生活中优化问题举例

小？ 解：设版心的高为xcm,则宽为
128
dm,
此时四周空白面积为： x
s(
x)
(
x
128 4)(
2)
128
x
512
2x
8, x 0
x
求导数，有
512 S'(x) 2 x2 ,
令s'(
x)
2
512 x2
0,
解得，x=16 (x=-16舍去）
于是宽为128 128 8
x
16 不积蹞步，无以致千里；不积小流，
箱子容积为 V (x) x2(60 x) (0 x 60)
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
2
h
解得 x1=0 (舍), x2=40.
x
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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解 设箱底边长为 x, 箱子容积为
V (x) x2(60 x) (0 x 60)
s( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8, x 0 x
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣
传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，
要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空
1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最
当r (2,6)不时积蹞,步f，'无(以r致)千里；0不. 积小流，
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解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 润为： y f (r) 0.2 4r 3 0.8r 2 (0 r 6)
3
令 f '(r) 0.8 (r 2 2r) 0
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0;
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当x (0,16)时, s'( x) 0; 当x (16,)时, s'( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也 是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽 为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报 四周空白面积最小。
最大值为16000cm3 不积蹞步，无以致千里；不积小流， 无以成江海 欢迎收藏●▂●
x
12
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
2
最大存储量为R2
2mn
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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如何解决优化问题?
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
s1
s2
( x)2 4
(l
4
x)2
1 (2x2 2lx l 2 )
f (r)
n
R r • 2r
mn
2 r(R
mn
r)
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解 析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量 越大。
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f (r) R r 2r 2 r(R r)
m n mn
2
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问题1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报
进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各 空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才 能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xdm,则宽为 128 dm
x
此时四周空白面积为
当r (2,6) 时, f '(r) 0. 因此，当r>2时，f’(r)>0,它表示f(r)单调递 增，即半径越大，利润越高；
当r<2时，f’(r)<0,它表示f(r)单调递减，即 半径越大，利润越低。 （1）半径为2时，利润最小。这时f(2)<0,表示 此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时 利润是负值；
2R2.
由S(R) 2V 4R 0.
R2
解得R 3
V.
2
从而h
V
R 2
23
V
2
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 罐高与底的直不径积无蹞相以步成，等江无海以时欢致迎千, 收里所藏；●不用▂积●小材流，料最省.
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问题3:如何使一个圆形磁盘储 存更多信息?
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个
极大值就是函数V (x)的最大值.
V
(40)
402
(
60
2
40
)
16000(cm)h3
答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,
(2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r) 0
f (r) 2 (R 2r)
mn
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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令 f (r) 0
解得 r R
2
当r R 时, f (r) 0 ; 当r R 时, f (r) 0
2
2
因此,当r R 时,磁盘具有最大存储量，
（2）半径为6时不积，无蹞以步利成，江无润海以欢致最迎千收里大藏；●不。▂积●小流，
10
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个 无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大? 最大容积是多少?
解 设箱底边长为 x,
则箱高为 h 60 x 2
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为：y
4r 3
f (r) 0.2
令
3
f '(r) 0.8 (r 2
0.8r 2
2r)
0
0
r
6
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0;
3.4 生活中的优化问题举例
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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解: 存储量=磁道数×每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息, 所以磁道数最多可达(R-r)/m。
由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存
储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比
特数可达到 2r , 所以，磁道总存储量为：
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 它的道理吗?
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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知识背景
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成 本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出 售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶 子的最大半径为6cm.
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省?
解 h+2πR2.
又V=πR2h(定值),
则h
V
R 2
.
R
S
(R)
2R
V
R 2
2R2
2V R
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不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
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8
令S 0,得x l 2
由问题的实际意义可知：
当x l 时, S取最小值. 最小值为 l 2 .
2
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不积蹞步，无以致千里；不积小流，
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问题2:饮料瓶大小对饮料公司 利润 有影响吗?