第六章 非线性微分方程和稳定性

第六章 非线性微分方程和稳定性

研究对象

二阶驻定方程组（自治系统）

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧==),(),(y x Y dt

dy y x X dt

dx

1 基本概念 1）稳定性 考虑方程组

),(x f x

t dt

d = （6.1） 其中 ⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛=n x x x

21x ，⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=dt

dx

dt dx dt dx dt d n 21x ，⎪

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),,,;(),,,;(),,,;()(21212211n n n n x x x t f x x x t f x x x t f x f 。 总假设),(x f t 在D I ⨯上连续，且关于x 满足局部李普希兹条件，R I ⊂，区域

n

R D ⊂,00=),(t f ，∑==

n

i i

x

1

2x 。

如果对任意给定的0>ε，存在0)(>εδ（一般ε与0t 有关），使得当任一0x 满足

δ≤0x 时，方程组（6.1）满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x ，均有εx <)(t 对一切0

t t ≥成立，则称方程组（6.1）的零解0=x 为稳定的。

如果方程组（6.1）的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当00δ

→)(lim t t x ，则称零解0=x 为渐近稳定的。

如果0=x 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D ∈∀x 时满足初始条件00)(x x =t 的解均有0=+∞

→)(lim t t x ，则称域0D 为（渐近）稳定域或吸引域；如果稳定域为全空间，即

+∞=0δ，则称零解0=x 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。

当零解0=x 不是稳定时，称它为不稳定的。即就是说：如果对某个给定的0>ε，不论0>δ怎样小，总有一个0x 满足δx ≤0，使得由初始条件00)(x x =t 所确定的解)(t x ，至少存在某个01t t >使得εt =)(1x ，则称方程组（6.1）的零解0=x 为不稳定的。

注：非零解的稳定性可以通过平移变换后转化为零解稳定性问题来讨论。 2）相平面与轨线

考虑二阶非自治微分方程组

),;(),;(⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧==y x t Y dt

dy y x t X dt

dx

（6.2） 它的解)(),(t y y t x x ==在以y x t ,,为坐标的（欧氏）空间中决定了一条曲线，这条曲线称为积分曲线。

如果把时间t 当作参数，仅考虑y x ,为坐标的（欧氏）空间，此空间称为方程组（6.2）的相平面，若方程组是含三个以上未知函数的，则称为相空间。

在相平面（相空间）中方程组的解所确定的曲线称为轨线。 3）奇点与常点

如果方程组（6.2）是驻定方程组（或称为自治系统），即其右端函数不显含时间t 。此时（6.2）式变成

),(),(⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧==y x Y dt

dy y x X dt

dx

（6.3） 满足方程组⎩

⎨⎧==0),(0),(y x Y y x X 的点*)*,(y x ，即满足0*)*,(*)*,(2

2=+y x Y y x X 的点，称为方

程组（6.3）的奇点（或平衡点），否则称为常点。

4）周期解、闭轨和极限环

平面自治系统（6.3）的周期解在相平面上对应的轨线称之为闭轨线，简称闭轨。 若在闭轨C 的充分小的邻域中， 除C 之外，再无其它闭轨，称C 为孤立闭轨。 如果在孤立闭轨C 的充分小的邻域中出发的非闭轨线，当+∞→t （或-∞→t ）都分别盘旋地趋于闭轨C ，则称它为系统（6.3）的极限环。极限环C 将平面分为两个区域：内

域和外域。

当极限环附近的轨线均正向(即+∞→t 时)趋近于它时，称此极限环为稳定的。如果轨线均负向(即-∞→t 时)趋近于此极限环时，则称它为不稳定的。当此极限环的一侧轨线正向趋近于它，而另一侧轨线负向趋近于它时，此极限环称为半稳定的。

5）李雅普诺夫(Liapunov)函数（V 函数） 考虑非线性的自治微分方程组

00 ==)()(f x f x

dt

d （6.4） 假设)(x f 在某区域A D ≤x :（A 为正常数）内具有连续一阶偏导数。设函数

),,,()(21n x x x V V =x 在域A H D ≤≤x :1上具有连续偏导数，且0)(=0V ，

a ）若在1D 上，恒有0)(≥x V ，则称函数)(x V 为常正的；

b ）若在A H x D ≤≤<0:}{\10上，0)(>x V ，则称函数)(x V 为定正的；

c ）若在1D 上，恒有0)(≤x V ，则称函数)(x V 为常负的；

d ）若在A H x D ≤≤<0:}{\10上，0)(

e ）若)(x V 在原点)0,,0,0( O 的任一邻域内既可取正值又可取负值，则称)(x V 为变

号函数。

常正、常负函数统称为常号函数；定正、定负函数统称为定号函数。以上定义的函数为 李雅普诺夫函数（V 函数）。

6）全导数

设函数)(x V 在原点O 的邻域内连续可微，把函数

dt dV

),,,(211n i n

i i

x x x f x V ∑=∂∂= 称为)(x V 关于系统（6.4）的对时间t 的全导数，记为

)

4.6(dt

dV

，特别地，如果系统已明确

（或不易混淆），符号

)

4.6(dt

dV

的下标可略去。

2 基本理论与基本方法 1）平面系统的奇点分类