第六章 非线性微分方程和稳定性

第六章 非线性微分方程和稳定性研究对象二阶驻定方程组（自治系统）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dtdy y x X dtdx1 基本概念 1）稳定性 考虑方程组),(x f xt dtd = （6.1） 其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x21x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=dtdxdt dx dt dx dt d n 21x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),,,;(),,,;(),,,;()(21212211n n n n x x x t f x x x t f x x x t f x f 。

总假设),(x f t 在D I ⨯上连续，且关于x 满足局部李普希兹条件，R I ⊂，区域nR D ⊂,00=),(t f ，∑==ni ix12x 。

如果对任意给定的0>ε，存在0)(>εδ（一般ε与0t 有关），使得当任一0x 满足δ≤0x 时，方程组（6.1）满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x ，均有εx <)(t 对一切0t t ≥成立，则称方程组（6.1）的零解0=x 为稳定的。

如果方程组（6.1）的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当00δ<x 时，满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x 均有0=+∞→)(lim t t x ，则称零解0=x 为渐近稳定的。

如果0=x 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D ∈∀x 时满足初始条件00)(x x =t 的解均有0=+∞→)(lim t t x ，则称域0D 为（渐近）稳定域或吸引域；如果稳定域为全空间，即+∞=0δ，则称零解0=x 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。

当零解0=x 不是稳定时，称它为不稳定的。

即就是说：如果对某个给定的0>ε，不论0>δ怎样小，总有一个0x 满足δx ≤0，使得由初始条件00)(x x =t 所确定的解)(t x ，至少存在某个01t t >使得εt =)(1x ，则称方程组（6.1）的零解0=x 为不稳定的。

注：非零解的稳定性可以通过平移变换后转化为零解稳定性问题来讨论。

2）相平面与轨线考虑二阶非自治微分方程组),;(),;(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x t Y dtdy y x t X dtdx（6.2） 它的解)(),(t y y t x x ==在以y x t ,,为坐标的（欧氏）空间中决定了一条曲线，这条曲线称为积分曲线。

如果把时间t 当作参数，仅考虑y x ,为坐标的（欧氏）空间，此空间称为方程组（6.2）的相平面，若方程组是含三个以上未知函数的，则称为相空间。

在相平面（相空间）中方程组的解所确定的曲线称为轨线。

3）奇点与常点如果方程组（6.2）是驻定方程组（或称为自治系统），即其右端函数不显含时间t 。

此时（6.2）式变成),(),(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x Y dtdy y x X dtdx（6.3） 满足方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x Y y x X 的点*)*,(y x ，即满足0*)*,(*)*,(22=+y x Y y x X 的点，称为方程组（6.3）的奇点（或平衡点），否则称为常点。

4）周期解、闭轨和极限环平面自治系统（6.3）的周期解在相平面上对应的轨线称之为闭轨线，简称闭轨。

若在闭轨C 的充分小的邻域中， 除C 之外，再无其它闭轨，称C 为孤立闭轨。

如果在孤立闭轨C 的充分小的邻域中出发的非闭轨线，当+∞→t （或-∞→t ）都分别盘旋地趋于闭轨C ，则称它为系统（6.3）的极限环。

极限环C 将平面分为两个区域：内域和外域。

当极限环附近的轨线均正向(即+∞→t 时)趋近于它时，称此极限环为稳定的。

如果轨线均负向(即-∞→t 时)趋近于此极限环时，则称它为不稳定的。

当此极限环的一侧轨线正向趋近于它，而另一侧轨线负向趋近于它时，此极限环称为半稳定的。

5）李雅普诺夫(Liapunov)函数（V 函数） 考虑非线性的自治微分方程组00 ==)()(f x f xdtd （6.4） 假设)(x f 在某区域A D ≤x :（A 为正常数）内具有连续一阶偏导数。

设函数),,,()(21n x x x V V =x 在域A H D ≤≤x :1上具有连续偏导数，且0)(=0V ，a ）若在1D 上，恒有0)(≥x V ，则称函数)(x V 为常正的；b ）若在A H x D ≤≤<0:}{\10上，0)(>x V ，则称函数)(x V 为定正的；c ）若在1D 上，恒有0)(≤x V ，则称函数)(x V 为常负的；d ）若在A H x D ≤≤<0:}{\10上，0)(<x V ，则称函数)(x V 为定负的；e ）若)(x V 在原点)0,,0,0( O 的任一邻域内既可取正值又可取负值，则称)(x V 为变号函数。

常正、常负函数统称为常号函数；定正、定负函数统称为定号函数。

以上定义的函数为 李雅普诺夫函数（V 函数）。

6）全导数设函数)(x V 在原点O 的邻域内连续可微，把函数dt dV),,,(211n i ni ix x x f x V ∑=∂∂= 称为)(x V 关于系统（6.4）的对时间t 的全导数，记为)4.6(dtdV，特别地，如果系统已明确（或不易混淆），符号)4.6(dtdV的下标可略去。

2 基本理论与基本方法 1）平面系统的奇点分类二维线性自治系统的一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dtdy by ax dtdx（6.5） 它的系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，其特征方程是0)()(2=-++-=--bc ad d a d cb a λλλλ。

将特征方程改写为02=++q p λλ，其中bc ad q d a p -==+-=-=A A det ),(tr 。

若0≠q ，)0,0(O 是（6.5）的唯一奇点，称)0,0(O 为初等奇点，0=q 时, 称)0,0(O 为高阶奇点。

我们主要研究初等奇点的性态。

定理 6.1 对于系统（6.5），当0≠-==bc ad dcb a q 时，)0,0(O 是它的唯一初等奇点（简称为奇点），21,λλ为矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A 的不为零的特征根，则可以根据特征根的不同情况将奇点)0,0(O 分为以下类型：a ）若21λλ≠都是实数，且021>λλ，则当0,021<<λλ时，)0,0(O 为稳定结点；当0,021>>λλ时，)0,0(O 为不稳定结点。

b ）若21λλ≠都是实数，且021<λλ，则)0,0(O 为鞍点。

c ）若21λλ=，则当021<=λλ时，)0,0(O 为稳定奇结点或退化结点，当021>=λλ时，)0,0(O 为不稳定奇结点或退化结点。

d ）21,λλ为一对共轭复根，则当0Re 1<λ时，)0,0(O 为稳定焦点；当0Re 1>λ时，)0,0(O 为不稳定焦点；当0Re 1=λ时，)0,0(O 为中心。

注：奇结点（也称临界结点）是它周围的轨线均沿确定的方向趋于（或远离）它，且不同轨线切向也异。

若特征根21λλ=的初等因子的次数为1，则对应临界结点，初等因子的次数为2，则对应退化结点。

定理6.2 设)0,0(O 为方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=),(),(y x Y dy cx dtdy y x X by ax dtdx（6.6） 的孤立奇点，若),(y x X ，),(y x Y 满足条件)a 在奇点)0,0(O 的邻域内有连续的一阶偏导数； )b )(),(r o y x X =，)(),(r o y x Y =，22y x r +=。

则如果)0,0(O 是对应线性系统（6.5）的结点、焦点或鞍点，那么)0,0(O 也是非线性系统（6.6）的同类型奇点。

2）稳定性定理与方法方法1常系数线性系统稳定性判定 一般地，n 维常系数线性微分方程组Ax x=dtd （6.7） 其中A 为n 阶常数矩阵。

方程组（6.7）的特征方程为0)λdet(=-E A （6.8）。

定理6.3 若特征方程（6.8）的根均具有负实部，则方程组（6.7）的零解是渐近稳定的。

若特征方程（6.8）具有正实部的根，则方程组（6.7）的零解是不稳定的。

若特征方程（6.8）没有正实部的根，但有零根或具零实部的根，则方程组（6.7）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具零实部的根其初等因子的次数是否等于1而定。

定理6.4 设给定常系数的n 次代数方程0122110=+++++---n n n n n a λa λa λa λa其中00>a ，作行列式,,2301211a a a a a =∆=∆,0345123013a a a a a a a a =∆, 142322212123010000-----∆==∆n n nn n n n n a a a a a a a a a a a，这里)(,0n i a i >∀=。

那么，所给代数方程的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立：00>a ，01>∆，02>∆，, 01>∆-n ，0>∆n 。

注意：这是霍维兹（Hurwitz ）定理，用来判别代数方程根的实部是否均为负。

方法2 一次（线性）近似系统稳定性判定 若非线性微分方程组)(x R Ax x+=dtd （6.9） 满足条件0)(→xx R ，当0→x 时。

显然0=x 是方程组（6.9）的解。

方程组（6.9）对应的线性方程组Ax x=dtd （6.7） 称为方程组（6.9）的一次近似系统（或线性近似系统）。

定理6.5 若特征方程（6.8）没有零根或零实部的根，则非线性方程组（6.9）的零解的稳定性与其线性近似系统（6.7）的零解的稳定性态一致。

这就是说，当特征方程（6.8）的根均具有负实部时方程组（6.9）的零解是渐近稳定的，而当特征方程具有正实部的根时，其零解是不稳定的。

方法3 李雅普诺夫第二方法（V 函数法）不必求出方程组的解，而通过构造一个具有特殊性质的函数)(x V （李雅普诺夫函数或V 函数）及其通过方程组的全导数dtdV )(x 的性质，来确定方程组解的稳定性。

这种方法称为李雅普诺夫第二方法。

以下两个定理是这个方法的具体实现。

定理6.6（李雅普诺夫稳定性定理） 对于微分方程组)(x f x=dtd ，00=)(f （6.4） 如果有定正函数)(x V ，其通过（6.4）的全导数dtdV为常负函数或恒等于零，则方程组（6.4）的零解是稳定的；如果有定正函数)(x V ，其通过（6.4）的全导数dtdV为定负函数，则方程组（6.4）的零解是渐近稳定的；如果存在函数)(x V 和某非负常数μ，而通过（6.4）的全导数dtdV可以表示为 )(x W V dtdV+=μ，且当0=μ时W 为定正函数，而当0≠μ时W 为常正函数或恒等于零；又在0=x 的任意小邻域内都至少存在某个x ，使0)(>x V ，则方程组（6.4）的零解是不稳定的。