最新高中数学易混淆知识点
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高中数学易混淆知识点
“切线”和“切线的长”
请研究下面的问题:
已知:⊙O的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过P作⊙O的切线并求切线的长。
在这个问题中出现了“切线”和“切线的长”这两个名词,它们有什么区别?
和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。如上面问题中过P点所作⊙O的切线PT,它和⊙O只有一个公共点T.
在切线上,某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线的长。如上面问题中,P是切线PT上的一点,T是切点,线段PT的长就叫做P点到⊙O的切线的长。
由此可见,“切线”和“切线的长”这两个概念是有联系的。没有切线,就谈不上切线的长。但是,它们又是有区别的。切线是直线,不可以度量,谈不上具体的长度;切线的长则是切线上一条线段的长,即圆外一已知点到切点之间的距离,是可以度量的。切线是一条直线,它是一个图形;切线的长是一个数量。不能把图形和数量混为一谈。
了解了“切线”和“切线的长”的区别,我们回过头来分析上面的问题,所谓“过P点作圆O的切线”,是一个作图题,要求作出过P点和圆O相切的直线。而“求切线的长’则是一个计算题,要求算出线段PT的长度,两者的区别是很明显的,至于
它们具体的作法和解法,就留给同学们自己去完成了。
易混概念辨析共点线和共线点
“共点线”和“共线点”
步枪射击时,战士要把自己的眼睛通过枪管前面的“准心”,瞄准敌方的目标。也就是说,从几何上看,就是要使眼睛、准心、目标三点共线,这样才能击中目标。
像这样位于同一条直线上的若干个点,叫做共线点。下面我们来证明一个“三点共线的问题”。
例:自三角形外接圆上任一点,分别作三角形三边或其延长线的垂线,试证三垂足共线。
已知:图中,⊙O是△ABC的外接圆,P是⊙O上的一点,PD、PE、PF分别垂直于直线AB、BC、AC,D、E、F是垂足。求证:D、E、F三点共线。
证明:连结BP、PC、DE、EF
∵∠BDP=∠PEB=90°,
∴B、D、E、P四点共圆。
∴∠BED=∠BPD ①
又∵∠PFC=∠PEC=90°,
∴C、E、P、F四点共圆,
∴∠CPF=∠CEF ②
又∵A、B、P、C四点共圆,
∴∠PCF=∠ABP ③
在Rt△BPD及Rt△CP F中,
由②,得∠CPF=∠CEF=∠BED
即∠CEF与∠DEB为对顶角。
∵BEC是一条直线,
∴DEF也是一条直线,即D、E、F三点共线。
在解析几何里,要证明A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点共线,常用下面的方法:
(1)用斜率公式,验证直线AB的斜率等于直线BC的斜率;
(2)用两点距离公式,验证线段AB、BC、CA中某两条线段的和,等于第三条线段的长;
(3)写出直线AB的方程,证明C点坐标满足方程,即C点在直线AB上。
在数学里,证明共点线的方法很多。若是用解析几何的方法,证明三条直线l1、l2、l3共点,可用下面这些方法:
(1)验证直线l1和l2的交点,也在直线l3上。
(2)证明直线l1、l2的交点与直线l2、l3的交点是同一个点。
共线点和共点线都是说直线和点的位置关系,前者是说若干个点都在一条直线上,后者是说若干条直线都通过某一个点,两者字形相仿,但意思不同。
与共线点、共点线类似的,还有共圆点、共点圆这两个不同的概念。同在一个圆上的点叫共圆点。比如对角互补的四边形,它的四个顶点共圆。若干个圆相交于同一个点,叫做共点圆。共
点圆在探测地震震中时要用到。根据数据查出震中离地震台的距离,即震中在以地震台为圆心,该距离为半径的圆上。从三个不同地震台探测所得到三个圆的交点,就是所求的震中,这实际上就是几何中常用的轨迹交截法。
易混概念辨析等弧和等长的弧
“等弧”和“等长的弧”
什么叫“等弧”?能够互相重合的弧叫做等弧。
两条弧既然能够重合,那么它们所在圆的半径必然是相等的。也就是说,这两条弧所在的圆就一定是同圆,或者是等圆。如果两弧半径不等,它们是不能重合的。
等长的弧说的是不同的弧,它们的长度相等。我们分三种情况来讨论。
(1)在图1中,是同圆o中的两条等弧,它们能够重合,所以长度相等,即它们是等长的弧。
(2)在图2中,是等圆⊙O1和⊙O2中的两条等弧,它们能够重合,所以长度相等,即它们是等长的弧。
(3)在图3中,设⊙O1的半径为1,圆心角∠AO1B=60°,则
⊙O2的半径为2,圆心角∠CO2D=30°,则
所这说明是等长的弧,但因为它们的半径不等,不能重合,所以它们不是等弧。
由此可见,“等长的弧”可以是同圆中不同的弧,可以是等圆中不同的弧,还可以是不同圆中不同的弧。“等弧”只能是同
圆或等圆中的弧。“等弧”一定是“等长的弧”,但“等长的弧”就未必是“等弧”。
易混概念辨析同圆、等圆和同心圆
“同圆”、“等圆”和“同心圆”
请研究下面的问题:
“在同一圆中,已知弦AB=12cm,弦CD=8cm,这两条弦的弦心距哪一个长?”
根据定理“在同圆中,有两条不相等的弦,大弦的弦心距较小”可知,弦CD的弦心距比弦AB的弦心距要大。注意,这个题目的前提是“同圆”,如果不是同一个圆,那么结论就未必成立。例如,图2中⊙O2的半径大于⊙O1的半径,它们既不是同圆,又不是等圆。⊙O2的弦AB大于⊙O1的弦CD,但是弦AB的弦心距却大于弦CD的弦心距。
再请研究下面的问题:
“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等。”这实际上是两个问题:
(1)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等(图3)。
(2)在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等(图4)。
前一个问题,定理指的是在同一个圆O中(图3),若∠AOB=∠COD,则
后一个问题,指的是在不同的两个圆(⊙O1、⊙O2)中,如果它们是等圆(即两圆半径相等),且∠AO1B=∠CO2D ,则