幂零矩阵性质及应用
幂零矩阵性质应用
------------幂零矩阵的性质及应用
利用幂零矩阵的性质来简化矩阵求逆的计算
1. 可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆. 若矩阵A可表示为幂零 矩阵与单位矩阵的和，则可借用二项式展 开定理，将矩阵A的逆转 化为单位矩阵与幂零矩阵的乘幂. 2. 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆. 对于主对角线元素完 全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和 3. 可表示为若当矩阵的幂的和的矩阵的逆
------------幂零矩阵的性质及应用
一个例子
------------幂零矩阵的性质及应用
幂零矩阵其他重要的应用
1、对于n维线性空间v,必存在 的一组基使得由v的幂零线性变换生成的 幂零代数N中任意元素在该基下的矩阵均为严格上三角矩阵。 2、用幂零线性变换的概念，在一般数域上讨论了幂零线性变换一定存 在一组基使其在这组基下的矩阵是若当形矩阵，从而给出幂零矩阵的若 当标准形。 3、利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质，给出构建幂 零矩阵的几种方法。 4、一般域上的2-幂零矩阵存在Jordan 标准型，并给出其明确表示；同 时也证明了两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等 5、K上n阶矩阵与幂零矩阵的运算关系，且可以证明每个奇异方阵可写 成一个幂零方阵和两个幂零方阵的积之和。
------------幂零矩阵的性质及应用
目录
幂零矩阵的概念 幂零矩阵的性质 特殊的幂零矩阵 幂零矩阵的应用
------------幂零矩阵的性质及应用
定义一
定义二
------------幂零矩阵的性质及应用
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特殊的幂零矩阵
• 1、A为实对称矩阵且 A2 0 阵都是相似. • 3、所有 n阶n-1次幂零矩阵相似（n-1为幂 零指数）. ，则有 A=0.
幂零矩阵性质及应用
幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：⇒A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k λ为kA 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==⇒=0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-⋅= 00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
⇐A 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-=由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。
证明：⇒A 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====从而有 120k k k k n trA λλλ=+++=⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=(1.1)令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t t tttttttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)ii t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =由引理4，知(1,2,,)i i s λ=为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i nni i J E J i s -===12,,,s J J J 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s tA =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== 1211n n E A λλλ''''''-===即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值若A 退化，则有 0A = 由引理7，得 120n A λλλ==∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
幂零矩阵的定义
幂零矩阵的定义在线性代数中，幂零矩阵是一种特殊类型的方阵。
它具有一些独特的性质和特征，对于理解线性代数中的各种概念和定理具有重要意义。
幂零矩阵的定义幂零矩阵是一个方阵，其所有元素的幂次均为零。
换句话说，对于一个n×n的幂零矩阵A，对于任意i和j（1 ≤ i, j ≤ n），A的第i行第j列元素aij满足aijk=0，其中k是一个大于等于1的整数。
可以用符号表示一个幂零矩阵：A = [aij] = ⎡⎡⎡⎡⎡⎡ a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … aNN ⎡⎡⎡⎡⎡⎡其中每个元素满足aijk=0。
幂零矩阵的性质幂零矩阵具有以下重要性质：1. 幂零性质幂零矩阵的定义表明，对于幂零矩阵A中的任意元素aij，存在一个正整数k，使得aijk=0。
这意味着幂零矩阵的每个元素都有一个幂次，使得它等于零。
2. 幂零指数最小对于一个给定的幂零矩阵A，存在一个最小的正整数k，使得所有元素aijk=0。
这个最小的正整数k被称为该幂零矩阵的指数。
指数越小，说明矩阵中元素变为0所需的次数越少。
3. 幂零矩阵的乘积如果A和B是两个幂零矩阵，并且它们可以相乘（即A的列数等于B的行数），那么它们的乘积AB也是一个幂零矩阵。
具体而言，对于AB中的任意元素cij，存在一个正整数k，使得cijk=0。
4. 幂零矩阵的幂对于一个幂零矩阵A和一个正整数m，A的m次幂Am也是一个幂零矩阵。
具体而言，对于Am中的任意元素dij，存在一个正整数l，使得dijl=0。
幂零矩阵的应用幂零矩阵在线性代数中有广泛应用，特别是在理解和证明一些重要定理时起到关键作用。
以下是一些幂零矩阵的应用示例：1. 特征值和特征向量对于一个幂零矩阵A，0是它唯一的特征值。
此外，所有非零列向量都是A的特征向量，并且它们对应于特征值0。
2. 线性变换幂零矩阵可以表示一些特殊类型的线性变换。
例如，在空间中进行投影或旋转等操作时，可以使用幂零矩阵来表示这些变换。
幂零变换性质与构造方法研究
幂零变换性质与构造方法研究幂零变换是矩阵论中的一个重要概念。
它是指存在一个正整数k，使得线性变换A的k 次幂恒为零矩阵。
幂零变换具有一些重要的性质和构造方法，本文将对其进行探讨。
一、幂零变换的性质1. 幂零变换的特征多项式为x^k。
由于幂零变换A的k次幂恒为零矩阵，因此它的特征多项式应该有x^k这一因子。
具体来说，如果A的谱是{\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m}，则它的特征多项式应该是p(x) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_m)x^k。
2. 幂零变换的秩小于等于n-k。
我们可以利用幂零变换的特征多项式来证明这一点。
由于特征多项式有x^k这一因子，因此矩阵A的零空间至少包含k维。
另一方面，根据秩-零度定理，A的秩和零度之和等于n，因此其秩小于等于n-k。
根据特征多项式的定义，矩阵A的特征值为0的个数应该大于等于1，因此其行列式为零。
有两种常见的构造幂零变换的方法：Jordan标准型和上三角阵。
1. Jordan标准型给定一个n阶幂零变换A，我们可以用Jordan标准型来表示它。
Jordan标准型是指将A表示为Jordan块的矩阵形式，其中每个Jordan块是形如：J_k =[0 1 0 ... 0][0 0 1 ... 0][ ... ][0 0 0 ... 0]的矩阵。
其中，k表示该Jordan块的大小，即主对角线上连续的0的个数加1。
将A表示为一些Jordan块的直和，即可得到其Jordan标准型。
2. 上三角阵上三角阵是指矩阵A的副对角线以下的所有元素都为零。
我们可以构造一个上三角阵，使其对角线上从左到右依次为a_1, a_2, ..., a_n-k, 0, 0, ..., 0。
其中，k表示幂零指数。
根据矩阵相似的定义，如果我们能够找到一个可逆矩阵P，使得A = PBP^{-1}，那么B就是A的上三角形式。
n阶幂零矩阵 -回复
n阶幂零矩阵-回复什么是n阶幂零矩阵？在线性代数中，n阶幂零矩阵是一个n×n的方阵，其特点是所有元素都为0，除了矩阵的主对角线之外。
换句话说，它的主对角线上的元素为0，而其他位置的元素都为0。
n阶幂零矩阵的表示形式如下：[0,0,0, 0[0,0,0, 0[0,0,0, 0[...........][0,0,0, 0注意到这样的矩阵在实际应用中并不多见，但它在线性代数的理论研究中有其重要性和特殊性。
接下来，我们将逐步探讨n阶幂零矩阵的性质和其在不同领域的应用。
第一步：了解n阶幂零矩阵的定义n阶幂零矩阵是一个方阵，其主对角线上的元素为0，而其他位置的元素也全部为0。
我们可以用数学符号简洁地表示为：A[i][j] = 0，其中i ≠j。
第二步：探索n阶幂零矩阵的性质1. n阶幂零矩阵一定是一个特殊的矩阵，因为它的所有非主对角线上的元素都为0。
2. n阶幂零矩阵A的任意次幂都等于零矩阵。
即A^n = 0，其中n为正整数。
证明：设矩阵A为n阶幂零矩阵，其主对角线上的元素为0，其他位置的元素也全部为0。
那么，矩阵A的任意次幂A^n可表示为：A^n = A ×A ×A × ... ×A⁽ⁿ⁾= [0,0,0,...,0] ×[0,0,0,...,0] ×[0,0,0,...,0] × ... ×[0,0,0, 0由于矩阵相乘满足分配律和乘法结合律，且0乘任何数都等于0，所以上述乘法结果依然是零矩阵。
因此，n阶幂零矩阵的任意次幂都等于零矩阵。
第三步：探索n阶幂零矩阵在不同领域的应用尽管n阶幂零矩阵在实际应用中并不常见，但它在线性代数的理论研究中具有重要性和特殊性。
1. 线性变换：n阶幂零矩阵可以在线性变换理论中发挥重要作用。
线性变换可以用矩阵来表示，而n阶幂零矩阵可以表示某些特定类型的线性变换，例如零变换或射影变换。
2. 克尔空间：在矩阵论和线性代数的研究中，n阶幂零矩阵的零空间或克尔空间是一个重要的概念。
幂零矩阵性质及应用
幂零矩阵性质及应用幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：?A Q 为幂零矩阵k Z +∴?∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0kλ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==?=0*(1)(1)00k kE A A A ∴-=-=-=-?=00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
?A Q 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()nf E A λλλ=-=由引理2知，()0nf A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +?∈=。
证明：?A Q 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====L由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====L从而有 120k k k kn trA λλλ=+++=L由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∈=+++=L (1.1)令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =L L由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=+++=?L L L L L L (1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t tttt tt t tt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-L L LLL MM L MM M L MLL又(1,2,)ii t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==L L即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0，由性质1，得 A 为幂零矩阵得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵，由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -??= ? ??O其中11i i i J λλ??= ? ??O O O 阶数为(1,2,,)in i s =L由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i ni i J E J i s -===g L12,,,s J J J L L 为幂零矩阵得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A Q 为幂零矩阵，k Z +∴?∈ .0k s t A =00kk A A A ∴==?= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====L 由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=L L且有1211n n A E λλλ'''+===g L g1211n n E A λλλ''''''-===g L g即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化证明：令12,,,n λλλL L 为A 的特征值若A 退化，则有 0A =由引理7，得120n A λλλ==gL L g ∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
幂零矩阵的性质与应用
目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 预备知识 (2)2.1 概念 (2)2.1 引理 (3)3 幂零矩阵的性质 (4)3.1幂零矩阵的特性 (4)3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (6)3.3幂零矩阵和若尔当块 (7)3.4幂零矩阵的其他性质 (8)4幂零矩阵的应用 (11)4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (11)4.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (11)4.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (13)4.2幂零矩阵在其他方面的应用 (14)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)幂零矩阵的性质与应用摘要：在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。
幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。
同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。
关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值；迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstract: Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words: Nilpotent matrix; Linear transformation; Inverse matrix; Jordan canonical form; Characteristic; Trace.1 引言随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
n阶幂零矩阵
n阶幂零矩阵一、引言零矩阵是线性代数中常见的一个概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起到重要的作用。
在研究矩阵的性质和运算规律时，零矩阵也是一个重要的基础概念。
本文将重点讨论n阶幂零矩阵，包括定义、性质以及与其他矩阵的关系。
二、定义n阶幂零矩阵是一个n行n列的矩阵，其中所有的元素都是0。
换句话说，n阶幂零矩阵的每个元素都是0，在数学符号中表达为O_n，下标n表示这是一个n阶的矩阵。
例如，一个二阶幂零矩阵可以表示为：O_2 = [0, 0; 0, 0]三、性质1. n阶幂零矩阵的任意两个元素的乘积仍然是0。
这是因为n阶幂零矩阵的所有元素都是0，0乘以任何数都等于0，因此n阶幂零矩阵的元素乘积仍然是0。
2. n阶幂零矩阵的转置矩阵仍然是n阶幂零矩阵。
转置矩阵的定义是将矩阵的行和列互换位置得到的新矩阵，对于n阶幂零矩阵来说，由于所有元素都是0，转置矩阵的每个元素仍然是0，因此转置矩阵也是n阶幂零矩阵。
3. n阶幂零矩阵乘以任意矩阵的结果仍然是n阶幂零矩阵。
通过矩阵乘法的定义，我们可以得出n阶幂零矩阵与任意矩阵相乘后的结果仍然是n阶幂零矩阵。
这是因为n阶幂零矩阵的每个元素都是0，与任意矩阵相乘后，计算每个元素的结果仍然是0。
四、与其他矩阵的关系1.幂零矩阵与单位矩阵的关系：单位矩阵是一个对角线上的元素都为1，其他元素都为0的矩阵，记作I。
我们可以发现，单位矩阵与任意幂零矩阵相乘后的结果仍然是原幂零矩阵。
这是因为单位矩阵乘以任意矩阵后，保持矩阵不变，而幂零矩阵的所有元素都是0，因此乘积的结果仍然是幂零矩阵。
2.幂零矩阵与对称矩阵的关系：对称矩阵定义为矩阵与其转置矩阵相等的矩阵。
由于幂零矩阵的转置矩阵仍然是幂零矩阵，我们可以得出结论：幂零矩阵和其转置矩阵是对称矩阵。
3.幂零矩阵与可逆矩阵的关系：可逆矩阵是一个特殊的矩阵，其行列式不为0，可以求得逆矩阵。
对于任意幂零矩阵来说，其行列式显然为0，因此幂零矩阵不可逆。
n阶幂零矩阵
n阶幂零矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，它可以理解为一个按照一定规则排列的数表。
而零矩阵则是一种特殊的矩阵，它的所有元素都为0。
n 阶幂零矩阵可以简单理解为n行n列的零矩阵。
在本文中，我们将详细介绍n阶幂零矩阵的性质、表示方法以及一些应用。
首先，让我们来认识一下幂零矩阵的定义。
n阶幂零矩阵是一个n 行n列的矩阵，其中每个元素都为0。
换句话说，n阶幂零矩阵的所有元素都满足以下条件：矩阵的第i行第j列元素为0，其中1≤i≤n，1≤j≤n。
接下来，让我们来看一下n阶幂零矩阵的表示方法。
一种简便的表示方法是使用矩阵的行数和列数来表示幂零矩阵的阶数。
例如，一个3阶幂零矩阵可以表示为3×3的矩阵。
另外，我们也可以直接将矩阵的所有元素表示出来，如下所示：┌───┬───┬───┐│ 0 │ 0 │ 0 │├───┼───┼───┤│ 0 │ 0 │ 0 │├───┼───┼───┤│ 0 │ 0 │ 0 │└───┴───┴───┘在幂零矩阵中，每一行和每一列的元素都是0，因此在矩阵的主对角线上的元素都为0，其它元素都为0。
这是幂零矩阵的一个重要性质。
而n阶幂零矩阵的分类，可以根据其元素的个数进行划分。
一个n 阶幂零矩阵共有n×n个元素，其中所有元素都是0。
因此，n阶幂零矩阵的元素个数为n×n。
幂零矩阵在线性代数中有着重要的应用。
首先，幂零矩阵是研究矩阵性质和运算的基础。
对于矩阵的加法和乘法运算，幂零矩阵起到了重要的作用。
此外，幂零矩阵还在线性方程组的求解中有广泛应用。
矩阵的幂零性质使得线性方程组可以进行简化和求解。
幂零矩阵还在图论中有着重要的应用。
在图的邻接矩阵中，边的存在可以表示为非零元素，而边的不存在可以表示为零元素。
因此，幂零矩阵可以用于表示无向图和有向图的连接关系。
此外，幂零矩阵还在网络分析和信号处理中有着广泛的应用。
在网络分析中，幂零矩阵可以用于表示网络中节点之间的连接关系，从而进行路径分析和节点关联性分析。
幂零矩阵和幂零变换的性质及应用
幂零矩阵和幂零变换的性质及应用1引言定义1.1[1]令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵. 定义1.2[1]若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数. 定义 1.3[3]设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为1nii i trA a ==∑.定义1.4[5]形如0010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.定理1.1[5]设,A B 为n 阶方阵，则()()***,AB B A AB B A '''==.定理1.2[5](),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式， 则有()0,()0A f A m A ==.定理1.3设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++ ，12n A λλλ=⋅⋅ ，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .定理 1.4k 阶若当块11k a J a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有()0kk J a E -=.定理1.5,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得112211n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪** ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.定理1.6任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.定理1.7[5]n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似A ⇔的最小多项式无重根.定理 1.8[5]每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形.本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的应用，主要给出幂零矩阵的性质应用和幂零矩阵在求逆中的应用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系. 2 幂零矩阵的性质性质2.1 幂零矩阵的行列式值为零.性质2.2幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和k 次幂(k 为自然数)都是是幂零矩阵. 性质2.3若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义 1.1知存在k Z +∈使得0k A =，又因为AB BA =()00k k k k AB A B B ==⋅=，所以AB 也为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.4若A 为n 阶幂零矩阵，则()*,,,T A A A mA m Z -∈均为幂零矩阵，其中'A 是A 的转置矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，由定理1.1知()()00k k A A '''===，()()00k k A A ***===，()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=，所以,,A A A *'-都为幂零矩阵，又因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=，所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵.性质2.5 若A 是幂零矩阵，且0k A =则 1) ()121k E A E A A A ---=++++ 2) ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++-3) ()()111211110k k k mE A E A A m m m m---+=-++-≠ . 证明：1）因为()()21k k k k E A E A A A E A E E --+++=-== ， 所以()121k E A E A A A ---=+++ . 2) 由1）类似可得 ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++- .3) ()111111mE A m E A E A m m m ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭()()1111211111111k k k k kE A A E A A m m m mm m ----⎛⎫=-++-=-+- ⎪⎝⎭ ， 所以原命题1)、2)、3)成立.性质2.6 A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，令0λ为A 任意一个特征值，则存在00A λ∂≠∂=∂使得，由定理1.3知，0k λ为k A 的特征值，所以存在00k k A ββλβ≠=使得，从而有0k λ=0即有00λ=，又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=则()()01100k kE A A A *-=-=-=-⋅=，所以00λ=为A 的特征值，由0λ的任意性知，A 的特征值为0.（2）⇐因为A 的特征值全为0，A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=，由定理1.2知 ()0n f A A ==，所以A 为幂零矩阵，所以由（1）、（2）可以得出原命题成立.性质2.7 若为A 幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ,存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =且由性质2.6知A 的特征值全为零，()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==，令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ，从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤，由于00k 1A ≠>所以，又此时00(),2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由定理1.7知A 不可对角化.又因为B 为n 阶方阵,由定理1.8知在复数域上存在可逆矩阵T 使得121s J J T BT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ， 令i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s = ，则有0110i i i J J D ⎛⎫⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s = ,由定理 1.4知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =现令12s J J J J ⎛⎫'⎪⎪''=⎪⎪⎪ ⎪'⎝⎭，12s D D D D ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1112122s s s J D J J J D T BT J DJ J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭，即()111() 2.1B T J D T TJ T TDT ---''=+=+，又因为D 为对角阵，由（2.1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化，令1N TJ T -'=-且取12max(,,,)s k n n n = ，则有120k kk k s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，111112()()()()()00k kk k k k kk k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪ ⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.8 A 为幂零矩阵的充分必要条件是对任意的自然数0k k trA =，都有. 证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征根()1,2,,i i n λ= 全为0，由定理1.3知对任意的自然数k 有k A 的特征值0,1,2,k i i n λ== ,所以()120k k k k n tr A λλλ=+++= .（2）⇐设A 的特征根为,1,2,,i i n λ= ,所以对任k Z +∈有120k k k k n trA λλλ=+++= (2.2),令12,,,t λλλ 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同，重数为i n ()1,2,,i t = 由（2.2）式及定理1.3得方程组()1122222112233311221122000 2.30t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩,由于方程组（2.3）的系数行列式为122221212121212121111(),t t t tt ttt ttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)i i t λ= 互不相同且不为0，所以0B ≠，从而知方程组（2.3）只有零解，即0(1,2,,)i n i t == ，即A 没有非零的特征值，所以A 的特征值全为0，则由性质2.6得A 为幂零矩阵 ，所以由（1）、（2）知原命题成立. 性质2.9 若A E +为幂零矩阵，则A 非退化.证明：令12,,,n λλλ 为的特征值，若A 退化则有0A =，由定理 1.3得120n A λλλ==所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由定理1.3得0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾，所以A 为非退化.性质2.10若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=. 证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，所以00kk A A A ==⇒=，所以A 一定不可逆，由性质2.6得A 的特征值为120n λλλ==== ，由定理1.3得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== ，1211n n E A λλλ''''''-=== ，即1,1A E E A +=-= ，所以原命题成立.3 幂零矩阵的应用 3.1 幂零矩阵的性质应用例3.1.1,A B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且AB BA =，则有A B A +=.证明：由定理1.5知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121n T BT μμμ-⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为B 为幂零矩阵由性质2.4知B 的特征值全为0， 即1000T BT -⎛⎫⎪*⎪= ⎪⎪⎝⎭，12111()n T A B T T AT T BT λλλ---⎛⎫ ⎪* ⎪+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1211()nT A B T TA B T λλλ--*+=+=，又因为T 可逆0T ≠所以11T T-=所以 1212n nA B λλλλλλ*+==⋅⋅,由121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 知12,,,nλλλ 为A 的特征值由定理1.3得： 12n A λλλ=⋅⋅ ,从而得证 12n A B A λλλ+=⋅⋅= ，则有A B A +=.例3.1.2A 为n 阶方阵，求证A B C =+，B 可对角化,C 为幂零矩阵且BC CB =. 证明：由性质2.7知存在幂零矩阵N ,使得A N +可对角化,即存在可逆T ，使得121()n T A N T D λλλ-⎛⎫ ⎪⎪+=== ⎪ ⎪⎝⎭ ,即有1()A TDT N -=+- ，由性质2.4知由于N 为幂零矩阵则N -也幂零矩阵，又因为1TDT -与D 相似 ，所以1TDT -可对角化，令1B TDT -=C N =-，则有A B C =+，1B TDT -=可对角化，C N =-为幂零矩阵，又因为D为对角阵所以1111BC TDT C TT DC DC CD CDTT CTDT CB ----=======.例 3.1.3,,A B C 为n 阶方阵，且,,AC CA BC CB C AB BA ===-，证明：存在自然数0k k n C ≤=使得.证明：由于,,AC CA BC CB C AB BA ===-，所以对任意的m Z +∈有 1111111()()()()(),m m m m m m m m C C AB BA C AB C BA A C B BC AA CB CB A -------=-=-=-=-由定理1.6推广可得：11(())(())m m tr A C B tr BC A --=,1111()(()()))(())(())0m m m m m tr C tr A C B BC A tr A C B tr BC A ----=-=-=,由性质2.6得C 为幂零矩阵，所以由定义知存在0k k n C ≤=使得.所以原结论得证.例3.1.4 在复数域上n 阶方阵A 相似于对角阵等价于对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.证明：⇒因为A 对角化，则存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 从而有1212121222(),()()(),()n n T A E T T A E T λλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎪-⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以1()T A E T λ--与12()T A E T λ--相同，即A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.⇐由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，若(1,2,,)i J i s = 不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，有110110n J E ⎛⎫ ⎪ ⎪-=⎪ ⎪⎝⎭ ，12100()1100n J E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 从而知11n J E -的秩大于121()n J E -的秩，即有1()T A E T λ--的秩大于12()T A E T λ--的秩也即A E λ- 的秩大于2()A E λ-的秩，这与已知矛盾，所以所有(1,2,,)i J i s = 为对角阵，从而得证A 相似于对角阵.3.2幂零矩阵在求逆中的应用3.2.1可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例3.2.1已知4615135124A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -.解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.所以 1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.2.2主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.2.2已知0000000000000n nx yxy A x y x ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：因为0010000010000000100000100000000100000100000000100000nx y x y A x y x y x xE yJ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+其中01000001000000100000n J ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =，所以可得211123112221()(1),1(1)10(1).00100n n n n nn nn n n n n n J J J E A xE yJ x x x x y y x x x y x x x --------=+=-+++-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.2.3可表为若当块幂的和的矩阵的逆例3.2.3已知21110010001n n n na a a a a A a -⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：21221110010001n n n n n n n a a a a a A E aJ a J a J a --⎛⎫⎪⎪⎪==++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中01000001000000100000n n n J ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,10000010000001000001n nE ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以1010001000010001000000100010000000001n a a A E aJ E a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4 幂零变换的性质定义4.1[6]设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换，如果存在整数m ，使0mσ=即对任意V ξ∈，有()0mσξ=，则称σ为幂零线性变换.定义4.2[6]若σ是幂零线性变换，0t 是非空正整数集合{}|0m m Z σ+∈=中的最小正整数，则称0t 是幂零线性变换σ的幂零指数.性质4.1 设()L V σ∈,()()1,,,k ξσξσξ- 都不等于零，但()0k σξ=.则()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.证明：设011,,,k a a a F -∈ ，使()()()101104.1k k a a a ξσξσξ--+++=将()4.1分别12,,,k k σσσ-- 去作用()()()12101210k k k a a a a σξσξσξσξ---⎡⎤+++=⎣⎦得()100k a σξ-=,又因为()10k σξ-≠，所以00a =.同理可得0110k a a a -==== . 故()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.性质4.2 设n 维向量空间V 有线性变换σ及向量ξ，满足()()10,0n n σξσξ-≠=. 求证σ关于V 的某个基的矩阵是00010000010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：根据性质4.1 ()(),,,n ξσξσξ 线性无关，所以它们组成V 的一个基()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21212211210000000000000.n n n n n n σξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξ------=++++=++++=++++=++++，，，故σ关于V 的某个基的矩阵是A .性质4.3σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换当且仅当它的特征多项式的根都是零.证明：必要性 设λ是幂零变换σ的特征值，ξ是属于特征值λ的一个特征向量，则()()()()()()()()()()22322310m m m m σξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξ-===========由于0ξ≠，所以0m λ=，即0λ=.充分性 若σ关于V 的某个基德矩阵时A ，那么A 的特征值全部为0，所以F 上存在可逆矩阵T ，使得()1000000T AT -**⎛⎫⎪* ⎪= ⎪⎪⎝⎭上三角矩阵故10000000nnT A T -**⎛⎫ ⎪*⎪== ⎪⎪⎝⎭ ,所以10000000nn A T T -**⎛⎫⎪*⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 因此0n σ=，即σ是幂零线性变换.性质4.4 如果一个幂零变换σ可以对角化，那么σ一定是零变换.证明：设σ在向量空间V 的某个基下的矩阵是A ，由题设A 可以对角化，即存在F 上的可逆矩阵T ，使得121n T AT B λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，矩阵B 时σ在一组新基下对应的矩阵，并由性质4.3知，120n λλλ==== .即矩阵B 是零矩阵故σ是零变换.性质4.5 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，则σ的特征多项式为m x . 证明：因为σ是幂零线性变换，故存在正整数m ，使0m σ=，于是m x 为σ的一个化零多项式，从而σ得特征值全为零，又m x 是首一多项式，故m x 为σ的特征多项式.性质4.6 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，且σ的幂零指数为0t ，则0t n ≤，且σ的最小多项式为0t x .证明：设()m x 是σ的最小多项式，则()()()00|,t n m x x m x x t n =≤所以.由定义4.2可知0t x 为σ的最小多项式.性质 4.7 设V 是数域F 上的n 维向量空间，σ是V 的线性变换，若σ是幂零变换，则σ在某一基下的矩阵时幂零矩阵.证明：由于σ是幂零变换，即存在正整数m ，使对任意V ξ∈，有()0m σξ=. 设12,,,n ααα 是V 的一个基，σ关于12,,,n ααα 的矩阵是A .即()()1212,,,,,,n n A σαααααα=所以有()()()1212,,,,,,0,0,,0m m n n A σαααααα== .由于12,,,n ααα 是基，所以0m A =，因此A 是幂零矩阵.参考文献[1] 邹本强．幂零矩阵的性质[J]．威海职业技术学院学报,2007,12(1)：154-155 [2] 韩道兰、罗雁、黄宗文．幂零矩阵的性质及应用[J]．玉林师范学院学报,2003,24(4)：1-3[3] 谷国梁．关于幂零矩阵性质的探讨[J]. 铜陵财经专科学校学报,2001,4(1)：49-49[4] 姜海勤．幂零矩阵性质的一个应用[J]．泰州职业技术学院学报,2004,4(1)：61-62[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第二版）[M].高等教育出版社,2003[6] 张素梅、张广慧．线性变换的幂零性[J]．邯郸学院学报，2007,17(3)：30-32 [7] 李师正．高等代数解题方法与技巧[M]．高等教育出版社,2006 [8] 陈国利．高等代数选讲[M]．中国矿业大学出版社,2005[9] 杨子胥．高等代数习题集（上册）[M]．山东科学技术出版社,2004[10] 王品超．高等代数分析与研究[M] ．山东大学出版社,1994。
幂零矩阵的性质
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科技信息
○高校讲台○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 １２ 期
这类词有： 存款、汇款、罚款、捐 款 、赠 款 、赠 书 、投 资 、创 汇 、割 爱 、 控 股 、更 名 、过 境 、聚 焦 、入 股 、涉 嫌 、无 缘 、驻 军 、转 岗 、转 道 、创 刊 、任 职、走私、拜师、从师、点将、攻关、续弦、亏 本 、抢 滩 、缺 席 、入 股 、入 围 、 夺 冠 、改 版 、跟 踪 、结 缘 、解 码 、迁 址
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幂零矩阵的性质及应用
本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名：学号：2010411676专业：数学与应用数学指导教师：学院：数学科学学院2014 年4月22 日毕业论文（设计）内容介绍目录摘要：....................................................................................................................... - 1 - Abstract: . ............................................................................................................... - 1 -一、相关的基本概念............................................................................................... - 2 -二、相关的一些引理............................................................................................... - 2 -三、性质................................................................................................................... - 4 -四、关于幂零矩阵的简单应用............................................................................. - 12 -（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆...................................................... - 12 - （二）、有关幂零矩阵的其他应用举例...................................................... - 15 - 参考文献：............................................................................................................. - 20 -幂零矩阵的性质及应用刘妍摘要：幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有非常重要的作用，而且在数学领域以及其他领域应用都非常广泛，因此对幂零矩阵进行探究具有非常重要的意义.本文主要是对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有很好作用，因此对幂零矩阵的研究很有意义.关键词：幂零矩阵, 若尔当块, 特征值, 幂零指数, 幂零矩阵的秩The properties of nilpotent matrix and its applicationLiu YanAbstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful.Key words:Nilpotent matrix, Jordan, characteristic number, Nilpotent index,Nilpotent matrix rank引言在高等数学的学习研究过程中，幂零矩阵是非常特殊且实用的工具，许多问题都会借助幂零矩阵的相关性质来进行研究，比如说求矩阵的逆和许多证明题目中都会用到，求矩阵的逆一般比较麻烦，对于一些特殊矩阵可以用幂零矩阵的性质来简单化解计算.一、相关的基本概念1、 设A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，则A 称为幂零矩阵.2、 若A 为幂零矩阵，则满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数.3、 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，则称111'1n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A的转置，称111*1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A的伴随矩阵. 其中(),1,2,,ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式.4、设A 是复数域上全体m n ⨯矩阵，在A 中任意取定k 行k 列,}{min m n k ≤，.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M 称为A 的一个k 级子式.5、设A 是复数域上m ⨯n 矩阵，A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩， 记为()r A .6、 主对角线上元素为0的上三角矩阵称为严格的上三角矩阵.7、形为()0010,00J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若尔当块，其中λ为复数，由若干个 若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵.8、 设 A 为一个n 阶方阵，()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式.满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值.9、 次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式.二、相关的一些引理引理1：设,A B 为n 阶方阵，则()()***,tt t AB B A AB B A ==. [1]引理2：()(),A f E A m λλλ=-，分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则有()0,0A f A m ==.引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.引理4：若尔当形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值.引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根. 引理6：相似矩阵具有相同的特征值. 引理7：设12,,,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为()()()12,,,n f f f λλλ. 引理8：k 阶若当块11k a J a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有 ()0kk J aE -=.引理9：矩阵的最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子.引理10：,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得121*N T AT λλλ-⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 121*N T BT μμμ-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 引理11：任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.引理12：设A 是n 阶方阵，若20A =，则()n2r A ≤.引理13：设A 是n 阶方阵，若30A =，则（1）()23nr A ≤；（2）()()()222r r n r A ≤A ≤-A .引理14：设A 是n 阶方阵，则()()()r kr k-1n kA A ≥- ()k 1≥. 引理15：设A 是n 阶方阵，则()()()()()2k 21r r r 0k k A k ++A ≤A +≥，.引理16: 设A 是n 阶方阵，则()()()()B -+≥AB r BC r AB r C r .三、性质性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0. 证明：⇒因为 A 为幂零矩阵,所以k =0k Z A +∃∈使,使0k A =. 令0λ为A 任意一个特征值，则00A ααλα∃≠=使. 由引理7知，0λ为k A 的特征值. 因为0β∃≠使0k βλβA = ,即有00λ=. 又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=. 因为()()0*1100kkE A A A -=-=-=-⋅=, 所以 00λ=为A 的特征值. 由0λ的任意性知,A 的特征值为0. ⇐（方法一）因为A 的特征值全为0,所以A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=. 由引理2知，()0n f A A ==. 所以A 为幂零矩阵,得证.（方法二）因为存在可逆矩阵T,使得10*0T T B -⎛⎫ ⎪⎪A == ⎪ ⎪⎝⎭ (B 为上三角矩阵） [2] 由上三角矩阵的性质知， 0n B =，从而0n A =（n 为A 的阶数）. （方法三）因为A 的所有特征根全为0,所以A 的Jordan 标准型J 的若尔当块只能是110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 取正整数m ≥i J 的所有阶数，则m i J =0 所以有m J =0， 故11()0m m m A PJP PJ P --===所以A 为幂零矩阵. 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0=∈∀+k trA Z k . 证明：⇒ 因为A 为幂零矩阵，由性质1，知:A 的特征值全为0 即12n λλλ===.又由引理7，知k A 的特征值为120n λλλ====,从而有120k k k k n trA λλλ=+++=.⇐由已知，12 0k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++= (1.1)令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值,且t λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩（1.2） 由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t tt tt t t t tt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又因为()t i i ,,2,1 =λ互不相同且不为0，0≠B , 从而知，方程（1.2）只有0解，即()t i n i ,,2,10 ==即A 没有非零的特征值所以A 的特征值全为0,由性质1,得A 为幂零矩阵得证.性质3：若A 为幂零矩阵，则A 的若尔当标准形J 的若当块为幂零若尔当块，且J 的主对角线上的元素为0.证明：因为A 为幂零矩阵，再由性质1，知A 的特征值全为0. 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中11ii i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为()s i n i,,2,1 =.由引理4，知()s i i ,,2,1 =λ为J 的特征值.又因为A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值. 所以()s i i ,,2,10 ==λ 即J 的主对角线上的元素全为0.由引理8，知()()()s i J E J i i n i n i ,,2,100 ===⋅-, 故S J J J ,,,21 为幂零矩阵,得证.性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有A E +及A E -可逆， 且1,1A E E A +=-=其中E 为单位矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =.故00kk A A A ==⇒=,A 一定不可逆.由性质1，得A 的特征值为120n λλλ====由引理7， 得A E +,A E -的特征值分别为 1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=所以,A E +及A E -可逆， 且有1211n n A E λλλ'''+===,1211n n E A λλλ''''''-===.即1,1A E E A +=-=,得证. 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化. 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值,若A 退化，则有0A =.由引理7，得120n A λλλ==.所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由引理7，得0110i λ+=≠为A E +的一特征值，这与A E +为幂零矩阵矛盾,故A 为非退化，得证.性质6：若A 为幂零矩阵,B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.又因为AB BA =,()00k k k k AB A B B ==⋅=.所以1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m m m---+=-+++-≠ 故AB 也为幂零矩阵，得证.性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=++++.证明：因为0k A =，所以k k k E E A E A =-=- 21()()k E A E A A A -=-++++.即121()k E A E A A A ---=++++.对任意0m ≠，有[()]k k k k k AmE mE A mE A m E m=+=+=+211121111()((1))k k k A m E E A A A m m m m---=+-+++-211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++- 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m m m---+⋅-+++-= 所以12111211111()((1))k k k mE A E A A A m m m m ----+=-+++- 21123111(1)k k k E A A A m m m m--=-+++- 性质8：若A 为幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化.但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化. 证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =且A 的特征值全为零. ()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==, 令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ. 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤.由于0,A ≠所以01k >，又此时00()2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由引理5，知A 不可对角化因为B 为n 阶方阵，由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T BT J -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s =. 令iii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =,则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =.由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==,即i J '(1,2,,)i s =为幂零矩阵.现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭， 即111()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+ 又D 为对角阵，由（1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化.令1N TJ T -'=- 且取12max(,,,)s k n n n =,则有120kkk k s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,111112()()()()()00kkk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵,得证.性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.证明:令A 为n 阶幂零矩阵,由性质3知，存在可逆矩阵T , 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .其中0110iJ ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =，且()0i n i J =,1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.取12max(,,,)s k n n n =，则k n ≤且有1121112()00(1.5)k kk k k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即0k A =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤,00k A =.若0k k <，则0i ∃使00i n k >且000k i J ≠. 由（1.5）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这与00k A =矛盾. 故0k k n =≤,得证.性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 .证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0.若B 与A 相似,由引理6，得A 与B 有相同的特征值. 所以B 的特征值也全为0，由性质1，知B 也为幂零矩阵. A 为幂零矩阵由性质3知,存在可逆矩阵T,使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =,且()0i n i J =, 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.由性质9，知{}12max ,,,A s k n n n =为A 的幂零指数又A 与B 相似，A 与J 相似 ,从而有B 也与J 相似所以∃可逆矩阵P ,使得121s J J P BP J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 又由性质9，知12max{,,,}B s k n n n =为B 的幂零指数,从而有A B k k =.又0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i s =为严格上三角,所以12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭也为严格上三角形, 即A ,B 都相似于严格上三角形J . 得证 .性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,A A A mA *'-()m Z +∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.由引理1，知()()00k k A A '''===,()()00k k A A ***===, ()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=. 所以,,A A A *'-都为幂零矩阵.因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=， 所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵. 又因为A 为幂零矩阵，所以0A =，即()1r A n ≤-. 若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0. 则有0A *=,从而有2()0A A **==.若()1r A n =-，则由性质3知,存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =且()1i i r J n =-.又显然A 与J ，所以有111()()()(1)1sssi i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑所以1s =,即有10110T AT J B -⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 又10(1)0n B +*⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 所以2()0B *=. 由（1.3）式及引理1，知11()()A TBT T B T *-*-***==, 21212()[()]()()0A T B T T B T *-***-***===, 得证. 性质12：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则 （1）()1r k nA k -≤；（2）()()()11(1)k k k r A r A n r A ---≤≤-. 证明：因为0k =A ，由引理16知()()()()()21120k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （1） ()()()()()322130k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （2）()()()()()k k-2210k r A r AAA r A r A r A -==≥+- （3） 把上式相加得到：()()()110k k r A r A ---≤. （4） 由定理知：()()()()110k k k r A r AA r A r A n --==≥+-, 则()()1k r A r A n -+≤. 故()1k kr A n -≤,即()1k n r A k-≤. 所以()()1k r A n r A -≤-，所以()()()11k k r A r A --≤ 所以()()()()111k k k r A r A n r A ---≤≤-,得证. 性质13：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则（1）k 为偶数且4≥k ，则()()12212k k r A r A -≤；（2)k 为奇数且3≥k ，则()()11212k k r A r A --≤.证明：由引理16知：()()()()21202k k k k r A r AA A r A r A ---==≥-, 即()()212k k r A r A --≥. 再由引理16知：()()()()2422402k k k k r A r A A A r A r A ---==≥- 即()()422k k r A r A --≥，由此类推， （1）k 为偶数且4≥k ，则()()()()12422111242k k k k r A r A r A r A ---≤≤≤≤.（2)k 为奇数且3≥k ， 则()()()()12412111242k k k k r A r A r A r A ----≤≤≤≤,得证.四、关于幂零矩阵的简单应用（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆1、求可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆.若矩阵A 可表示为幂零矩阵和单位矩阵的和，则可借用二项式展开定理将求矩阵A 的逆转化为单位矩阵和幂零矩阵的乘幂.例 1 4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -. 解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∴=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 4121031200210001求1-A .解：E +B =A ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 3121021200110000 且03=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=B +B -E =B +E =A ∴--62530841200121200024241211. 2、求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆.对于主对角线元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和.例1 ()0000000000110≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A λλλλλ 求.1A - 解：B +E =A m ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 0000000000001100且02=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B -E =B +E =A ∴--λλλλλλλλλ10000100001011011122211. 例2 已知0000000000000n nx y xy A x y x ⨯⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭求1A -. 解：0000000000000x y x yA x y x ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10000010000001000001x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭01000001000000100000y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎪⎪⎝⎭n xE yJ =+， 其中01000001000000100000n J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =.211123()(1)n n n nn n n J J J E A xE yJ x x x x---=+=-+++- 1122211(1)10(1)00100n n n n n n y y x x x y x x x -----⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3、求可表为若尔当块的幂的矩阵和的矩阵的逆。
幂零矩阵性质及应用
幂零矩阵性质及应用数本041 严益水 学号：摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。
它具有一些很好的性质。
本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。
幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。
在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。
关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）（一） 一些概念1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。
2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。
3、设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，称1111n nnn a a A a a ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵。
其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。
5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。
6、形为010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。
7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。
满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。
幂零矩阵的性质及应用
编号：xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用完成人： xxx班级： 2008- 01学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师： xxxx完成日期： 2012-03-31目录摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)1.1幂零矩阵的相关概念 (1)1.2幂零矩阵的基本性质 (1)2 主要结论 (4)3 应用 (6)3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用 (6)3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 (8)3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用 (9)3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用 (10)3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用 (11)参考文献 (13)Abstract (14)幂零矩阵的性质及应用作 者：xxxxx 指导老师：xxx摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查.关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根0 引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的 乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质.1 预备知识为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念. 1.1幂零矩阵的有关概念定义1 设A 是n 阶矩阵,若存在一个自然数k ,使0k A =,则A 为 幂零矩阵.定义2 设A 是幂零矩阵,满足0k A =的最小自然数k 称为A 的幂零指数.1.2幂零矩阵的基本性质在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质.性质1 若A 是幂零矩阵,则*,,,T mA A A A -都是幂零矩阵.性质2 A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0. 在此基础上,我们还可以得到幂零矩阵的另一个充要条件. 推论1 A 为幂零矩阵的充要条件是k Z +∀∈,0k trA =. 证明 必要性 因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值全为0, 即120n λλλ====,所以kA 的特征值为120n k k k λλλ====.从而有120n k k k ktrA λλλ=+=++.充分性 由已知,对k Z +∀∈,120nk k k k trA λλλ=+=++. ①令12,,,t λλλ为A 的不为零的特征值,且i λ互不相同,重数为i n （1,2,,i t =）. 由①式,得方程组112121211222222333121200t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩ ② 由于方程组②的系数行列式为121212122221212111ttttt tt tt tttB λλλλλλλλλλλλλλλλλλ==()121t i j j i tλλλλλ≤<≤=∏-又()1,2,,i i t λ=互不相同且不为0,所以0B ≠,从而知方程②只有0解,即0i n =(1,2,,i t =）.因此A 的特征值全为0,即A 为幂零矩阵.推论 2 若A 为幂零矩阵,则A 一定不可逆且有1,1A E E A +=-=. 证明 由于A 为幂零矩阵,所以存在k Z +∈,使得0k A =,因此有00kk A A A ==⇒=,所以A 一定不可逆.由性质2,得A 的特征值120n λλλ====,所以A E +,E A -的特征值分别是12'''011n λλλ=+====, 12"""101n λλλ=-====,且有12'''11n n A E λλλ+===,12"""11n n E A λλλ-===.即1,1A E E A +=-=.推论3 若A E +为幂零矩阵,则A 非退化. 证明 令12,,,n λλλ为A 的特征值.若A 退化,则有120n A λλλ==,所以至少存在00i λ=为A 的特征值,从而有0110i λ+=≠为A E +的一特征值,这与A E +为幂零矩阵相矛盾,得证A 为非退化.对于幂零指数相同的幂零矩阵,有一些比较重要的性质. 性质3 所有的n 阶1n -次幂零矩阵都相似.证明 令A 为n 阶1n -次幂零矩阵,即10n A-=,()001k k n A ≠≤<-,因此A 的最小多项式1()()n A n m d λλλ-==；又A 是幂零矩阵,所以A 的特征值全为0,因此A 的特征多项式为()()n n f E A D λλλλ=-==,又11()()()n n n n D d D λλλλ--==,所以1()n D λλ-=；又12()()()()()n n n f E A d d d D λλλλλλλ=-===,从而有1()n d λλ-=,221()()()1n d d d λλλ-====,所以所有n 阶1n -次幂零矩阵具有相同的不变因子为1,,,,,111n λλ-.所以所有n 阶1n -次幂零矩阵都相似. 利用此法也可以得到：推论4 所有n 阶n 次幂零矩阵都相似.注 但是当幂零矩阵的幂零指数2k n ≤-,相同幂零指数的幂零矩阵却不相似.性质4 设A 为非零幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则E ,A ,2A ,,1k A-线性无关.证明 利用反证法.假设12,,,,k A E A A -线性相关,则一定存在一组不全为0的0c ,1c ,,1k c -,使2101210k k E A c c c c A A --++++=, ①两端右乘1k A -,得100k c A -=,而10k A -≠,因此00c =.再对①式两端右乘2k A-,可得10c =.同理可得2310k c c c -====.所以0110k c c c -====,得出矛盾,所以假设错误.即证得21,,,,k E A A A -线性无关.2 主要结论我们在幂零矩阵的定义以及基本性质的基础上,进一步探讨幂零 矩阵,得到一些重要结论,而且这些结论应用的也比较广泛.结论1 设A 为幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则 （1）E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++ . （2）()()11212311111k k kmE A E A A Am mm m---+-+=-++.(0)m ≠证明 （1） 由于A 为幂零矩阵,所以0k A =,从而k k k E E A E A =-=-()21()k E A E A A A -=-++++,即()121k E A E A A A ---=++++.（2）对任意0m ≠,121231111()()(1)k k kmE A E A A A m m mm--+-+++-121211111(1)k k k E A A A Am mmm---=-++++- 212121111(1)(1)k k k kk kAAA mmm-----+++--E =所以()1121231111()k k kE A mE A A Am m mm---=-+++-+ .结论2 若A 为幂零矩阵,则A 的若尔当标准形J 的若尔当块为 幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0.证明 A 为幂零矩阵,由性质2知,A 的特征值全为0； 又在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J J T A TJ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中11iiiiiJ nn λλ⨯=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1,2,,i t =,则(1,2,,)i i t λ=为J 的特征值；又A 与J 相似,所以A 与J 有相同的特 征值,所以0i λ= (1,2,,)i t =,即J 的主对角线上的元素全为0;所以有1010i J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则i J 为幂零矩阵,其幂零指数为i n (1,2,,)i t =,所以12,,,S J J J 为幂零矩阵.所以A 的若尔当标准形J 的若尔当块12,,,S J J J 为幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0. 由此结论可以得到：推论 5 n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n ，且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.3 应用3.1 幂零矩阵在矩阵运算中的应用——求一些特殊矩阵的逆在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用幂零矩阵的性质来化简.引理1 任一n 阶方阵A 都可写成的A D N =+形式,其中D 是一个与对角阵相似的n 阶方阵,N 是一个幂零矩阵,而且DN ND =.证明 因为在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J A T T J -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦① 其中11iiiiiJ n nλλ=⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,2,,i t =于是00101iii ii i J N D λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1,2,,)i t =. ②其中ii i D λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对角阵,0101i N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为幂零矩阵. 因为n i O N =,将②式带入①式得111s s N D A T TN D -+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1111s s N D T T T T N D --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D N =+ ③其中11s D D T T D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于对角阵,且 1111nn n s s N N T T O N N T T N N --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 即N 为幂零矩阵,于是111s s N D DN T T N D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ④ 类似的,有111s s N D ND T T N D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ⑤ 但()i i i i i i E N N N D λλ==, ()i i i i i i E N N N D λλ==.所以i i i i N N D D = ,(1,2,,)i s = ⑥由④⑤⑥,即证 DN ND =.由引理1,对于一些可表示为幂零矩阵与单位矩阵的和的矩阵,则可利用结论1来求它的逆;而主对角元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵与幂零矩阵的和,也可以借助结论1可求出它的逆;对于一些可表示为单位矩阵与若尔当矩阵幂的和的矩阵,借助结论1也可求出它的逆.下面通过例子来说明.例1 设11111011110011101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1A -. 解 记n J 为n 阶若尔当矩阵,则0nn J =,而21n n n n A E J J J -=++++,由结论1有1121()n n n nn E E J A J J J ---==-++++1100001100000110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3.2 幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用在历年研究生入学考试中,对幂零矩阵的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面列举几道典型的对幂零矩阵的考查方法,以说明幂零矩阵和其他数学知识之间的灵活运用. 3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用下面看一下幂零矩阵与线性方程组相结合的考查方法. 例2 (中山大学) A ,B ,C 为n 阶方阵,且AC CA =,BC CB =,C AB BA =-,证:存在自然数k n ≤,使得0k C =.分析 本题即证C 为幂零矩阵,只需证C 的特征值全为0.而C AB BA =-,容易联想需要用C 的迹来解题,而采用反证法则恰到好处.证明 只需证C 的特征值12,,,n λλλ全为0即可. 事实上,()()0tr C tr AB BA =-=,即有10ni i λ==∑；又2()()()AB BA CAB CBA AC B B AC C C =-=-=-,所以()2210ni tr C i λ===∑;同理可得()3310nii trC λ===∑,()10nssi i tr C λ===∑；假设C 存在非0的特征值,不妨设合并各相同的非0特征值后,得11222221122112200s s s s s s s s s k k k k k k k k k λλλλλλλλλ=⎧+++⎪+=++⎪⎨⎪⎪+=++⎩,（12,,,s λλλ各不相同）.方程组有非0解,故系数行列式：1222212120ss s s s sλλλλλλλλλ=（i λ各不相同）,但是()1222212121120ss s i j j i ss s s sλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=≠∏-,得出矛盾,所以假设错误,即有C 不存在非零的特征值,C 的特征值全为0,所以存在自然数k n ≤,使得0k C =.此题利用幂零矩阵的性质构造齐次线性方程组,灵活运用数学知识进行解题,与推论1的证明有相似之处,体现了幂零矩阵在高等代数中的重要地位.3.2.2 幂零矩阵的若尔当标准形的应用幂零矩阵的若尔当标准形在历年真题中也较常用到.例3（上海交通大学） A ,B 为n 阶方阵,B 为幂零矩阵,AB BA =,则有A B A +=.分析 在复数域上,每个n 级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似, 幂零矩阵的若尔当标准形的对角线上的元素为0,由此结论此题即得证.证明 由题有,在复数域上,存在可逆矩阵,T 使得121*n AT T λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121*n BT T μμμ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又B 为幂零矩阵,所以B 的特征值全为0,即100*0BT T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ()121111*n A B T AT BT T T T T T λλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以()12111*nA B T A B T T T T T λλλ---+=+=.又因为T 可逆,所以0T ≠,1212*n nA B λλλλλλ+==,因为121*n AT Tλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此12,,,n λλλ为A 的特征值,所以12n A λλλ=,从而得证21n A A B λλλ=+=.3.2.3 幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用幂零线性变换在任一组基下的矩阵为幂零矩阵,研究幂零矩阵的 特性对研究幂零线性变换是很有帮助的.例4（西南大学） 设V 为数域F 上的n 阶方阵构成的线性空间,A 为F 上一个固定的n 阶方阵,定义()TB AB BA =-,其中B 为V 中任一向量,证明(1)T 为线性变换；(2)若A 为幂零矩阵,则T 为幂零线性变换.分析 （1）利用线性变换的定义即可得证.(2) 由()T B AB BA =-,有下述结论:A 的特征值之差都是T 的特征值.以下要证此结论.证明 （1）任取,B C V ∈,k F ∀∈,则有：()()()()()T B C A B C B C A AB BA AC CA T B T C +=+-+=-+-=+,()()()()T kB A kB kB A kAB kBA kT B =-=-=,所以T 为线性变换.（2）先做如下断言：()T B AB BA =-⇒A 的特征值之差都是T 的特 征值.事实上,()n y F M ∀∈,取()n F M 的一组基ij E （,1,2,,i j n =）,设A 的若尔当标准形为1*s J λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则存在可逆矩阵()n P F M ∈,使得11*s AP J P λλ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以1A PJ P -=.又P 可逆,所以1ij P E P -也是()n F M 的一组基. 又111()()()ij ij ij T A A PE P PE P PE P ---=- 1111()()()()ij ij PJ PJ P PE P PE P P ----=-1()ij ij J J P E E P -=-10*0i jP P λλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()()ij i j PE P λλ-=-所以T 在基11111111211,,,,,,,n n nn PE P PE P PE P PE P PE P -----下的矩阵为121212110*0nnn n n λλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦------ 所以A 的特征值之差都是T 的特征值.断言成立.因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值0i λ= ,所以T 的特征值全为0,从而T 为幂零线性变换.参 考 文 献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 杨子胥.高等代数习题解（下册）[M].济南:山东科技出版社,1982:836-866.[3] 邹本强.幂零矩阵的性质[J].science information,2007,(12):150-155.[4] 韩道兰,罗雁,黄宗文.幂零矩阵的性质及应用[J].玉林师范学院学报(自然科学)2003,24(4):1-3.[5] 江明星.幂零矩阵的若干性质[J].安徽机电学院学报,1999,14(2):77-79.[6] 姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用[J].泰州职业技术学院学报,2004, 4(1): 54-57.[7] 樊正恩.幂零矩阵的若干注记[J].甘肃高师学报,2011,16(2):3-4.[8] 赵廷芳.幂零矩阵的性质[J].周口师专学报,1994,11(1):27-30.[9] 谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨[J].铜陵财经专科学校学报,2001,(4): 49-63.[10]吴险峰.n阶幂零矩阵的判别与构建[J].齐齐哈尔大学学报,2007,23(4): 72-75.The Properties and Applications of Nilpootent MatricesxxxxAbstract:This paper based on the definition of nilpotent matrix ,then summarizes the basic properties of nilpotent matrix and some main conclusion , and further debate its application: using the properties of nilpotent matrix for solving the inverse matrix of some special matrix ,and investigating the nilpotent matrix in the postgraduate entrance exam.Keywords: nilpootent matrices; nilpotent index; Jordan standard form;characteristic root。
幂零矩阵的性质和应用
幂零矩阵的性质和应用
作者：陈飞翔
来源：《科教导刊·电子版》2017年第23期
摘要 1964年Give证明了n阶矩阵是幂零矩阵A的充要条件是. 然而国内对于幂零矩阵的研究是出于此矩阵本身的性质和对其他一些性质的探讨得出幂零矩阵的相关性质，以及关于幂零矩阵的简单应用。
最近这些年，在一代又一代数学家的艰苦奋斗下，幂零矩阵的发展可以说是突飞猛进. 在大学期间学习的高等数学课程中有学到矩阵的运算，并且在乘法运算涉及出过幂零矩阵的概念和定义，但对它的研究还是不够深入，在此情况下，我们可以加强幂零矩阵的学习来发展和普及，探究和归纳更多我们需要的知识。
本文介绍了幂零矩阵的主要性质，并给出了幂零矩阵的应用。
关键词幂零矩阵逆矩阵
中图分类号：O151.21 文献标识码：A。
幂零矩阵的性质及应用毕业论文__应用数学
2. 幂零矩阵的相关概念及简单性质
为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的相关概念.
2.1 幂零矩阵的相关概念
定义 2.1.1 令 A 为 n 阶矩阵，若存在正整数 k ，使 Ak 0 ，则 A 称幂零矩阵。
也称为 k 阶幂零矩阵。如 A 为 2 阶幂零阵，则 A2 0 。
定义 2.1.2 若 A 为幂零矩阵，满足 Ak 0 的最小正整数称为 A 的幂零指数。
An1 Ann
其中 Aij i, j 1,2,, n为 A 中元素 aij 的代数余子式。
定义 2.1.4 设 A 为一个 n 阶方阵， A 的主对角线上所有元素的和称为 A 的
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幂零矩阵的性质及应用
迹，记为 trA。显然 A 的全体特征值的和等于 trA.其中 f E A 0 称为
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幂零矩阵的性质及应用
证明： 设 A 是 n 阶幂零矩阵，k ，则 Ak 0 ，于是， Ak A k 0 ，
因此 A 0 。由此得 0E A A 1n A 0 ，这说明 0 是 n 阶幂零矩阵 A 的
特征值。 若 为 A 的任一特征值， 为相应的特征向量，则 A ， Ak k 0 ，
的特征值分别是 1 2 n 0 1 1, 1 2 n 1 0 1,
矩阵 A 的特征多项式，满足 f E A 0 的 的值称为矩阵 A 的特征值。
定义 2.1.5 形为
0 1 0
J
0
1
阶数为
ni
i
1,2, s
0
0
0
幂零矩阵的性质及应用
编号：***********xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用完成人：xxx班级：2008- 01学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：xxxx完成日期：2012-03-31目录摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)1.1幂零矩阵的相关概念 (1)1.2幂零矩阵的基本性质 (1)2 主要结论 (4)3 应用 (6)3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用 (6)3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 (8)3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用 (9)3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用 (10)3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用 (11)参考文献 (13)Abstract (14)幂零矩阵的性质及应用作者：xxxxx指导老师：xxx摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查.关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根0引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质.1 预备知识为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念.1.1幂零矩阵的有关概念定义1设A是n阶矩阵,若存在一个自然数k,使0kA=,则A为幂零矩阵.定义2设A是幂零矩阵,满足0kA=的最小自然数k称为A的幂零指数.1.2幂零矩阵的基本性质在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质.第 1 页（共14页）第 2 页（共 14 页）性质1 若A 是幂零矩阵,则*,,,T mA A A A -都是幂零矩阵. 性质2 A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0. 在此基础上,我们还可以得到幂零矩阵的另一个充要条件. 推论1 A 为幂零矩阵的充要条件是k Z +∀∈,0k trA =. 证明 必要性 因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值全为0, 即120n λλλ====,所以kA 的特征值为120n k k k λλλ====.从而有120n k k k ktrA λλλ=+=++.充分性 由已知,对k Z +∀∈,120nk k k k trA λλλ=+=++. ①令12,,,t λλλ为A 的不为零的特征值,且i λ互不相同,重数为i n （1,2,,i t =）. 由①式,得方程组112121211222222333121200t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩ ② 由于方程组②的系数行列式为121212122221212111ttttt tt tt tttB λλλλλλλλλλλλλλλλλλ==()121t i j j i tλλλλλ≤<≤=∏- 又()1,2,,i i t λ=互不相同且不为0,所以0B ≠,从而知方程②只有0解,即0i n =(1,2,,i t =）.因此A 的特征值全为0,即A 为幂零矩阵.推论2 若A 为幂零矩阵,则A 一定不可逆且有1,1A E E A +=-=. 证明 由于A 为幂零矩阵,所以存在k Z +∈,使得0k A =,因此有00kk A A A ==⇒=,所以A 一定不可逆.第 3 页（共 14 页）由性质2,得A 的特征值120n λλλ====,所以A E +,E A -的特征值分别是12'''011n λλλ=+====, 12"""101n λλλ=-====,且有12'''11n n A E λλλ+===,12"""11n n E A λλλ-===.即1,1A E E A +=-=.推论3 若A E +为幂零矩阵,则A 非退化. 证明 令12,,,n λλλ为A 的特征值.若A 退化,则有120n A λλλ==,所以至少存在00i λ=为A 的特征值,从而有0110i λ+=≠为A E +的一特征值,这与A E +为幂零矩阵相矛盾,得证A 为非退化.对于幂零指数相同的幂零矩阵,有一些比较重要的性质. 性质3 所有的n 阶1n -次幂零矩阵都相似.证明 令A 为n 阶1n -次幂零矩阵,即10n A-=,()001k k n A ≠≤<-,因此A 的最小多项式1()()n A n m d λλλ-==；又A 是幂零矩阵,所以A 的特征值全为0,因此A 的特征多项式为()()n n f E A D λλλλ=-==,又11()()()n n n n D d D λλλλ--==, 所以1()n D λλ-=；又第 4 页（共 14 页）12()()()()()n n n f E A d d d D λλλλλλλ=-===,从而有1()n d λλ-=,221()()()1n d d d λλλ-====,所以所有n 阶1n -次幂零矩阵具有相同的不变因子为1,,,,,111n λλ-.所以所有n 阶1n -次幂零矩阵都相似. 利用此法也可以得到：推论4 所有n 阶n 次幂零矩阵都相似.注 但是当幂零矩阵的幂零指数2k n ≤-,相同幂零指数的幂零矩阵却不相似.性质4 设A 为非零幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则E ,A ,2A ,,1k A-线性无关.证明 利用反证法.假设12,,,,k A E A A -线性相关,则一定存在一组不全为0的0c ,1c ,,1k c -,使2101210k k E A c c c c A A --++++=, ①两端右乘1k A -,得100k c A -=,而10k A -≠,因此00c =.再对①式两端右乘2k A-,可得10c =.同理可得2310k c c c -====.所以0110k c c c -====,得出矛盾,所以假设错误.即证得21,,,,k E A A A -线性无关.2 主要结论我们在幂零矩阵的定义以及基本性质的基础上,进一步探讨幂零 矩阵,得到一些重要结论,而且这些结论应用的也比较广泛.结论1 设A 为幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则 （1）E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++ . （2）()()11212311111k k kmE A E A A Am mm m---+-+=-++.(0)m ≠第 5 页（共 14 页）证明 （1） 由于A 为幂零矩阵,所以0k A =,从而k k k E E A E A =-=-()21()k E A E A A A -=-++++,即()121k E A E A A A ---=++++.（2）对任意0m ≠,121231111()()(1)k k kmE A E A A A m m mm--+-+++-121211111(1)k k k E A A A Am m m m---=-++++- 212121111(1)(1)k k k k k k AAA mmm-----+++--E =所以()1121231111()k k kE A mE A A Am m mm---=-+++-+ .结论2 若A 为幂零矩阵,则A 的若尔当标准形J 的若尔当块为 幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0.证明 A 为幂零矩阵,由性质2知,A 的特征值全为0； 又在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J J T A TJ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中11iiiiiJ nn λλ⨯=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1,2,,i t =,第 6 页（共 14 页）则(1,2,,)i i t λ=为J 的特征值；又A 与J 相似,所以A 与J 有相同的特 征值,所以0i λ= (1,2,,)i t =,即J 的主对角线上的元素全为0;所以有01010i J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则i J 为幂零矩阵,其幂零指数为i n (1,2,,)i t =,所以12,,,S J J J 为幂零矩阵.所以A 的若尔当标准形J 的若尔当块12,,,S J J J 为幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0. 由此结论可以得到：推论5 n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n ，且幂零指数等于其 若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.3 应用3.1 幂零矩阵在矩阵运算中的应用——求一些特殊矩阵的逆在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用幂零矩阵的性质来化简.引理1 任一n 阶方阵A 都可写成的A D N =+形式,其中D 是一个与对角阵相似的n 阶方阵,N 是一个幂零矩阵,而且DN ND =.证明 因为在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J A T T J -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦① 其中11iiiiiJ n nλλ=⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,2,,i t =第 7 页（共 14 页）于是00101i ii i i i J N D λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1,2,,)i t =. ②其中ii i D λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对角阵,0101i N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为幂零矩阵. 因为n i O N =,将②式带入①式得111s s N D A T TN D -+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1111s s N D T T T T N D --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D N =+ ③其中11s D D T T D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于对角阵,且 1111nn n s s N N T T O N N T T N N --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 即N 为幂零矩阵,于是111s s N D DN T T N D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ④ 类似的,有第 8 页（共 14 页）111s s N D ND T T N D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ⑤ 但()i i i i i i E N N N D λλ==, ()i i i i i i E N N N D λλ==.所以i i i i N N D D = ,(1,2,,)i s = ⑥由④⑤⑥,即证 DN ND =.由引理1,对于一些可表示为幂零矩阵与单位矩阵的和的矩阵,则可利用结论1来求它的逆;而主对角元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵与幂零矩阵的和,也可以借助结论1可求出它的逆;对于一些可表示为单位矩阵与若尔当矩阵幂的和的矩阵,借助结论1也可求出它的逆.下面通过例子来说明.例1 设11111011110011101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1A -. 解 记n J 为n 阶若尔当矩阵,则0nn J =,而21n n n n A E J J J -=++++,由结论1有1121()n n n nn E E J A J J J ---==-++++1100001100000110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3.2 幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用在历年研究生入学考试中,对幂零矩阵的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面列举几道典型的对幂零矩阵的考查方法,以说明幂零矩阵和其他数学知识之间的灵活运用.第 9 页（共 14 页）3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用下面看一下幂零矩阵与线性方程组相结合的考查方法. 例2 (中山大学) A ,B ,C 为n 阶方阵,且AC CA =,BC CB =,C AB BA =-,证:存在自然数k n ≤,使得0k C =.分析 本题即证C 为幂零矩阵,只需证C 的特征值全为0.而C AB BA =-,容易联想需要用C 的迹来解题,而采用反证法则恰到好处.证明 只需证C 的特征值12,,,n λλλ全为0即可. 事实上,()()0tr C tr AB BA =-=,即有10ni i λ==∑；又2()()()AB BA CAB CBA AC B B AC C C =-=-=-,所以()2210ni tr C i λ===∑;同理可得()3310nii trC λ===∑,()10nss ii trC λ===∑；假设C 存在非0的特征值,不妨设合并各相同的非0特征值后,得11222221122112200s s s s s s s s s k k k k k k k k k λλλλλλλλλ=⎧+++⎪+=++⎪⎨⎪⎪+=++⎩,（12,,,s λλλ各不相同）.方程组有非0解,故系数行列式：第 10 页（共 14 页）1222212120ss s s s sλλλλλλλλλ=（i λ各不相同）,但是()1222212121120sss i j j i ss s s sλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=≠∏-, 得出矛盾,所以假设错误,即有C 不存在非零的特征值,C 的特征值全为0,所以存在自然数k n ≤,使得0k C =.此题利用幂零矩阵的性质构造齐次线性方程组,灵活运用数学知识进行解题,与推论1的证明有相似之处,体现了幂零矩阵在高等代数中的重要地位.3.2.2 幂零矩阵的若尔当标准形的应用幂零矩阵的若尔当标准形在历年真题中也较常用到.例3（上海交通大学） A ,B 为n 阶方阵,B 为幂零矩阵,AB BA =,则有A B A +=.分析 在复数域上,每个n 级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似, 幂零矩阵的若尔当标准形的对角线上的元素为0,由此结论此题即得证.证明 由题有,在复数域上,存在可逆矩阵,T 使得121*n AT T λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121*n BT T μμμ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又B 为幂零矩阵,所以B 的特征值全为0,即100*0BT T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,第 11 页（共 14 页）()121111*n A B T AT BT T T T T T λλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以()12111*nA B TA B T T TT T λλλ---+=+=.又因为T 可逆,所以0T ≠,1212*n nA B λλλλλλ+==,因为121*n AT Tλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此12,,,n λλλ为A 的特征值,所以12n A λλλ=,从而得证21n A A B λλλ=+=.3.2.3 幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用幂零线性变换在任一组基下的矩阵为幂零矩阵,研究幂零矩阵的 特性对研究幂零线性变换是很有帮助的.例4（西南大学） 设V 为数域F 上的n 阶方阵构成的线性空间,A 为F 上一个固定的n 阶方阵,定义()TB AB BA =-,其中B 为V 中任一向量,证明(1)T 为线性变换；(2)若A 为幂零矩阵,则T 为幂零线性变换.第 12 页（共 14 页）分析 （1）利用线性变换的定义即可得证.(2) 由()T B AB BA =-,有下述结论:A 的特征值之差都是T 的特征值.以下要证此结论.证明 （1）任取,B C V ∈,k F ∀∈,则有：()()()()()T B C A B C B C A AB BA AC CA T B T C +=+-+=-+-=+,()()()()T kB A kB kB A kAB kBA kT B =-=-=,所以T 为线性变换.（2）先做如下断言：()T B AB BA =-⇒A 的特征值之差都是T 的特 征值.事实上,()n y F M ∀∈,取()n F M 的一组基ij E （,1,2,,i j n =）,设A 的若尔当标准形为1*s J λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则存在可逆矩阵()n P F M ∈,使得11*s AP J P λλ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以1A PJ P -=.又P 可逆,所以1ij P E P -也是()n F M 的一组基. 又111()()()ij ij ij T A A PE P PE P PE P ---=- 1111()()()()ij ij PJ PJ P PE P PE P P ----=- 1()ij ij J J P E E P -=-10*0i jP P λλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()()ij i j PE P λλ-=-第 13 页（共 14 页）所以T 在基11111111211,,,,,,,n n nn PE P PE P PE P PE P PE P -----下的矩阵为121212110*0nnn n n λλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦------所以A 的特征值之差都是T 的特征值.断言成立.因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值0i λ= ,所以T 的特征值全为0,从而T 为幂零线性变换.参 考 文 献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 杨子胥.高等代数习题解（下册）[M].济南:山东科技出版社,1982:836-866. [3] 邹本强.幂零矩阵的性质[J].science information,2007,(12):150-155. [4] 韩道兰,罗雁,黄宗文.幂零矩阵的性质及应用[J].玉林师范学院学报(自然科学)2003,24(4):1-3.[5] 江明星.幂零矩阵的若干性质[J].安徽机电学院学报,1999,14(2):77-79. [6] 姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用[J].泰州职业技术学院学报,2004, 4(1):54-57.[7] 樊正恩.幂零矩阵的若干注记[J].甘肃高师学报,2011,16(2):3-4. [8] 赵廷芳.幂零矩阵的性质[J].周口师专学报,1994,11(1):27-30.[9] 谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨[J].铜陵财经专科学校学报,2001,(4):49-63.[10]吴险峰.n 阶幂零矩阵的判别与构建[J].齐齐哈尔大学学报,2007,23(4):72-75.The Properties and Applications of Nilpootent MatricesxxxxAbstract:This paper based on the definition of nilpotent matrix ,then summarizes the basic properties of nilpotent matrix and some main conclusion , and further debate its application: using the properties of nilpotent matrix for solving the inverse matrix of some special matrix ,and investigating the nilpotent matrix in the postgraduate entrance exam.Keywords: nilpootent matrices; nilpotent index; Jordan standard form;characteristic root第14 页（共14页）。
幂零矩阵公式
幂零矩阵公式在矩阵理论中，幂零矩阵是一种特殊的矩阵，它的幂次方可以趋近于零。
幂零矩阵公式是描述幂零矩阵的一种数学表达式。
本文将介绍幂零矩阵的定义、性质和应用，并给出幂零矩阵公式的详细解释。
一、幂零矩阵的定义幂零矩阵是指一个矩阵的所有幂次方都趋近于零矩阵。
具体地说，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个正整数k，使得A^k=0，则称A 为幂零矩阵。
二、幂零矩阵的性质1. 幂零矩阵的特征值都为零。
由于A^k=0，那么矩阵A的任意特征值λ满足λ^k=0，即λ=0。
因此，幂零矩阵的所有特征值都是零。
2. 幂零矩阵的行列式为零。
根据矩阵特征值与行列式的关系，幂零矩阵的行列式为特征值的乘积，即det(A)=λ1*λ2*...*λn=0。
3. 幂零矩阵的秩小于等于n-k，其中n为矩阵的阶数，k为A^k=0的最小正整数。
由于A^k=0，矩阵A的列空间被A的k次幂的零空间所包含，因此矩阵A的秩小于等于n-k。
三、幂零矩阵的应用幂零矩阵在线性代数和微分方程等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 幂零矩阵可以用来描述线性系统的稳定性。
在控制理论中，稳定性是一个重要的概念。
如果一个线性系统的状态矩阵是幂零矩阵，那么该系统是稳定的。
2. 幂零矩阵可以用来表示微分方程的解。
对于一些特殊的微分方程，可以通过幂零矩阵的幂次方来表示其解析解。
3. 幂零矩阵可以用来描述图的连通性。
在图论中，连通性是一个重要的性质。
通过幂零矩阵的幂次方，可以得到图的连通性矩阵，进而分析图的连通性。
四、幂零矩阵公式的解释幂零矩阵公式是一种数学表达式，用来计算幂零矩阵的幂次方。
具体地说，幂零矩阵A的k次幂可以通过以下公式计算：A^k = (B1 + B2 + ... + Bk) / k!其中，Bi表示幂零矩阵A的i次幂，k!表示k的阶乘。
幂零矩阵公式的解释如下：将幂零矩阵A进行分解，利用幂零矩阵的性质，可以将A的k次幂表示为B1、B2、...、Bk的和，其中Bi 表示A的i次幂。
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幂零矩阵性质及应用数本041 严益水 学号：410401109摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。
它具有一些很好的性质。
本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。
幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。
在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。
关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）（一） 一些概念1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。
2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。
3、设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，称1111n nnn a a A a a ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵。
其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。
5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。
6、形为010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。
7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。
满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。
8、次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。
（二）、一些引理引理1：设A ，B 为n 阶方阵，则()()***,AB B A AB B A '''==引理2：(),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则有()0,()0A f A m A ==。
引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形。
引理4：若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。
引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根。
引理6：相似矩阵具有相同的特征值。
引理7：设12,,,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=⋅⋅，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ。
引理8：k 阶若当块11k a J a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有()0k k J aE -=。
引理9：矩阵匠最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子。
引理10：A ，B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得112211n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪**⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
引理11：任意n 阶A ，B 方阵，有()()tr AB tr BA =。
二、 幂零矩阵的性质（下面的性质来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幂零矩阵的十一条性质） 性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0。
证明：⇒A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k λ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0k A =，知00kk A A A ==⇒= 0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-⋅= 00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
⇐A 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-= 由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0k k Z trA +∀∈=。
证明：⇒A 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====由引理7，知 k A 的特征值为120k k k n λλλ====从而有 120k k k k n trA λλλ=+++=⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=(1.1)令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t t tttttttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)ii t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵，则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =由引理4，知(1,2,,)i i s λ=为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n n i i J E J i s -===12,,,s J J J 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s tA =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== 1211n n E A λλλ''''''-===即1,1A E E A +=-= 得证 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值若A 退化，则有 0A = 由引理7，得 120n A λλλ==∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得 0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵 证明：A 为幂零矩阵 .0k k Z s tA +∴∃∈=又AB BA = ()00k k k k AB A B B ==⋅= AB ∴也为幂零矩阵 得证性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=++++1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m mm---+=-+++-≠ 证明：0k A = k k k E E A E A ∴=-=-21()()k E A E A A A -=-++++即121()k E A E A A A ---=++++任意0m ≠，有[()]k k k k kA mE mE A mE A m E m∴=+=+=+ 211121111()((1))k k k A m E E A A A m m mm ---=+-+++-211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++- 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m mm---+⋅-+++-=1211121211231111()((1))111(1)k k k k k k mE A E A A A m m m mE A A A m m m m------∴+=-+++-=-+++-性质8：若A 为幂零矩阵且A 0≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化 证明：A 为幂零矩阵 .0k k Z s tA +∴∃∈=且A 的特征值全为零()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤由于0A 0,k 1≠∴>，又此时 00()2k A m k λλ=≥即A 的最小多项式有重根，由引理5，知 A 不可对角化 B 为n 阶方阵 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T BT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =令 i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅== 即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭12s D D D D ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭即111()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+又D 为对角阵，由（1）式知 11B TJ T TDT --'-=可对角化 令N =1TJ T -'- 且取 12max(,,,)s k n n n = 则有120k kkk s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭111112()()()()()00kkk k k k kk k s J J N TJ T T J TT T T T J ----⎛⎫' ⎪ ⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵 得证性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数证明；令A 为n 阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =且()0i n i J = 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=取12max(,,,)s k n n n =，则k n ≤ 且有1121112()00(1.5)k kkk k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪===⋅⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即0k A =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤ 00k A = 若0k k <，则000.i i s t n k ∃> 且000k i J ≠由（1.5）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这与00k A =矛盾。