线性规划所有类型总结(很全的)

合集下载

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在实际问题中具有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将对线性规划的相关知识点进行总结，包括线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用场景等方面。

一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为一个关于决策变量的数学表达式。

2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。

约束条件可以包括等式约束和不等式约束。

3. 决策变量：线性规划的解决方案通常涉及一组决策变量，这些变量的值可以被调整以满足约束条件并优化目标函数。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

可行解的集合构成了可行域。

二、线性规划模型的建立1. 建立目标函数：根据问题的具体要求，将目标转化为数学表达式，并确定是最大化还是最小化。

2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。

3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，定义需要优化的变量。

4. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。

三、线性规划的解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图形方法进行求解。

通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法，适用于多维线性规划问题。

通过迭代计算，找到目标函数的最优解。

3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。

整数规划问题通常比线性规划问题更复杂，求解难度更大。

四、线性规划的应用场景1. 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或最小化成本。

通过考虑资源限制和需求量，可以确定最佳的生产数量和产品组合。

2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，以达到最大的效益。

例如，可以通过线性规划确定最佳的人员调度、物资采购和设备配置方案。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结一、概述线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

通常用z表示。

2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或者不等式，这些等式或者不等式称为约束条件。

3. 变量：线性规划中的变量是决策问题中需要确定的值，可以是实数或者非负实数。

4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值称为最优解。

三、标准形式线性规划问题可以通过将不等式约束转化为等式约束来转化为标准形式，标准形式的线性规划问题如下：最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；aᵢₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ...,bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为变量。

四、解法线性规划问题的解法主要有下列两种方法：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到可行域和最优解。

2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。

单纯形法是一种高效的算法，广泛应用于实际问题中。

五、常见应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本。

2. 运输问题：确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。

3. 资源分配：确定最佳的资源分配方案，以最大化效益或者最小化浪费。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，用于在一定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。

线性规划常被应用于经济、生产、管理等领域，旨在优化资源的利用，实现目标的最大化或最小化。

本文将对线性规划的基本概念、问题建模、解决方法以及应用领域进行总结。

一、基本概念1.1 目标函数目标函数是线性规划的核心部分，通常用来衡量系统的效益。

它是一个关于决策变量的线性函数，其形式可以是最大化或最小化。

1.2 约束条件约束条件用来限制决策变量的取值范围，确保问题的解满足实际情况。

约束条件可以是等式约束或不等式约束，也可以包含多个条件。

1.3 决策变量决策变量是问题中的未知数，决策者需要根据实际情况确定其取值范围，以达到最优解。

二、问题建模2.1 目标函数的确定根据实际问题确定目标函数，并明确最大化或最小化的目标。

2.2 约束条件的设定根据问题的实际情况，将约束条件转化为线性等式或不等式，并将其表示成一组数学表达式。

2.3 决策变量的确定根据问题的要求，确定决策变量的取值范围，可用数学符号表示。

三、解决方法3.1 图形法图形法是线性规划中最直观的解法，适用于二维或三维线性规划问题。

通过绘制等式或不等式的图形，找出目标函数的最优解。

3.2 单纯形法单纯形法是一种高效的解法，适用于多维线性规划问题。

通过构建初始可行解，通过迭代计算，逐步接近最优解。

3.3 整数规划整数规划是线性规划的扩展，要求决策变量取值为整数。

其求解方法包括分支定界法、割平面法等。

四、应用领域4.1 生产与运作管理线性规划可用于生产计划、物流优化、资源调度等问题，通过最优化资源利用，降低成本、提高效益。

4.2 金融领域线性规划被广泛应用于证券组合优化、资产配置、风险管理等领域，帮助投资者做出最佳投资决策。

4.3 能源与环境管理线性规划用于能源生产、污染物排放控制等问题，通过均衡能源利用，降低环境影响。

线性规划总结

线性规划题型总结知识点（1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线．（2际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解．（3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．题型一：给出具体的变量,x y满足约束条件，求线性目标函数的最值。

常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。

例1、已知变量,x y满足约束条件241yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y=+的最大值为( )【解析】选B约束条件对应ABC∆边际及内的区域：53 (2,2),(3,2),(,)22 A B C则3[8,11] z x y=+∈例2、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C则[3,0]t x y =-∈-练习题：1、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为（D ）.A ．20B ．35C ．45D ．552、若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为。

线性规划知识总结

线性规划知识总结1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。

（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。

对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。

对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。

注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。

2. 线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。

解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。

（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。

（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。

（4）注意实际问题中的特殊要求。

说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。

知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域例1：基础题1. 不等式组201202y x x y -->⎧⎪⎨-+≤⎪⎩表示的平面区域是（）A B C D2. 如图，不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积是________________。

线性规划总结

第一章线性规划问题的数学模型（运输问题、布局问题、分配问题、生产组织与计划问题、合理下料问题、配料问题）某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品。

现有两种木材，第一种有72立方米，第二种有56立方米。

假设生产每种产品都需要用两种木材。

生产一只圆桌和一个衣柜所需木料如下表。

每生产一只圆桌可获利润6元；生产一个衣柜可获利润10元。

木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少，才使获得利润最多？产品木料（单位：立方米）第一种第二种圆桌0.18 0.08衣柜0.09 0.28 解：设生产圆桌x1只，生产衣柜x2个，由题意得约束条件：0.18X1+0.09X2<=720.08X1+0.28X2<=56X ij>=0(i,j=1,2)得到目标函数利润maxs=6x1+10x2第二章线性规划问题解的性质（主要使用图解法解决线性规划问题）用图解法解下列线性规划问题（1）mins=-x1+2x2 (2)maxs=-x1+2x2 (3)maxs=3x1+6x2 (4)maxs=3x1+6x2X1-X2>=-2 X1-X2>=-2 X1-X2>=-2 X1-X2<=-2X1+2X2<=6 X1+2X2<=6 X1+X2<=-5X1,X2>=0 X1,X2>=0 X1,X2>=0 X1,X2>=0解：y X2-X1+X2=2S1X1-2 -11236X1-X2=-2X1+2X2=6S223X1+6X2=6S3（1）由约束条件画图：令s=-x1+2x2=2，并找与之平行的直线在可行区域内上下移动，找出与可行域用公共点且纵截距最小的直线，得到直线S1，最优解为X1=6，X2=0（2）同样的方法，画图可知约束条件为一个开放区域，因此无最优可行解（3）令s=3x1+6x2 =6，所表示的直线S3与X1+2X2=6平行，所以有无穷多最优解（4）画图可知，约束条件之间没有交集，即没有可行域，所以无可行第三章单纯形方法1.写出线性规划问题maxs=2x1+x2 +4x3的任意一个可行基及对应的单纯形表。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。

本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。

2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为等式或者不等式。

3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。

三、模型建立1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。

决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。

2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。

例如，最大化利润、最小化成本等。

3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。

约束条件通常表示为等式或者不等式。

4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。

四、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。

首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。

通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。

3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。

整数规划通常比线性规划更复杂，求解时间更长。

4. 网络流算法：对于某些特殊的线性规划问题，可以使用网络流算法进行求解。

网络流算法利用图论的方法，将问题转化为网络流问题进行求解。

五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。

2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，如人力资源、物资资源等。

高中数学线性规划知识总结+练习

（一）知识内容1.二元一次不等式表示的区域对于直线(A 〉0)当B >0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域。

当B <0时, 表示直线下方区域；表示直线的上方区域。

2.线性规划(1）不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件。

z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。

(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(3）那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。

其中可行解（)和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行（二）主要方法：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1。

首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）。

2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析,平移直线l 0，从而找到最优解。

4。

最后求得目标函数的最大值及最小值.（三）典例分析：1。

二元一次不等式（组)表示的平面区域【例1】画出下列不等式（或组）表示的平面区域⑴⑵求不等式表示的平面区域的面积。

2.区域弧长、面积问题【例2】若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( ）A ．B ．C ．D ．【例3】若，，且当时,恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于．例题精讲高考要求板块一：线性规划【例4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（）A．B．C．D．【例5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【例6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ )A． B．C．D．3.线性规划【例7】设变量，满足约束条件：．则目标函数的最小值为（)A．6 B．7 C．8 D．23【变式】已知实数、满足，则的最大值是( ）A．B．C．D．【例8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于______．【例9】设变量,满足约束条件，则函数的最大值为（）A．B．C．D．【例10】若实数满足,则的最小值为．4。

线性规划总结

5、已知则的最小值是.
（2）斜率型目标函数: 目标函数为型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，0）,( )连线的斜率
例4.设实数x,y满足 .
练习题：1、设满足约束条件，则取值范围是
2、设变量、满足约束条件，则最小值为
例2、已知x，y满足，则的最大值为___________，最小值为____________．
练习题：1、如果实数满足，目标函数的最大值为12，最小
值为3，那么实数为
2、若直线上存在点满足约束条件 ,则实数的最大值为（）
【解析】选约束条件对应边际及内的区域：
则
例2、若满足约束条件：；则的取值范围为
【解析】的取值范围为
约束条件对应边际及内的区域：
则
练习题：
1、设变量满足，则的最大值为（D）.
A．20B．35C．45D．55
2、若满足约束条件，则的最小值为。
答案：
3、【2012高考山东理5】已知变量满足约束条件，则目标函数
（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．
题型二：求可行域的面积：关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形
例1、不等式组表示的平面区域的面积是 ( )
(A)4 (B)4(C)2 (D)2
解：可行域是A,B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学建模技术，用于优化问题的求解。

它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及常见的应用案例。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

通常用Z表示，可以是利润、成本等。

2. 约束条件：线性规划问题需要满足一系列约束条件，这些约束条件用一组线性不等式或等式表示。

例如，生产的数量不能超过某个限制，资源的使用量不能超过可用数量等。

3. 决策变量：线性规划问题中需要确定的变量称为决策变量，通常用X1、X2等表示。

决策变量的取值决定了问题的解。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。

三、模型建立线性规划问题的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。

以下是一个简单的线性规划模型示例：假设某公司生产两种产品A和B，目标是最大化总利润。

已知每单位A产品的利润为P1，每单位B产品的利润为P2。

同时，公司有两个限制条件：1）每天生产的产品总数不能超过N个；2）每天生产的产品A和B的总数不能超过M个。

现在需要确定每天生产的A和B产品的数量。

决策变量：设每天生产的A产品数量为X1，B产品数量为X2。

目标函数：总利润为Z = P1*X1 + P2*X2。

约束条件：1）生产总数限制：X1 + X2 ≤ N；2）产品总数限制：X1 + X2 ≤ M。

四、求解方法线性规划问题可以使用各种求解方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法等。

以下是单纯形法的基本步骤：1. 初等行变换：将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。

2. 构造初始可行解：通过人工选取初始可行解，使得目标函数值为0。

3. 选择进入变量：选择一个非基变量作为进入变量，使得目标函数值增加最快。

线性规划知识点

线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍线性规划的相关知识点。

一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。

目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。

1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。

1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。

二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。

2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。

2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。

三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。

3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。

对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。

3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。

整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。

四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。

4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。

4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。

五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。

对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。

线性规划类型

线性规划（1）截距类 by ax z +=（2）距离类 1 by y ax x z +++=22（3）距离类 2||c by ax y ++=（4）斜率类ax b y y --= （5）已知了函数最值，考查可行域范围（5）有无数个最值，求条件例1. 已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（）A ．5B ．-6C ．10D ．-10 解析：画出可行域，目标函数变为421z x y +-=，直线在y 轴上的截距为4z ，当直线变动且经过可行域，观察它经过点时，它在轴上的截距最小，最小值是6-，正确答案选B待定系数法1 (2011全国新课标理13)若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为解析：设)()2(2y x n y x m y x -++=+，则有⎩⎨⎧=-=+212n m n m ，∴⎩⎨⎧-==11n m 326≤+≤-y x ，6min -=z2（2010江苏）设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43y x 的最大值是。

解析：设n m n m n m y x y x xy y x -+==222243)()(，则⎩⎨⎧-=-=+4232n m n m 解得⎩⎨⎧=-=21n m 2111[,]83xy ∈，22()[16,81]x y ∈，322421()[2,27]x x y y xy=⋅∈，43y x 的最大值是27。

变式3. 已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域. 解析：画出可行域是右半圆，它表示半圆内的点和点)3,1(--连线的斜率的取值范围。

利用距离公式变式4. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则22448w x y x y =+--+的最值为___________.解析：2222)2()2(844-+-=+--+y x y x y x ，它表示点),(y x 和点)2,2(的距离的平方和。

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、投资组合等。

本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行详细介绍。

二、基本概念1. 线性规划问题：线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。

它包括目标函数、约束条件和决策变量。

2. 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，表示要最小化或最大化的目标。

3. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了决策变量的取值范围。

4. 决策变量：线性规划的决策变量是需要决策的变量，它们的取值决定了目标函数的值。

三、模型建立1. 建立目标函数：根据问题的要求，将目标转化为线性函数，确定需要最小化或最大化的目标。

2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性不等式或等式。

3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，确定需要决策的变量及其取值范围。

四、解法1. 图解法：对于二维问题，可以使用图形方法进行求解。

将约束条件绘制在坐标系上，通过图形的交点确定最优解。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。

它通过迭代计算，逐步接近最优解。

3. 整数规划：当决策变量为整数时，可以使用整数规划方法进行求解。

它将线性规划问题扩展为整数规划问题，通过枚举法或分支定界法求解最优解。

五、应用1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各个产品的生产数量，以最大化利润或最小化成本。

2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最优分配方案，以满足各个需求的最大化或最小化。

3. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各个资产的投资比例，以最大化收益或最小化风险。

六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，通过建立数学模型，可以求解在一组线性约束条件下的最优化问题。

它的应用广泛，可以用于解决各种实际问题。

掌握线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用，对于提高问题求解的效率和准确性具有重要意义。

高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略

高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略一.线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.二.非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。

近年来，出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1．比值问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例2已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6]解析 y x是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x取得最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x取得最大值6.答案A 2．.距离问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。

例3已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求x 2＋y 2的最大值与最小值. 解析作出不等式组表示的平面区域（如图）.设x 2＋y 2＝z ，则z 是以原点为圆心的圆的半径的平方.当圆x 2＋y 2＝z 过点B （2，3）时，z 取得最大值，从而z 取得最大值z max ＝22＋32＝13；当圆x 2＋y 2＝z 与直线AC ：2x ＋y －2＝0相切时，z 取得最小值，从而z 取得最小值. 设切点坐标为（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋y 0－2＝0，y 0x 0·（－2）＝－1. z ax by c =++0b ≠a z c y x b b -=-+z c b-y 在轴y a z x b-=-(,)P x y (,)Q b a 22()()z x a y b =-+-(,)P x y (,)Q a b解得x 0＝45，y 0＝25.因此，z min ＝（45）2＋（25）2＝45. 故，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值45. 3．截距问题例4 不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_____解析令，则此式变形为，z 可看作是动抛物线在y 轴上的截距，当此抛物线与相切时，z 最小，故答案为 4．.向量问题例5已知点P 的坐标（x ，y ）满足：及A （2，0），则的最大值解析=||·cos ∠AOP 即为在上的投影长由∴·cos ∠AOP 的最大值为5.5线性变换问题例6 在平面直角坐标系x O y 中，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为.解析令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，则x ＝u ＋v 2，y ＝u －v 2. 由x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0得u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0.因此，平面区域B 的图形如图.其面积为S ＝12×2×1＝1.6线性规划的逆向问题例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是.解析当直线y ＝ax －z （a ＜0）过点（23，45），且不与直线AC ，BC 重合时,－z 取得最大值，从而z 取得最小值.k AC ＝4523－1＝－ 125，k BC ＝45－123＝－ 310.所以，实数a 的取值范围是（－ 125，－ 310）. x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩2x y +2z x y =+2y x z =-+2y x z =-+y x =-14-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x OP OA OA ⋅u u u r u u u r u u u u r OP OA OA⋅u u u r u u u r u u u u r OP OP uuu r OA u u u r ，，M y x y x )25(2553,034⇒⎩⎨⎧=+=+-OP u u u r7、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它的目标是找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。

线性规划广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域，可以帮助优化资源分配和决策制定。

二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量表示需要优化的决策变量，可以是实数或非负数。

2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。

3. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，这些等式或不等式称为约束条件。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。

三、标准形式线性规划问题可以通过标准形式来表示，其形式如下：最小化：C^T * X约束条件：A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的常数向量。

四、常见解法1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，并找到最优解所在的顶点。

2. 单纯形法：适用于高维的线性规划问题，通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。

3. 整数线性规划：当变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解，如分支定界法、割平面法等。

五、常见应用1. 生产计划：线性规划可以帮助确定最佳的生产计划，以最大化产量或最小化成本。

2. 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如确定最佳的运输路径和运输量，以最小化总运输成本。

3. 资源分配：线性规划可以优化资源的分配，如确定最佳的人力、物力和财力分配方案。

4. 投资组合：线性规划可以帮助确定最佳的投资组合，以最大化收益或最小化风险。

六、注意事项1. 线性假设：线性规划只适用于目标函数和约束条件均为线性的问题，不适用于非线性问题。

2. 敏感性分析：线性规划的解对目标函数系数和约束条件右端常数的变化具有一定的敏感性，需要进行敏感性分析。

运筹学03-线性规划

500 / 10 = 50 元
说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的设备能力就可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。
21
假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变化为410，这时可行域扩大，但最优解仍为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交点 x1 = 50 ，x2 = 250 。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有50千克的剩余，因此增加10千克值增加了库存，而不会增加利润。在一定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时（1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改善（变好）；（2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受到影响（变坏）；（3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数值不变。
C c1 c2 cn
价值向量
a1n a2n a mn
b1 b2 b b m
x1 x2 X x n
a11 a 21 A a m1
1
s.t
约束条件
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
技术系数
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0 b1,b2 , ,bm 0
例1.
目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2

线性规划知识总结

线性规划知识总结线性规划知识总结1. ⼆元⼀次不等式（组）表⽰的平⾯区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平⾯内不在直线上的点分成两部分，对于同⼀侧所有点的坐标代⼊Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代⼊Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。

（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。

对于⼆元⼀次不等式b kx y +≥表⽰的平⾯区域在直线y ＝kx ＋b 的上⽅（包括直线y ＝kx ＋b ）。

对于⼆元⼀次不等式b kx y +≤表⽰的平⾯区域在直线y ＝kx ＋b 的下⽅（包括直线y ＝kx ＋b ）。

注意：⼆元⼀次不等式)0(0<>++或C By Ax 与⼆元⼀次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表⽰的平⾯区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。

2. 线性规划我们把求线性⽬标函数在线性⽬标条件下的最值问题称为线性规划问题。

解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可⾏域。

（2）对⽬标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最⼤值（或最⼩值）时，z 也取得最⼤值（或最⼩值）；若b ＜0，则反之。

（3）⼀般地，可⾏域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代⼊边缘点找最值。

（4）注意实际问题中的特殊要求。

说明：1. 线性⽬标函数的最⼤值、最⼩值⼀般在可⾏域的顶点处取得；2. 线性⽬标函数的最⼤值、最⼩值也可在可⾏域的边界上取得，即满⾜条件的最优解有⽆数个。

知识点⼀：⼆元⼀次不等式（组）表⽰的平⾯区域例1：基础题1. 不等式组201202y x x y -->??-+≤表⽰的平⾯区域是（）A B C D2. 如图，不等式组5003x y x y x -+≥??+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是________________。