导数中双变量处理策略

导数中双变量处理策略 Prepared on 24 November 2020

导数-双变量问题处理策略

1.构造函数利用单调性证明

2.任意性与存在性问题

3.整体换元—双变单

4.极值点偏移

【构造函数利用单调性证明】

形式如：1212|()()|||f x f x m x x -≥-

例1、设函数． (1)讨论函数在定义域内的单调性；

(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围．

【任意与存在性问题】

例2、 已知函数()2

a f x x x

=+，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若函数()x f y =在[]e ,1上的图像恒在()x g y =的上方，求实数a 的取值范围．

（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立， 求实数a 的取值范围．

【整体换元——双变单】

例3、已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线. (Ⅰ) 当时, 求的最大值;

(Ⅱ) 设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 且, 求证:

.

【对称轴问题12x x +的证明】

例4、已知函数 ⑴求函数的单调区间和极值；

⑵已知函数对任意满足，证明：当时， ⑶如果，且，证明：

221()(2)ln (0)ax f x a x a x

+=-+<()f x (3,2)a ∈--12,[1,3]x x ∈12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-m x x x f ln )(=C b ax x g +=2

1)(l 3,2-==b a )()()(x g x f x F -=l C 21,x x 21x x ≠2)()(2121>++x x g x x 1

1()(x x f x x e --=∈R).()f x ()y g x =x ()(4)g x f x =-2x >()();f x g x >12x x ≠12()()f x f x =12 4.x x +>

【实战演练】

1.已知函数f (x )=x 2－ax +(a －1)，. （1）讨论函数的单调性；

（2）证明：若，则对任意x ,x ，x x ，有. 2.设是函数的一个极值点. （1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）设，若存在，使得 成立，求的取值范围.

3.已知函数21()ln (1)(0)2

f x x ax a x a R a =-+-∈≠，. ⑴求函数()f x 的单调增区间；

⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202

x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.

4.(2018届高三咸阳市二模理科）.已知函数2

()2ln (,0)x f x x a R a a

=-∈≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2） 若函数()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x <，且2a e =，证明：122x x e +>. 2

1ln x 1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212

()()1f x f x x x ->--3x =()()

()23,x f x x ax b e x R -=++∈a b a b ()f x ()2250,4x a g x a e ⎛

⎫>=+ ⎪⎝⎭

[]12,0,4ξξ∈()()121f g ξξ-