勾股定理及其逆定理 一

勾股定理及其逆定理一、知识点

（即：a2+b2=c2）

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

3、满足的三个正整数，称为勾股数。

二、典型题型

1、求线段的长度题型

2、判断直角三角形题型

3、求最短距离

三、主要数学思想和方法(1)面积法．

例1已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD的长．

(2)构造法．例8、已知：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13．求△ABC的面积．

(3)分类讨论思想．（易错题）

例3在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为．

例4. 在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高线AD=12。试求BC的长。

例5、在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为．

练习： 1、在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为

2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。

(5)方程思想．

例6如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只

猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶

A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C．已

知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB的高度．

例题7、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

例9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。

练习： 1、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使

点B落在点D处，点C落在C’处，折痕EF与

BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的

长。

2、已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．

求AC的长．

(4)转化思想．

例10.如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？

例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）．

A.厘米

B.厘米

C.厘米

D.9厘米

例4．如图3所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？

（5）、数形结合思想

例 5. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。如图：

以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。

（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？

（3）如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为下图，求阴影部分的面积。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）

例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm，且标杆顶着地处比前次远10cm，求标杆的高．

五、整体思想

例6：已知a、b、c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S△ABC=

例7：如图10，长为3厘米，长为4厘米，

长为13厘米．求正方形的面积．