的自然数 n。
数学归纳法有两种常见的形式：第一数学归纳法和第二数学归纳法。
第一数学归纳法的步骤如前所述，先证明基础步骤（n ＝ 1 时命题成立），然后证明归纳步骤（假设 n ＝ k 时命题成立，推出 n ＝ k ＋ 1 时命题成立）。
第二数学归纳法则稍有不同。
它在基础步骤上通常也是证明 n ＝ 1时命题成立，但在归纳步骤中，假设对于所有小于或等于 k 的自然数 n，命题 P(n) 都成立，然后去证明 P(k ＋ 1) 成立。
数学归纳法在数学的各个分支中都有着广泛的应用。
在数列的研究中，经常会用到数学归纳法。
例如，证明等差数列和等比数列的通项公式。
我们先通过计算得出当n ＝1 时通项公式成立，然后假设当 n ＝ k 时通项公式成立，进而推导出当 n ＝ k ＋ 1 时通项公式依然成立。
数学归纳法在中学数学证明中的应用本科毕业论文(可编辑)
摘要数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,同时也是数学命题证明的一种数学思想.针对与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明,在中学数学课堂教学及证明中具有广泛的运用,本文对它在中学数学不同类型证明中作简要分析,目的在于培养学生观察能力、逻辑思维能力、形象思维以及解决整体性问题的能力.数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法,具有两种基本意义,首先数学归纳法是一种推理方法,称为归纳推理,它可以为我们提出猜想,为论证提供基础和依据.其次归纳是一种研究方法,归纳是一种又创造性的探索式思维方法,能开发智力,拓宽思路,引出猜想,它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用.数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式??不完全归纳和完全归纳.本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法:利用归纳法发现和提出数学猜想,利用归纳法发现问题的结论,运用归纳法发现解题途径等.关键词:数学归纳法;不完全归纳法;完全归纳法;中学数学;应用AbstractMathematical induction is a kind of reasoning methods, which is used to prove some propositions related mathematical natural number, it is also a kind of mathematical proposition proof mathematical thoughts. According to the concerned with natural number , algebraic inequalities identities, triangular, inequality series problem, geometry problems, division of sexual problems ,it has widely applied to the classroom teaching and proof in high school. As different mathematical inductions have different types of proof in middle school, this paper makes a brief analysis aims to cultivate the students' observation, logical thinking ability, visual thinking and solving integrity question ability. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking,leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.Keywords: mathematical induction;mathematics of middle school;application目录第1章绪论 1第2章数学归纳法的概述 12.1 数学归纳法的来源12.2 数学归纳法原理 22.3 数学归纳思想??从特殊到一般 22.4 数学归纳思想??递推思想 22.4.1 什么叫推理? 22.4.2 推理的形成 32.4.3 数学归纳法的形式 3第3章数学归纳法应注意的几个问题33.1 应认真领会数学归纳法的实质 43.2 与自然数有关的具体命题内容的理解 43.3 对数学归纳法原理的理解 4第4章数学归纳法在几种命题中的应用举例 54.1 运用数学归纳法证明数列问题 54.2 运用数学归纳法证明不等式问题 54.3运用数学归纳法证明几何问题 64.4运用数学归纳法证明整除性问题74.5运用数学归纳法证明三角恒等式问题8第5章数学归纳法在中学数学中的地位和作用8第6章结束语9致谢9参考文献9第1章绪论数学归纳法是数学中一种重要的证明方法,用于证明与自然数有关的命题.一旦涉及无穷,总会花费人们大量的时间与精力,去研究它的真正意义.数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念,自然也需要一个漫长的认识过程.一般认为,归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代.毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的.他由有限个特殊情况而作出一般结论,具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理.完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明.其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理.16世纪中叶,意大利数学家莫罗利科F?Maurolycus对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究.莫罗利科认识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否,若采取逐一代入数进行检验的方法,那不是严格意义上的数学证明,要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的[1],因为自然数有无穷多个.那么对于这类问题该如何解决呢?1575年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归推理”这个思想方法.法国数学家B?帕斯卡Pascal对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬.在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”--项展开式系数表,中国称为“贾宪i角性”或“杨辉三角形”等命题.“数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家A.德?摩根1838年所著的《小百科全书》的引言中.德?摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”,故赋予它“逐次归纳法”的名称.由于这种方法主要应用于数学命题的证明,德?摩根又提出了“数学归纳法”这个名称.虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了,一直以来它的逻辑基础都是不明确的.1889年意大利数学家皮亚诺G.Peano 建立了自然数的序数理论,将“后继”作为一种不加定义的基本关系,列举了自然数不加证明的五条基本性质,其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础.至此,数学归纳法有了严格的逻辑基础,并逐渐演变为一种常用的数学方法.我国著名的数学家华罗庚曾说:“把数学归纳法学好了,对进一步学好高等数学有帮助,甚至对认识数学的性质,也会有所裨益.”数学归纳法是数学中一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法,已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico 的Arithmeticorum libri duo 1575年[2].Maurolico 证明了前个奇数的总和是,最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当属于所有自然数时一个表达式成立.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在或时成立,这是递推的基础;第二步是假设在时命题成立,再证明时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限.这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或且)结论都正确[2].宏观来看,数学归纳法看似单一,可看作一个公式来证明命题,实则不然,它要求学生掌握必备的知识与技能,同时还要有一定的逻辑思维能力等.最后我们通过运用数学归纳法的了解和运用数学归纳法解决一些与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明,最终熟练掌握“归纳??猜想??证明[2]”这一思维方法,这也是中学数学课堂教学的一项重要内容.第2章数学归纳法的概述数学归纳法作为数学命题证明中的一种重要方法,有其独特的历史来源、基本原理、推理思想以及固定模式.2.1 数学归纳法的来源数学归纳法来源于皮亚诺(peano)自然公理[4],其用非形式化的方法叙述如下:(1)1是自然数;(2)每一个确定的自然数都有一个确定的后继数,记作或,也是自然数;(3)如果、都是自然数,那么 ;(4)1不是任何自然数的后继数;(5)如果一些自然数的集合S具有性质:11在中;2若在中,则也在中.那么公理中(5)就为数学归纳法提供了依据,保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理.2.2 数学归纳法原理不同的领域数学归纳法有不同的形式,在中学数学中,数学归纳法原理有以下两种基本形式[4]:1)第一数学归纳法设是一个关于正整数的命题,如果(1)成立奠基;(2)假设成立,可以推出成立归纳;那么,对一切大于等于的自然数都成立.2)第二数学归纳法设是关于自然数的命题,若(1),()成立奠基;(2)假设 ,成立,则成立归纳;那么,,成立.两种数学归纳法都是分两步完成,第一步是推理的过程,第二步是递推的依据.也就相当于是对一切自然数,命题成立的话,那么后面的一个自然数都满足命题成立[4].即在前一个命题成立的前提下,后一个命题就一定成立.这样依次递推下去就有了命题对任意(,成立.这也就将有限的问题转化为无限次的验证过程了,体现了数学归纳法由无限到有限的转化.2.3 数学归纳思想??从特殊到一般“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律,而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科,都将受到这一规律的制约.数学当然也不例外,同样要被纳入这一规律的模式之中.由于事物的特殊性中包括着普遍性,即所谓共性存在于个性之中,而相对于“一般”而言,特殊的事物往往显得简单、直观和具体,并为人们所熟知.另一方面,由于“一般”概括了“特殊”,“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质,因而当我们在处理问题的时候,若能置待解决的问题于更为普遍的情形中,进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式,不仅是可行的,而且是必要的.正因为如此,实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段.如勾股定理,多面体的面顶棱公式,前个自然数的立方和公式,二项展开式和杨辉三角形等,无一不是观察、实验和归纳的结果.伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学,同样需要观察、实验”.无独有偶,大数学家高斯也曾说过,他的许多定理都是靠归纳法发现的,证明只是一个补行的手续.纵观古今,科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史,更是一部论证史.数学的发展更是这样的.科学结论的得到大致包含以下几个阶段:观察、实践→推广→猜测一般性结论→论证结论.而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法.这与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上论证这一规律的一般性,这是人们认识自然的客观法则之一”的观点大致相同.2.4 数学归纳思想??递推思想[5]数学归纳法独到之处便是解决了有限与无限这一矛盾,即运用了有限个步骤解决无限多种数学情况,实现这一目的的工具就是递推思想.递推也就存在推理,既然是推理的过程,那就为数学归纳法奠定了基础,那推理是如何体现数学归纳法的呢?2.3.1 什么叫推理?由旧知识通过实践、推理、验证,得出新知识的过程就叫推理[5].2.3.2 推理的形成:1°大前提:认可一些事理2°小前提:和大前提相关的一些特殊事实3°结论:依据大小前提做出判断以上就是我们所说的三段论法,就推理思维方式的不同得出归纳法的定义,也就是有特殊到一般的推理就是数学归纳法.2.3.3 数学归纳法的形式对可数的事物要证其具有某种共有的性质,不可能一一加以证明,这时就需要用数学归纳法.原理[5]:将可数事物按自然数的系列排列为:,,若 1°具有性质;2°在该系列中有遗传性,即:当有性质时,必有性质,则自以后的都具有性质.步骤[6]:1°将研究对象按自然数系列对应的顺序排列;2°证明命题对系列的首项来说为真;3°假定命题对系列中任意指定项都为真;4°证明其后一项也为真;5°作出判断,得出结论.数学归纳法就推理证明的过程是很简单明了的,只要涉及与自然数有关的命题证明,很容易反应到数学归纳法的思想,可推理和证明的三段式理论真正掌握,还得有其独特的推理过程及逻辑结构.它要求学生掌握必备的知识与技能,在利用数学归纳法证题时,就存在各种技巧上的应用,同时数学归纳法的难点还是在于运用这种整体思想来穿插于其他不同类型的证明方法上[7].因此我们对于数学归纳法的理解和应用上还得给予足够的重视,证法单一,运用却十分广泛.第3章数学归纳法应注意的几个问题数学归纳法是中学数学中的一种重要的证明方法,它在中学数学中占有很重要的地位.对于初学者来说这部分内容学起来虽困难不大,它呈现出固定的程式,人们一般容易简单模仿,而在具体问题的运用中就会出现力不从心,错误百出,在应用数学归纳法证明题目时,就容易出现许多问题,值得注意.3.1 应认真领会数学归纳法的实质数学归纳法由“奠基”和“归纳”两步组成,在归纳过程中必须用到“归纳假设”.对数学归纳法递推思想证明与自然数有关的数学问题时,不仅要掌握一定的知识背景,同时还应具备一定的转化和技巧性[8],比如常用到得数学思想:放缩法、解析法等.现概括出数学归纳法推证步骤程序图[8]如图3-1:3.2 与自然数有关的具体命题内容的理解利用数学归纳法可以证明一类与自然数有关的数学命题,但不是只要与自然数有关的命题都可用数学归纳法求证,有时就具有可靠性的,“哥德巴赫猜想”的证明除我国数学家陈景润得以证明外,至今就没有哪位能用数学归纳法加以证明.同时,不是一切与自然数有关的命题用数学归纳法证就是最简捷,同样存在一定的局限性.图3-1 数学归纳法推证步骤程序图3.3 对数学归纳法原理的理解数学归纳法证明的第一步中的取值应该和题目条件确定的第一个自然数取值开始,有时不一定就是自然数1,还有情况下可能不只取一个,在一般的情况下,只要建立起递推的关系即可[11].在第二步中由归纳假设到推理的下一步是关键,这里我们需要注意的地方有两点:1°必须要用到归纳假设;2°在已有的归纳假设结论的基础上,根据具体问题和已有的知识链合理选取与问题相关的定理、公理、性质等加以论证.利用数学归纳法证明时,两个步骤缺一不可,即有第一步没有第二步或是只有第二步没有第一步的过程,对要验证的结论都不一定可靠,递推思想,先从一般开始入手,然后对有限的结论作假设,再推广到无限的假设进行验证,得出结论[6].形成以验证、假设、证明的过程,这样的推理验证才具有一定的可靠性.第4章数学归纳法在几种命题中的应用举例4.1 运用数学归纳法证明数列问题中学我们在学习数列时就与自然数有直接的关系,因此在求解数列问题的证明中就常常用到数学归纳法来证明.例1[9] 已知数列的通项公式,数列的通项满足,用数学归纳法证明.证明(1)当时,成立;(2)假设,则.即时命题成立.由(1)(2)得得证.例2 试证明:等差数列的前项和由下列公式表示:=+.证明:1、当时,公式是正确的,=.2、假设当时公式正确,即=+,当时,= .因此,对一切自然数的值,前项和公式都是成立的.点评在做此类型的题时容易出错的是:既然是任意的自然数,就是正确的,那么也是正确的,这很容易理解.可是一旦第二步假定出来,它就是一个固定的自然数了,所以说由的假设后,必须验证时命题也正确才可作出结论,这也就出现了数学归纳法问题的跨越,发生质的转变,也正是数学归纳法的精髓所在.4.2 运用数学归纳法证明不等式问题利用数学归纳法证明一些不等式的情形,常常需要我们利用一些等量转化或放大(缩小)不等式的方法来解决.例3 设=++…+ ,证明:.分析与自然数有关,考虑用数学归纳法证明.时容易证得,时,因为,所以在假设成立得到的不等式中同时加上,再与目标比较而进行适当的放缩求解.证明 (1)当时,=,+1=,=2 ,∴时不等式成立.(2)假设当时不等式成立,即:,当时,++,++= ,+=+++=.所以,即时不等式也成立.由(1)(2)得对所有的,不等式恒成立.例4[10] 设和.(n1)求证:证明:1、当时,因,,所以,即 ,命题显然成立.当时,由.可知命题也成立.2、假设当的时候命题成立,则当时, ,即,可以推出,故当时,命题成立,于是对于任意大于1的自然数,原不等式成立.点评用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题,注意适当选用放缩法.本题中分别将缩小成k+1、将放大成+的两步放缩是证时不等式成立的关键.为什么这样放缩,而不放大成+2,这是与目标比较后的要求,也是遵循放缩要适当的原则.4.3运用数学归纳法证明几何问题例 4[11] 平面内有条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这条直线把平面分成个部分.证明 (1当=1时,一条直线将平面分成两个部分,而,∴命题成立.2假设当时,命题成立,即条直线把平面分成个部分,当时,即增加一条直线,因为任何两条直线不平行∴与条直线都相交有个交点;又因为任何三条不共点,所以这个交点不同于条直线的交点,且个交点也互不相同.如此这个交点把直线分成段,每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加的平面分为.∴时命题成立.由(1),2)可知,当时,命题成立.4.4运用数学归纳法证明整除性问题例5[12] 当,求证:能被整除证明 1当时,能被整除,命题成立2假设时,命题成立,即能被整除当时,根据归纳假设,能被整除,又能被整除.∴ 11k+1+122k+1-1能被整除,即时,命题成立.由1,2命题时都成立.点评用数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质,若干个数(或整式)都能被某一个数(或整式)整除,则其和、差、积也能被这个数(或整式)整除.在由时命题成立,证明命题也成立时.要注意设法化去增加的项,通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧4.5运用数学归纳法证明三角恒等式问题例6[13] 用数学归纳法证明:,分析本题第一步的验证要取,在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式证明 1当时,右边左边,等式成立2假设当时,等式成立,就是.点评本题在第2步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式,即1,因此在用数学归纳法证明三角命题时,应针对时命题的特征,合理地选择和使用三角公式.证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法.4.6运用数学归纳法证明函数迭代问题一些比较简单的函数,它的n次迭代表达式,可以根据定义直接代入计算,归纳出一般规律后,再用数学归纳法予以证明.所以,直接求法的本质,就是数学归纳法.其中,关键是通过不完全归纳法,找出的一般表达式.例7 ,求.解:由定义,.,.一般地,由不完全归纳可猜测, .事实上,因为假定上式成立,则有,.所以,由数学归纳法知,对所有的自然数n都成立.例8 ,求.解:由定义,,,,一般地,可猜得,.假定上式成立,则有.由数学归纳法知,对所有自然数n都成立.第5章数学归纳法在中学数学中的地位和作用数学归纳法作为一种证明与自然数相关的论证方法,通常用来证明数学上的一些猜想,而这些猜想正式我们通过某种归纳方法所获得的.在中学数学证明中,它的地位和作用可从以下四个方面体现:1°从数学归纳法在教材中地位来看,教科书中多结论、公式、定理都可用数学归纳法来得到验证,如等比数列、等差数列以及求和公式,二项式定理的证明.一般与自然数有关的数学命题大多都可用数学归纳法来证.2°从给学生开阔视野的角度,在中学数学,数学归纳法主要用于证明题,给学生提供一个新的解题思路.3°从应试角度,数学归纳法是中学数学的必修课,也是考试必考的知识点,也是比较好拿分的知识点,还可以运用数学归纳法证明许多数学问题.4°从未来应用的角度,将来会涉及到计算机编程,数学归纳法是递归循环的简单形式,有利于学生今后理工科知识的理解和学习,为以后的高等代数等的学习打下良好基础.第6章结束语数学归纳法主要是针对一些与自然数的相关命题,所以在证明和自然数有关的命题中有着不可替代的作用,对于一些和自然数有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效.用数学归纳法证明数学问题时,要注意它的两个步骤缺一不可,第一步是命题递推的基础,第二步是命题递推的依据,也是证明的关键和难点,两个步骤各司其职,互相配合,同时,数学归纳法的证明步骤与格式的规范是数学归纳法的特征,如时的假设是第二步证明的“已知”步,证明时一定要用到它,否则就不是数学归纳法,证三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式以及三角的变换法.通过这些变换可以更容易的让命题得证.在证明时命题成立,要用到一些技巧,如:一凑假设,二凑结论,加减项、拆项、不等式的放缩、等价转化等,这些解题的技巧要在实践中不断总结和积累,总之要记住:“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写时莫忘掉”,这样我们才可以更好的运用数学归纳法.数学归纳法是一种重要的数学方法,也是中学数学的重难点之一,它在对于开阔眼界,训练推理能力等方面都有很大的帮助.在中学数学中,数学归纳法对于许多重要的结论,如等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明,进而可以加深对教材以及知识的理解.当然不仅在中学数学中,在进一步学习高等数学的过程中,数学归纳法也是一种不可或缺的方法.致谢首先,要感谢我的指导老师何方国.在毕业论文和设计的完成过程中,何老师在百忙之中查阅和修改本论文,给予了很多悉心的指导,对论文的修改建议很细致,给予了很多完善论文的启发.通过与何老师问题的交流和整个论文的完成实现的过程,我在各个方面都得到了很大的提高,在这里,学生真诚地对何老师表示深深的感激与谢意.其次,还要感谢我的那帮可爱的同学们,在设计过程他们也给予了很多帮助,给予了我很多新奇的创意和开阔的思路,在此向她们表示感谢.参考文献[1]CajoriF.Orionof the Name“MathematicalInduction”[J].American Mathematical Monthly,1918,255:197,200.[2]史久一,朱梧?著.化归与归纳?类比?猜想.大连理工大学出版社,2008.[3]BusseyWH.The Ofin of Mathematical Induction[J].AmericanMathematicalMonthly,1917,245:200?202.[4] 蒋文蔚.数学归纳法[M].北京:科学出版社,2002:12-25.[5] 张奠宙.中国数学双基教学[M].上海:教育出版社,2006:15-36.[6] 吴谦.中学数学中常用的思想方法[J].内蒙古电大学刊,2008,34: 94-95.[7] 张黎明.数学归纳法的应用与技巧[J].民族师范学院学报,2001,51:44-46.[8] 吴厚荣.中学阶段《数学归纳法》的理解[J].文化与教育技术,2010,96:247-249.[9] 张玉芹.数学归纳法教学的几点思考[J].中学理科教学,1999,33:36-36[10]吴志翔著.证明不等式.河北人民出版社,1982[11] 郭兆高.数学归纳法在中学数学解题中的妙用[J].科技信息,2009,84:219-219.[12] 夏兴国.数学归纳法纵横法[J].科学技术出版社,2004,62:3-13.[13] 刘金山.数学归纳法证题时应注意的几个问题[J].数学教学研,1999,71:8-10。
浅谈数学归纳法及其应用
浅谈数学归纳法及其应用学生姓名:XXX（XXX班）指导老师:XXX摘要:数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一,在数学各个分支里都有广泛应用,利用数学归纳法可以解决比较复杂的问题.本文从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的思想渊源、基本原理及常见形式进行了分析总结,介绍了数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学、概率论、图论等学科中的应用.关键词:数学归纳法;渊源;原理;表现形式;理论基础及其证明;应用On the Mathematical Induction and its ApplicationStudent: X XXInstructor: X XXAbstract:Mathematical induction is one way of the most basic and important mathematical proof, and has a wide application in several mathematics. Using the mathematical induction can solve the complicated problem. This paper begins from the overall structure of mathematical induction. Then mathematical induction on ideological origin, basic theory and common forms are analyzed and summarized. It is introduced by the application of mathematical induction in basic mathematics, discrete mathematics, probability theory, graph theory and other subjects.Key words: Mathematical induction;Origin;Theory;Manifestations;Theoretical foundation and its proof;Application目录1 数学归纳法的思想渊源 (1)2 数学归纳法的原理 (2)3 数学归纳法 (3)3.1 数学归纳法的具体表现形式 (3)3.2 两种归纳法之间的关系 (4)4 数学归纳法的理论基础及其证明 (4)4.1 第一数学归纳法的理论基础及其证明 (4)4.2 第二数学归纳法的理论基础及其证明 (5)5 数学归纳法在各门学科中的简单应用 (6)5.1 数学归纳法在初等数学中的应用 (6)5.2 数学归纳法在高等代数中的应用 (8)5.3 数学归纳法在离散数学方面的应用 (11)5.4 数学归纳法在高等数学中的应用 (12)5.5 数学归纳法在图论中的应用 (14)5.6 数学归纳法在概率论方面的应用 (14)6 结束语 (15)参考文献 (16)1 数学归纳法思想的渊源追根溯源数学归纳法可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹,例如,印度婆什迦罗（Bashkiria 1114～约1185）的“循环方法”和欧几里得素数无限的证明中都可以找到这种踪迹.欧几里得《几何原本》第九卷命题20为:质数比任何指定数目都要多（注:质数也称为素数）,即:素数无穷.欧几里得对这个命题的证法是经典的.他假定素数是有限的,不妨设这有限的n 个素数为n p p p ,,,21 .然后作自然数121,,,+n p p p 并证明还存在新的素数,从而得到矛盾.因为若所作的数是素数,则它比全部给出的n 个素数都要大,因此是一个新的素数,这与假设有n 个素数矛盾;又若它不是素数,它必能被一素数整除,但它被已知全部的n 个素数n p p p ,,,21 .除都有余数1,故整除121,,,+n p p p 的素数必定是这n 个素数以外的新的素数,从而又与假设有n 个素数的条件矛盾.欧几里得素数无穷命题即是说,素数的个数与自然数的个数一样多.上述证明可以这样“翻译”,首先,至少有一个素数存在,因为2就是素数,这一点在欧几里得的证明中没有指明;此外,上面欧几里得的证明表明,假如有n 个素数,那么就必定有1+n 个素数存在.也就是按现代数学归纳法的要求,证明了从n 到1+n 的递推关系,即完成了数学归纳法证明的关键性一步.但欧几里得没有使用任何明显的术语与现在的推理格式,因此,我们只能认为它蕴涵了现代数学归纳法的痕迹.现代形式的数学归纳法被很多人认为是法国数学家、物理学家和哲学家帕斯卡(B •Pascal,错误!未找到引用源。
数学与应用-数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用摘要：在数学这门学科的发展过程中，涌现出很多十分常用的数学证明方法，本文所研究的数学归纳法就是这样一种专门用于证明命题正确性的数学方法。
它伴随着数学、高等代数、几何学和概率论等数学学科的不断发展而不断的应用。
本文不仅详尽的描述了数学归纳法的形成过程和第一、第二数学归纳法，更是用相应的实例进行解析说明在各类型题目中数学归纳法的具体应用。
关键词：数学归纳法；历史；原理；证明；应用Mathematical Induction and Its ApplicationAbstract:Key words:Mathematical induction；history；prove；application目录1 绪论 (1)2 数学归纳法的历史 (1)3 数学归纳法的原理 (2)4 数学归纳法的应用 (3)4.1 数学归纳法在初等代数中的应用 (3)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (7)4.3 数学归纳法在几何方面的应用 (8)4.4 数学归纳法在概率论方面的应用 (8)5 结束语 (9)参考文献 (10)致谢 (10)1、绪论数学归纳法在所有的数学证明技巧中不但是最根本还是最具有代表性手法其一，等同还是一种特别的求证方法，并在数学的不同部分中都有着普遍的运用。
掌握并娴熟使用这种论证手段,不但可以协助大家以从中领会严密的数学逻辑思维的特点，还有就是在掌握相关自然数的命题以后, 还能够使我们更有效率的处理相关事物。
对数学归纳法的研究和分析，一定要借助于某些具有代表性的案例进行分析，以此可以体现出数学归纳法的基本原理和应用。
2、数学归纳法的历史伴随社会的发展，我们可以看到早在印度和古希腊时代就有了数学归纳法的踪迹，比如婆什迦罗的“循环方法”、还有毕达哥拉斯对点子数的讨论。
毕达哥拉斯由限制个异常状况而得出寻常结果,具备鲜明的论证流程,但这部分推断只是大略的陈列,并不曾牵涉综合结论,所以他就不是完整的归纳推测。
数学归纳法在实际问题中的应用
数学归纳法在实际问题中的应用数学归纳法是一种重要的证明方法，它在解决实际问题中起着关键作用。
本文将探讨数学归纳法在实际问题中的应用，并通过具体案例来说明其思路和效果。
首先，让我们了解一下数学归纳法的基本原理。
数学归纳法是一种证明方法，用于证明一系列的命题。
它主要分为两个步骤：基本步骤和归纳步骤。
基本步骤要证明命题在某个初始情况下成立，而归纳步骤要证明如果某一情况下命题成立，那么在下一情况下它也成立。
通过这两个步骤的循环迭代，可以得出命题在所有情况下都成立的结论。
数学归纳法在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在计算机科学中，我们经常需要证明某个算法在所有输入情况下都能得到正确的结果。
这时，可以使用数学归纳法来证明算法的正确性。
首先，我们可以证明算法在最简单的情况下，如输入为空时，能得到正确结果。
然后，我们假设算法在某一种情况下能得到正确结果，然后通过归纳步骤证明在下一种情况下也能得到正确结果。
通过这样的推理，我们可以得出算法在所有情况下都能得到正确结果的结论。
另一个实际问题中的应用是在数列或序列的求和问题中。
例如，考虑一个数列1, 2, 3, 4, ..., n，我们需要证明这个数列的和为n(n+1)/2。
使用数学归纳法，我们首先证明在最简单的情况下，当n=1时，数列的和为1。
然后，假设当n=k时，数列的和为k(k+1)/2，然后通过归纳步骤证明当n=k+1时，数列的和也为(k+1)(k+2)/2。
通过这样的推理，我们可以得出结论，对于任意正整数n，数列的和都等于n(n+1)/2。
在实际问题中使用数学归纳法时，我们需要合理选择基本步骤和归纳步骤，并确保它们能够覆盖所有情况。
我们还需要注意证明的严谨性，确保每一步的推理都是准确无误的。
总结起来，数学归纳法在实际问题中的应用非常广泛，它可以用于证明算法的正确性、数列求和等各种问题。
通过合理选择基本步骤和归纳步骤，并确保推理的准确性，我们可以在实际问题中有效地应用数学归纳法来解决各种复杂的问题。
数学归纳法原理(本科论文)
目录中文摘要英文摘要1 引言 (1)2 数学归纳法原理 (1)2.1 良序原理 (1)2.2 数学归纳法 (2)2.3 第二数学归纳法 (3)2.4 数学归纳法的有效性 (4)3 数学归纳法应用举例 (4)3.1 数学归纳法在解题和证明中的一些应用 (4)3.2 数学归纳法在递归定义上的应用 (10)3.3 数学归纳法在递归算法上的应用 (13)参考文献 (17)数学归纳法原理及其应用举例摘要：数学归纳法原理是一种有效的证明方法.本文将介绍数学归纳法及其等价形式，并证明为什么它们是有效的.特别地，我们将用大量各种不同类型的例子来说明其应用。
这些例子有的来自于集合论，数论，有的来自于计算机科学等.关键词：良序原理，数学归纳法，第二数学归纳法，递归算法.Abstract: The principles of mathematical induction provide effective ways for valid arguments in mathematical proofs. This thesis will present these principles and their other equivalent forms, and will show why they work and particularly will show how they work by examples from diversified settings or areas of mathematics, e.g. set theory, number theory, computer algorithm, and so on.Key words:The well-ordering principle, the first principle of mathematical induction, the second principle of mathematical induction, recursive algorithm.1 引言首先使用数学归纳法的是意大利数学家和工程师马奥罗修勒斯（Francesco Maurocyulus ，1494-1575），他在1575年的著作《算术》（Arithmetica ）中，用数学归纳法证明了前n 个正奇数之和是2n .帕斯卡（Blaise Pascal,1623-1662）在他关于算术三角形（现在称为帕斯卡三角形）的著作中使用了归纳法.在他1653年的著作《论算术三角形》（Traite du triangle arithmetique ）中，在证明用来定义他的三角形的基本性质时，帕斯卡清晰地解释了归纳法.德摩根在1838年的一篇关于证明方法的论文中，把这个原理命名为“数学归纳法”.前n 个正奇数之和的公式是什么？对1n =，2，3，4，5来说前n 个正奇数之和是11=，134+=，1359++=， 135716+++=，1357925++++=根据这些值，有理由猜测前n 个正奇数之和是2n .假如事实上这个猜测是正确的，我们就需要一种方法来证明这个猜测是正确的.数学归纳法是证明这种类型的断言的极为重要的证明技术.2 数学归纳法原理2.1 良序原理所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数（或计算值）：1,2,3,4,5...一一对应的过程.我们用N 表示自然数这个无限集合，这里值得注意的是关于N 的定义并未达成共识，有些数学家把0也归入N .但这两种不同定义并不会引起太大的冲突，哪一种使用方便即可选择哪一种.自然数N 的一个基本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个关于N 的公理.对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题.为了对一个系统（这里指自然数）进行推理，首先需要对该系统做一些假设.尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出，但它应该是“合理的”和“显而易见为真的”.良序原理：自然数集N 的每个非空子集都有一个最小元素.显而易见，自然数N 的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，即使对于不易直接定义的集合，该定理依然有效.例如，当x 和y 可取任意整数时，考虑1228x y +所表示的所有自然数集合.从定义看该集合的范围并不明显，但是根据良序原理，由于该集合非空（注意这很重要），集合中必有一个通过该方式表示的最小自然数.（当然，求具体的最小自然数的值是另外一回事.注意良序原理保证有一个最小数存在，但绝对没说如何去计算它.）例2.1.1 用良序原理证明算法的正确性.整除算法说：若a 是整数而且d 是正整数，则存在唯一的整数q 和r 满足0r d ≤<和a dq r =+.证明 设S 是形如a dq -的非负整数的集合，其中q 是整数.这个集合非空，因为dq -可以任意大（取q 是绝对值很大的负整数）.根据良序性，S 有最小元0r a dq =-.整数r 非负而且r d <.若不是这样，则S 里存在更小的非负整数，即0(1)a d q -+.为了看出这一点，假设r d ≥.因为0a dq r =+，所以00(1)0a d q a dq d r d -+=--=-≥.因此，存在满足0r d ≤<的整数r 和q .证明q 和r 都是唯一的，此处略.良序原理允许我们证明最有效的一个证明方法，即数学归纳法定理. 2.2 数学归纳法 对任何正整数n ，215811...(32)(37)2n n n +++++=+因为存在无限多个正整数，所以，在证明这个断言时，不能通过对n 的每个值逐一验证等式是否成立.有一种规范的方法可用来证明命题对所有的正整数都成立，这种方法称为数学归纳法原理.定理 2.2.1 假设要证明的命题能写成0()n n P n ∀≥，其中0n 是某个固定整数，即：假设希望证明对所有整数0n n ≥都有()P n 为真，那么如下方法可以说明如何做到这一点.假设（a ）0()P n 为真,和(b)如果对任一0k n ≥只要()P k 为真，那么(1)P k +也一定为真.于是对所有0n n ≥，()P n 为真.这种方法称作数学归纳法原理.因此，用数学归纳法原理证明命题：0()n n P n ∀≥为真，必须首先用直接法证明第一个命题0()P n 为真，称其为归纳法的基础步骤，并且通常来讲该步是非常容易的.然后必须证明对0n n ≥的任何选择，()(1)P k P k ⇒+是一个重言式.因为一个蕴涵为假的惟一情况是如果前提为真而结论为假，做这一步通常是证明如果()P k 为真，那么(1)P k +也一定为真.注意，它同假设对某个k 值()P k 为真不一样.这一步称作归纳步骤，并且某些工作通常要求证明蕴涵恒为真.2.3 第二数学归纳法与上述数学归纳法略有不同的形式在某些证明当中更易于使用.第二数学归纳法或强归纳法中，其归纳步骤是证明000()(()(1)(2)...())(1)k P n P n P n P k P k ∀∧+∧+∧∧⇒+是一个重言式.同前面一样，需要检验的唯一情况是如果每个()P j ，0,...,j n k =为真，那么(1)P k +为真.强归纳法与数学归纳法是等价的，在一个证明中使用哪一个取决于方便性.例 2.3.1 证明：每个正整数1n >能惟一地写成1212...s a a a s p p p ，其中i p 是素数且12...s p p p <<<.证明（用强归纳法）基础步骤 这里02n =，显然(2)P 为真，因为2是素数.归纳步骤 使用(2)P ，(3)P ，…，()P k 证明(1)P k +：1k +能惟一地写成1212...s a a a s p p p ，其中i p 是素数且12...s p p p <<<.需要考虑两种情况：若1k +是一个素数，则(1)P k +为真.若1k +不是素数，则1k lm +=，2l k ≤≤，2m k ≤≤.利用()P l 和()P m ，得1k +=lm =121212121212.........s u s b c a b b c c a a s u s q q q r r r p p p =，其中每个i j p q =或k r ，12...s p p p <<<.若i k j p r q ==，则i j k a b c =+，否则i j p q =且i j a b =或者i k p r =且i k a c =.因为l 和m 的因子分解是惟一的，所以1k +的因子分解也是唯一的.2.4数学归纳法的有效性为什么数学归纳法是一种有效的证明方法？原因在于良序原理.假定知道(1)P 为真，而且对所有正整数n 来说命题()(1)P n P n →+为真.为了证明对所有正整数来说()P n 都为真，假定至少存在一个()P n 为假的正整数.那么使()P n 为假的正整数S 非空.因此，根据良序性，S 有一个最小元，把它表示成k .可以知道k 不是1，因为(1)P 为真.因为k 是正的而且大于1，所以1k -是一个正整数.另外，因为1k -小于k ，它不属于S ，所以(1)P k -必然为真.因为蕴涵式(1)()P k P k -→也为真，所以实际情况必然是()P k 为真.这与对k 的选择相矛盾.因此对每个正整数n 来说()P n 必然为真.3 数学归纳法应用举例3.1 数学归纳法在解题和证明中的一些应用定理3.1.1 每一个大于1的整数要么是素数，要么是若干素数的乘积.证明：设n 为大于1的整数.证明将采用强数学归纳法原理，对n 作归纳.因为2是一个素数，所以命题对2n =是正确的.假设对某个整数1k >，当2,3,...,n k =时，命题为真.下面要证明1k +要么是素数，要么是若干素数的乘积.如果1k +是素数，那么证明已经完成.所以，假设1k +不是素数.于是，存在一个既不是1也不是1k +的正整数p ，p 整除1k +.所以，1k q p+=是整数，且1q ≠（否则1p k =+），1q k ≠+（否则1p =）.因此，p 和q 都是2到k 之间的整数（含2和k ）.所以可以对p 和q 运用归纳假设，即p 和q 不是素数就是若干素数的乘积，从而1k pq +=是若干素数的乘积.这就完成了归纳步骤，因此完成了定理的证明.注意，定理3.1.1虽然说明了大于1的正整数不是素数就是素数的乘积，但这个定理并不能帮助判断是两种情形中的哪一种.特别地，定理3.1.1也不能实际地找到特定的正整数的素数因子.例3.1.1 实验室里有容积相同的量杯盛着各种不同的液体，此外还有一只容积相同的空杯.证明：可以通过有限次混合手续，使它们成为成份相同的溶液，此外还余一个空量杯.分析：表面上看本题与数学归纳法没有联系，但若我们引入一个整数参数（原有溶液的杯数），我们就可以考虑应用数学归纳法.事实上，不妨设有n 杯各种不同的溶液，显然1n =时命题成.立假设n k =时命题成立,即k 杯溶液可以通过有限次混合手续，使它们成为成份相同的溶液.此外还有一个空杯，于是当再增加一杯时，我们只需把k 杯已混合好的溶液各倒11k +杯到空杯中，最后拿增加的那杯溶液去把上述1k +杯液体满，这样我们便得到1k +杯成份相同的液体，此外还有一个空杯，也就是说1n k =+时命题也成立.上面的分析告诉我们，很多与自然数n 有关的问题都可采用数学归纳法，而一个具体的问题能否用数学归纳法，以及取什么做n ，则取决于能否递推.只要有递推的希望，就不妨一试.例3.1.2 设1A ，2A ，3A ，…，n A 是任意n 个集合，用数学归纳法证明11n ni i i i A A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭（这是德•摩根定律的推广形式.）设()P n 是谓词：对任意n 个集合等式成立.用数学归纳法需证明，对所有1n ≥，()P n 为真.证明 基础步骤 (1)P 是命题11A A =，这显然成立. 归纳步骤 用()P k 去证明(1)P k +.(1)P k +的左边是1211...n i k k i A A A A A +=⎛⎫= ⎪⎝⎭121(...)k k A A A A += 的结合性质121(...)k k A A A A += 两个集合的德•摩根定律11k i k i A A +=⎛⎫= ⎪⎝⎭用()P k11k i i A +==(1)P k +的右边因此，蕴涵()(1)P k P k ⇒+的一个重言式，由数学归纳法原理可知对所有1n ≥，()P n 为真.例3.1.3 本例将要证明：对于任何正整数n ，如果从22n n ⨯的棋盘（每行和每列有2n 个方格）中移去任何一个方格，则剩下的方格可以用若干个L 形构件覆盖，每个L 形构件覆盖3个方格，如图1所示.图一证明 如图2所示，每个1122⨯的棋盘移去一个方格后，可被一个L 型构件覆盖.因此，结论对于1n =是正确的.现在假设对于某个正整数k 结论是正确的，即每个22k k ⨯的棋盘移去一个方格后，可用若干个L 形构件覆盖.下面要证明：任何一个1122k k ++⨯的棋盘移去一个方格后，可用L 形构件覆盖.如果1122k k ++⨯的棋盘在横向和纵向上都平分为两部分，就得到4个22k k ⨯的棋盘.其中的一个22k k ⨯被移去了一个方格，而另外3个是完整的，如图所示.从每个完整的22k k ⨯的棋盘中移去那个位于原1122k k ++⨯的棋盘中心位置的方格，如图3所示.由归纳假设知道，图4所示的所有4个移去了一个方格的22k k ⨯的棋盘都可以被L 形构件覆盖.因此，再用一个L 形构件覆盖原1122k k ++⨯的棋盘中央的3个方格，就可以用L 形构件覆盖原来的移去了一个方格的1122k k ++⨯的棋盘.这就证明了1k +的情况.根据数学归纳法原理，对每一个正整数n ，任何去掉了一个方格的22n n ⨯的棋盘都可以用L 形构件覆盖.图二图三 图四定理 3.1.2 设S 是有n 个元素的集合，其中n 是非负整数.如果r 是一个整数，0r n ≤≤，那么恰好含有r 个元素的S 的子集的数目是!!()!n r n r -.证明 证明将采用归纳法，对n 作归纳，并从0n =开始.如果0n =，那么S 是空集，并且r 必定是0.而φ有且仅有一个含0个元素的子集，即它本身，而且，因为0!1=，所以!0!1!()!0!0!n r n r ==-.所以公式对0n =是成立的.现在假设公式对某个整数0k ≥是成立的.设S 是含有1k +个元素的集合，比如说121{,,...,,}k k S a a a a +=.现在要统计S 恰好含有r 个元素的子集的数目，这里01r k ≤≤+.显然，含有0个元素的S 的子集只有Φ.类似地，也只有一个S 的子集含有1k +个元素，即S 本身.对这两种情况，公式都给出了正确的值，因为(1)!10!(10)!k k +=+-，(1)!1(1)![1(1)]!k k k k +=++-+.设R 是S 的恰好包含r 个元素的任意子集，这里1r k ≤≤.有两种情况需要考虑. 第一种情况：1k a R +∉.这时R 是12{,,...,}k a a a 的有r 个元素的子集.根据归纳假设，这样的子集有!!()!k r k r -个.第二种情况：1k a R +∈.在这种情况下，如果从R 中拿掉1k a +，就得到12{,,...,}k a a a 的含有1r -个元素的子集.根据归纳假设，这样的子集有!(1)![(1)]!k r k r ---个.把这两种情况合起来，看到S 共有!!!()!(1)!(1)!k k r k r r k r +---+个含有r 个元素的子集.而这个值等于!(1)!!()!(1)(1)!(1)!k k r k rr k r k r r r k r -++--+--+!(1)!!(1)!!(1)!k k r k rr k r r k r -+=+-+-+!(1)!(1)!k k r r r k r -++=-+(1)!!(1)!k r k r +=-+在公式中，用1k +替换n 就得到这个数，因此公式对于1n k =+是正确的.所以，根据数学归纳法原理，公式对所有的非负整数n 都是正确的.例3.1.4 证明：可以仅用4分和5分的邮票来组成等于或超过12分的每种邮资. 证明 将要用数学归纳法原理来证明这个结果.然后给出用数学归纳法第二原理的证明.设()P n 是命题：可以用4分和5分的邮票来组成n 分邮资.首先使用数学归纳法原理.基础步骤：可以用3个4分邮票来组成12分邮资.归纳步骤：假定()P n 为真，所以可以用4分和5分邮票来组成n 分邮资.若至少用了一个4分邮票，则用一个5分邮票代替它，就组成1n +分邮资.若没有用任何4分邮票，则仅用了5分的邮票来组成n 分邮资.因为12n ≥，所以至少用了3个5分邮票.所以4个4分邮票来代替3个5分邮票，就组成了1n +分邮资.这完成了归纳步骤以及根据数学归纳法原理的证明.其次，将要使用数学归纳法的第二原理.将要证明可以组成12，13，14和15分邮资，然后证明如何对15n ≥来说从3n -分邮资得出1n +分邮资.基础步骤：可以分别用3个4分邮票，2个4分邮票和1个5分邮票，1个4分邮票和2个5分邮票，以及3个5分邮票，来组成12,13,14和15分邮资.归纳步骤：设15n ≥.假定可以组成k 分邮资，其中12k n ≤≤.为了组成1n +分邮资，用组成3n -分邮资的邮票加上一个4分邮票.这完成了归纳步骤以及根据数学归纳法第二原理的证明.注意 例3.1.4说明如何让数学归纳法第二原理适应于处理某些情形，其中仅对充分大的n 值来说归纳步骤才是有效的.具体说来为了证明对,1,2,...n k k k =++来说()P n 为真，其中k 是整数，首先证明(),(1),(2),...,()P k P k P k P l ++都为真（基础步骤），然后证明对每个整数1n ≥来说[()(1)(2)...()](1)P k P k P k P n P n ∧+∧+∧∧→+为真（归纳步骤）.例如，例3.1.4解答里的第二个证明的基础步骤证明(12),(13),(14)P P P 和(15)P 都为真.需要分别地证明这些情形，因为归纳步骤证明[(12)(13)...()](1)P P P n P n ∧∧∧→+，它仅当15n ≥时才成立.在下面将要讨论数学归纳法的另外两个重要应用.第一个应用涉及到定义序列而不给出明确的项公式.第二个应用涉及到证明计算机程序是正确的.3.2 数学归纳法在递归定义上的应用3.2.1 引言定义3.2.1 有时难以用明确的方式来定义一个对象.不过，用这个对象来定义它自身，这也许是容易的.这种过程称为递归.可以用递归来定义序列、函数和集合.例如，对0,1,2,...n =来说用2n n a =来给出2的幂的序列.不过通过给出这个序列的第一项，即01a =，以及从该序列前面一项来求当前项的规则，即对0,1,2,...n =来说12n n a a +=，也可以定义这个序列.3.2.2 递归地定义函数定义3.2.2 为了定义以非负整数集合作为其定义域的函数，就要(1)规定这个函数在0下处的值.(2)给出从较小的整数处的值来求出当前的值的规则.这样的定义称为递归定义或归纳定义.许多函数都可以利用它们的递归定义来研究.阶乘函数就是一个这样的例子.例3.2.1 给出阶乘函数()!F n n =的归纳定义.解 可以通过规定阶乘函数的初值，即(0)1F =，并且给出从()F n 求出(1)F n +的规则，来定义这个函数.要得出这个结果，注意通过乘以1n +就从!n 计算出(1)!n +.因此，所需要的规则是(1)(1)()F n n F n +=+.为了从在例7中求出的递归定义来确定阶乘函数的一个值，比如(5)5!F =，有必要多次使用说明如何用()F n 表示(1)F n +的规则：(5)5(4)54(3)543(2)5432(1)F F F F F ==⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅54321(0)54321120F =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=一旦(0)F 是出现的唯一的函数值，就不需要任何更多的归约.剩下来要做的唯一事情是把(0)F 的值插入到公式里.递归地定义的函数是严格定义的.这是数学归纳法原理的一个后果.例3.2.2 给出0nk k a =∑的递归定义.解 这个递归定义的第一步是 000k k a a ==∑,第二步是 1100n nk k n k k a a a ++===+∑∑.在函数的某些递归定义里，规定了函数在前k 个正整数处的值，而且给出了从一个较大的整数之前的部分或全部k 个整数处的函数值来确定在该整数处的函数值的规则.从数学归纳法第二原理可以得出结论说这样的定义产生严格定义的函数.例3.2.3 斐波那契数012,,,...f f f 是用等式00f =，11f =，以及对2,3,4,...n =来说 12n n n f f f --=+来定义的.斐波那契数2f ，3f ，4f ，5f ，6f 是什么？解 因为这个定义的第一部分说00f =和11f =，所以从这个定义的第二部分得出210101f f f =+=+=321112f f f =+=+=432213f f f =+=+=543325f f f =+=+=654538f f f =+=+=可以用斐波那契数的递归定义来证明这些数的许多性质.在下一个例子里给出一个这样的性质.例3.2.4 证明：每当3n ≥时就有2n n f α->，其中(1/2α=.证明 可以用数学归纳法第二原理来证明这个不等式.设()P n 是命题：2n n f α->.想要证明每当n 是大于或等于3的整数时就有()P n 为真.首先，注意到32f α<=，24(3/23f α=<=所以(3)P 和(4)P 都为真.现在假定()P k 为真，即对所有满足3k n ≤≤的整数k 来说有2k k f α->，其中4n ≥.必须证明(1)P n +为真，即11n n f α-+>.因为α是210x x --=的解（二次方程求根公式说明这一点），所以得出21αα=+.因此，12333323(1)1n n n n n n n αααααααααα-------=⋅=+⋅=⋅+⋅=+根据归纳假设，若5n ≥，则得出31n n f α-->，2n n f α->因此就有23111n n n n n n f f f ααα---+-=+>+=由此得出(1)P n +为真，证毕.注意 归纳步骤证明了每当4n ≥时，从对3k n ≤≤来说()P k 为真的假定就得出(1)P n +.因此，归纳步骤没有证明(3)(4)P P →.所以，不得不单独证明(4)P 为真.3.2.3 递归地定义集合递归定义常常用来定义集合.当这样做时，给出初始的一些元素.然后给出用来从已知属于集合的元素来构造集合的其他元素的规则.以这种方式描述的集合是严格定义的，用它们的递归定义可以证明关于它们的定理.下面是集合的递归定义的一些例子.例3.2.5 设S 是用3S ∈ ；若x S ∈且y S ∈，则x y S +∈来递归地定义的.证明：S 是被3整除的正整数集合.（注意在这个定义里隐含着假定：所有属于S 的东西都是用S 的递归定义里的两个命题来生成的.）证明 设A 是被3整除的所有正整数的集合.为了证明A S =，必须证明A 是S 的子集而且S 是A 的子集.为了证明A 是S 的子集，必须证明被3整除的每个正整数都属于S .将要用数学归纳法来证明它.设()P n 是命题：3n 属于S .基础步骤成立，因为根据S 的递归定义的第一部分，313⨯=是属于S 的.为了证明归纳步骤，假定()P n 为真，即3n 属于S .因为3n 属于S 而且因为3属于S ，所以从S 的递归定义的第二部分得出333(1)n n +=+也属于S .为了证明S 是A 的子集，使用S 的递归定义.首先，该定义的基础步骤规定3属于S .因为331=⨯，所以所有在这个步骤里被规定属于S 的元素都被3整除.为了完成这个证明，必须证明所有用该递归定义的第二部分所生成的属于S 的元素都属于A .这包括证明每当x 和y 都是S 中的元素并且假定它们都属于A 时，就有x y +属于A .现在若x 和y 都属于A ，则可以得出3|x 和3|y .由整数的可数性的性质，得出3|()x y +，证毕.在上例里集合的递归定义是典型的.首先，给出一组初始元素.其次，给出从已知属于集合的元素来生成新元素的规则.在定义里隐含着只有在初始元素中列出的元素，或者可以用构造新元素的规则来生成的那些元素才属于这个集合.3.3 数学归纳法在递归算法上的应用3.3.1 引言有时可以把带有具体的一组输入的问题的解归约到带更小的一组输入的相同问题的解.例如，求两个正整数a 和b 的最大公因子的问题，其中b a >，就可以归约到求一对更小的整数（即mod b a 和a ）的最大公因子的问题，因为gcd(mod ,)gcd(,)b a a a b =.当可以实现这样的归约时，就可以用一系列归约来求出原问题的解，直到把问题归约到解是已知的某种情形为止.例如，对求最大公因子来说，归约持续到两个数中较小的一个为零，因为当0a >时，gcd(,0)a a =.定义3.3.1 若一个算法通过把问题归约到带更小的输入的相同问题的实例，来解决原来的问题，则这个算法称为递归的.例3.3.1 把线性搜索算法表达成递归过程.解 为了在搜索序列12,,...,n a a a 里搜索x ，在算法的第i 步比较x 与i a .若x 等于i a ，则i 是x 的位置.否则，对x 的搜索就归约到在少了一个元素的序列（即序列1,...,i n a a +）里的搜索.现在给出递归过程.设(,,)search i j x 是在序列1,,...,i i j a a a +里搜索x 的过程.过程的输入包括三元组(1,,)n x .若剩余序列的第一项是x ，或者若序列只有一项并且它不是x ，则过程在这一步终止.若x 不是这一项而且存在其他的项，则执行同样的过程，但是搜索序列减少一项，它是通过删除搜索序列的第一项而获得的.递归顺序搜索算法procedure search (,,)i j xif i a x = thenLocation:=ielse if i j = thenlocation:=0elsesearch (1,,)i j x +3.3.2 递归与迭代递归定义把在正整数处的函数值表达成在更小的整数处的函数值.这意味着可以设计递归算法来求出递归地定义的函数在正整数处的值.例3.3.2 下面给出阶乘的递归算法.阶乘的递归过程procedure factorial(n :正整数)if 1n = thenfactorial(n ):=1elsefactorial(n ):=n *factorial(1n -)存在另外一种方式，从阶乘函数的递归定义求它在整数处的值.代替连续地把计算归纳到在更小的整数处来求函数的值，可以从在1处的函数值开始，连续地应用递归定义来求出在更大的整数处的函数值.这样的过程称为迭代.换句话说，为了用迭代过程求出!n ，从1（即在1处的阶乘函数值）开始，连续地乘以每个小于或等于n 的正整数.对递归地定义的序列求值的迭代方法，比起使用递归的过程来，常常要求较少量的计算机（除非使用专门的递归机器）.用求第n 个斐波那契数的迭代的递归过程来说这一点.首先给出递归过程.斐波那契数的递归算法procedure fibonacci(n :非负整数)if 0n =then fibonacci(0):=0else if 1n =then fibonacci(1):=1else fibonacci(n ):= fibonacci(1n -)+fibonacci(2n -)当使用递归算法求n f 时，首先把n f 表示成12n n f f --+.然后把这两个斐波那契数都换成两个前面的斐波那契数之和.当0f 或1f 出现时，就直接换成它的值.注意，在递归的每个阶段，直到获得1f 或0f 为止，需要求值的斐波那契数的个数都一直翻倍.例如，当使用这个递归算法求出4f 时，就必须完成图五里树形图所说明的全部计算机.这个树包括用4f 标记的根，以及从根到用 图五两个斐波那契数3f 和2f 标记的顶点的分支，它们出现在4f 的计算的归约里.每个后续的归约都产生树里的两个分支.当遇到0f 和1f 时，这种分支结束.现在考虑用下面的迭代过程来求出n f 所需要的计算量.计算斐波那契数的迭代算法procedure iterative fibonacci(n :非负整数)if 0n = then y :=0elsebeginx :=0y :=1for i :=1 to 1n -beginz :=x y +x :=yy :=zendend{y 是第n 个斐波那契数}这个过程把x 初始化成00f =，把y 初始化成11f =.当经过循环时，把x 和y 之和赋给辅助变量z .然后把x 赋成y 的值，而把y 赋成辅助变量z 的值.因此，在经过第一次循环之后得出x 等于1f 而y 等于012f f f +=.另外，在经过1n -次循环之后x 等于1n f -而且y 等于n f .当1n >时，用这个迭代方法求出n f 仅仅使用了1n -次加法.因此，这个算法比递归算法需要少得多的计算.参考文献[1] 华罗庚. 数学归纳法[M].北京：科学出版社，2002.[2] 屈婉玲. 离散数学[M].北京：清华大学出版社，2005.[3] 邓辉文. 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数学归纳法在中学数学教学中的应用（精选五篇）
数学归纳法在中学数学教学中的应用（精选五篇）第一篇：数学归纳法在中学数学教学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用摘要：数学归纳法是一种十分重要的数学论证方法，常用于与正整数有关命题的证明。
本文是从数学归纳法的概念、正确的应用数学归纳法、灵活的应用数学归纳法来说明数学归纳法在中学数学教学中的应用。
关键字：数学归纳法；正确、灵活的应用引言数学归纳法是一种十分重要的证明方法，在数学学习中的应用十分广泛，而首先使用数学归纳法的是意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中，用数学归纳法证明了前n个正奇数之和是2n。
正是有了这个方法，我们在中学的数学学习中，数学归纳法被广泛用来解决一些数列、不等式、整除等问题。
一、数学归纳法的概念在介绍什么是数学归纳法的之前，我们先来看看我国著名数学家华罗庚是这样评价数学归纳法的：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。
[1]”由此可见数学归纳法是多么重要，那么究竟什么是数学归纳法呢？数学归纳法就是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要是从特殊到一般的思想，它使我们能够在一些个别事例的基础上，对某个普遍规律做出判断，作为证明某些与自然数有关的命题的一种推论方法，在解数学题中有着广泛的应用。
在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
那么用数学归纳法论证的一般步骤是什么呢？第一步是证明命题n=n0时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据。
而数学归纳法所依据的数学公理是意大利数学家皮亚诺提出的皮亚诺自然数公理的的第五条（归纳公理）：任意一个自然数集合N，1属于N；假定N包含n，N也一定包含后继数n'，则N包含所有自然数。
[2] 归纳公理用准确的逻辑术语表达了自然数的性质，这是数学归纳原理的数学依据。
从1开始，一个一个地选取可以达到任意自然数。
谈谈数学归纳法 毕业论文
谈谈数学归纳法毕业论文数学归纳法是一种证明数学命题的常见方法，它通常用于证明关于自然数的命题。
本文将从数学归纳法的定义、应用原理、常见例题等方面进行阐述，旨在深入了解并掌握这一重要的数学工具。
一、数学归纳法的定义数学归纳法是由法国数学家Blaise Pascal于17世纪发明的一种证明方法。
它的基本思想是从一个已知的命题开始，利用数学归纳原理逐步推导出所有相似的命题的正确性。
具体的数学归纳法可以分为强归纳法和弱归纳法，这里我们先从弱归纳法的定义入手。
弱归纳法：设$P(n)$是关于自然数n的命题，如果$P(1)$成立，且对于任意正整数$k$，$P(k)$成立时$P(k+1)$也成立，则可以得出结论：对于任意自然数$n$，命题$P(n)$都成立。
弱归纳法主要考虑了$P(1)$成立的时候，能否通过任意的$k$将$P(n)$扩展到任意自然数$n$上去。
而强归纳法则更强一些，它关注的不仅是$k$,而是任意的$k' <k$范围内的所有$P(k')$是否满足，只有所有的$P(k')$都成立时才能推导出$P(k)$。
二、数学归纳法的应用原理数学归纳法是一种非常强大的证明方法，它的应用原理可以归纳如下：1. 证明基础部分：首先要证明归纳的基础部分即$P(1)$成立；2. 归纳假设：假设对于任意正整数$k$，都有$P(k)$成立；3. 归纳步骤：接下来证明当$k=n$时，$P(n+1)$也成立。
利用归纳假设，我们可以假设$P(n)$成立，则接下来考虑$P(n+1)$是否成立，如果成立则可以得出：对于任意自然数$n$，命题$P(n)$都成立。
三、数学归纳法的例题下面来看几个关于数学归纳法的例题，帮助大家更好地理解它的运用：1. 证明$1 + 2 + … + n = (1+n)n/2$。
（1）证明基础部分：$n=1$时，$1=（1+1）/2$成立；（2）归纳假设：假设对于任意正整数$k$，都有$1+2+…+k = (1+k)k/2$成立；（3）归纳步骤：现在考虑证明$1+2+…+k+(k+1) = (1+k+1)(k+1)/2$成立。
第一数学归纳法及其应用 毕业论文
第一数学归纳法及其应用毕业论文第一数学归纳法及其应用摘要数学归纳法是数学中一种重要的证明方法。
本文主要研究了第一数学归纳法及其应用。
首先，介绍了第一数学归纳法的定义和基本原理。
其次，介绍了第一数学归纳法的证明方法。
然后，针对具体应用问题，分别展示了第一数学归纳法的应用。
最后，总结了本文的研究成果。
关键词：数学归纳法；第一数学归纳法；证明方法；应用AbstractMathematical induction is an important method of proof in mathematics. This paper mainly studies the first mathematical induction and its application. Firstly, the definition and basic principle of the first mathematical induction are introduced. Secondly, the proof method of the first mathematical induction is introduced. Then, for specific application problems, the application of the first mathematical induction is demonstrated respectively. Finally, the research results of this paper are summarized.Keywords: mathematical induction; first mathematical induction; proof method; application一、引言数学归纳法是数学中一种非常重要的证明方法，它经常用于证明一些关于自然数的命题。
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自学考试本科毕业论文论文题目：数学归纳法及其运用学校名称：桂林师范高等专科学校专业名称：数学教育准考证号：*************名：***指导教师：**目录内容摘要一、数学归纳法的由来（一）数学归纳法的概念（二）数学归纳法的命名（三）归纳法的证明二、数学归纳法的步骤三、数学归纳法的几种形式（一）第一数学归纳法（二）第二数学归纳法（三）倒推归纳法（四）跳跃归纳法（五）螺旋式归纳法四、数学归纳法的应用（一）数学归纳法在生物方面的应用（二）数学归纳法在初等数学方面的应用（三）数学归纳法在几何方面的应用五、数学归纳法的变体（一）从0以外的数字开始（二）针对偶数与奇数（三）递归归纳法六、数学归纳法常见误区及注意（一）易错例题（二）数学归纳法需注意文献参考数学归纳法及其应用班级:数学教育2班姓名:何东萍指导老师：李政【内容摘要】本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理，通过数学归纳法的基本形式的学习和理解，用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用。
最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧，并对未来发展的场景作出了预测。
在中学数学的过程中，有一种很常见并且很基本的数学方法——数学归纳法。
对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会如何？【关键词】数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用；一、数学归纳法的由来在最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。
Maurolico利用递推关系证明出前n个奇数的总和是n^2，数学归纳法之谜便由此解开。
（一）数学归纳法的概念数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下，其中某一个骨牌倒了，与其相邻的下一个骨牌也会倒，所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒。
也就能确定出这么一种递推关系，只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都倒下，用数学的方式可以简述为:（1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。
这样，无论有多少骨牌,只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。
关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推理方法叫做归纳法”。
数学归纳法，是用来证明某些与自然数有关的命题的一种推理方法。
其既具有演绎法的特征，又具有归纳的特征，它是一种归纳公理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明法。
（二）数学归纳法的命名从表面上来看，数学归纳法似乎是属于归纳推理，事实上却不是。
因为:数学归纳法的证明过程，可以得出它总体上是由两个部分所组成的，第一是得出P （1）为真，且P（k）到P（k+1）；第二是k=1，2，3，…，由其一得出对所有自然数n，P（n）都是成立的。
这两个部分完成了用有限步来证明对无限多个数值都有命题P（n）为真的结论。
证明之所以成立是因为阿皮诺公理中的归纳原理。
由此可见，数学归纳法是属于演绎。
数学归纳法是演绎推理，这岂不是与其名称中有“归纳”二字想矛盾吗？一个方面，从证明中涉及自然数n的角度看，证明第（1）步是针对n=1进行的，这里的1是特殊的数，所以这一步是对特殊对象进行讨论的；第（2）步是以“n=k 时命题成立”为出发点，以此来推导出“n=k+1时命题也成立”，k是代表从“n=k 到n=k+1”的一般性递推。
证明中对n的讨论顺序是“先特殊，后一般”，符合“由易到难，由简到繁”的证明思路，同时也反映了人们发现规律的一般过程。
另一个方面，人们经历了无数次特殊的、具体的验证性实践后，总结出正整数集合的元素具有无穷次递推的后继关系，并概括了这种规律，得出了正整数的公理。
当然，实验中的“验证——发现——想象”对数学归纳法原理的产生是功不可没的，如果没有验证性的探索和归纳，就没有对后继数及其间包含递归关系的一般性认识，也就没有数学归纳法原理的产生。
数学归纳法所完成的认识过程中经历了两千多年的坎坷发展，直到十九世纪才获得“数学归纳法”这一美称。
（三）归纳法的证明既然数学归纳法（mathematical induction）是一种重要的数学证明方法，我们利用它证明某些命题对于一切正整数的成立。
正整数是人类最早认识的数，它看似是最简单的数，但是由于其具有无限性的特征，在数学中严格地描述正整数集合并不简单。
大家都知道的，正整数1，2，3，…有无穷多个，数学归纳法用两个步骤是怎么完成对于这无穷多个情况的的证明呢？如果一个数、一个数地去研究关于正整数的问题，那么解决问题是非常困难的，探究如何对正整数集合进行整体性描述。
在这方面德国数学家康托尔（G. Cantor，1845-1918）和意大利数学家皮亚诺（G. Peano,1858-1932）分别从基数和序数的角度作出重要贡献。
皮亚诺是研究数理逻辑和数学基础的先驱，1891年他对正整数的有序性给出了严格刻画，也就是现在的皮亚诺公理。
用现代的数学语言和符号可以把这些公理的意义简述如下：①1是一个正整数。
②每个正整数a都有一个后继数(a+1)也是正整数。
③1不是任何正整数的后继数。
④若a与b的后继数相等，则a与b相等。
⑤设S是正整数集合N*的子集，若（1）1属于S；（2）当k属于S时，k的后继数（k+1）一定有也属于S，则S= N*。
这几条公理反映了正整数集合有序性的本质特征，我们主要注重公理⑤，公理⑤也称为数学归纳法原理，它给出了证明一个集合是正整数集合的方法，是数学归纳法的理论基础。
简单的说数学归纳法，其实是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，是主要用来研究与正整数有关的数学问题，在中学数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
二、数学归纳法的步骤一般地，数学归纳法证明“命题P对于全体正整数成立”的步骤为：（1）证明P对于1成立；（2）证明“若P对于k成立，则P对于k+1成立”。
当完成（1）(2)之后，即可推出：P对于全体正整数都成立。
数学归纳法的一般步骤为:假设有一个与正整数有关的命题P（n）。
（1）当n=1时，命题成立。
（2）假设n=k时，命题成立。
借用n=k命题成立，推出n=k+1，该命题也成立。
即这个命题对于一切正整数n都成立。
三、数学归纳法的几种形式（一）第一数学归纳法在教学书中讲的数学归纳法，我们一般称为第一数学归纳法。
其步骤为:假设有一个与正整数有关的命题P（n）。
（1）当n=1时，命题成立。
（2）假设n=k 时，命题成立。
借用n=k命题成立，推出n=k+1，该命题也成立。
即这个命题对于一切正整数n都成立。
这种方法的原理在于论证第一步是证明命题在n=1成立，这是递推的基础；第二步假设在n=k时命题成立，在证明k=n+1时命题成立，这是无限递推的理论依据，即可判断命题的成立是否能够从特殊推广到一般。
定理的证明我们用反证法来进行对第一数学归纳法证明，对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于一切的正整数都是成立的。
对于那些不成立的数所构成的集合Q其中必定有一个最小的元素a。
因为命题对n=1是成立的，所以a不等于1， a>1，从而可得a-1是正整数。
又因为a已经是集合Q中的最小元素了，所以a-1是不属于Q，当n= a-1时，命题是成立的，既然对于a-1成立，那么也对a也应该成立，这与我们的假设矛盾。
所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
证明完毕。
（二）第二数学归纳法当递推要涉及到小于k的时候，第一归纳法就要给第二数学归纳法让道了，第二数学归纳法与第一数学归纳法的区别在于证明第二步，前者比后者能够更好的利用前面的命题所提供的条件，所以有些命题运用第二数学归纳法进行证明更为方便。
第二数学归纳法的步骤为:设P（n）是关于自然数的命题，（1）设P（n）在n=1时命题成立，（2）假设对于所有小于或等于k的自然数n，（k∈N*，k＞1）命题P（n）成立，即可推出P（n+1）也成立；即性质P（n）对于一切自然数n 都成立。
（三）倒推归纳法倒推归纳法也叫反向归纳法，倒推归纳法是由于在归纳递推运用反方向递推而得名的。
倒推归纳法是数学家柯西最先使用它证明了n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。
其步骤为：设P（n）是一个与自然数有关的命题。
（1）验证对无穷多个自然数n命题P（n）成立，（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）。
（2）假设P（k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P（k）成立，即命题P（n）对一切自然数n（≥n0）都成立。
定理的证明：同样的，我们用反证法来进行证明。
假设该命题不是对于一切正整数都是成立的，令M表示使命题不成立正整数的集合，那么M≠0，任取m∈M由条件（1）可知，必有正整数n＞m使得P（n）成立，由这样的正整数n构成的集合为N。
由集合M≠0可知，必有最小的正整数a，显然，a＞1，由条件（3）得，P（a-1）成立，由a的取值得m-1＞a，但这与a是M中最小正整数矛盾。
即假设不成立，原命题成立。
定理证毕。
（四）跳跃归纳法若命题中出现“间隔”时，我们不能简单的证明“k+1”了，若P(n)对自然数1，2，……n都是正确的命题，设n=k时，假设命题P(k)成立，可以推出P (k+l)成立，则P(n)对一切自然数n都成立。
（五）螺旋式归纳法当有一些与自然数难以通过上面的数学归纳法来进行证明时，可以根据具体的情形加强命题，设计一个更具有一般性的新命题，通过对新命题证明来确定原命题的正确性。
其形式为:设有两个与自然有关的命题P（n），Q（n），（1）验证n=n0时P（n）成立；（2）假设P（k）（k>no）成立，可以推出Q（k）成立，假设 Q（k）成立，可以推出 P(k+1）成立；即命题对一切自然数n（≥n0），P（n），Q（n）都成立。
四、数学归纳法的应用（一）数学在生物方面的应用例1：某生产队科学实验小组决定研究n （n ≤2）种害虫之间的关系，然后想去消灭它们，经实验，他们发现其中，任意两种总有一种吞食另一种，试证明可把此n 种害虫排成一行，使得前一种可吞食后一种。
证明：假设ai （i =1，2，……k ）表示第i 种害虫，将它们排成1a ，1+k a 2a ……k a 其中前一种可吞食后一种，用ai ＞1+k a 表示可吞食，（1）当2=n 时，命题成立。
（2）设k n =时，（2≥k ），命题成立，现在我们考虑的情况，在k n =的情形里，我们再加入一种害虫1+k a 。
（我1+=k n 们将1+k 种害虫分为两组，k 种害虫为第一一组，剩下的一种害虫为第二组，由假设得，第一组k 种害虫可排列成1a ，2a ……k a ，使得一种可吞食后一种，再将第二组的一种记为1+k a 加入。