谱聚类算法
谱聚类算法 python
谱聚类算法 python谱聚类是一种基于图论的聚类算法，它通过构建数据的相似度矩阵和拉普拉斯矩阵来实现数据的聚类。
下面是谱聚类算法的Python实现参考内容。
1. 导入所需库和数据模块：```pythonimport numpy as npfrom sklearn.cluster import KMeansfrom sklearn.metrics import pairwise_distancesfrom sklearn.datasets import make_blobs```2. 定义谱聚类函数：```pythondef spectral_clustering(data, n_clusters, sigma=1):# 构建相似度矩阵similarity_matrix = pairwise_distances(data, metric='rbf', gamma=1.0/(2*sigma**2))# 构建拉普拉斯矩阵row_sums = np.sum(similarity_matrix, axis=1)laplacian_matrix = np.diag(row_sums) - similarity_matrix# 计算拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(laplacian_matrix)# 根据特征值进行排序indices = np.argsort(eigvals)[:n_clusters]# 提取特征向量的前n_clusters个列向量eigvecs_selected = eigvecs[:, indices]# 使用K-means算法对特征向量进行聚类kmeans = KMeans(n_clusters=n_clusters)kmeans.fit(eigvecs_selected)labels = bels_return labels```3. 生成示例数据并调用谱聚类函数进行聚类：```pythondata, ground_truth = make_blobs(n_samples=100, centers=3, random_state=0)labels = spectral_clustering(data, n_clusters=3, sigma=1)print("聚类结果：", labels)```以上就是谱聚类算法的Python实现参考内容。
谱聚类算法计算公式
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谱聚类算法计算公式
谱聚类（Spectral Clustering ）算法的计算公式如下：
1. 构建相似度矩阵W ，一般选择高斯核函数计算样本点之间的相似度，公式如下：
22,i j x x i j W e σ−−=
其中，i x 和j x 分别表示第i 个和第j 个样本点，σ为高斯核函数
的参数。
2. 构建拉普拉斯矩阵L ，一般有两种方式：
(1) 随机游走型拉普拉斯矩阵，公式如下：
1
1
22
L D WD −−= 其中，D 为度矩阵，其对角线元素为每个样本点的度。
(2) 对称型拉普拉斯矩阵，公式如下：
L D W =−
其中，D 和W 分别为度矩阵和相似度矩阵。
3. 对拉普拉斯矩阵L 进行特征分解，得到L 的特征向量矩阵U 。
4. 对特征向量矩阵U 进行k-means 聚类或者谱聚类，将样本点划分到k 个簇中。
谱聚类算法的主要思想是将原始数据映射到低维空间中，从而实现聚类。
该算法具有较好的性能，并且可以处理非球形簇和噪声数据。
谱聚类算法
其中： assoc(A k , V )
i
Ak ,j V
w ij
Melia 指出Ncut 和MNcut 的差异之处仅在于所使用的 谱映射不同, 并且当k= 2 时, MNcut 与Ncut 等价。多路规 范割集准则在实际应用中合理有效, 但其优化问题通常难以 解决。
相似矩阵、度矩阵及Laplacian 矩阵
cut(A ,B )
i ,
w ij Aj B
通过最小化上述剪切值来划分图G, 这一划分准则被称 为最小割集准则。他们用这个准则对一些图像进行分割, 并 产生了较好的效果, 同时他们也注意到, 该准则容易出现歪 斜( 即偏向小区域) 分割。规范割集准则及比例割集准则均 可避免这种情况的发生。
谱聚类算法
根据不同的准则函数及谱映射方法, 谱聚类算法发展了很多
不同的具体实现方法, 但是都可以归纳为下面三个主要步骤 :
构建表示样本集的矩阵Z; 通过计算Z 的前k 个特征值与特征向量, 构建特征向量空间; 利用k-means 或其它经典聚类算法对特征向量空间中的特征向 量进行聚类。 上述步骤是谱聚类算法的一个框架, 在具体实现过程中,不同 的算法在数据集矩阵Z 的表示上存在着不同。例如根据2 way cut 的目标函数, Z= W; 根据随机游动关系, 则Z=D- 1W 等。划分准则一 般分为2 way 和k way, 本文根据所使用的划分准则, 将算法分为迭 代谱和多路谱两类, 并分别讨论了各类中典型的谱聚类算法。
可以看出Avcut 和Ncut 函数都表示无向图G 中边界损
失与分割区域相关性的比值之和, 因此最小化Avcut 与Ncut 目标函数都能产生较准确的划分。其共同缺点是倾向于欠 分割且易分割出只包含几个顶点的较小子图。文献通过实 验发现, 当把Normalized cut 和Average cut 准则分别用于同
谱聚类算法
谱聚类（Spectral Clustering）是一种常用的机器学习非监督学习算法，它可以将数据集进行非均匀划分，自动检测出数据集之间的联系，形成聚类，来支持分类和聚类任务。
谱聚类算法利用图分割技术进行数据集划分，其前提是，一个具有相似关系的数据集可以被抽象成一个图结构，它由节点（node）和边（edge）组成。
这种图将相似的节点连接起来，形成相关性的网络，这就是谱聚类的基本原理。
在谱聚类算法中，我们首先需要将数据集抽象为图结构，有了图后，会根据一些度量（局部密度、连接强度、等等）将其划分为一些小子集，再根据邻域性确定子集的内部结构和边界，从而将图分成若干聚类。
谱聚类的优势在于它可以实现非均匀的聚类，可以根据数据集的特征自动聚类，它不仅可以将数据集划分成几个大的聚类，还可以自动检测出数据集之间更复杂的联系，从而形成聚类。
此外，谱聚类算法还可以处理高维数据，它能够捕捉数据集中所有数据之间的复杂关系，从而实现更好的聚类。
综上所述，谱聚类算法是一种有效的机器学习非监督学习算法，它可以自动检测出数据之间的关系，进行非均匀的聚类，为聚类和分类任务提供有力的支持，是机器学习算法领域的重要研究成果。
谱聚类算法综述
谱聚类算法综述一、本文概述谱聚类算法是一种基于图理论的机器学习技术，它在数据分析和模式识别中发挥着重要作用。
本文旨在对谱聚类算法进行全面的综述，从理论基础、算法流程、应用领域以及最新进展等多个方面进行深入的探讨。
我们将简要介绍谱聚类算法的基本概念和原理，包括图论基础、拉普拉斯矩阵、特征值分解等关键知识点。
然后，我们将详细阐述谱聚类算法的基本流程和主要步骤，包括数据预处理、构建相似度矩阵、计算拉普拉斯矩阵、求解特征向量和聚类等。
接下来，我们将重点分析谱聚类算法在不同领域中的应用，如图像处理、社交网络分析、机器学习等，并探讨其在这些领域中取得的成果和优势。
我们还将对谱聚类算法的性能进行评估，包括其时间复杂度、空间复杂度以及聚类效果等方面。
我们将对谱聚类算法的最新研究进展进行综述，包括新的算法模型、优化方法以及应用领域的拓展等方面。
通过对这些最新进展的梳理和总结，我们可以更好地了解谱聚类算法的发展趋势和未来研究方向。
本文旨在对谱聚类算法进行全面的综述和分析，为读者提供一个清晰、系统的认识框架，同时也为该领域的研究者提供有价值的参考和启示。
二、谱聚类算法的基本原理谱聚类算法是一种基于图理论的聚类方法，它通过将数据点视为图中的节点，数据点之间的相似性视为节点之间的边的权重，从而构建出一个加权无向图。
谱聚类的基本原理在于利用图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的特征向量来进行聚类。
构建相似度矩阵：需要计算数据点之间的相似度，这通常通过核函数（如高斯核函数）来实现，从而构建出一个相似度矩阵。
构建图的拉普拉斯矩阵：根据相似度矩阵，可以构建出图的度矩阵和邻接矩阵，进而得到图的拉普拉斯矩阵。
拉普拉斯矩阵是相似度矩阵和度矩阵之差，它反映了数据点之间的局部结构信息。
求解拉普拉斯矩阵的特征向量：对拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到其特征向量。
这些特征向量构成了一个新的低维空间，在这个空间中，相似的数据点更接近，不相似的数据点更远。
谱聚类 拉普拉斯算法
谱聚类拉普拉斯算法
谱聚类是一种常用的聚类算法，通过将数据集转化为图形模型，利用图的谱分析方法来进行聚类。
其中，拉普拉斯算法是谱聚类的一种基本算法，其主要思想是将数据集转化为图形模型后，通过计算拉普拉斯矩阵来得到聚类结果。
具体来说，拉普拉斯算法分为两种类型：标准拉普拉斯算法和对称拉普拉斯算法。
标准拉普拉斯算法通过计算拉普拉斯矩阵的特征向量来进行聚类，而对称拉普拉斯算法则通过计算对称拉普拉斯矩阵的特征向量来进行聚类。
两种算法的主要区别在于拉普拉斯矩阵的构造方式不同。
在实现拉普拉斯算法时，需要先构造数据集的邻接矩阵和度矩阵，然后根据不同的算法类型计算拉普拉斯矩阵，并求解其特征向量。
最后，通过对特征向量进行聚类，即可得到最终的聚类结果。
总之，拉普拉斯算法是谱聚类中比较基础的算法之一，通过对数据集进行图形模型转化，可以有效地进行聚类。
在实际应用中，需要根据数据集的特点选择不同的算法类型，并根据具体情况进行参数调整，才能得到更加准确的聚类结果。
- 1 -。
谱聚类算法研究综述
1.College of Software, Xinjiang University, Urumqi 830046, China 2.Key Laboratory of Software Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830046, China 3.Key Laboratory of Signal Detection and Processing in Xinjiang Uygur Autonomous Region, Urumqi 830046, China
变化而改变，因此 σ 需要经过多次取值实验才能确定[23]。
度矩阵是记为 D 的对角矩阵，度值为对角元素。
计算方式如公式（2）所示：
∑ Dij = Wij j
（2）
规范相似矩阵一般形式定义为：
W nor
=
-
D
12WD-
1 2
Wnor(i,j) =
W (i,j) D(i.j) D(i,j)
（3） （4）
1 谱聚类算法概述
谱聚类算法的思想起源于谱图划分理论[18]，谱聚类 通过样本相似度生成无向加权图，样本点可看作图的顶 点，样本点间的相似度为两点间边的权重，而对无向加 权图进行谱图划分就是将图划分为若干个子图，该过程 与聚类算法的聚类过程对应。图论的最优划分准则[14] 与聚类最优准则在思想上具有一致性，为聚类问题转化 为图划分问题提供思路与理论支撑。对于谱图划分而 言，图划分准则的选取将直接影响划分结果，常用的图 划分准则有规范割集、最小割集、平均割集、比例割集等 准则[19]。与谱图划分相比，谱聚类算法考虑问题连续放 松 形 式 ，将 图 分 割 问 题 转 换 为 求 相 似 矩 阵 的 谱 分 解 问 题[20]。谱聚类算法依据划分准则的不同，总体分为迭代 谱聚算法与多路谱聚类算法。目前多路谱聚类算法因 其简单易于理解特性应用更为广泛，NJW 算法是经典 多路谱聚类算法。多路谱聚算法实现细节略有差异，但 核心思想基本一致，其主要思想如下：
常用聚类算法
常用聚类算法在数据挖掘、机器学习以及计算机视觉中，聚类分析是一种非常重要的机器学习技术，又被称作簇分析、集群分析或族群分析。
它的基本思想是将数据按其相似性分成若干个子集，以便我们更好的理解、探索数据。
目前主流的聚类算法有K-means、DBSCAN、层次聚类算法、谱聚类算法等等。
1、K-means聚类算法K-means聚类算法是最常用的无监督学习算法，它的基本思想是首先随机选择K个中心点，然后将每一个数据点都分到最接近它的中心点；接着重新计算每个簇的中心；最后重复这个过程直到所有数据点都收敛到设定的中心点，从而实现聚类。
K-means聚类算法的缺点是无法解决成簇的点的不同密度的情况，并且容易受到初始值的影响。
2、DBSCAN聚类算法DBSCAN（密度聚类域算法）是一种无监督学习算法，它通过构建指定半径E和指定最小点数MinPts之间的邻域来构建密度聚类，它能够发现任意形状的聚类，因而比K-means聚类算法更具有普适性。
它最大的优点是可以发现任意形状的聚类；最大的缺点是需要较大的计算量，运算时间可能比较长。
3、层次聚类算法层次聚类（Hierarchical Clustering）是一种以树状图的形式来表示聚类的算法。
它以数据点的距离（欧氏距离或余弦距离）为基础，将距离最近的点合并成一个簇，依次迭代，直到聚类完成。
层次聚类算法不需要设置K值，具有简单易懂的解释性，并且可以产生不同类型的层次聚类树，可以很好地反应数据的结构，但是它的时间复杂度比较高，有一定的性能问题。
4、谱聚类算法谱聚类算法（Spectral Clustering）是一种基于图的聚类算法，它将样本数据表示为图的节点，并用图的特征矩阵的特征向量来提取聚类的簇。
谱聚类算法可以处理任意形状的簇，并且可以有效地避免局部最小值问题，但它受到输入数据大小的约束，并且如果聚类数据存在噪声和重叠簇的情况下，它的表现不佳。
总结而言，K-means、DBSCAN、层次聚类算法、谱聚类算法等算法是聚类分析的常见算法，它们在数据挖掘、机器学习和计算机视觉等多领域有着重要的应用价值。
谱聚类算法讲解ppt课件
sij xi KNN ( x j ) and x j KNN ( xi )
10
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
（3）全连接法：
通过核函数定义边权重，常用的有多项式核函数，
高斯核函数和Sigmoid核函数。使用高斯核函数构建邻接
1 1
Rcut(G1 , G2 ) Cut (G1 , G2 )
n1 n2
n1、n 2划分到子图1和子图2的顶点个数
Rcut (G1 , G2 )
1 1
w
ij
n2
iG1 , jG2 n1
(n1 n2 ) 2
wij
量的相似矩阵S
邻接矩阵W。
6
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
构建邻接矩阵 W 主要有三种方法 ：
•
-近邻法
•
K近邻法
• 全连接法
7
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
（1） -近邻法：
设置一个距离阈值
，然后用欧式距离
2
27
Spectral Clustering 谱聚类
(2) Ratio Cut
令
qi
二分类：
n1
n2 n
n2
n1n
i G1
= 1
i G2
Rcut (G1 , G2 )
w q q
2
iG1 , jG2
时间序列谱聚类python
时间序列谱聚类Python时间序列谱聚类是一种基于相似性图变换的聚类方法，能够处理时间序列数据，将相似的数据点分到同一类别中。
在时间序列谱聚类中，我们需要计算相似性矩阵，并将其转化为拉普拉斯矩阵，进而通过特征分解来获得聚类。
Python是一种功能强大的编程语言，被广泛应用于数据科学领域。
在Python中，有许多强大的库可以使用，帮助我们实现时间序列谱聚类。
本文将介绍如下内容：如何计算时间序列相似性矩阵、如何转换为拉普拉斯矩阵、如何通过特征分解实现时间序列聚类等。
1.计算时间序列相似性矩阵在时间序列聚类中，我们需要计算相似性矩阵。
常见的相似性度量包括欧氏距离、曼哈顿距离、动态时间规整等。
我们以欧氏距离为例进行介绍。
假设我们有m个时间序列数据，每个序列有n个时间点。
我们将每个时间序列看作一个m维向量，于是每个时间序列可以表示成一个m×n的矩阵。
现在我们要计算的是这m个序列之间的欧氏距离矩阵。
可以使用SciPy库中的pdist函数：```import numpy as npfrom scipy.spatial.distance import pdist, squareformdata = np.random.rand(100, 50) # 100个50维的时间序列数据distances = np.sqrt(np.sum(np.square(pdist(data, 'euclidean')), axis=0)) # 计算欧氏距离similarity_matrix = np.exp(-np.square(squareform(distances))/np.median(distances)) # 转换为相似性矩阵```2.转换为拉普拉斯矩阵得到相似性矩阵之后，我们需要将其转换为拉普拉斯矩阵。
类似于无向图和有向图中的定义，我们有两种拉普拉斯矩阵：对称型拉普拉斯矩阵和非对称型拉普拉斯矩阵。
Matlab中的聚类分析与聚类算法详解
Matlab中的聚类分析与聚类算法详解绪论数据分析是现代科学和工程领域中非常重要的一项技术。
随着互联网和物联网技术的发展，数据的规模和复杂度不断增加，数据分析越来越成为解决实际问题的关键。
聚类分析是一种常用的数据分析技术，它通过将数据样本划分成具有相似性的组或簇，从而揭示数据的内在结构和模式。
在Matlab中，聚类分析功能强大且易于使用，提供了多种聚类算法，如K-means、层次聚类等。
本文将详细介绍Matlab 中的聚类分析方法及其算法。
一、K-means算法K-means算法是聚类分析中最经典且最常用的算法之一。
它将数据样本划分成K个簇，并迭代地优化簇的中心，使得簇内的样本与簇中心的距离最小化。
在Matlab中，使用kmeans函数可以轻松实现K-means算法。
K-means算法的步骤如下：1. 随机选择K个样本作为初始的K个簇中心。
2. 计算每个样本与簇中心的距离，将样本分配到离其最近的簇。
3. 更新每个簇的中心，即计算簇内所有样本的平均值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到簇中心不再变化或达到迭代次数。
K-means算法的优点是简单、高效，并且可以处理大规模数据。
但是，它对初始簇中心的选择敏感，容易陷入局部最优解。
二、层次聚类算法层次聚类算法是另一种常见的聚类分析方法。
它通过计算样本之间的相似性，逐步合并或划分样本，构建聚类层次结构。
在Matlab中，使用clusterdata函数可以实现层次聚类算法。
层次聚类算法的步骤如下：1. 将每个样本作为一个初始簇。
2. 计算任意两个簇之间的相似性，常用的相似性度量包括欧氏距离、相关系数等。
3. 合并相似性最高的两个簇，得到新的簇。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有样本被合并为一个簇或达到设定的簇数。
层次聚类算法的优点是可以得到聚类层次结构，方便分析和可视化。
然而，它对数据规模较大时计算复杂度较高。
三、谱聚类算法谱聚类算法是一种基于图论的聚类方法，在处理复杂数据时具有较好的性能。
各种聚类算法的优缺点
各种聚类算法的优缺点
聚类算法是一种将数据集中的对象按照相似性进行分组的方法。
在机器学习和数据挖掘中，聚类算法是最常用的一种技术之一。
常见的聚类算法包括k-means聚类、层次聚类、DBSCAN聚类、谱聚类等。
不同的聚类算法有各自的优缺点，下面我们来具体探讨一下：
1、k-means聚类
优点：速度快、易于实现、可扩展性强。
缺点：需要预先指定聚类数量k，对数据的初始值敏感，对噪声和离群点敏感。
2、层次聚类
优点：不需要预先指定聚类数量，可视化效果好。
缺点：计算复杂度高，对噪声和离群点敏感。
3、DBSCAN聚类
优点：不需要预先指定聚类数量，能够处理噪声和离群点。
缺点：对密度变化敏感，需要调整一些参数。
4、谱聚类
优点：对非凸数据和高维数据有较好的表现，可用于图像分割。
缺点：计算复杂度高，需要预处理数据，对噪声和离群点敏感。
总之，选择合适的聚类算法需要根据数据的特点和需要解决的问题来综合考虑。
不同的算法在不同场景下都有其优势和局限性。
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谱聚类算法 算法简介
谱聚类算法算法简介 谱聚类算法建立在谱图理论基础上，与传统的聚类算法相比，它具有能在任意形状的样本空间上聚类且收敛于全局最优解的优点。
该算法首先根据给定的样本数据集定义一个描述成对数据点相似度的亲合矩阵,并且计算矩阵的特征值和特征向量，然后选择合适的特征向量聚类不同的数据点。
谱聚类算法最初用于计算机视觉、VLS I 设计等领域，最近才开始用于机器学习中，并迅速成为国际上机器学习领域的研究热点。
谱聚类算法建立在图论中的谱图理论基础上，其本质是将聚类问题转化为图的最优划分问题，是一种点对聚类算法，对数据聚类具有很好的应用前景。
算法步骤 谱聚类算法将数据集中的每个对象看作是图的顶点V，将顶点间的相似度量化作为相应顶点连接边E的权值，这样就得到一个基于相似度的无向加权图G(V, E)，于是聚类问题就可以转化为图的划分问题。
基于图论的最优划分准则就是使划分成的子图内部相似度最大，子图之间的相似度最小。
虽然根据不同的准则函数及谱映射方法，谱聚类算法有着不同的具体实现方法，但是这些实现方法都可以归纳为下面三个主要步骤： 1) 构建表示对象集的相似度矩阵W； 2) 通过计算相似度矩阵或拉普拉斯矩阵的前k个特征值与特征向量，构建特征向量空间； 3) 利用K-means或其它经典聚类算法对特征向量空间中的特征向量进行聚类。
上面的步骤只是谱聚类算法的一个总体框架，由于划分准则、相似度矩阵计算方法等因素的差别，具体的算法实现同样会有所差别，但其本质依然是图划分问题的连续放松形式。
划分准则 谱聚类算法将聚类问题就可以转化为图的划分问题之后，基于图论的划分准则的优劣直接影响到聚类结果的好坏。
常见的划分准则有Mini cut，Average cut，Normalized cut，Min-max cut，Ratio cut，MNcut等。
最小割集准则 在对图像分割中产生了较好的效果，但是该准则容易产生分割出只包含几个顶点的较小子图的歪斜分割现象。
谱聚类算法(Spectral Clustering)原理分析
谱聚类算法(Spectral Clustering)谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
其中的最优是指最优目标函数不同，可以是割边最小分割——如图1的Smallest cut(如后文的Min cut)，也可以是分割规模差不多且割边最小的分割——如图1的Best cut(如后文的Normalized cut)。
图1 谱聚类无向图划分——Smallest cut和Best cut 这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵(拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
1 理论基础对于如下空间向量item-user matrix：如果要将item做聚类，常常想到k-means聚类方法，复杂度为o(tknm)，t为迭代次数，k为类的个数、n为item个数、m为空间向量特征数：1 如果M足够大呢？2 K的选取？3 类的假设是凸球形的？4 如果item是不同的实体呢？5 Kmeans无可避免的局部最优收敛？……这些都使常见的聚类问题变得相当复杂。
1.1 图的表示如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(E)，这样便得到我们常见的图的概念。
对于图的表示(如图2)，常用的有：邻接矩阵：E，e ij表示v i和v i的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。
Laplacian矩阵：L = D – E，其中d i (行或列元素的和)，如图2-3。
图2 图的表示1.2 特征值与L矩阵先考虑一种最优化图像分割方法，以二分为例，将图cut为S和T两部分，等价于如下损失函数cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的边的加权和)。
谱聚类（spectralclustering）原理总结
谱聚类（spectralclustering）原理总结 谱聚类（spectral clustering）是⼴泛使⽤的聚类算法，⽐起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也⼩很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。
在处理实际的聚类问题时，个⼈认为谱聚类是应该⾸先考虑的⼏种算法之⼀。
下⾯我们就对谱聚类的算法原理做⼀个总结。
1. 谱聚类概述 谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了⼴泛的应⽤。
它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以⽤边连接起来。
距离较远的两个点之间的边权重值较低，⽽距离较近的两个点之间的边权重值较⾼，通过对所有数据点组成的图进⾏切图，让切图后不同的⼦图间边权重和尽可能的低，⽽⼦图内的边权重和尽可能的⾼，从⽽达到聚类的⽬的。
乍⼀看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的⽆向图，线性代数和矩阵分析都有⼀定的了解。
下⾯我们就从这些需要的基础知识开始，⼀步步学习谱聚类。
2. 谱聚类基础之⼀：⽆向权重图 由于谱聚类是基于图论的，因此我们⾸先温习下图的概念。
对于⼀个图G，我们⼀般⽤点的集合V和边的集合E来描述。
即为G(V,E)。
其中V即为我们数据集⾥⾯所有的点(v_1, v_2,...v_n)。
对于V中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。
我们定义权重w_{ij}为点v_i和点v_j之间的权重。
由于我们是⽆向图，所以w_{ij} = w_{ji}。
对于有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} > 0,对于没有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} = 0。
对于图中的任意⼀个点v_i，它的度d_i定义为和它相连的所有边的权重之和，即d_i = \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij} 利⽤每个点度的定义，我们可以得到⼀个nxn的度矩阵D,它是⼀个对⾓矩阵，只有主对⾓线有值，对应第i⾏的第i个点的度数，定义如下：\mathbf{D} = \left( \begin{array}{ccc} d_1 & \ldots & \ldots \\ \ldots & d_2 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \ldots & \ldots & d_n\end{array} \right) 利⽤所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵W，它也是⼀个nxn的矩阵，第i⾏的第j个值对应我们的权重w_{ij}。
聚类算法非凸形簇数据集和凸形簇数据集
聚类算法非凸形簇数据集和凸形簇数据集下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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sbm-gml具体计算过程
SBM-GML(Spectral Clustering Based on Multi-Label Graph Model)是一种基于多标签图模型的谱聚类算法，计算过程包括以下几个步骤：
1. 构建多标签图模型：将数据集表示为一个多标签图模型，其中每个节点表示一个样本，每个标签表示一个类别。
图中的边表示样本之间的相似度。
2. 计算相似度矩阵：根据数据集中的样本相似度计算方法，计算样本之间的相似度矩阵。
常用的相似度计算方法包括余弦相似度、皮尔逊相关系数等。
3. 构建谱聚类模型：根据多标签图模型和相似度矩阵，构建谱聚类模型。
谱聚类模型的目标是将数据集中的样本分为若干个类别，使得同类样本之间的相似度尽可能大，不同类样本之间的相似度尽可能小。
4. 优化谱聚类模型：通过优化算法对谱聚类模型进行优化，得到最优的聚类结果。
常用的优化算法包括K-means算法、谱聚类算法等。
5. 评估聚类结果：采用适当的评估指标对聚类结果进行评估，如轮廓系数、F值等。
根据评估结果对聚类算法进行调整和优化，以提高聚类效果。
以上是SBM-GML的具体计算过程，具体实现细节可能因数据集、
应用场景和算法选择而有所不同。
用于网络重叠社区发现的粗糙谱聚类算法
用于网络重叠社区发现的粗糙谱聚类算法
粗糙谱聚类算法是一种用于网络重叠社区发现的聚类算法。
该算法通过将网络划分为不同的重叠社区，并在社区中确定节点归属关系来评估网络结构和社区组成。
该算法对于解决网络重叠社区发现的问题非常有效。
粗糙谱聚类算法的工作原理类似于传统的谱聚类算法。
先将网络表示为邻接矩阵，并计算其拉普拉斯矩阵。
然后通过计算拉普拉斯矩阵的特征向量和特征值，将网络分解为不同的子空间。
不同的子空间表示网络中的不同社区。
与传统的谱聚类算法不同的是，粗糙谱聚类算法可在两个步骤中使用粗略的算法来进一步划分网络。
首先，通过计算每个节点与其邻居节点的相似性，构建一个新的相似性矩阵。
这一步骤有助于减小网络的规模，同时保留有潜在归属关系的节点对之间的相似性。
然后，将相似性矩阵应用于谱聚类算法，并根据不同的特征子空间来确定节点的归属关系。
由于粗糙谱聚类算法使用了简单的相似性计算来预处理原始邻接矩阵，可以在保证聚类准确性的同时提高算法的效率。
另外，该算法也可以处理网络中存在的重叠社区，并在社区之间联通的节点之间建立连接。
在实际应用中，粗糙谱聚类算法已经被广泛使用，包括社交网络分析和生物信息学领域。
该算法可以帮助分析网络中的关键节点和社区，以及不同社区之间的关联关系。
同时，该算法还可以对网络进行分层建模，从而更好地理解网络结构。
总的来说，粗糙谱聚类算法是一种高效、可靠的网络重叠社区发现算法。
该算法提供了一种对网络结构和节点归属关系的全面评估，从而更好地分析网络中的关键信息。
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叠较大时,Mcut 比Ncut 更加高效。
多路规范割集准则 （Multiway Normalized cut）
上述五种划分准则所使用的目标函数都是将图G 划分为 2 个子图的划分函数, Meila 提出一种可以将图G同时划分为 k 个子图的规范割目标函数: cut(A , A ) cut(A , A ) cut(A k , Ak ) V V V MNcut(A ,B ) ... assoc(A , ) assoc ( , ) assoc(A k , V A V V )
一图像的分割问题时, Normalized cut 准则能够产生更好的
划分结果。
最小最大割集准则： （ Minmax cut）
最小最大割集准则要求最小化cut( A, B) 的同时, 最大化 vol( A) 与vol( B) 。该准则可通过最小化下面的目标函数得 cut(A,B ) cut(A,B ) 以实现: Mcut(A,B ) vol(A ) vol(B ) 我们将这个目标函数称为最小最大割函数, 或简称为 Mcut 函数。最小化该函数可避免分割出仅包含几个顶点的 较小子图, 因此它倾向于产生平衡割集, 但实现速度较慢。 Mcut 与Ncut 一样满足类间样本间的相似度小而类内样本 间的相似度大的原则, 与Ncut 具有相似的行为, 但当类间重
进行聚类。NJW算法描述如下: 计算矩阵 Lsym的前k 个最大特征值所对应的特征向量 ( 必要时需作正交化处理) , 构造矩阵 X
x ,x
1
2
,... xk
x 1 ,x 2 ,... xk
；
2
将矩阵X 的行向量转变为单位向量, 得到矩阵Y, 即
Yij
X ij EX ij
将矩阵Y 的每一行看作是
A
0.1 0.8
2
B
1
5
0.8 0.6
4
0.8
6
cut(A,B) = 0.3
0.8
3
0.2
0.7
规范割集准则：（Normalized cut）
Shi 和Malik 在2000 年建立了规范割集目标函数(Ncut) :
cut(A,B ) cut(A,B ) Ncut(A,B ) vol(A ) vol(B )
R k 空间中的一个点,对其使用k 均值算法
或任意其它经典算法, 得到k 个聚类; 将数据点
y i划分到聚类j 中, 当且仅当Y 的第i行被划分到聚类j 中。
小结：
针对图谱的不同划分规则，都有相应的算法如PF、SM、 SLH、Mcut、NJW、MS算法，比较如下：
Thank you!
cut(A ,B )
i ,
w ij Aj B
通过最小化上述剪切值来划分图G, 这一划分准则被称 为最小割集准则。他们用这个准则对一些图像进行分割, 并 产生了较好的效果, 同时他们也注意到, 该准则容易出现歪 斜( 即偏向小区域) 分割。规范割集准则及比例割集准则均 可避免这种情况的发生。
Rcut(A,B )
cut(A,B ) min( A , B )
其中| A| , | B| 分别表示子图A, B 中顶点的个数。最小化
Rcut 函数只考虑了类间相似性最小, 减小了过分割的可能
性, 但运行速度较慢。
平均割集准则： （Average cut）
cut(A,B ) cut(A,B ) 平均割目标函数为: Avcut(A ,B ) A B
Vol(A）、 Vol(B）分别是子图A, B 内所有顶点之间的连接
权值之和。
最小化Ncut 函数被称为规范割集准则。该准则不仅能 够衡量类内样本间的相似程度, 也能衡量类间样本间的相异 程度。通常情况下都是通过最小化Ncut 函数获取图的最优 划分。
比例割集准则：（Ratio cut）
Hagen 和Kahng 提出了比例割目标函数(Rcut) :
谱聚类算法
根据不同的准则函数及谱映射方法, 谱聚类算法发展了很多
不同的具体实现方法, 但是都可以归纳为下面三个主要步骤 :
构建表示样本集的矩阵Z; 通过计算Z 的前k 个特征值与特征向量, 构建特征向量空间; 利用k-means 或其它经典聚类算法对特征向量空间中的特征向 量进行聚类。 上述步骤是谱聚类算法的一个框架, 在具体实现过程中,不同 的算法在数据集矩阵Z 的表示上存在着不同。例如根据2 way cut 的目标函数, Z= W; 根据随机游动关系, 则Z=D- 1W 等。划分准则一 般分为2 way 和k way, 本文根据所使用的划分准则, 将算法分为迭 代谱和多路谱两类, 并分别讨论了各类中典型的谱聚类算法。
Kannan 将该算法与SM 算法、KVV 算法进行了比较, 发现
Mcut 算法能够产生更加平衡的划分结果, 尤其当类间重叠较大时, 效果更为明显。
多路谱聚类算法
NJW 算法 Ng, Jordan 等人选取拉氏矩阵
Lsym的前k 个最大特征值对应的特征
向量, 使其在 R k 空间中构成与原数据一一对应的表述, 然后在 R k 空间中
可以看出Avcut 和Ncut 函数都表示无向图G 中边界损
失与分割区域相关性的比值之和, 因此最小化Avcut 与Ncut 目标函数都能产生较准确的划分。其共同缺点是倾向于欠 分割且易分割出只包含几个顶点的较小子图。文献通过实 验发现, 当把Normalized cut 和Average cut 准则分别用于同
由于图划分问题的本质, 求图划分准则的最优解是一个 NP 难问题。一个很好的求解方法是考虑问题的连续放松形 式, 这样便可将原问题转换成求解相似矩阵或Laplacian 矩 阵的谱分解, 因此将这类方法统称为谱聚类, 可以认为谱聚 类是对图划分准则的逼近。 相似矩阵通常用W 或A 表示，该矩阵的定义为: d(si ,s j ) W ij exp( ) 2 2R 2 s s d ( s , s ) 其中：si 表示每个数据样本点， i j 一般取 i j , R为 事先指定的参数。
法、EM 算法等都是建立在凸球形的样本空间上, 但当样本
空间不为凸时, 算法会陷入局部最优。 为了能在任意形状的样本空间上聚类, 且收敛于全局最 优解, 学者们开始研究一类新型的聚类算法, 称为谱聚类算 法(Spectral Clustering Algorithm) 。
该算法首先根据给定的样本数据集定义一个描述成对 数据点相似度的亲合矩阵, 并计算矩阵的特征值和特征向
Lsym D
1 2
LD
1 2
I D
1 2
WD
1 2
Lrw D 1L I D 1W
势函数、Fiedler 向量及谱
势函数为表示某样本划分归属的指示向量( indicator vector)其定义为 ： 1若i A qi 0若i B 若最终势函数中某样本对应的值为1, 则该样本属于集合 A, 若为0 则属于集合B。但实际划分求解得到的结果qi常为 0 到1 之间的实数值, 此时可用k 均值聚类等方法进一步决定 样本的归属。 许多谱聚类算法都将图划分问题转化为求解Laplacian矩 阵的第二小特征向量问题。这里的第二小特征向量就是第 二个最小特征值对应的特征向量, 它代表了最佳图划分的一 个解( 即势函数) , 把这一特征向量称为Fiedler 向量。与特 征向量( 不一定是Fiedler 向量) 对应的特征值称为谱。
将相似矩阵的每行元素相加, 即得到该顶点的度, 以所 有度值为对角元素构成的对角矩阵即为度矩阵, 度矩阵常用 D表示。 Laplacian 矩阵分为非规范Laplacian 矩阵和规Laplacian 矩阵。非规范Laplacian 矩阵表示为L = D - W, 规范 Laplacian 矩阵有两种形式, 分别是:
迭代谱聚类算法
Mcut 算法:
T T x (1...1, 0...0) y (0...0, 1...1) 根据谱图理论，令：
cut(A ,B ) cut(A ,B ) 则Mcut(A,B ) vol(A ) vol(B )
a 若i A q 对于2way 划分, 令q 为划分指示向量, 则: i b若 i B
量, 然后选择合适的特征向量聚类不同的数据点。谱聚类
算法最初用于计算机视觉、VLSI 设计等领域, 最近才开始 用于机器学习中 , 并迅速成为国际上机器学习领域的研究 热点。 谱聚类算法建立在图论中的谱图理论基础上, 其本质
是将聚类问题转化为图的最优划分问题, 是一种点对聚类
算法,对数据聚类具有很好的应用前景。
划分准则的好坏直接影响到聚类结果的优劣。常见的划分
准则有Minimum cut, Average cut, Normalized cut, Min2 max cut, Ratio cut, MNcut 等。下面我们将分别介绍这几种准则。
最小割集准则：（Minimum cut)
谱图理论中, 将图G 划分为A , B 两个子图的代价函数为:
基本理论：
图划分准则：
谱聚类算法的思想来源于谱图划分理论 。假定将每个 数据样本看作图中的顶点V, 根据样本间的相似度将顶点间 的边E赋权重值W, 这样就得到一个基于样本相似度的无向 加权图G= (V, E) 。那么在图G 中, 就可将聚类问题转化为在 图G 上的图划分问题。基于图论的最优划分准则就是使划 分成的两个子图内部相似度最大, 子图之间的相似度最小。
1 1 2 2 1 2
其中： assoc(A k , V )
i
Ak ,j V
ห้องสมุดไป่ตู้
w ij
Melia 指出Ncut 和MNcut 的差异之处仅在于所使用的 谱映射不同, 并且当k= 2 时, MNcut 与Ncut 等价。多路规 范割集准则在实际应用中合理有效, 但其优化问题通常难以 解决。