高等几何大纲新

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《高等几何》教学大纲

课程名称:高等几何

英文名称:Advanced geometry

课程编号:0641008 学分:3 学时:54

先修课程:高等代数、解析几何

替代课程:无

适用对象:数学与应用数学专业(4年制普通本科)

(一)课程目的要求

本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上,系统地学习射影几何的基本知识,使学生能用变换群的观点来看待几何学,加深对几何学的理解,拓展几何空间概念。通过本课程学习,一方面使得学生拓宽眼界,扩大知识领域,提高抽象思维、理性思维能力,为进一步学习数学打下基础;另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解,从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力,为未来的中学几何教学打下基础。本课程包括了许多著名的定理,奇妙的图形,匪夷所思的处理技巧,通过本课程的学习,可以有效地提高数学审美意识。

(二)课程简介

本课程是数学与应用数学专业必修课程,与解析几何一起,构成大学数学类专业“前三高”基础课中的高等几何课程。本课程包括射影平面、射影变换、变换群与几何学、二次曲线理论四章内容。射影平面作为学习全课程的基础,主要介绍拓广平面、拓广平面上的齐次坐标、射影平面、平面对偶原则、Desargues 定理;射影变换是本课程的中心内容,主要介绍交比、完全四点形与完全四线形的调和性、一维基本形的射影对应、一维射影变换、一维基本形的对合、二维射影变换;变换群与几何学是基于变换群的观点,对几何学的高度抽象概括,给出研究几何学的变换群观点,主要介绍平面上的几个变换群、变换群与几何学;二次曲线理论是以二次曲线为研究对象,主要介绍二次曲线的射影定义、Pascal 定理和Brianchon定理、配极变换、二次曲线的射影分类、二次点列上的射影变换、二次曲线的仿射理论、二次曲线的仿射分类。

(三)教学方式

教学方式是采用以课堂讲授为主和习题课、讨论为辅的教学方法。注重知识点之间的比较,运用类比方法;根据课堂教学情况,适当补充一些例题,以帮助学生课后巩固所学知识;适时给出思考题,培养学生的独立思考能力;对一章进行总结时,适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握概念和性质定理的应用。

(四)教材和主要教学参考书

教材:《高等几何》,周兴和编著科学出版社,2007年第二版。

主要教学参考书:

1.《高等几何》,梅向明,刘增贤,林向岩,高等教育出版社,1983年版。

2.《高等几何习题集》,梅向明,刘增贤,林向岩,王智秋,高等教育出版社,

1994年版。

3.《高等几何》,朱德祥,高等教育出版社,1983年版。

(五)考核方式及要求

考核成绩是综合平时作业及上课表现的成绩(10%),期中考试(20%)和期末考试(闭卷)成绩(70%)为学生的总成绩。

(六)教学大纲

第一章射影平面(15学时)

主要知识点:

1. 引论

2. 拓广平面

3. 拓广平面上的齐次坐标

4. 射影平面

5. 平面对偶原则

6. Desargues定理

能力培养要求:

了解欧氏直线和射影直线、欧氏平面和影射平面的区别和联系;掌握Desargues 定理及其逆定理,运用之证明三点共线和三线共点的有关命题;

掌握齐次坐标并能正确使用,会求两点连线方程及两直线交点坐标、会判断三点是否共线;掌握并灵活应用对偶原理(包括几何对偶和代数对偶),会

作对偶图形,会写对偶命题。

第二章射影变换(15学时)

主要知识点:

1. 交比

2.完全四点形与完全四线形的调和性

3. 一维基本形的射影对应

4. 一维射影变换

5. 一维基本形的对合

6.二维射影变换

能力培养要求:

熟练掌握交比与调和比的概念、性质、应用及计算方法;掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其性质;掌握透视对应与射影对应的关系,熟练掌握一维射影对应、一维射影变换和二维射影变换的概念、性质、代数表达式及其求法;熟练掌握一维射影变换及二维射影变换的不变元素及其求法;掌握对合的表达式及求法与对合不变元素及其求法。

第三章变换群与几何学(略讲 3学时)

主要知识点:

1. 射影仿射平面

2. 平面上的几个变换群

3. 变换群与几何学

能力培养要求:

理解变换群的观点,对几何学的高度抽象概括;掌握二维射影变换的特例,平面上的几个变换群;了解变换群与几何学的关系等。

第四章二次曲线理论(21学时)

主要知识点:

1. 二次曲线的射影定义

2. Pascal定理和Brianchon定理

3. 配极变换

4. 二次曲线的射影分类

5. 二次点列上的射影变换

6. 二次曲线的仿射理论

7. 二次曲线的仿射分类

能力培养要求:

掌握二阶曲线和二级曲线的概念及配极理论;熟练掌握二阶曲线的切线、极点、极线的概念和求法;掌握配极原则的应用;熟练掌握帕斯卡定理和布利安桑定理并能灵活应用;了解二阶曲线的射影分类,掌握利用射影坐标变换化二阶曲线方程为射影标准方程;掌握二阶曲线的中心、直径及共轭直径、渐近线概念和求法;能用有关定义、性质和公式解决相关问题;了解仿射分类与射影分类的区别;掌握利用仿射坐标变换化二阶曲线方程为仿射标准方程。

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