(完整版)平面向量的数量积优秀教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）

教材分析：

教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。

教学目标：

1.掌握平面向量数量积的定义

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律

教学重点：

平面向量的数量积定义.

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学方法：

1. 问题引导法

2. 师生共同探究法

教学过程：

一．回顾旧知 向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下：

（1）= （2）当λ>0时,λ的方向与a 方向相同，当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地，当0=λ或=时，=λ 向量的数乘运算律：设a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μ)=()a λμ

② (λ+μ)=μλ+

③ λ(+)=λλ+

二．情景创设

问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，

那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？

三．学生活动

联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。

问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为多少？

W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ，其中θ是F 与s 的夹角.

若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念.

四．建构数学

1.向量数量积的定义

已知两个非零向量a ρ与b ρ，它们的夹角是θ，则数量｜a ρ｜｜b ρ｜cos θ叫a ρ与b ρ的数量积，

记作a ρ·b ρ，即有a ρ·b ρ＝｜a ρ｜｜b ρ｜cos θ

说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定

（2）θ是a ρ与b ρ的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量

必须是同起点的.）

当θ＝0时，a ρ与b ρ同向；a ρ·b ρ＝｜a ρ｜｜b ρ｜cos0＝｜a ρ｜｜b ρ｜

当θ＝π2 时，a ρ与b ρ垂直，记a ρ⊥b ρ；a ρ·b ρ＝｜a ρ｜｜b ρ｜cos 2

π=0 当θ＝π时，a ρ与b ρ反向；a ρ·b ρ＝｜a ρ｜｜b ρ｜cos π=－｜a ρ｜｜b ρ｜

（3）规定·a ρ＝0；a ρ2＝a ρ·a ρ＝｜a ρ｜2或｜a ρ（4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替

2. 向量数量积的运算律 已知a ρ，b ρ，和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：

①a ρ·b ρ＝b ρ·a ρ (交换律)

②(λa ρ)·b ρ＝λ (a ρ·b ρ)＝a ρ·

(λb ρ) (数乘结合律) ③(a ρ＋b ρ)·c ＝a ρ·c ＋b ρ·c (分配律) ④(a ρ·b ρ)c ≠a ρ (b ρ·

c ) （一般不满足结合律） 五．例题剖析

加深对数量积定义的理解

例1 判断正误，并简要说明理由.

① a •0＝0； ② 0•a ＝0； ③ 若a ≠0，则对任意非零向量b ρ，有0≠⋅b a ④ 如果0〉⋅b a ，那么a ρ与b ρ夹角为锐角

⑤ 若c b c a ⋅=⋅，则b a =

⑥ 若0≠c 且c b c a ⋅=⋅，则b a =

⑦ 若b a //，则a ρ·b ρ＝｜a ρ｜｜b ρ｜

⑧ a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2

数量积定义运用 例2： 已知a =r 2，b =r 3，θ为a ρ与b ρ的夹角，分别在下列条件下求a ·b

（1）a ρ与b ρ的夹角为135° （2）a ∥b （3）a ⊥b

变式：已知｜a ｜＝4，｜b ｜＝6，a ρ与b ρ的夹角θ为60°，求

（1） b a ⋅ （2）()b a a +⋅ （3）()()

b a b a 32+⋅-

概念辨析，正确理解向量夹角定义

例3 已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，求BC →·CA →

变式：三角形ABC 中，若0〉⋅CA BC ,判断三角形ABC 的形状

()DAB ABCD ⋅=∠==︒.1:,60,34,.4求中在平行四边形例

()⋅.2

六．课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.

七．课堂检测

1.

=4

=6，m 与n 的夹角为0150，则=⋅n m .

2.若b a ⋅<0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是（ ） A. 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. ,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

3.下列等式中，其中正确的是 （ ）

①

2a = ② 2b a ⋅③ ()222b a b a ⋅=⋅ ④()2b a +=2

22b b a a +⋅+ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.

5=

8=，20-=⋅b a ，则a 与b 的夹角为 。

5.已知单位向量1e 和2e 的夹角为060，则()()

=+⋅-2121232e e e e 。 八．课后作业

必做题：课本81页 习题2.4 第1，2题

九．教学反思

教学中应该强调向量数量积是实数，但与实数运算律有很大区别。讲解数量积定义时可适当拓展数量积几何意义，让学生了解投影的概念。