随机变量及其概率分布经典教案

第15章随机变量及其概率分布

【授课对象】理工类专科大一

【授课时数】9学时

【授课方法】讲授与提问、随堂练习相结合

【基本要求】1、了解随机变量的概念；

2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；

3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质；

4、理解分布函数的概念，并知道其性质；

5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；

6、会求简单的随机变量函数的概率分布；

7、了解二维随机变量的概念，知道二维随机变量的边缘（边际）分布、

联合分布函数等概念；

【本章重点】随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；随机变量函数的概率分

布；熟记几种特殊分布的概率分布或密度函数。

【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的性质与相关计算；随机变量的函数的分布的求解。

【授课内容及学时分配】

§15.1随机变量

在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，同学们可能会注意到在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其

中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。

一般地，如果A 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生

联系：⎩⎨⎧=不发生

发生A A A 011 这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值发生联系。

为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。

引例：随机试验E1：从一个装有编号为0，1，2，...，9的球的袋中任意摸一球。则其样本空间Ω={0ω，1ω，...，9ω}，其中i ω“摸到编号为i 的球”，i =0,1,...,9. 定义函数 ξ：i ω→i ，即ξ(i ω)=i ，i =0，1， (9)

这就是Ω和整数集{0，1，2，…，9}的一个对应关系，此时ξ表示摸到球的号码。

从上例中，我们不难体会到：

①对应关系ξ的取值是随机的，也就是说，在试验之前，ξ取什么值不能确定，而是由随机试验的可能结果决定的，但ξ的所有可能取值是事先可以预言的。

②ξ是定义在Ω上而取值在R 上的函数。

同时在上例中，我们可以用集合{i ω：ξ(i ω)≤5}表示“摸到球的号数不大于5”这一随机事件，因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间Ω上的单值实函数ξ为随机变量。这就有了如下定义：

定义：设随机试验E 的样本空间为}{ω=Ω，ξ=ξ(ω)是定义在Ω上的单值实函数，若对任意实数x ，集合{ω：ξ(ω)≤x}是随机事件，则称ξ=ξ(ω)为随机变量。

定义表明随机变量ξ=ξ(ω)是样本点ξ的函数，为方便起见，通常写为ξ，而集合{ω：ξ(ω)≤x}简记为{ξ≤x}。

如在上例中，摸到不大于5号球的事件可表示为{ξ≤5}，则其概率为P{ξ≤5}=3/5。 随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机

现象的研究。正因为随机变量可以描述各种随机事件，使我们摆脱只是孤立的去研究一个随机事件，而通过随机变量将各个事件联系起来，进而去研究其全部。今后，我们主要研究随机变量和它的分布。

§15.2 随机变量的概率分布

对于随机变量来讲，我们不仅关心它取哪些值，更关心它以多大的概率取那些值，即研究随机变量的统计规律性—分布函数。

一、随机变量的分布函数

由前可知，若ξ是随机变量，则对∀x ∈R ，{ξ≤x }是随机事件，所以P{ξ≤x }有意义。当实数a

可见，只要对一切实数x 给出概率P{ξ≤x }，则任何事件{a <ξ≤b }及它们的可列交、可列并的概率都可求得。从而P{ξ≤x }，x ∈R 完全刻划了随机变量ξ的统计规律，并决定了随机变量ξ的一切概率特征。

1.定义：设ξ是Ω上的随机变量，对∀x ∈R ，

称)(x F = P{ξ≤x }为ξ的分布函数。

2.性质：设)(x F 是随机变量ξ的分布函数，则)(x F 具有如下性质：

①单调非降性：即对R x x ∈<∀21，)()(21x F x F ≤

证明：对21x x <∀，有}{}{21x x ≤⊂≤ξξ，则

)(}{}{)(2211x F x P x P x F =≤≤≤=ξξ

②规范性：1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞

→-∞→x F F x F F x x ， ③右连续性：对,0R x ∈∀有 )()(lim 00x F x F x x =+

→ （性质②，③的证明可参考其它有关的资料）

注：反之可证明：对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则它一定是某随机变量的分布函数。

例1：判断下列函数是否为分布函数

⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2/12/0sin 00)(1ππx x x x x F （√） ⎪⎩

⎪⎨⎧≥<≤<=ππx x x x x F 10cos 00)(2 （×）

由定义可见，要计算ξ取值的概率可以通过其分布函数来实现。为了研究随机变量ξ的概率分布，我们常选择)(x F 来代替之。

3.运算：若R b a ∈<，)(~x F ξ 则有：

{}()()

{}lim ()(0)ˆ{}{}{}()(0)

{}1(){}1(0)

{}()(0)

{}(0)(0)

{}(0)()

x a P a b F b F a P a F x F a P a P a P a F a F a P a F a P a F a P a b F b F a P a b F b F a P a b F b F a →-

<ξ≤=-ξ<==-ξ==ξ≤-ξ<=--ξ>=-ξ≥=--≤ξ≤=--≤ξ<=---<ξ<=-- 例2：已知ξ的分布函数为

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=31

3212/11213/2102/00)(x x x x x x x F

求}42{},2/1{},1{},3{<<>=≤ξξξξP P P P 。

解：

12

/112/111)2()04(}2{}4{}42{4

/34/11)2/1(1}2/1{1}2/1{6/12/13/2)01()1(}1{1

)3(}3{=-=--=≤-<=<<=-=-=≤-=>=-=--====≤F F P P P F P P F F P F P ξξξξξξξ 例3：设某随机变量的分布函数为x B A x F arctan )(+=，试确定A ，B 的值。

解：由12/)arctan (lim )(lim )(0

2/)arctan (lim )(lim )(=+=+==+∞=-=+==-∞+∞→+∞→-∞→-∞

→B A x B A x F F B A x B A x F F x x x x ππ

得π/1,2/1==B A