中心力场与角动量
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量子力学_5.1中心力场中粒子运动的一般性质
2 l l 2 2 2 l
（9 ）
（10）
边条件为
引进无量纲变量 kr ,则方程（9）变为
d R d
2 2 l
Rl (a) 0
2 dR
l
d
l (l 1) 1 R
2
l
0
(0 l )
（11）
此为球贝塞尔方程，其两个特解可取为 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数
实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题. 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为
V (| r1 r2 |)
二粒子体系的能量本征方程为
2 2 2m 1 2m 2 V (| r1 r2 |) Ψ (r1 , r2 ) ETΨ (r1 , r2 ) (13) 1 2
2 l 2
2
)
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0 (2)
采用自然单位，令 1 ,方程（2）化为
Rl( r ) 2 r
2 Rl( r ) 2 E r
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0
(3)
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
l (r )
r
(6)
满足
d 2 l (r ) 2 l (l 1) 2 ( E V (r )) l (r ) 0 (7) 2 2 dr r 不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并.
r r
a)
1 2
（16）
（9 ）
（10）
边条件为
引进无量纲变量 kr ,则方程（9）变为
d R d
2 2 l
Rl (a) 0
2 dR
l
d
l (l 1) 1 R
2
l
0
(0 l )
（11）
此为球贝塞尔方程，其两个特解可取为 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数
实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题. 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为
V (| r1 r2 |)
二粒子体系的能量本征方程为
2 2 2m 1 2m 2 V (| r1 r2 |) Ψ (r1 , r2 ) ETΨ (r1 , r2 ) (13) 1 2
2 l 2
2
)
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0 (2)
采用自然单位，令 1 ,方程（2）化为
Rl( r ) 2 r
2 Rl( r ) 2 E r
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0
(3)
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
l (r )
r
(6)
满足
d 2 l (r ) 2 l (l 1) 2 ( E V (r )) l (r ) 0 (7) 2 2 dr r 不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并.
r r
a)
1 2
（16）
中心力场的一般性质
2015-1-26 8 2
量子力学中的角动量
在量子力学中，用另一种方法可以证明粒子在中心力 场中运动时角动量也是一个守恒量。
重复的指标表示 对指标求和。 角动量算符只与角度有关， 而势能只是径向坐标的函数
2015-1-26 8 3
球坐标系中的薛定谔方程
由于势能具有球对称性，采用球坐标系是方便的。
这给出恒为零的无物理意义的解。 物理上可接受的解满足：
2015-1-26 8 6
两体问题
考虑由两个粒子相互作用构成的两体系统：
引入质心坐标和相对坐标： 系统的总质量
2015-1-26
8
7
两体系统的薛定谔方程
由此得到两体系统在质心系中的薛定谔方程：
分离变量：
描写质心的自由运动， 与系统的内部结构无关 描写粒子的相对运动， 与单体方程形式相同
中
1
经典力学中的角动量
中心力场问题在粒子运动问题中占有特别重要的地位。 当粒子在中心力场中运动时，角动量守恒有重要作用。 假定质量为 的粒子在中心力场 中运动：
粒子在中心力场中运动时，对力心的角动量保持不变。 由于角动量与径矢和动量构成的 平面垂直，角动量守恒带来的结 果是，运动轨道必定是有确定法 线方向的平面曲线，轨道平面的 法线方向指向角动量的方向。
做如下变换
在不同的中心力场中，粒子的定态波函数的差别仅在 径向部分，它们由中心势的性质决定。 径向方程中不出现磁量子数，这导致能量本征值与m无 关，能级是2l+1 重简并的。
2015-1-26 8 5
径向波函数的渐近行为
假定势能在原点附近的行为满足 这时，径向方程渐近地表示成 原点是方程的正则奇 点，解必取以下形式 波函数的统计诠释要求在任何体积元内找到粒子的概 率有限，因此负幂 l + 1 < 1.5，这只当 l = 0 时才成立。 当 l = 0 时，将这个解代入径向方程，
量子力学中的角动量
在量子力学中，用另一种方法可以证明粒子在中心力 场中运动时角动量也是一个守恒量。
重复的指标表示 对指标求和。 角动量算符只与角度有关， 而势能只是径向坐标的函数
2015-1-26 8 3
球坐标系中的薛定谔方程
由于势能具有球对称性，采用球坐标系是方便的。
这给出恒为零的无物理意义的解。 物理上可接受的解满足：
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两体问题
考虑由两个粒子相互作用构成的两体系统：
引入质心坐标和相对坐标： 系统的总质量
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8
7
两体系统的薛定谔方程
由此得到两体系统在质心系中的薛定谔方程：
分离变量：
描写质心的自由运动， 与系统的内部结构无关 描写粒子的相对运动， 与单体方程形式相同
中
1
经典力学中的角动量
中心力场问题在粒子运动问题中占有特别重要的地位。 当粒子在中心力场中运动时，角动量守恒有重要作用。 假定质量为 的粒子在中心力场 中运动：
粒子在中心力场中运动时，对力心的角动量保持不变。 由于角动量与径矢和动量构成的 平面垂直，角动量守恒带来的结 果是，运动轨道必定是有确定法 线方向的平面曲线，轨道平面的 法线方向指向角动量的方向。
做如下变换
在不同的中心力场中，粒子的定态波函数的差别仅在 径向部分，它们由中心势的性质决定。 径向方程中不出现磁量子数，这导致能量本征值与m无 关，能级是2l+1 重简并的。
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径向波函数的渐近行为
假定势能在原点附近的行为满足 这时，径向方程渐近地表示成 原点是方程的正则奇 点，解必取以下形式 波函数的统计诠释要求在任何体积元内找到粒子的概 率有限，因此负幂 l + 1 < 1.5，这只当 l = 0 时才成立。 当 l = 0 时，将这个解代入径向方程，
§1 中心力场中粒子运动的一般规律
Rl (r) ~ r s
则s<3/2。很显然，当l≥1时，(l+1)不满足
s具备的条件，所以取 Rl (r) ~ rl
根据
Rl (r)
(r)
r
此时 (r) 满足
lim
r 0
l
(r)
lim
r 0
rRl
(r)
0
这是个重要的条件，以后会经常用到。
26
17
3、两体问题化为单体问题
实际问题中出现的中心力场问题，常为 二体问题。
容易证明
[Lˆ, pˆ 2 ] 0
由角动量只与角度θ、φ有关，则有
[Lˆ, V (r)] 0
这样
[Lˆ, H ] 0
所以，与经典力学中一样，角动量也是守恒量
26
5
因为所研究的问题具有球对称性，故 一般采用球坐标系。此时
pˆ 2
22
pˆ r2
Lˆ2 r2
2
1 r2
r
(r 2
) r
Lˆ2 r2
第六章 中心力场
§1 中心力场中粒子运动的一般规律 例 （1）引力场中的运动
如Kepler运动： 地球同步卫星
26
1
（2）库仑场中的运动(经典理解) 如原子体系： 电子的运动
共同特点： 角动量守恒
在中心力场中角动量概念非常重要。
26
2
角动量的经典表示：
Lrp
则
dL
dr
p
r
dp
dt dt
下面我们看量子力学中的角动量问题。
1、角动量守恒与径向运动
若势场为V(r)，粒子的质量为μ，则Hamilton
量可以写为
Hˆ 1 pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
中心力场第二讲
能量本征值由 k
2 E 及（8）给出
E nrl
2 2
2 a
x nrl
2
（13）
E n r l 是(2l+1)重简并
（2） 当球方势阱半径 a→∞时
由于
j l ( kr ) 0
r
边界条件 R ( r )
a
0 自然得到满足，对k或能量E不再有任何限制，即能量取连续谱，
1 2 ˆ ˆ2 H p V (r ) V (r ) 2 2
2
哈密顿量
ˆ ˆ L r p
对易关系
ˆ [ Li ˆ [L ˆ [L ˆ [L ˆ2 [L
ˆ ˆ L j ] i ijk L k
ˆ2 p ] 0 V ( r )] 0 ˆ H]0
d dr
ln( rh 0 ( kr ))
(1 )
ra
立即有
或
kctgka k k ctgka 0 k
2
1．无限深球方势阱
r a r a
V(r)
此种情况下，径向方程
d R dr
2
2 dR
l ( l 1) 2 2 ( E V ( r )) 2 R 0 r dr r
可写成
d R dr
2 2
2 l ( l 1) k 2 R 0 r dr r 2 dR
第二讲 中心力场
中心力场的特征：中心力场是球对称场，势V(r) 几种特殊中心力场 万有引力场 库仑场——原子结构中占有特别重要的地位 各向同性谐振子场 原子核结构中占有重要的地位 无限深球方势阱
中心力场中运动粒子的特征
量子力学 05中心力场
质心坐标 相对坐标
r r r r Y( r1 , r2 ) Y( R, r )
x1
X X x1
x x x1
x
1 1 R r 1 2 2 R r 2 1 2
z
r1
1
r
1
l (l 1) u0 2 r
若令
V (r )
l (l 1)h 2r
2
2
e
2
r
于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库 仑势两部分组成。
d u dr
2
2
2 h
2
[ E V ( r )]u 0
讨论 E < 0 情况，方程可改写如下：
•
（7）
•如果令 •则有
l (r ) [
''
Rl (r )
1 r
l (r )
l ( l 1) r
2
（8）
] l (r ) 0
2
2
( E V ( r ))
（9）
•由上式可看出粒子的能量本征值与l有关，而与m无关，而其本 征波函数还与m有关，每一个l取值，m取2l+1个值：故存在度简 并，这种简并来源于粒子所处的势场具有球对称性，故与Z轴取 值无关。 •上述径向方程解的情况有两种： •⑴如果E>0，则E的取值为连续变化，即体系能量具有连续谱， 电子此时离开原子核而运动到无限远处。 •⑵如果E<0，E的取值是分离的，便与径向量子数有关 Enr ,l， • nr =0,1,2,3…被称为径向量子数，故
第5章 中心力场
Chapter 6 中心力场
d2 2 dRl (r ) l (l + 1) Rl (r ) + Rl (r ) = 0 − 2 2 (11) dr r dr r
在正则奇点 r=0 邻域,设 Rl ( r ) ∝ r ,代入式
s
(11)得:
s ( s + 1) − l (l + 1) = 0
s = l , −(l + 1)
(12)
(18) Rkl (r ) = Ckl jl (kr ) 其中 Ckl 为归一化常数，k (或能量E)由边条件 (11)确 定,
(5)
代入式(4)，可得出径向波函数 Rl (r ) 满足的 方程:
d2 2d l (l +1) ⎤ ⎡ 2µ R (r) + Rl (r) + ⎢ 2 ( E −V (r)) − 2 ⎥ Rl (r) = 0 2 l dr r dr r ⎦ ⎣
(6) 在求解方程(6)时，有时作如下替换是方便的。 令
0 ≤ r ≤ a, l = 0
2
(8) (9)
满足
∫
a
0
⎡ χ nr l (r ) ⎤ dr = 1 ⎣ ⎦
不难看出，半径为 a 的无限深球方势阱中的
l = 0 的能级和波函数，与一维无限深方势阱
(宽度为a)中粒子能级和波函数完全相同，只 是在那里量子数 n = 1, 2,3 ,相当于这里的 径向量子数 (nr + 1) , nr = 0,1, 2,3 。 其次考虑 l ≠ 0 的量子态，此时，径向波 函数 Rl (r ) 满足下列微分方程： 2 ⎡ 2 l (l + 1) ⎤ Rl (r )′′ + Rl (r )′ + ⎢ k − 2 ⎥ Rl (r ) = 0 r r ⎦ ⎣ (10) 0≤r ≤a
重心运动和角动量定理的应用
重心运动和角动量定理的应用重心运动和角动量定理是物理学中非常重要的概念和原理，它们在各个领域的研究中有着广泛的应用。
本文将探讨重心运动和角动量定理的基本原理，并分析其在实际问题中的应用。
一、重心运动的基本原理重心是一个物体或系统的质量分布所形成的平均位置，用来描述物体整体的运动状态。
重心运动的基本原理是质点在外力作用下沿着惯性直线运动。
当多个质点组成一个系统时，其重心的运动可以用于描述系统的整体运动。
重心运动的应用非常广泛，例如在机械工程中，研究设备的平稳运动和震动的控制；在天体物理学中，研究行星和恒星的轨道运动等。
二、角动量定理的基本原理角动量是描述旋转物体运动状态的物理量，它是由物体的转动惯量和角速度所决定的。
角动量定理是描述角动量变化的原理，它表明在没有外力或外力矩作用下，角动量保持不变。
角动量定理在物理学中应用广泛，例如在力学中，研究刚体的转动运动；在电动力学中，研究电荷围绕一定轨道的运动；在量子力学中，研究微观粒子的自旋等。
三、重心运动和角动量定理的应用1. 运动稳定性分析重心运动和角动量定理可用于分析物体的运动稳定性。
例如在航天器设计中，需要确保飞行器在运动过程中保持稳定，可以通过分析重心运动和角动量定理来进行运动稳定性评估和优化设计。
2. 物体的抛掷和旋转运动重心运动和角动量定理在描述物体的抛掷和旋转运动中起着重要作用。
例如，在棒球运动中，棒球击出后会进行旋转运动，通过运用角动量定理，可以计算出棒球的旋转角速度和旋转轴位置。
3. 自行车和摩托车的平衡控制自行车和摩托车的平衡控制是一个复杂的物理问题，重心运动和角动量定理可以帮助解释和分析它。
通过调整车身的重心位置和角动量，骑手可以实现车辆的平衡和转向控制。
4. 行星和卫星的轨道运动重心运动和角动量定理在研究天体运动中具有重要的应用。
例如，在行星和卫星的轨道运动中，通过分析重心运动和角动量定理，可以计算出行星和卫星的轨道特性，如轨道半径、轨道周期等。
2015-10-9中心力场
k m F 2 r
2
开普勒第一定律
2 2 2 2 2
hu F h 1 2 2d u h u 2 u 2 m p p r d
h m F 2 p r
平方反比引力
2
iii.开普勒第三定律
2 2A r h
2 A h t t0 2 ab h
2) 开普勒定律
开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于 椭圆的一个焦点上。(1609)
开普勒第二定律：行星和太阳之间的联线(矢径)，在 相等的时间内所扫过的面积相等。(1609)
开普勒第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴 的立方成正比。(1619) 牛顿的万有引力定律(1687)：
GMm k m F 2 2 r r
1 r u
r
1 k A cos 2 h
2
轨道方程
2) 行星运动的分类I－圆锥曲线的几何判据
圆锥曲线正焦弦的一半
p r 1 e cos
偏心率
原点：力心：焦点
h2 p 2 k h2 e Ap A 2 k
r
1 k A cos 2 h
2
i. 椭圆
c e 1 a
由于 r 和 v始终在垂直于 J 的曲面内，所以质点
做平面曲线运动。
从角动量的大小为常数可得出位矢的掠面速度为 常数。
dA r dt 2
2
2 r re mr eJ J r mv mr r
constant 为行星对太阳的动量矩为常数，故 mr 行星所受力对太阳的力矩为零；又行星受力不为零， 因此必受有心力，太阳是力心。
量子力学粒子在中心场中运动,证明其角动量守恒量
量子力学粒子在中心场中运动，证明其角动量守恒量在量子力学中，角动量可由角动量算符表示，其定义为：\[ \hat{{L}} = \hat{{r}} \times \hat{{p}} \]其中， \( \hat{{r}} \) 是位置算符， \( \hat{{p}} \) 是动量算符。
如果一个粒子在中心场中运动，表示该粒子受到一个只与 \( r \) 有关的中心力场作用，那么该中心场满足以下条件：\[ V(\hat{{r}}) = V( r ) \]考虑一个粒子在给定状态 \( \psi \) 下的角动量期望值：\[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{L}} | \psi \rangle \] 由于算符 \( \hat{{L}} \) 是位置算符和动量算符的乘积，我们可以将它分为两部分：\[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{r}} \times\hat{{p}} | \psi \rangle \]根据算符的乘积性质，可以将这个期望值展开为两个期望值的差：\[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{r}} \times\hat{{p}} | \psi \rangle - \langle \psi | \hat{{p}} \times \hat{{r}} |\psi \rangle \]我们可以进一步展开这两个期望值：\[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \hat{{r}} \times \hat{{p}}\rangle - \langle \hat{{p}} \times \hat{{r}} \rangle \]由于位置和动量算符之间的对易关系为：\[ [ \hat{{r}}, \hat{{p}} ] = i \hbar \]其中， \( i \) 是虚数单位， \( \hbar \) 是约化普朗克常数。
第5章 中心力场
即 s(s 1) l(l 1)
10
由此得s的两个根
ss12
l 1 l
s1 s2 2l 1 为整数
由前已知在r→0 时波函数有限，要s≥1 ，则只能
取s=l+1
从而有 nr l 1 n
nr是径向量子数；n是总量子数。由于nr和l都是正 整数或零，所以n=1,2,…
9
bnr 1 0
以v=nr 代入系数关系便得 nr s
另外，级数解中对ν求和是从ν=0开始的，不包含
v=-1的项，所以b-1=0。以v=-1代入系数关系便得
b0
s 1
(s 1)s l(l
1) b1
要 b-1=0而b0≠0则必须有
s(s 1) l(l 1) 0
•
前 几 个 径 向 函
R1,0
(r)
Z a0
3/
2
2 exp
Zr a0
3/ 2
R2,0
(r)
Z 2a0
2
Zr a0
exp
Zr 2a0
数
3/ 2
为
R2,1
(r)
Z 2a0
Zr 3 a0
2)
b
用此关系将 b1 , b2 , 均用 b0 表示，并将其代
入级数解便得
12
f
()
b0l 1[1
n l 1 1!(2l 2)
(n l 1)(n l 2) 2!(2l 2)(2l 3)
10
由此得s的两个根
ss12
l 1 l
s1 s2 2l 1 为整数
由前已知在r→0 时波函数有限，要s≥1 ，则只能
取s=l+1
从而有 nr l 1 n
nr是径向量子数；n是总量子数。由于nr和l都是正 整数或零，所以n=1,2,…
9
bnr 1 0
以v=nr 代入系数关系便得 nr s
另外，级数解中对ν求和是从ν=0开始的，不包含
v=-1的项，所以b-1=0。以v=-1代入系数关系便得
b0
s 1
(s 1)s l(l
1) b1
要 b-1=0而b0≠0则必须有
s(s 1) l(l 1) 0
•
前 几 个 径 向 函
R1,0
(r)
Z a0
3/
2
2 exp
Zr a0
3/ 2
R2,0
(r)
Z 2a0
2
Zr a0
exp
Zr 2a0
数
3/ 2
为
R2,1
(r)
Z 2a0
Zr 3 a0
2)
b
用此关系将 b1 , b2 , 均用 b0 表示，并将其代
入级数解便得
12
f
()
b0l 1[1
n l 1 1!(2l 2)
(n l 1)(n l 2) 2!(2l 2)(2l 3)
第六章 中心力场 量子力学教学课件
第六章 中心力场 量子力学教学课件
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第5页
一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第5页
一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本
大物力学第五章 角动量
v dr v Q =v dt
v v dp F= dt
v dr v v v × p = v × mv = 0 dt
说明： 说明： 可以写成分量表示。 可以写成分量表示。
v dL v v v ∴ = r ×F = M dt
力矩引起角动量的变化！ 力矩引起角动量的变化！
微分形式
v v t2 v L2 − L = ∫ Mdt 1
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
开普勒第二定律
v L
O
v v dt
v v r × v 的含义
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
例：图中O为有心力场的力心，排斥力于距离平方成反 图中 为有心力场的力心， 为有心力场的力心 为一常量） 为一常量 比：f = k/r2（k为一常量） 求：(1) 此力场的势能 (2) 一质量为 的粒子以速度 0、瞄准距离 从远处 一质量为m的粒子以速度 的粒子以速度v 瞄准距离b从远处 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。
v v v Q M内 = ∑ ( ri × f i内 ) i dt i
质点组角动量守恒： 质点组角动量守恒：
矢量，可以写成分量式表示。 矢量，可以写成分量式表示。 只有外力矩才对角动量有贡 内力矩为零， 献，内力矩为零，但会改变角 动量在体系内的分配。 动量在体系内的分配。
物理学中角动量的物理意义是什么？
物理学中角动量的物理意义是什么？
角动量有2种，一种叫做轨道角动量，另外一种叫做自旋角动量。
一般情况下，总角动量是守恒的，所谓总角动量就是轨道角动量加上自旋角动量。
正因为总角动量要守恒，所以当一个原子发出一个光子的时候，总角动量守恒会要求光子的偏振方向不能太任意，这就会引起偏振光的产生。
而偏振光可以用到我们的墨镜与3维电影的拍摄中。
以上讲的是量子力学中的角动量，其实在量子理论中，角动量算子所满足的代数叫做su（2）李代数，正因为有这样的代数，我们才可以把满足这个代数关系的任何算子都叫做角动量。
在经典力学中，角动量非常简单，一般来说是角动量是矢径与动量的叉乘。
而且，在中心力场中，角动量是一个守恒量。
在行星运动的定律中，角动量守恒定理对应的是开普勒第二定律。
角动量在刚体中也是守恒的，所以我们可以用它来做做陀螺仪。
陀螺仪可以用做惯性导航，一旦战争打响，天空上的卫星可能会被摧毁，这个时候卫星导航就会失效，我们可以使用陀螺仪来进行惯性导航。
因此，角动量守恒定律是非常有用的。
角动量与能量一样，是一个基本的物理量。
我们在日常生活中能意识到能量的存在，但很难意识到角动量的存在。
为什么？主要是角动量出现的场合不是很多，但如果你去思考为什么一个自行车在骑行的时候不会倒下来，就可以知道这背后其实也蕴含了车轮的角动量的守恒。
角动量一般与旋转运动有关，但我们这个生活中遇见的旋转运动不多，所以大家对角动量没有非常直观的理解。
3-9 中心力场
u ( r ) = rR ( r )
可将方程(18)化为
(22)
2 d 2 l ( l + 1) + − 2 2 r 2 2 dr
而归一化条件(21)变为
2
+ V ( r ) u ( r ) = Eu ( r )
2
(23)
u (r )
0
dr = 1
2
(24)
假定当 r → 0 时， r V ( r ) → 0 ，这相当于 r → 0 时 V ( r ) 比 1/ r 增长得慢。对于这样
因此中心力场中粒子的哈密顿算符为
2 ˆ2 ˆ2 p 1 2 L ˆ ˆ H= +V (r ) = − r+ +V (r ) 2 2 r r 2 2 r 2
2
(12)
(13)
ˆ 的本征方程 现在我们要求解 H
ˆψ( r ) = E H ψ( r )
采用分离变量法，令
(14)
ψ( r ) = R ( r ) Y ( , )
V (r ) = −
e2 4π 0 r
(42)
其中 e 表示电子电荷量的绝对值， 0 是真空电容率，势能零点选在无穷远处。(42)式为国际 单位制的表达式，理论物理中还常用高斯单位制，此时
V (r ) = −
e2 r
(43)
注意不同单位制中，电荷的单位并不相同，不能混为一谈。对(43)式作代换 e →
p2 = pr2 +
L2 r2
(4)
其中 pr 是径向动量。由此可将中心势场中粒子的哈密顿量写为
H=
pr2 L2 + +V (r ) 2 2 r 2
量子力学 05中心力场教材
第5章 中心力场
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
•一、角动量守恒：经典力学中，中心力场V（r）中运动的粒子
角动量：l r p 为守恒量
•证明： dl d (r p) d r p r d p
dt dt
dt
dt
•
1 p p r [V (r)] r r d V (r) 0
•⑵如果E<0，E的取值是分离的，便与径向量子数有关 Enr ,l，
• nr =0,1,2,3…被称为径向量子数，故
•
l =0,1,2,3,4….
•
S,p,d,f,g…. （光谱学中）
三、两体问题化为单体问题
（1）基本考虑
二体运动可化为： I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。
r dr
（1）
•在量子力学中，在中心势场V（r）中的运动的质量为 粒子的
Hamiltonian量为
•
2
Hபைடு நூலகம்
p
V (r)
2
2
V (r)
2
2
（2）
•由此可证明 l 为守恒量
•
[l, H ] [l,
2
p
]
[l,V
(r)]
0
2
（3）
• 二、径向运动方程。
• 在球坐标中，将Hamiltonian量改写成
（一）氢原子的 Schrodinger 方程
考虑电子在带正电的核 所产生的电场中运动，折合 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +e 。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：
V=-e2/r
体系 Hamilton 量
Hˆ h 2 2 e2
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
•一、角动量守恒：经典力学中，中心力场V（r）中运动的粒子
角动量：l r p 为守恒量
•证明： dl d (r p) d r p r d p
dt dt
dt
dt
•
1 p p r [V (r)] r r d V (r) 0
•⑵如果E<0，E的取值是分离的，便与径向量子数有关 Enr ,l，
• nr =0,1,2,3…被称为径向量子数，故
•
l =0,1,2,3,4….
•
S,p,d,f,g…. （光谱学中）
三、两体问题化为单体问题
（1）基本考虑
二体运动可化为： I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。
r dr
（1）
•在量子力学中，在中心势场V（r）中的运动的质量为 粒子的
Hamiltonian量为
•
2
Hபைடு நூலகம்
p
V (r)
2
2
V (r)
2
2
（2）
•由此可证明 l 为守恒量
•
[l, H ] [l,
2
p
]
[l,V
(r)]
0
2
（3）
• 二、径向运动方程。
• 在球坐标中，将Hamiltonian量改写成
（一）氢原子的 Schrodinger 方程
考虑电子在带正电的核 所产生的电场中运动，折合 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +e 。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：
V=-e2/r
体系 Hamilton 量
Hˆ h 2 2 e2
第五章 中心力场
已知电子沿径向分布的概率密度 ，则P(r) dr 为 半径在r～r+dr之间的球壳内找到电子的概率。n=4，其电子沿 径向的概率密度分布有以下四种情况： 如n=4，其电子沿径向的概率密度分布有以下四种情况：
从这里可以看到：同一n不同 l 下，曲线有( n - l )个峰值，即电子 沿径向出现的概率极大值有( n - l )。并且，玻尔理论中的轨道只 对应于最大l下的径向概率概率极大处这一特殊情形。
则方程（１６）可化为
h2 2 h2 2 R + V ( r )Ψ = ETΨ 2 2M
此时可分离变量，令
Ψ = φ（R )ψ ( r )
则
h2 2 Rφ（R ) = ECΨ 2M
h2 2 2 + V ( r )ψ ( r ) = Eψ ( r )
E = ET EC
（ ∝ （ ∝ 当 r → 0 时，Rl r） r l 或 Rl r） r ( l + 1 )
此时，要求方程的解 χ l ( r ) = rRl ( r ) 满足
lim χ ( r ) = 0
r →0 l
3 两体问题 A. 两体问题的质心运动的分 质量为 m1 和 m2 的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差 有关。
第5章 中心力场 章
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
1.角动量守恒与径向方程： 设质量为 的粒子在中心势 中运动，则哈密顿量H表示为：
p2 h2 2 H= + V( r ) = + V( r ) 2 2
角动量守恒： [l , H ] = 0 能量的本征方程为：
h2 1 2 l2 r+ + V ( r )ψ = Eψ 2 2 2 r 2 r r
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中心力场中U=U(r),与 无关，具有中心 对称性 在球坐标系中讨论
• 1.球坐标系中薛定谔方程 • 2.从量子力学角度说明主量子数n,角量子数l, 磁量子数m,自旋量子数ms关系及物理意义 • 3.氢原子（及类氢原子） • 4.无限深球方势阱 • 5.各向同性谐振子 • 6.展开系数：
得
15
氢原子
令同幂次项相等有：
则递推公式为：
若上式成立， 则有： 从而：
当 趋于无穷大时 断。固有 使： 所以： 趋于无穷大。故级数必须在某处中
16
氢原子
令 由 可求得能级： 则有：
n =1时，
n =2时，
17
氢原子
• 波函数 n =1,l =0,m=0得基态波函数：
21
无限深球方势阱
能量为：
波函数为：
各向同性谐振子（见例题讲解）
22
角动量
• 1.本征值 角动量L各个分量之间不对易： 但 与L各个分量对易:
即 因此，我们希望找到 与L各个分量的共同本征函数。
23
角动量
• 引入升降算符 • 目的：寻找共同本征态 和
故： 可求得：
若f是 和 本征函数。
的本征函数，那么
6
2.径向方程
对径向部分，由（1）式：
令
（9）
解出
（10）
代入（1）式可得：
（11）
离心项：使粒子有向外的倾向（背离原点）
7
主量子数n,角量子数l,磁量子数m, 自旋量子数ms关系及物理意义
在解薛定谔方程的过程中,为了得到电子运动状态合理的解, 必须引入某些特定的参数,称为量子数,它们是n,l,m和ms. • 主量子数n=1,2,3,4…… • 角量子数l=0,1,2,3……(n-1) • 磁量子数m=-l,-l+1,…-1,0,1,…l-1,+l • 自旋量子数ms 1.主量子数n 主量子数n是决定原子中电子能量以及离核的平均距离的 主要因素.它只能取1,2,3,…等正整数.n越大,表示电子离核 越远,能量越高.n相同的电子处于同一个电子层内.
12
氢原子
• 势能： • 径向方程：
令：
则径向方程可写为：
引入： 得到：
和
13
氢原子
• 1.径向波函数在 的渐近行为： 当 时， 一般解为： （1）当 时 。 故 较大时有： 。 （2）当 时离心项起主要作用，近似的有：
其一般解为： 当 时 故当 很小时，
，取
。 。
14
氢原子
• 2.能级与波函数 引入新函数 方程可得： 解出 和 代入径向
中心力场与角动量
林志珺 钱怡婷 江扬帆 李敏
1
一、小结
中心力场
无论经典力学或是量子力学中,中心力 场都占有重要的地位. 最重要的几种中心力 有： • Coulomb场或万有引力场 • 各向同性谐振子场 • 无限深球方势阱 这些场量子力学中能够精确求解的少数 几个问题中的几个。粒子中心力场中运动 的最重要特点是：角动量守恒。 2
11
5.电子层,能级,原子轨道和运动状态与四个量子数的关系：
• 1.电子层： n相同的电子处在同一层,即电子层由一个量子数(n)决定. • 2.能级(又称亚层) n和l相同的电子处在同一能级,即能级是由两个量子数(n,l)共同决定.
• 3.原子轨道 n,l和m相同的电子处在同一条原子轨道上,即每条原子轨道由n,l和m三 个量子数决定. • 4.电子运动状态 n,l,m和ms四个量子数共同决定一个电子的运动状态,而且是唯一的运 动状态
也是
和
的
24
角动量
存在最高阶梯
，使
存在最低阶梯
，使
25
角动量
与Lz的共同本征函数由l和m表征：
解释了球谐函数的正交性：它们是厄米算符属于不同 本征值的本征函数。
26
自旋
1，自旋算符
27
2.泡利矩阵和自旋算符
自旋（更多见知识拓展）
28
1，一电子静止在一振荡磁场中
二、题目讲解
其中 B0 和 为常数。 （a）构造这个体系的哈密顿矩阵。 （b）这个电子的初始态（t 0时）为处于x轴方向的
k
E.
可得： 当l为任意值时，一般解为： l阶球贝塞尔函数定义为：
l阶球诺伊曼函数定义：
20
无限深球方势阱
当x较小时，将sinx,cosx泰勒展开代入球被塞尔和球诺依 曼函数有：
在原点，球诺依曼函数为无穷大，故选择Bl = 0。 因此： 加上边界条件 故k必须满足： 即（ka）是第l阶球贝塞尔函数的零点。 球贝塞尔函数是振荡的，有无限多个零点。 边界条件要求： 是l阶球贝塞尔函数的第n个零点。
( x) 上自旋太（即 (0) ）。确定以后任意时刻
B B0 cos(t ) k
8
2. 角量子数 l: 角量子数l是确定原子轨道的形状并在多电子原子中和n一 起决定电子的能级的量子数. 由
为使其有意义，l=0,1,2,……
又
故：l=0,1,2,…,n-1.
所以l<=n-1.
9
3.磁量子数m：
磁量子数m表示原子轨道或电子云在空间的伸展方向,每一 个磁量子数代表一个伸展方向. 在 中为使： 则m必须为整数： 为使
可求得归一化氢原子波函数为：
18
无限深球方势阱
在势阱外，波函数是零；在势阱里，径向方程为：
边界条件：u(a)=0. 当l =0时， 又：R(r) =u(r)/r 当r 0时，[cos(kr)]/r 无穷大。故选择B=0.
19
无限深球方势阱
又边界条件要求u(a)=Asin(ka)=0.故ka=n 能量为： 归一化u(r) 可得：
3
球坐标系中薛定谔方程
令
r:
分离变量法
(1)
:
(2)
:
(3)
4
球坐标系中薛定谔方程 1.角向方程
• 解（3）式得： • 解（2）式得： • 关联勒让德函数： • 罗德里格公式：
（4）
（5）
（6） （7）
5
球谐函数
对R和Y分别归一化：
得归一化角波函数（球谐函数）： （8） 当m>=0时， 当m<=0时， ； 。
有意义, lml<=l,故： m=-l,-l+1,…-1,0,1,…l-1,+l
10
4.自旋量子数ms:
• n,l,m三个量子数是由氢原子波动方程解出, 与实验相符合,但用高分辨率的光谱仪得到 的氢原子光谱大多数谱线其实是由靠得很 近的两条谱线组成,这一现象用前三个量子 数是不能解释的.所以引入了第四个量子数, 称为自旋量子数ms,它表示电子的两种不同 运动状态,这两种状态有不同的“自旋”角 动量,其值只能取+1/2或-1/2,或者用箭头↑和 ↓来表示.