小波包变换及代价函数设计综述
小波包、多小波及第二代小波
M
因此，很容易得到小波子空间的各种分解如下： jW
3121++⊕=jjjUUW
72625242++++⊕⊕⊕=jjjjjUUUUW
M
121221.
+
+
++
+⊕⊕⊕=lllljljljjUUUWL 4.14
M
文本框:
jW空间分解的子空间序列可以写作，；mljlU+
+
212,,1,0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlmLjl,,2,1L=；。子空间
序列的标准正交基为：
L,2,1=jmljlU+
+
2
{}Znntwljmljl∈.+.
+
+.:)2(2)(
22/)( 4.15
当和时，子空间序列简化为，相应的正交基简化为0=l0=mmljlU+
+
2jjWU=1{})2(2)2(22/
在感兴趣的频率点上尽可能地提高频域分辨率，在感兴趣的时间点上尽可能地提高时间分辨率，这样当用
滤波器组对信号进行分解时，短时Fourier变换的等带宽或小波变换的恒-Q带宽都不一定合适，应该按信
号特性选择相应组合的滤波器组，这就是小波包(Wave1et Packet)。
小波包的概念是由M.V.WickerhaMser，R.R.Coifman等人在小波变换的基础上，根据实际应用的需求
()()0,122=.+ktWtwll
4.1.2 小波包分解
现在令、L,2,1=lL,2,1=j，并对式(4.11)进行迭代分解，有
小波包分解原理计算公式
小波包分解原理计算公式小波包分解是一种信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而更好地理解信号的特性和结构。
小波包分解的计算公式是其核心，下面我们将介绍小波包分解的原理和计算公式。
1. 小波包分解原理。
小波包分解是基于小波变换的一种信号分解方法。
小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的子信号，从而揭示信号的局部特征。
小波包分解是小波变换的一种推广，它可以更灵活地选择小波基函数，从而更好地适应信号的特性。
小波包分解的原理是将信号分解成不同频率的子信号。
在小波包分解中，我们首先选择一个小波基函数作为分解的基础，然后根据需要选择不同的尺度和频率，将信号分解成不同频率的子信号。
这样可以更好地理解信号的频率特性，从而更好地分析和处理信号。
2. 小波包分解计算公式。
小波包分解的计算公式是其核心。
在小波包分解中，我们首先需要选择一个小波基函数作为分解的基础。
常用的小波基函数包括Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些小波基函数具有不同的频率特性和尺度特性，可以根据需要选择合适的小波基函数。
假设我们选择了一个小波基函数ψ(t)，我们可以将信号f(t)进行小波包分解。
小波包分解的计算公式如下：\[D_{j,k} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\psi_{j,k}(t)dt\]其中，\(D_{j,k}\)表示信号f(t)在尺度为j，频率为k的小波基函数ψ(t)上的分解系数。
ψj,k(t)表示小波基函数ψ(t)在尺度为j，频率为k时的尺度变换和平移变换。
通过计算分解系数\(D_{j,k}\)，我们可以得到信号f(t)在不同频率和尺度上的子信号。
3. 小波包分解的应用。
小波包分解在信号处理领域有着广泛的应用。
它可以用于信号的去噪、压缩、特征提取等方面。
通过小波包分解，我们可以更好地理解信号的频率特性和尺度特性，从而更好地处理信号。
在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的小波基函数和尺度、频率，进行小波包分解。
小波变换分析范文
小波变换分析范文小波变换是一种信号分析技术，可以将信号表示为时频域上的函数。
相比于傅里叶变换，小波变换在时域和频域上都具有更好的局部性和分辨率，能够更好地描述非平稳信号。
本文将从小波变换的基本原理、算法和应用领域等方面进行分析。
一、基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，其基本思想是将信号分解成一组基函数（小波基），然后通过对这些基函数与信号的内积运算得到信号在不同尺度上的时频表示。
小波基具有一些特殊的数学特性，如正交性、紧支性和可调节的带宽等，这使得小波变换能够更好地揭示信号的时频信息。
小波变换可以通过离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）来实现。
1.离散小波变换（DWT）离散小波变换将信号分解成不同频率域和尺度域的小波基函数，并通过滤波和下采样操作实现。
具体步骤如下：a.将信号通过低通滤波器和高通滤波器分解为近似系数和细节系数；b.对近似系数进一步进行低通滤波和高通滤波，得到第二层的近似系数和细节系数；c.反复重复上述步骤，直到达到所需的尺度。
2.连续小波变换（CWT）连续小波变换通过将信号与不同尺度和位置上的小波基函数进行内积运算来表示信号的时频信息。
具体步骤如下：a.选取一个母小波函数作为基函数；b.将母小波函数进行尺度变换和平移变换，得到一组具有不同尺度和位置的小波基函数；c.将信号与这组小波基函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的时频表示。
小波变换具有多尺度分析能力，可以在不同尺度上观察信号的局部细节特征，并且能够有效地提取信号的边缘、脉冲和突变等特征。
二、常见小波变换算法1.傅里叶变换转换尺度（FBS）小波变换FBS小波变换是比较基础的小波变换算法，通过将傅里叶变换应用于尺度变换的细节部分，将信号分解成自由基函数的线性组合。
2.快速小波变换（FWT）FWT是一种高效的小波变换算法，可以在O(N)的时间复杂度内实现小波变换。
FWT通过迭代地应用滤波器组合和下采样操作来实现信号的分解和重构。
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
8.6小波包变换
工程振动测试技术小波包变换小波包变换快速算法每次仅仅是对信号的低频分量（近似部分） 进行分解，而没有分解高频分量（细节部分）。
当我们需要把信号分解的很细时，仅仅靠快速算法可能不足以满足分析的需要。
d 1(f s /22-f s /2)a 1 (0-f s /22)a 2 (0-f s /23)d 2(f s /23-f s /22)d 3(f s /24-f s /23)x (t) (0-f s /2)a 3 (0-f s /24)有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）类似与快速算法，小波包分解也是按照分解尺度由低到高逐层向下分解，每层分解信号的所有子带均被一分为二，并传至下一层。
一般情况下，子带的频域将按照由低到高的顺序排列。
因为分解时每一层的小波基个数较多（第j层共有2j 个小波基），所以此算法称为小波包变换。
设 x (t )为一时间信号，p i j 表示第 j 层上的第 i 个小波包，称为小波包系数，G 、H 为小波分解滤波器，H 与尺度函数有关，G 与小波函数有关。
二进小波包分解的快速算法为：1021121()()()(2)()()(2)()i i jj ki i j j kp t x t p t H k t pt p t G k t pt −−−==−=−∑∑其中 21,2,...,2;1,2,...,2;log J jjt i J N −==。
二进小波包分解树形原理图原始信号经过以分析频率fs 的n 层小波包分解后，频域将被分成2n 段，各小波包分量对应的频段分别为2(1)(22)(21)(21)[0,],[,],...,[,],...,[,],[,]22222222nnns s s s s s s s s n n n n n n n nf f f k f kf f f f f −−−−二进小波包分解树形原理图应注意：分解得到的p是小波包系数，不是原信号在某个频段的分量，根据小波变换理论，可将信号的原始数据作为处于最低层的小波包系数。
MATLAB之小波包变换
小波与小波包消噪方法比较
原 始 信 号 小波分解与小波包分解都能去除 振动信号中的噪声，而小波包去 噪明显优于小波去噪的结果： 1、小波包去噪时对信号在低频 段和高频段同时进行正交分解， 能保留更多的高频分量在逼近信 号中,无冗余、无泄漏、信息量 更完整； 2、小波包分析去噪时可以得到 任意频段的频率成分，比小波去 噪具有更为精确的局部分析能力， 大大提高了信号的信噪比，为爆 破振动信号的研究获得更加准确 的信息。
2 1
U U U U U U U U
0 0 0 0
1
2
5
6
7 0
U U U U
0 0 0
4
5
6
7 0
最佳小波包基的选取
信息代价函数 把信号 f t 在一个正交小波包基下展开，使得它与一个小波包系数 序列 u uk 对应, 我们在该序列上定义一个信息代价函数 M,它满足
如下两个条件：
2
kZ
常用的一些信息代价函数： （1）幅值大于某阈值的系数个数 （2） l p 范数的集中度（concentration） （3）对数熵
M u log uk ，约定 log 0 0
2 kZ
（4）信息熵
H u pk log pk
kZ
2 2
pk
u k
以2阶小波包分解为例，将信号分解后，对每个节点系数分别设 定不同的阈值后得到保留的有用系数，最后再重构回原信号。小波包 的分解和重构利用了改进的快速算法，大大减少了计算量。
信号小波包分析的基本实现步骤如下：
1、选择适当的小波滤波器，对给定的采样信号进行小波包变换， 获得树形结构的小波包系数。 2、选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。 3、对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。 4、对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
小波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记
⼩波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记对于⼀个连续的周期信号，可以将其分解为⼀组频率不同的三⾓函数信号的线性组合，这就是傅⾥叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。
当这个周期信号的周期趋近于⽆穷⼤时，傅⾥叶级数就变成了傅⾥叶变换。
此时的信号本质上是⼀个连续⾮周期信号，傅⾥叶变换的意义就在于对其进⾏分解，同样也是以⼀组三⾓函数作为正交基，并通过这组三⾓函数基的线性组合来表⽰原信号。
数学表达为：由于三⾓函数是⼀个⽆限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进⾏拟合时，具有以下两个不⾜：第⼀，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要⼤量的三⾓函数基进⾏组合才能完成较好的信号拟合；第⼆，由于三⾓函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进⾏傅⾥叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。
因此傅⾥叶变换对于⾮平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。
⼩波变换就是为了解决对⾮平稳信号的分解问题⽽产⽣的数学⽅法。
相⽐于傅⾥叶变换使⽤⼀组⽆限长的三⾓函数基进⾏信号拟合，⼩波变换使⽤的是⼀组正交的、迅速衰减的⼩波函数基进⾏信号拟合。
这种⼩波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。
因此在利⽤这种⼩波函数基对信号进⾏分解时，可以⽤较少的⼩波函数基就拟合出突变信号（稀疏编码特性），同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。
⽤于⽣成⼀组不同频率和时移的⼩波函数的⼩波函数，称为基本⼩波（Basic Wavelet），由其⽣成的⼀组⼩波函数，是该基本⼩波的⼀个⼩波族（Wavelet Family），表⽰为：，其中为尺度参数，通过伸缩控制⼩波的尺度（频率），为平移参数，通过移位控制⼩波在时域中的出现位置。
这两个参数的作⽤顺序是先作平移，再作伸缩。
对这⼀族⼩波函数进⾏归⼀化，即得到⼀组⼩波函数基。
基于DSP的最优小波包基算法的实现
基于DSP的最优小波包基算法的实现王靖琰【摘要】小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法,它将频带进行多层次划分,对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解,并能够根据被分析信号的特征,自适应地选择相应频带,使之与信号频谱相匹配,从而提高时-频分辨率.为了能在DSP嵌入式设备中应用小波包分析方法进行信号处理,首先讨论小波包分解的过程和最优基及代价函数的选择方法,然后提出一种在DSP上实现香农熵代价函数的小渡包分解算法的方法,并在浮点型DSP TMS320C6713B上实现了此算法.最后针对具体的数字信号进行小波包分解和最优基选择的实验,实验结果证明了该方法的正确性和高效性.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2008(031)022【总页数】4页(P161-163,166)【关键词】小波包;代价函数;最优基;DSP【作者】王靖琰【作者单位】中国科学院,上海应用物理研究所,上海,201800【正文语种】中文【中图分类】TP274在小波分析是一维及二维信号数据分析与处理的有力工具,其主要优点就是提供了时频局部分析与细化的能力[1]。
它可以对信号进行有效的时频分解,但在高频频段其频率分辨率较差,而在低频频段其时间分辨率较差。
小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法,它将频带进行多层次划分,对多分辨分析没有细分的高频部分进一步划分,并能够根据被分析信号的特征,选择相应频带,使之与信号频谱相匹配,从而提高了时-频分辨率。
数字信号处理器(Digital Signal Processor，DSP) 以其适合信号处理的独特结构和快速的指令周期，而应用于各种实时信号处理的场合。
将小波包分析与DSP 相结合用于实时信号处理必将产生巨大的实用价值。
1 最优基小波包分解1.1 小波包理论小波变换的分辨率在时-频平面中随频率不同而变化,子带的频率越高,其频率分辨变换没有对高频子带进行再分解,不利于对高频子带的数据压缩。
小波包分解PPT课件讲义
(
2
)
P0
()ˆ
l
(
2
)
ˆ
2l 1
()
G(
)ˆ l
(
2
)
P1 ( )ˆ
l
(
2
)
递推下去即可。
定理：
由正交尺度函数(x)生成的小波包{ n (x)}
满足：
（1） { n (x k)}是规范正交系。 即 n (x j), n (x k) j,k j, k, n Z (2) 2l (x j), 2l1(x k) 0 j, k, n Z
• 参数j,k,n 的意义。
小波库中的一个函数: n (2 j x k)
参数j : 尺度指标（频域参数） 参数k : 位置指标（时间参数） 参数n : 振荡次数
n (2 j x k)是中心在2－j k, 支集大小
数量级为2 j，振荡次数为n的小波函数。
对小波包的实际意义的分析：
• 当参数j固定时。
0
2、范数。
M ({xk}) {xk}
1
通常选，{xk } ＝(
xp)p k
k
p0
（范数愈小，能量愈集中。）
常用代价函数：
3、熵
M ({xk }) | xk |2 log | xk |2 k
(与均方意义下恢复原始信号所需的系数个数成 正比。）
常用代价函数：
4、能量对数
M ({xk }) log | xk |2
0 j
U
1 j
定理：
U
nj＋1＝U
2n j
U
2n1 j
证明要点：
（1） （2） （3）
U
2j n和U
2 j
n1是U
小波变换原理与应用ppt课件
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
小波变换的数学模型及其实现方法
小波变换的数学模型及其实现方法引言：小波变换作为一种信号处理方法，在多个领域中得到了广泛的应用。
它可以将信号分解成不同频率的成分，并提供了一种有效的方式来分析信号的时频特性。
本文将介绍小波变换的数学模型以及实现方法。
一、小波变换的数学模型小波变换是一种基于时间频率局部性的信号分析方法。
它使用一组基函数（小波函数）来表示信号，并通过对信号进行连续或离散的变换来获取信号的时频信息。
1.1 连续小波变换（CWT）连续小波变换使用连续的小波函数对信号进行变换。
其数学模型可以表示为：CWT(f)(a,b) = ∫f(t)ψ((t-b)/a)dt其中，f(t)为原始信号，ψ为小波函数，a和b分别表示尺度和平移参数。
通过改变尺度和平移参数，可以得到不同尺度和位置上的小波变换系数。
1.2 离散小波变换（DWT）离散小波变换是连续小波变换的离散化形式。
它使用离散的小波函数对信号进行变换，并通过多级分解和重构来获取信号的时频信息。
其数学模型可以表示为：DWT(x)(n,k) = (1/√N) * ∑x(m)h(n-2m) * W(k-m)其中，x(n)为原始信号，h(n)为低通滤波器，W(k)为小波函数，N为信号的长度。
通过多级分解，可以得到不同尺度和位置上的小波变换系数。
二、小波变换的实现方法小波变换的实现可以通过不同的算法和工具来完成。
以下将介绍两种常用的实现方法。
2.1 基于快速傅里叶变换的实现方法通过将小波函数进行傅里叶变换，可以将小波变换转化为快速傅里叶变换（FFT）的计算问题。
这种方法在计算效率上具有优势，适用于连续小波变换和离散小波变换。
2.2 基于滤波器组的实现方法通过设计一组滤波器，可以实现小波变换的离散化计算。
这种方法适用于离散小波变换，通过多级分解和重构的方式来获取小波变换系数。
结论：小波变换作为一种信号处理方法，具有较好的时频局部性，能够有效地分析信号的时频特性。
本文介绍了小波变换的数学模型及其实现方法，包括连续小波变换和离散小波变换。
小波变换课件第4章小波变换的实现技术
第4章 小波变换的实现技术4.1 Mallat 算法双正交小波变换的Mallat 算法：设{}n h h =、{}n g g =、{}n h h =、{}n g g =为实系数双正交小波滤波器。
h ，g 是小波分析滤波器，h ，g 是小波综合滤波器。
h 表示h 的逆序，即n n h h -=。
若输入信号为n a ，它的低频部分和高频部分以此为1n a -和1n d -，小波分解与重构的卷积算法：11()()n n n na D a h d D a g --⎧⎪=*⎨=*⎪⎩ n11()()n n a Uah Ud g --=*+*先进行输入信号和分析滤波器的巻积，再隔点采样，以形成低频和高频信号。
对于有限的数据量，经过多次小波变化后数据量大减，因此需对输入数据进行处理。
4.1.1 边界延拓方法下面给出几种经验方法。
1. 补零延拓是假定边界以外的信号全部为零，这种延拓方式的缺点是，如果输入信号在边界点的值与零相差很大，则零延拓意味着在边界处加入了高频成分，造成很大误差。
实际应用中很少采用。
0121,0,,,,...,,0,0,......n s s s s -2.简单周期延拓将信号看作一个周期信号,即k n k s s +=。
简单周期延拓后的信号变为这种延拓方式的不足之处在于，当信号两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的突变，也就是说简单周期延拓可在边界引入大量高频成分，从而产生较大误差。
3. 周期对称延拓这种方法是将原信号在边界上作对称折叠，一般分二1）当与之做卷积的滤波器为奇数时，周期延拓信号为2）当与之做卷积的滤波器为偶数时，周期延拓信号为4. 光滑常数延拓在原信号两端添加与端点数据相同的常数。
0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0,...s 1,...,n s -01221,,,...,,,n n s s s s s --0121,,,...,,n s s s s -21012,...,,,,,...n s s s s s -321212,,,...,,,,...n n n s s s s s s ---10012,,...,,,,...n n s s s s s --10112,,,...,,,n n n s s s s s ---5. 平滑延拓在原信号两端用线性外插法补充采样值，即沿着信号两端包络线的一阶导数方向增加采样值。
小波变换总结
1.小波分析用于去噪二维信号用二维小波分析的去噪步骤如下：（1.）二维信号的小波分解。
选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。
（2）对高斯系数进行阈值量化。
对于从1到N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高斯系数进行软阈值量化处理。
（3）二维信号的重构。
根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第1层到第N层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。
其中的重点是如何选取阈值和阈值的量化，本代码中使用了ddendmp和wdencmp函数。
代码如下：load detfingr%装入图像init=3718025452;%下面进行噪声的生成randn('seed',init);%randn产生均值0，方差1的正态随机噪声Xnoise=X+18*(randn(size(X)));colormap(map);%显示原始图像以及它的含噪声的图像subplot(221),image(wcodemat(X,192));title('原始图像X');axis squaresubplot(222),image(wcodemat(Xnoise,192));title('含噪声的图像Xnoise');axis square[c,s]=wavedec2(X,2,'sym5');%用sym5小波对图像信号进行二层的小波分解%下面进行图像的去噪处理%使用ddencmp函数来计算去噪的默认阈值和熵标准%使用wdencmp函数用小波来实现图像的去噪和压缩[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',Xnoise);[Xdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',c,s,'sym5',2,thr,sorh,keepapp);subplot(223),image(Xdenoise);%显示去噪后的图像title('去噪后的图像')axis square得到如下的图形：可以看出，最终得到的图像在滤除噪声的同时细节信息也损失严重。
小波变换快速算法及应用小结
离散小波变换的快速算法Mallat算法[经典算法]在小波理论中,多分辨率分析是一个重要的组成部分。
多分辨率分析是一种对信号的空间分解方法,分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近L2(R)空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。
因此,对于一个能量有限信号,可以通过多分辨率分析的方法把其中的逼近信号和细节信号分离开,然后再根据需要逐一研究。
多分辨率分析的概念是在构造正交小波基的时候提出的,并同时给出了著名的Mallat算法。
Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶变换中的地位,为小波分析的应用和发展起到了极大的推动作用。
MALLAT算法的原理在对信号进行分解时，该算法采用二分树结构对原始输入信号x(n)进行滤波和二抽取，得到第一级的离散平滑逼近和离散细节逼近，再采用同样的结构对进行滤波和二抽取得到第二级的离散平滑逼近和离散细节逼近，再依次进行下去从而得到各级的离散细节逼近对,…，即各级的小波系数。
重构信号时，只要将分解算法中的步骤反过来进行即可，但要注意，此时的滤波器与分解算法中的滤波器不一定是同一滤波器，并且要将二抽取装置换成二插入装置才行。
多孔算法[小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华]多孔算法是由于1992年提出的一种利用Mallat算法结构计算小波变换的快速算法，因在低通滤波器和高通滤波器中插入适当数目的零点而得名。
它适用于的二分树结构，与Mallat算法的电路实现结构相似。
先将Mallat算法的电路实现的基本支路作一下变形。
令的z变换为与，下两条支路完全等价，只不过是将插值和二抽取的顺序调换一下罢了。
图中其它的上下两条支路也为等效支路，可仿照上面的方法证明。
这样，我们便可由Mallat算法的二分树电路结构得出多孔算法的电路级联图，原Mallat算法中的电路支路由相应的等效支路所取代，所以整个电路形式与Mallat算法非常相似。
小波变换函数（自己总结）
小波变换函数（自己总结）2.1小波分析中的通用函数1 biorfilt双正交小波滤波器组2 centfrg计算小波中心频率3 dyaddown二元取样4 dyadup二元插值5 wavefun小波函数和尺度函数6 wavefun2二维小波函数和尺度函数7 intwave积分小波函数fai8 orthfilt正交小波滤波器组9 qmf镜像二次滤波器（QMF）10 scal2frg频率尺度函数11 wfilters小波滤波器12 wavemngr小波管理13 waveinfo显示小波函数的信息14 wmaxlev计算小波分解的最大尺度15 deblankl把字符串变成无空格的小写字符串16 errargn检查函数参数目录17 errargt检查函数的参数类型18 num2mstr最大精度地把数字转化成为字符串19 wcodemat对矩阵进行量化编码20 wcommon寻找公共元素21 wkeep提取向量或矩阵中的一部分22 wrev向量逆序23 wextend向量或矩阵的延拓24 wtbxmngr小波工具箱管理器25 nstdfft非标准一维快速傅里叶变换（FFT）26 instdfft非标准一维快速逆傅里叶变换27 std计算标准差2.2小波函数1 biorwavf双正交样条小波滤波器2 cgauwavf复Gaussian小波3 cmorwavf复Morlet小波4 coifwavf Coiflet小波滤波器5 dbaux Daubechies小波滤波器6 dbwavf Daubechies小波滤波器7 fbspwavf频率分布B-Spline小波8 gauswavf Gaussian小波9 mexihat墨西哥小帽函数10 meyer meyer小波11 meyeraux meyer小波辅助函数12 morlet Morlet小波13 rbiowavf反双正交样条小波滤波器14 shanwavf 复shannon小波15 symaux计算Symlet小波滤波器16 symwavf Symlets小波滤波器2.3一维连续小波变换1 cwt一维连续小波变换2 pat2cwav从一个原始图样中构建一个小波函数2.4一维离散小波变换1 dwt但尺度一维离散小波变换2 dwtmode离散小波变换拓展模式3 idwt单尺度一位离散小波逆变换4 wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数）5 appcoef提取一维小波变换低频系数6 detcoef提取一维小波变换高频系数7 waverec多尺度一维小波重构8 upwlex单尺度一维小波分解的重构9 wrcoef对一维小波系数进行单支重构10 upcoef一维系数的直接小波重构11 wenergy显示小波或小波包分解的能量2.5二维离散小波变换1 dwt2单尺度二维离散小波变换2 idwt2单尺度逆二维离散小波变换3 wavedec2多尺度二维小波分解（二维分辨率分析函数）4 waverec2多尺度二维小波重构5 appcoef2提取二维小波分解低频系数6 detcoef2提取二维小波分解高频系数7 upwlev2二维小波分解的单尺度重构8 wrcoef2对二维小波系数进行单支重构9 upcoef二维小波分解的直接重构2.6离散平稳小波变换1 swt一维离散平稳小波变换2 iswt一维离散平稳小波逆变换3 swt2二维离散平稳小波变换4 iswt2二维离散平稳小波逆变换2.7小波包变换1 wpdec一维小波包的分解2 wprec一维小波包分解的重构3 wpdec2二维小波包分解4 wprec2二维小波包分解的重构5 wpcoef计算小波包系数6 wprcoef小波包分解系数的重构7 wpfun小波包函数8 wpsplt分割（分解）小波包9 wpjoin重新组合小波包10 wpcutree剪切小波包分解树11 besttree计算最佳（优）树12 bestlevt计算完整最佳小波包树13 wp2wtree从小波包树中提取小波树14 wentropy计算小波包的熵15 entrupd更新小波包的熵值2.8信号和图像的消噪和压缩1 ddencmp获取在消噪或压缩过程中的默认阈值（软或硬）、熵标准2 thselect信号消噪的阈值选择3 wbmpen返回一维或二维小波消噪的Penalized值4 wdcbm用Birge-Massart算法处理一维小波的阈值5 wdcbm2用Birge-Massart算法处理二维小波的阈值6 wpbmpen返回小波包消噪的Penalized 阈值7 wthrmngr阈值设置管理8 wden用小波进行一维信号的自动消噪9 wdencmp用小波进行信号的消噪或压缩10 wnoise产生含噪声的的测试函数数据11 wnoisest估计一维小波的系数的标准偏差12 wpdencmp用小波包进行信号的消噪或压缩13 wpthcoef进行小波包分解系数的阈值处理14 wthcoef2二维信号的小波系数阈值处理16 wthresh进行软阈值或硬阈值处理2.9树操作应用函数1 allnodes计算树的节点2 cfs2wpt从系数中构造小波包树3 depo2ind将深度-位置节点形式转化成索引节点形式4 disp显示小波包树信息5 drawtree画小波包分解树（GUItuxing ）6 dtree节点深度为D的结构树构造器7 get获取小波包树的区域内容8 ind2depo将索引节点形式转化成深度-位置节点形式9 isnode判断节点是否存在10 istnode判断节点是否是终节点并返回排列值11 leaves确定终节点12 nodeasc计算上溯节点13 nodedesc计算下溯节点14 nodejoin重组节点15 nodepar寻找父节点16 nodesplt分割（分解）节点17 noleaves确定非终节点18 ntnode求终节点的个数19 ntree节点索引为N的结构树构造器20 plot画树结构图形21 read读取小波包树对象区域中的值22 readtree从图形中读取小波包的分解树23 set设置小波包树对象区域的内容24 tnodes确定终节点25treepth求树的深度26 treeord求树结构的叉树27 wptree完全小波包树构建起28 wpviewcf画小波包的染色系数29 write标出完全小波包树对象区域值30 wtbo小波工具箱分类构造器31 wtreemgr管理树结构2.10提升小波变换1 lwt一维提升小波变换2 lwt2二维提升小波变换3 lwtcoef提取或重构一维提升小波变换的小波系数4 lwtcoef2提取或重构二维提升小波变换的小波系数5 ilwt一维提升小波逆变换6 ilwt2二维提升小波逆变换7 addlift添加原始或双重提升步骤8 displs显示提升方案9 lsinfo提升方案信息10 lift wave常用小波的提升方案11 wave2lp返回小波函数的劳伦多项式12 wavenames返回小波信息13 bswfun双正交尺度和小波函数14 filt2ls返回滤波器的提升方案15 liftfilt在滤波器上应用基本提升步骤16 ls2filt返回提升小波方案滤波器17 laurmat劳伦矩阵类构造器18 laurpoly劳伦多项式类构造器2.11辅助函数与演示函数1 wvarchg查找信号中的变化点信息2 waveinfo显示小波信息3wavedemo显示小波信息2.13其他小波应用函数1 wfbm生成分数布朗运动2 wfbmesti分数布朗运动的参数估计3 wfusing图像融合4 wfusmat矩阵或数组的融合。
小波包变换及代价函数设计综述
Wavelet Packet Transform and The Design Cost Function
Luo Yong1 Li Jianping1 Cheng Lizhi1 Yang Kai2
（ 1． College of Science，National University of Defense Technology，Changsha 410073 ，China） （ 2． Unit 77569 ，Lasa 850003 ，China） Abstract Wavelet packet is an important part of wavelet theory． It has a wide range of applications in the non － sta-
摘 要
1 1 1 2
＊
小波包是小波理论的重要组成部分 ， 在非平稳信号特征检测和故障诊断中具有广泛的应用 。小波包
也是一个较容易忽视的知识点 。本文分析了小波包理论 ， 归纳总结了小波 教学是小波分析教学的一个难点 ， 包目标函数， 以及它们适用的领域， 并提出了新的目标函数 。本文可以对小波包的教学提供一些新的思路 。 关键词 小波包变换 代价函数 小波应用
n 其中 g n = （ － 1 ） h1 －n ， 则它们满足以下两尺度方程和小波方程 数 ψ（ t） 对应的高通滤波器，
{
2 ∑ h k φ（ 2 t － k ） φ（ t ） = 槡
k∈z
（ 1）
2 ∑ g k φ（ 2 t － k ） ψ（ t） = 槡
k∈z
为便于表示小波包函数， 引入以下新的记号：
L2 （ R ） 的小波包基 B 称为信号 f（ t） 相对于代价函数 M 对于一个给定的信息代价函数 M，
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数 学理 论 与应 用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩ ＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ ＡＮＤ ＡＰ ＬＩ Ｐ ＣＡ 兀ＯＮＳ
Ｖ０． １ Ｊ ３ Ｎｏ ３ ．
Ｓｐ ０ １ ｅ ．２ １
小 波 包 变 换 及 代 价 函数 设 计 综 述
罗 永 李 建 平 成 礼 智 杨 凯
ｋｏ ｌ ｇ ｅｏｅｌ ｋｄｅｓｙ ｈｓｐｐｒａａ ｚｓ ｈ ａｅ ｔ ａｋｔ ｈｏ ．Ｔ ｅｏｊｃ ｖ ｎｔ ｎ ｎ ｈｉ ｎｗｅ ｅｔ ｂ ｖｒ ｏｅ ａｉ ．Ｔ ｉ ａ ｅ ｎ ｙｅ ｔｅｗ ｖｌ ｃ ｅ ｔｅｒ ｈ ｂｅｔ ｅｆ ｃｉ ｓａｄｔｅ ｄ ｏ ｏ ｌ ｌ ｅｐ ｙ ｉ ｕ ｏ ｒ ｉ ｄｏ ｐｉ ｔ ｎａ Ｓｍｍ ｒｅ ， ｎ ｅ ｂｅｔｅｆ ｃｏ ｒ ｓｄ ｈｓ ａｅ ａ ｐｏ ｄ ｅ ａ ｆ ｆｌ ｆ ｐ ｌａｉ ｙ ｕ ａｉ ｄ ａ ｄｔｅｎｗ ｏｊｃ ｖ ｎｔ ｎｉ ｐｏｏｅ ．Ｔ ｉ ｐｐｒＣ ｒ ｉｅｎ ｗｗ ｙｏ ｅ ａ ｃ ｏ ｅ ｚ ｈ ｉ ｕ ｉ ｓ ｐ ｎ ｖ
ｔ ａ ｈ ｎ ａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｅ ｃ ｉ ｇ ｗ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ．
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｗ ａ ｅ ｅ ａ ｋ ｔ ｙ ｒｓ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ Ｃ ｓ ｆｎ ｔ ｎ Ｗ ａ ｅｅ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｔ ｕ ｃｉ ｏ ｖ ｌｔａ ｐ ｉ ｔ ｃ ｏ
１ 引 言
小波包是 由 Ｃ ｉ ａ 、 ｅｅ 及 Ｗｉ ｈｕｅ 提 出的。他们在研究正交小波基的基础上创 ｏｍ ｎ Ｍ ｙｒ ｆ ｃ ａｓ ｋ ｒ
立 了正交 小波 包 的概念 ， 后来 又 发展 到半 正交小 波 包和 广义 小波 包 。 由于 正交小 波 变换 采用 Ｍａｌ 算法 实现 ， 对信 号 的低频 部分 做进 一步 分解 ， 对 高频 部 ｌｔ ａ 只 而
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｗａ ｅ ｅ ａ ｋ ｔｉ ｎ ｉ ｏ ｎ ａｔｏ ａ ｅｅ ｅ ｒ ．Ｉ ｈ ｓａ ｗ ｄ ａ ｇ ｆａ ｐ ｉａｉ ｎ ｎ ｔ ｅｎ ｎ－ｓａ ｓｒ ｃ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ｓａ ｍｐ ￣ａ ｔ ｒ ｆｗ ｖ ｌｔｔ ｏ ｙ ｔ ａ ｉ ｅ ｒｎ ｅｏ ｐ ｌ ｔ ｓｉ ｏ － ｔ － ｐ ｈ ｃ ｏ ｈ ｔ ｎ ｒ ｉｎ ｌ ｅ ｅ ｔ ｎ ａ ｄｆ ｕ ｔ ｉｇ ｏ ｉ．Ｗ ａ ｅｅ ｎ ｙ ｉ ａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｅ ｃ ｉｇ ｉ ａ ｄ ｆ ｃ ｌ ｏ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｐ ｉ ｔ ｆ ｉ ａｙ ｓｇ ａ ｔ ｃｉ ｎ ａ ｌ ｄ ａ ｎ ｓｓ ｏ ｄ ｏ ｖ ｌｔ ａ ｓｓｗ ｖ ｌｔ ｃ ｅ ａ ｈ ｎ ｉ ｉｕ ｔ ｎ ｎ ｈ ｏｎ ａｌ ｐ ｔ ｓ ｆ ｏ
分不再继续分解 ， 以小波变换仅能很好的表征以低频信息为主要成分的信号。但是在实际 所 应用中非平稳机械振动信号 、 遥感 图像 、 地震信号和生物医学信号等包含大量细节信息 ， 正交
国家博 士后基金资助 （０ ０ ４ ０ ５ ２ １０ ７０ ９） 收稿 日期 ：０ １年 ９月 ５ 日 ２１
易忽 视 目标 函数 设计 。本 文针 对在 小 波包 教学 中存 在 的 问题 ， 过小 波包 教 学 的实践 ， 不 同 通 对 应用 领域 的 目标 函数 设计 的进 行 了总 结 和归 纳 ， 提 出 了新 的 目标 函数 。期望 能 对 小 波包 的 也 教学 提供 一些 新 的思 路 。
（． １ 国防科技 大学理 学 院 ， 长沙 ， １０ ３ ４ ０７ ） （．７６ ２ ７ ５ ９部 队 ， 萨 ，５ ０ ３ 拉 ８０ ０ ）
摘 要 小波 包是 小波理论 的重要 组成 部分 ， 非平稳信 号特征检测和故 障诊 断中具有 广泛的应 用。小波 包 在
教学是小波分析教 学的一 个难 点， 也是一个较容 易忽视的知识 点Ｏ本 文分析 了小波 包理论 ， 归纳 总结 了小波 包目标 函数 ， 以及 它们适用的领域 ， 并提 出了新的 目标 函数 。本 文可以对小波 包的教学提供 一些新的思路 。
（ ．Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃ ｎｅ Ｎ ｔ ｎｌ ｎ ｅｓｙｏ ｅ ｎｅＴ ｃｎｌｇ ， ｈｎｓａ １０ ３ Ｃ ｉａ １ ｏｅｅｏ ｉ ｃ ， ａ ｏａ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｆ ｆ ｓ ｅｈ ｏ ｙ Ｃ ａｇｈ ０ ７ ， ｈｎ ） ｌ Ｓｅ ｉ ｖ ｉ Ｄ ｅ ｏ ４
（ ．Ｕ ｉ７ ５ ９ Ｌ ｓ ５ ０ ３ Ｃ ｉａ ２ ｎｔ ７ ６ ， ａａ８０ ０ ， ｈｎ ）
关 键 词 小 波 包 变换 代 价 函数 小 波 应 用
Ｗ ａ ｅｅ ｃ ｅ ａ ｓｏ ｍ ｎ ｖ ｌ ｔＰａ ｋ ｔ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｄ Ｔｈｅ Ｄｅ ｉ ｎ Ｃｏ ｔＦｕ ｃ ｉ ｎ ｓｇ ｓ ｎ ｔｏ
Ｌ ｏＹｏ ｇ ｕ ｎ Ｌ ｉｎ ｉｇ ｉＪａ ｐ ｎ Ｃ ｅ ｇＬ ｚ ｉ Ｙａ ｇＫａ ｈ ｎ ｉｈ ｎ ｉ
滤波 、 缩 、 平 稳机 械振 动信 号 的分 析 与故 障诊 断 】非 平 稳 信号 的特 征提 取 及 多 载波 压 非 、 调制 技术 等方 面 具有 重要 应用 。
但是 在小 波课 程 的教 学过 程 中 ， 容 易忽 视这 部分 内容 的教 学 ， 很 并且 最优 小波 包基 算 法容
６ ６
数 学 理 论 与应 用
小 波变 换不 能很 好地 分解 和 表示 细小 边缘 或纹 理 的信 号 。 小 波包 变换 可 以对 高频 部分 提供 更精 细 的分 解 Ｊ而且 这 种 分解 既无 冗 余 ， 无 疏漏 ， ， 也 所
以对包含大量中、 高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析 。小波包变换在信号去噪、