蒙特卡洛方法在中子输运中的应用

《中子输运理论和数值方法》课程作业

——蒙特卡洛方法

目录

1. 前言 (2)

2. 蒙特卡洛方法概述 (2)

2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 (3)

2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 (3)

2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性 (3)

2.2.2 蒙特卡洛方法的误差 (4)

2.3 蒙特卡洛方法的特点 (5)

2.4 蒙特卡洛方法的主要使用范围 (6)

3. 随机数 (6)

3.1 线性乘同余方法 (8)

3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 (8)

3.2.1 伪随机数的均匀性 (8)

3.2.2 伪随机数的独立性 (9)

4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的使用 (9)

4.1 屏蔽问题模型 (9)

4.2 直接模拟方法 (10)

4.2.1 状态参数和状态序列 (10)

4.2.2 模拟运动过程 (11)

4.2.3 记录结果 (14)

4.3 蒙特卡洛方法的效率 (15)

5. 蒙特卡洛方法使用程序—MCNP (15)

5.1 MCNP简述 (15)

5.2 MCNP误差的估计 (17)

5.3 MCNP效率因素 (18)

6. 结论 (18)

参考文献 (18)

1.前言

半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验和研制中得到了使用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但和一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的使用领域日趋广泛。蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域实际问题的计算，都可以利用蒙特卡洛方法予以实现。

粒子输运过程可以用玻耳兹曼方程加以描述，然而，以此基础上发展起来的近似数值方法如扩散近似法、离散坐标方法在处理截面和能量相关以及散射各向异性介质、复杂几何条件问题时碰到了较大困难。而蒙特卡洛方法在处理这类问题时得心应手，有很强的解题能力，并且近似较少，接近于真实情况。

粒子辐射问题计算通常有输运方程法、蒙特卡洛法(MC法)、实验测量法以及经验法等几种方法。蒙特卡洛计算法又称随机抽样法或统计试验法，是基于计算机模拟的思想，抓住物理过程的数量和几何特征，进行数字模拟试验，该方法是求解辐射输运问题的一种相当成熟和有效的方法，而且它对于各种复杂问题，具有良好的通用性，实用性相当广泛，几乎涉及核科学的各个领域。本文主要介绍蒙特卡洛的概念、原理和使用及研究现状。

2. 蒙特卡洛方法概述

蒙特卡洛方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验和研制中得到了使用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但和一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的使用领域日趋广泛。

蒙特卡洛方法的主要组成部分有：

(1)概率密度函数(pdf)— 必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数；

(2)随机数产生器—能够产生在区间[0,1]上均匀分布的随机数；

(3)抽样规则—如何从在区间[0,1]上均匀分布的随机数出发,随机抽取服从给定的pdf 的随机变量；

(4)模拟结果记录—记录一些感兴趣的量的模拟结果；

(5)误差估计—必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其它一些量的变化；

(6)减少方差的技术—利用该技术可减少模拟过程中计算的次数；

(7)并行和矢量化—可以在先进的并行计算机上运行的有效算法

2.1 蒙特卡洛方法的基本思想

可以通俗地说，蒙特卡洛方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望

0()()g g r f r dr ∞<>=⎰ (0.1)

通过某种试验，得到N 个观察值r 1，r 2，…，r N （用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取N 个子样r 1，r 2，…，r N ，），将相应的N 个随机变量的值g(r 1)，

g(r 2)，…，g(r N )的算术平均值11()N

N i

i g g r N ==∑，作为积分的估计值（近似值）。 为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡洛方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡洛方法得以广泛地使用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。

2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差

蒙特卡洛方法作为一种计算方法，其收敛性和误差是普遍关心的一个重要问题。

2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性

由前面介绍可知，蒙特卡洛方法是由随机变量X 的简单子样X 1，X 2，…，

X N 的算术平均值11N N i i X X N

==∑.作为所求解的近似值。由大数定律可知，如X 1，

X 2，…，X N 独立同分布，且具有有限期望值，则()1lim N N P X E X →∞⎛⎫== ⎪⎝⎭

。即随机变量X 的简单子样的算术平均值N X ，当子样数N 充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。

2.2.2 蒙特卡洛方法的误差

蒙特卡洛方法的近似值和真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列X 1，X 2，…，X N 独立同分布，且具有有限非零的方差σ2，即220(())()x E X f x dx σ≠=-<∞⎰。f (X)是X 的分布密度函数。则 2/2()2lim x

t N x N N P X E X x e dt σπ--→∞⎫-<=⎪⎪⎭ (0.2)

当N 充分大时，有如下的近似式 2/20()12t N P X E X e dt N α

λα

απ-⎛-<≈=- ⎝ (0.3)

其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，不等式()N X E X N

α-<近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为1/2()O N -。通常，蒙特卡洛方法的误差ε定义为 N αε= (0.4)

上式中αλ和置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出αλ。常用的α和αλ的对应关系为：α=0.5，αλ=0.6745；α=0.05，αλ=0.96；α=0.003，αλ=3. 蒙特卡洛方法的误差为概率误差，这和其他数值计算方法是有区别的。误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值 221111ˆ()N N

i i i i X X N N σ===-∑∑(0.5)