2021届高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和教师文档教案文北师大版.doc

第三节 等比数列及其前n 项和

授课提示：对应学生用书第96页

[基础梳理]

1．等比数列的有关概念 (1)定义：

①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．

②符号语言：a n ＋1

a n

＝q (n ∈N ＋，q 为非零常数)．

(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a 、G 、b 不为零)． 2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1． (2)前n 项和公式：

S n ＝⎪⎨⎪

⎧na 1，q ＝1，

a 1（1－q n ）1－q

＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.

3．等比数列的性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －

m (m ，n ∈N ＋)．

(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ．

(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N ＋，公比q ≠－1)．

(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．

(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ．

1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论．

(2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n

＝A －A ·q n .

2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ； 当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .

[四基自测] 1．(基础点：等比中项)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案：C

2．(基础点：等比数列的前n 项和)设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 答案：C

3．(基础点：求等比数列的项)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案：12，48

4．(基础点：等比数列的通项)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________．

答案：－2n －

1

授课提示：对应学生用书第96页

考点一 等比数列的基本运算及性质

挖掘1 利用基本量进行计算/ 自主练透 [例1] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2 [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪

⎧a 1＞0，q ＞0，

a 1

＋a 1

q ＋a 1q 2

＋a 1q 3

＝15，a 1q 4

＝3a 1q 2

＋4a 1

，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，

q ＝2，

∴a 3＝a 1q 2＝4.故选C.

[答案] C

(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6

，则S 5＝________.

[解析] 由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5

，

整理得q ＝1a 1＝3.∴S 5＝1

3（1－35）1－3＝121

3.

[答案] 121

3

(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；

②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .

[解析] ①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.

②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n

3

.

由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6. [破题技法]

方法 解读

适合题型

基本量法

设出a 1和q ，将已知条件用a 1和q

表示，建立方程组求出a 1和q 题设中有五个基本量a 1，q ，a n ，S n ，n

中的两个

[例2] (1)(2020·哈尔滨模拟)等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋log 3a 5

[解析] 由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10. [答案] B (2)(2020·湖南衡阳一模)在等比数列{a n }中，a 1a 3＝a 4＝4，则a 6的所有可能值构成的集合是( ) A ．{6} B ．{－8，8} C ．{－8} D ．{8}

[解析] ∵a 1·a 3＝a 22＝4，∴a 2

＝±2. 当a 2＝－2时，a 23＝a 2·

a 4＜0无意义， ∴a 2＝2.∴q 2＝a 4

a 2＝2，

∴a 6＝a 4·q 2＝4×2＝8. [答案] D [破题技法] 方法 解读

适合题型

性质法

利用等比数列的性质化简已知条件

题设中有“a n ·a m ”型的表达式或a n

a m

＝q n －m

1．(2020·湖北荆州联考)已知数列{a n }为等差数列，且2a 1，2，2a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )

A ．15 B.21

2

C ．6

D ．3 解析：由2a 1，2，2a 6成等比数列，可得4＝2a 1·2a 6＝2a 1＋a 6，即a 1＋a 6＝2，又数列{a n }为等

差数列，所以{a n }前6项的和为1

2

×6(a 1＋a 6)＝6.故选C.

答案：C

2．(2020·山东菏泽一模)在等比数列{a n }中，a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16

a 9

的值为

( ) A ．2 B ．－ 2 C. 2 D ．－2或 2 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2a 16＝2，即有

a 21q 16＝2，则有a 29＝2，则a 2a 16

a 9＝a 9＝±2.故选D. 答案：D

考点二 等比数列的判定与证明

挖掘1 定义法证明等比数列/ 互动探究 [例1] (2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.

(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．

[解析] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝1

2(a n ＋b n )．

又因为a 1＋b 1＝1，

所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为1

2

的等比数列．