因式分解的常用方法(7种)

因式分解的常用方法(7种）

把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式） 因式分解

X 2-1 (X+1)(X-1)

整式乘法

一、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)

如何找公因式？

（1）取各项系数的最大公约数；

（2）取各项都含有的相同字母；

（3）取相同字母的最低次幂．

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1） (a+b)(a-b) = a 2-b 2

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) = a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3= a 3+b 3 (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3+a 2b+ab 2-a 2b-ab 2-b 3= a 3-b

3 下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c]2=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a 3+ab 2+ac 2-a 2b-abc-ca 2)+(a 2b+b 3+bc 2-ab 2-b 2c-abc)+(a 2c+b 2c+c 3-abc-bc 2-c 2a) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；

例.已知a b

c ，，是ABC ∆的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形

解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++

222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-

=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---

=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-22

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++- ay ax y x ++-22

=)())((y x a y x y x ++-+ =22y ay ax x -++

=))((a y x y x +-+ =)()(y a y a x x -++ ×不是几个整式积 例4、分解因式：2

222c b ab a -+-

解：原式=222)2(c b ab a -+-

=22)(c b a --

=))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---

综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-

（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）2

22y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++

四、十字相乘法.

“拆两头，凑中间”

（一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 x 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x x 3 =)3)(2(++x x x ×2 + x ×3=5x