复变函数(工程数学)教学大纲.doc

《复变函数》（工程数学）教学大纲
一、《复变函数》课程说明
（一）课程代码：08138013
（二）课程英文名称：Complex Function
（三）开课对象：通信工程专业本科生
（四）课程性质：
《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。

它的理论和方法广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。

本课程以高等数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。

（五）教学目的：
本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。

（六）教学内容：
本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数的积分，级数、留数，共形映射等。

（七）学时数、学分数及学时数具体分配
学时数：54 学时
分数： 3 学分
学时数具体分配：
（八）教学方式
教师课堂讲授为主。

（九）考核方式和成绩记载说明
考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。

二、讲授大纲与各章的基本要求
第一章复数与复变函数
教学要点：
1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算
2、了解区域的概念
3、理解复变函数的概念
4、理解复变函数的极限和连续的概念
教学时数：6学时
教学内容：
第一节复数及其代数运算
一、复数的概念
二、复数的代数运算
第二节复数的几何表示
一、复平面
二、复球面
第三节复数的乘幂与方根
一、乘积与商
二、幂与根
第四节区域
一、区域的概念
二、单连通域与多连通域
第五节复变函数
一、复变函数的定义
二、映射的概念
第六节复变函数的极限和连续性
1、函数的极限
2、函数的连续性
考核要求：
1、复数及其代数运算
1.1 复数的概念（识记）
2、复数的乘幂与方根
2.1 复数的乘积、商（应用）
2.2 复数的幂与根（应用）
3、区域（识记）
4、复变函数的极限、连续（领会）
第二章解析函数
教学要点：
1、理解函数的导数及解析的概念
2、掌握复变函数可导及解析的充要条件
3、了解指数函数、三角函数，对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质。

教学时数：8学时
教学内容：
第一节解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
二、解析函数的概念
第二节函数解析的充要条件
第三节初等函数
一、指数函数
二、对数函数
三、乘幂b a与幂函数
四、三角函数与双曲函数
考核要求：
1、解析函数的概念
1.1 复变函数可导与解析（领会）
2、函数解析的充要条件
2.1 可导、解析的充要条件（应用）
3、初等函数
3.1指数函数、对数函数、乘幂b a、幂函数、三角函数（识记）
第三章哥西定理哥西积分
教学要点：
1、理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分。

2、理解柯西—古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分定理。

掌握柯西积分公式和高阶导数公式。

知道解析函数无限次可导的性质。

3、了解调和函数与解析函数的关系，掌握由解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。

教学时数：10学时
教学内容：
第一节复变函数积分的概念
一、积分的定义
二、积分存在的条件及其计算
三、积分的性质
第二节 柯西—古萨基本定理
第三节 基本定理的推广——复合闭路定理 第四节 原函数与不定积分 第五节 柯西积分公式
第六节 解析函数的高阶导数
第七节 解析函数与调和函数的关系 考核要求：
1、复变函数积分的概念
1.1 复积分（识记、领会、应用） 2、柯西—古萨基本定理（领会）
3、基本定理的推广——复合闭路定理（领会）
4、原函数与不定积分（应用）
5、柯西积分公式（应用）
6、解析函数的高阶导数
6.1 高阶导数公式（应用）
6.2 解析函数无限次可导的性质（识记） 7、解析函数与调和函数的关系
7.1解析函数与调和函数的关系（识记）
7.2由解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法（应用）
第四章 级 数
教学要点：
1、理解复数级数收敛、发散和绝对收敛的概念。

2、了解幂级数收敛园的概念。

掌握幂级数收敛半径的求法。

了解幂级数在收敛园内的一些基本性质。

4、 泰勒定理及洛朗定理。

5、 掌握e X ，sin z ，cos z ，ln （1+z ），（1+z ）n 的泰勒展式，了解弧立奇点的分 类。

6、 掌握简单函数，如
z
11
，在其弧立奇点附近展开为洛朗级数的间接方法（代 数变换法、逐项求导及逐项积分等）。

教学时数：12学时 教学内容：
第一节 复数项级数的收敛性 一、复数列的极限 二、级数概念 第二节 幂级数
一、幂级数的概念
二、收敛圆与收敛半径
三、收敛半径的求法
四、幂级数的运算和性质
第三节泰勒级数
第四节洛朗级数
考核要求：
1、复级数的基本性质
1.1 复数项级数收敛、发散、绝对收敛（领会）
2、幂级数
2.1 幂级数收敛圆的（领会）
2.2 幂级数收敛半径（掌握）
2.3 幂级数的一些基本性质（领会）
3、泰勒级数
3.1 泰勒定理（领会）
3.2 e X，sin z，cos z，ln（1+z），(1+ z)n的泰勒展式（识记）
4、洛朗级数（应用）
第五章留数
教学要点：
1、理解留数的概念。

掌握留数的计算方法。

2、理解留数定理。

3、了解留数在积分中的应用。

教学时数：10学时
教学内容：
第一节孤立奇点
一、可去奇点
二、极点
三、本性奇点
四、函数的零点与极点的关系
五、函数在无穷远点的性态
第二节留数
一、留数的定义及留数定理
二、留数的计算规则
三、在无穷远点的留数
第三节留数在定积分计算上的应用
一、形如2
(cos,sin) R d π
θθθ
⎰的积分
二、形如()R x dx ∞
-∞⎰
的积分
三、形如
()(0)aix R x e dx a ∞
-∞
>⎰
的积分
考核要求： 1、留数
1.1 留数（识记）
1.2 留数定理（领会） 1.3 留数的计算（应用）
第六章 共形映射 教学要点：
1、理解导数的几何意义和保形映射概念。

2、熟练掌握e z ,Inz,z 的性质。

3、熟练掌握分式线性映射的基本性质。

4、能将一些较简单的单连通区域变换成单位圆或上半平面。

教学时数：8学时 教学内容：
第一节 共形映射的概念
一、解析函数的导数的几何意义 二、共形映射的概念 第二节 分式线性映射 一、保角性
二、保圆性 三、保对称性
第三节 唯一决定分式线性映射的条件 第四节 几个初等函数所构成的映射
一、幂函数n
w z =（2n ≥为自然数） 二、指数函数z w e =
考核要求：
1、共形映射的概念
1.1 解析函数的导数（识记）
2.1 共形映射（识记） 2、分式线性映射（应用）
3、几个初等函数所构成的映射
3.1 幂函数、指数函数的映射（应用）
三、推荐教材和参考书目
1、工程数学《复变函数》，西安交通大学高等数学教研室编，第四版，高等教育出版
社，1996
2、《复变函数论》，钟玉泉编，第二版，高等教育出版社，2000。