人工智能原理第5章 模糊理论及应用
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(B∪C) (4) 同一律 A∪U=U,A∩U=A (5) 对偶律(德·摩根律) (A∪B)C=AC∩BC，(A∩B)C=AC∪BC (6) 双重否定律 (AC)C=A (7) 互补律 A U AC U , A I AC
5.2.2 模糊集合的基本概念
➢1.模糊集合的定义 ➢2.模糊集合的表示方法 ➢3.常用的隶属度函数 ➢4.模糊集合的运算
2.模糊集合的表示方法
当U为离散有限域 时，常用zadeh表示法、序偶表 示法以及向量表示法来表示模糊集合。
(1)
zadeh表示法
A
A ( x1)
x1
A(x2 )
x2
L
A(xn )
xn
n A(xi )
i1 xi
(2) 序偶表示法
A x1,A(x1),x2,A(x2),L , xn,A(xn)
量
不确定性
随机性——统计数学 模糊性——模糊数学
5.2 模糊理论的数学基础
➢5.2.1 经典集合论的基本概念 ➢5.2.2 模糊集合的基本概念 ➢5.2.3 模糊关系与复合运算
5.2.1 经典集合论的基本概念
➢1.集合的定义 ➢2.集合的基本术语 ➢3.经典集合的运算 ➢4.经典集合运算的性质
1.集合的定义
集合是数学的一个基本分支，在数学中占 据着一个及其独特的地位，其基本概念已经渗透 到数学的所有领域。对于集合的概念，集合论的 创立者德国数学家康托（George Contor）是这样 定义的：把若干确定的、有区别的（不论是具体 的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，这 个整体就叫做集合；其中的每个事物称为该集合 中的元素。
(3) 向量表示法
A A x1 , A x2 ,L , A xn
【例5-1】
Βιβλιοθήκη Baidu
zadeh法
A=
0.5 语文
0.8 数学
0.6 体育
0.9 音乐
0.3 美术
0.2 英语
序偶表示法
A=语文, 0.5, 数学, 0.8, 体育, 0.6, 音乐, 0.9, 美术, 0.3, 英语, 0.2
向量表示法 A=（0.5 0.8 0.6 0.9 0.3 0.2）
经典集合具有两条最基本的性质。其 一是元素之间界限分明、概念清晰；其二 是元素与集合之间的关系也很清晰，要么 是“属于”，要么是“不属于”，非此即彼。
1.模糊集合的定义
如果将隶属度的值域推广到闭区间[0，1]，在此 区间中， 越大表明x隶属于集合A的程度越高；反之， x隶属于集合A的程度越低。这样，我们就有了模糊集A 合的定义。 【定义5-1】 已知论域U，U到 闭区间的任一映射
xd
(5) Sigmoid型
f
x, a, c
1
1 ea x c
4.模糊集合的运算
设A、B为论域U上的两个模糊集合，则模糊集 合的基本运算定义如下： (1) 包含 若对于U中的每一个元素u，都有μA (u)≥μB(u)，则称A包含B，记作A⊇B。 (2) 相等 如果A⊇B且B⊇A，则称A与B相等， 记作A=B，即对于论域U中的每一个元素u都 有μA(u)=μB(u)。
3.常用的隶属度函数
➢ (1)三角型 ➢ (2) 钟型 ➢ (3) 高斯型 ➢ (4) 梯型 ➢ (5) Sigmoid型
(1)三角型
(2) 钟型
(3) 高斯型
xc2
f x, , c e 2 2
(4) 梯型
0
x
a
f
x,
a,
b,
c,
d
b
1
a
d
x
d c
0
xa a xb bxc cxd
(4) 补集
B AC U A x | x A且 x U
3.经典集合的运算
4.经典集合运算的性质
(1) 交换律 A∪B=B∪A,A∩B=B∩A (2) 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3) 分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩
A I B 0.4 0.7, 0.6 0.2, 0.8 0.6, 0.5 0.9, 0.3 0.1 0.4, 0.2, 0.6, 0.5, 0.1
Ac 0.6, 0.4, 0.2, 0.5, 0.7
5.2.3 模糊关系与复合运算
➢1.模糊矩阵与模糊关系 ➢2.模糊矩阵的运算 ➢3.模糊关系的合成运算
2.集合的基本术语
1. 论域。 2. 元素。 3. 空集。 4. 有限集和无限集。 5. 子集。
3.经典集合的运算
经典集合最基本的运算有并、交、差、补四种。
(1) 并集
C A U B x | x A或 x B
(2) 交集
C AI B x | x A 且 xB
(3) 差集
C A B x | x A 且 x B
第5章 模糊理论及应用
➢ 5.1 模糊理论的产生与发展 ➢ 5.2 模糊理论的数学基础 ➢ 5.3 模糊逻辑 ➢ 5.4 模糊控制系统及模糊控制器 ➢ 5.5 模糊聚类分析与模糊模式识别
5.1 模糊理论的产生与发展
模糊数学产生后，客观事物的确定性和不确 定性在量的方面的表现，可作如下划分：
确定性——经典数学
(4) 解析表示法 当U为连续域时，通常采用隶属函数的解析式
表示法来表示。
【例5-2】 设论域U 0,100 ，模糊集合B=“数值在50
左右”，可以用解析表达式来表示论域上任何一个元
素x对于集合B的隶属度为：B
(x)
=
1
1 x - 50
10
4
x U
B(10) 0.0039
B (50) 1
B(55.5) 0.916
【例5-3】 设A与B是论域Y上的两个模糊集合，已知
A 0.4, 0.6, 0.8, 0.5, 0.3
B 0.7, 0.2, 0.6, 0.9, 0.1
则通过模糊集合的运算可以得到： A U B 0.4 0.7, 0.6 0.2, 0.8 0.6, 0.5 0.9, 0.3 0.1 0.7, 0.6, 0.8, 0.9, 0.3
4.模糊集合的运算
(3) 并运算(A∪B) 对于论域U中的每一个元素 u，都有μA∪B(u)=μA(u)∨μB(u)，式中“∨”表 示取大运算。 (4) 交运算(A∩B) 对于论域U中的每一个元素 u，都有μA∩B(u)=μA(u)∧μB(u)，式中“∧”表示 取小运算。 (5) 补运算(AC) (u)=1-μA(u)。
5.2.2 模糊集合的基本概念
➢1.模糊集合的定义 ➢2.模糊集合的表示方法 ➢3.常用的隶属度函数 ➢4.模糊集合的运算
2.模糊集合的表示方法
当U为离散有限域 时，常用zadeh表示法、序偶表 示法以及向量表示法来表示模糊集合。
(1)
zadeh表示法
A
A ( x1)
x1
A(x2 )
x2
L
A(xn )
xn
n A(xi )
i1 xi
(2) 序偶表示法
A x1,A(x1),x2,A(x2),L , xn,A(xn)
量
不确定性
随机性——统计数学 模糊性——模糊数学
5.2 模糊理论的数学基础
➢5.2.1 经典集合论的基本概念 ➢5.2.2 模糊集合的基本概念 ➢5.2.3 模糊关系与复合运算
5.2.1 经典集合论的基本概念
➢1.集合的定义 ➢2.集合的基本术语 ➢3.经典集合的运算 ➢4.经典集合运算的性质
1.集合的定义
集合是数学的一个基本分支，在数学中占 据着一个及其独特的地位，其基本概念已经渗透 到数学的所有领域。对于集合的概念，集合论的 创立者德国数学家康托（George Contor）是这样 定义的：把若干确定的、有区别的（不论是具体 的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，这 个整体就叫做集合；其中的每个事物称为该集合 中的元素。
(3) 向量表示法
A A x1 , A x2 ,L , A xn
【例5-1】
Βιβλιοθήκη Baidu
zadeh法
A=
0.5 语文
0.8 数学
0.6 体育
0.9 音乐
0.3 美术
0.2 英语
序偶表示法
A=语文, 0.5, 数学, 0.8, 体育, 0.6, 音乐, 0.9, 美术, 0.3, 英语, 0.2
向量表示法 A=（0.5 0.8 0.6 0.9 0.3 0.2）
经典集合具有两条最基本的性质。其 一是元素之间界限分明、概念清晰；其二 是元素与集合之间的关系也很清晰，要么 是“属于”，要么是“不属于”，非此即彼。
1.模糊集合的定义
如果将隶属度的值域推广到闭区间[0，1]，在此 区间中， 越大表明x隶属于集合A的程度越高；反之， x隶属于集合A的程度越低。这样，我们就有了模糊集A 合的定义。 【定义5-1】 已知论域U，U到 闭区间的任一映射
xd
(5) Sigmoid型
f
x, a, c
1
1 ea x c
4.模糊集合的运算
设A、B为论域U上的两个模糊集合，则模糊集 合的基本运算定义如下： (1) 包含 若对于U中的每一个元素u，都有μA (u)≥μB(u)，则称A包含B，记作A⊇B。 (2) 相等 如果A⊇B且B⊇A，则称A与B相等， 记作A=B，即对于论域U中的每一个元素u都 有μA(u)=μB(u)。
3.常用的隶属度函数
➢ (1)三角型 ➢ (2) 钟型 ➢ (3) 高斯型 ➢ (4) 梯型 ➢ (5) Sigmoid型
(1)三角型
(2) 钟型
(3) 高斯型
xc2
f x, , c e 2 2
(4) 梯型
0
x
a
f
x,
a,
b,
c,
d
b
1
a
d
x
d c
0
xa a xb bxc cxd
(4) 补集
B AC U A x | x A且 x U
3.经典集合的运算
4.经典集合运算的性质
(1) 交换律 A∪B=B∪A,A∩B=B∩A (2) 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3) 分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩
A I B 0.4 0.7, 0.6 0.2, 0.8 0.6, 0.5 0.9, 0.3 0.1 0.4, 0.2, 0.6, 0.5, 0.1
Ac 0.6, 0.4, 0.2, 0.5, 0.7
5.2.3 模糊关系与复合运算
➢1.模糊矩阵与模糊关系 ➢2.模糊矩阵的运算 ➢3.模糊关系的合成运算
2.集合的基本术语
1. 论域。 2. 元素。 3. 空集。 4. 有限集和无限集。 5. 子集。
3.经典集合的运算
经典集合最基本的运算有并、交、差、补四种。
(1) 并集
C A U B x | x A或 x B
(2) 交集
C AI B x | x A 且 xB
(3) 差集
C A B x | x A 且 x B
第5章 模糊理论及应用
➢ 5.1 模糊理论的产生与发展 ➢ 5.2 模糊理论的数学基础 ➢ 5.3 模糊逻辑 ➢ 5.4 模糊控制系统及模糊控制器 ➢ 5.5 模糊聚类分析与模糊模式识别
5.1 模糊理论的产生与发展
模糊数学产生后，客观事物的确定性和不确 定性在量的方面的表现，可作如下划分：
确定性——经典数学
(4) 解析表示法 当U为连续域时，通常采用隶属函数的解析式
表示法来表示。
【例5-2】 设论域U 0,100 ，模糊集合B=“数值在50
左右”，可以用解析表达式来表示论域上任何一个元
素x对于集合B的隶属度为：B
(x)
=
1
1 x - 50
10
4
x U
B(10) 0.0039
B (50) 1
B(55.5) 0.916
【例5-3】 设A与B是论域Y上的两个模糊集合，已知
A 0.4, 0.6, 0.8, 0.5, 0.3
B 0.7, 0.2, 0.6, 0.9, 0.1
则通过模糊集合的运算可以得到： A U B 0.4 0.7, 0.6 0.2, 0.8 0.6, 0.5 0.9, 0.3 0.1 0.7, 0.6, 0.8, 0.9, 0.3
4.模糊集合的运算
(3) 并运算(A∪B) 对于论域U中的每一个元素 u，都有μA∪B(u)=μA(u)∨μB(u)，式中“∨”表 示取大运算。 (4) 交运算(A∩B) 对于论域U中的每一个元素 u，都有μA∩B(u)=μA(u)∧μB(u)，式中“∧”表示 取小运算。 (5) 补运算(AC) (u)=1-μA(u)。