人教版 高中数学 第一章 计数原理本章小结 选修2-3

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高中数学第一章计数原理本章小结新人教

A版选修2-3

知识点一两个计数原理的应用

(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件．“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事件，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事件的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．

(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法．

例1 某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．

(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？

(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？

(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？

解析：(1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6＋7＋8＝21(种)不同的选法．

(2)每种选法分三步：第一步从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336(种)不同的选法．

(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选1个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146(种)不同选法．

知识点二排列组合问题

在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．

现由五个人排在周一至周五的五天中值班，每人一天，按下列条件各有多少种不同的排法？

(1)甲不值周一且乙不值周二；

(2)甲、乙不排在连续的两天；

(3)甲排在乙的前面(不一定相邻)．

解析：(1)法一(直接法) 分“甲值周二”和“甲不值周二”两类：甲值周二，则有A44种排法；甲不值周二，则周二有A13种排法，周一有A13种排法，后三天有A33种排法，所以甲不值周二的排法有A13·A13·A33种，由分类加法计数原理，满足条件的排法种数为A44＋A13·A13·A33＝78(种)．法二(间接法) 五个人的排法总数为A55种，甲值周一和乙值周二各有A44种排法，甲值周一且乙值周二有A33种排法，所以甲不值周一且乙不值周二的排法种数为A55－2A44＋A33＝78(种)．

(2)法一(直接法) 甲、乙之外的其他三个人的排法种数为A 33种，甲、乙不相邻有A 2

4种排法，所以排法种数为A 3

3·A 2

4＝72(种)．

法二(间接法) 五个人的排法总数为A 5

5种，甲、乙相邻的排法种数为A 4

4·A 2

2种，所以排法种数为A 5

5－A 4

4·A 2

2＝72(种)．

(3)甲排在乙之前的排法种数为A 5

5

A 22＝60(种)．

知识点三 二项式定理的应用

(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．

(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．

(3)求二项式展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．

(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．

(5)确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．

(2015·全国课标卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4

的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.

解析：由已知得(1＋x )4

＝1＋4x ＋6x 2

＋4x 3

＋x 4

，故(a ＋x )(1＋x )4

的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，4ax 3

，x ，6x 3

，x 5

，其系数之和为4a ＋4a ＋1＋6＋1＝32，解得a ＝3.

答案：3

一、选择题

1．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有(D )

A ．3种

B ．12种

C ．34

种 D ．43

种

解析：每位学生都有4种报名方法，因此有4×4×4＝43

种．

2．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝

⎛⎭⎫2x ＋a x 7

的展开式中1

x 3的系数是84，则实数a ＝(C )

A ．2 B.54 C ．1 D.2

4

解析：因为C r

7·(2x )r

·⎝⎛⎭

⎫a x 7－r

＝C r

7·2r

·a

7－r

·x

－7＋2r

，令－7＋2r ＝－3，得r ＝2，所以C 27·22·a

7

－2

＝84，解得a ＝1，故选C.

3．设集合A ＝{1，2，3，4}，m ，n ∈A ，则关于x ，y 的方程x 2m ＋y 2

n

＝1表示焦点在x 轴上的

椭圆有(A )

A ．6个

B ．8个

C ．12个

D ．16个

解析：法一 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以当m ＝4时，n ＝1或2或3；当m ＝3时，n ＝1或2；当m ＝2时，n ＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．

法二 由题意知m >n ，则应有C 2

4＝6(个)焦点在x 轴上的不同椭圆．故选A.