第六章 方差分析-
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用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe
总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe 总的均方： MST
sT
2
(x
ij
x)
2
nk 1
处理 D B A C
平均数 xi 29 23 18 14
2. 新复极差测验(SSR法)
P SSR 0.05
3.08 3.23 3.33
SSR 0.01
4.32 4.55 4.68
LSR 0.05
4.40 4.62 4.76
LSR 0.01
6.18 6.51 6.69
A. 计算LSRα
B. 排序
C. 比较
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异； 组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异； 组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
进一步的分析
由 SPSS 软件的运行输出结果还可得：
x1 x3
101.875，
158.175
x2 x4
106.95
129.775
• 由 SPSS 软件的运行输出结果还直接可得 到对各 i 的 t 检验结果如下（ =0.05）： • 1 2 4 • (广告宣传) 1 • (有奖销售) 2 • (买一送一) 4 * * • (特价销售) 3 * * *
组别 １
观察值(xij, i=1,2,„,k; j=1,2,„,n)
x11 x12 „ x1j „ x1n
总和 平均 均方 T1
x1
x2
s12
２
„ i „ k
x21
„ xi1 „ xk1
x22
„ xi2 „ xk2
„
„ „ „ „
x2j
„
„
x2n
„ xin „ xkn
T2
„ Ti „ Tk
s22
„ si2 „ sk2
促销方式 A1(广告宣传) A2(有奖销售) A3(特价销售) A4(买一送一) 104.8 112.3 143.2 145.6 与上年同期相比(%) 95.5 104.2 107.1 109.2 150.3 184.7 111.0 139.8 103.0 99.2 154.5 122.7
超市管理部门希望了解： ⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？ ⑵哪种促销方式的效果最好？
了k个处理的平均值有显著差异，但是并不
能说明两两平均数间的显著差异，这就需要
进行多个平均数间的两两比较，即多重比较
3. 多重比较的优点
• 比较的精确度增大了
• 所得到的结论更全面，更可靠了
二、怎样进行多重比较
常用的有： 最小显著差数法(Least significant difference, LSD法) LSD－t检验 （有专业意义的均数间比较） 最小显著极差法(Least significant ranges, LSR法):这个方法是不 同平均数间的比较采用不同的显著差数标准，克服了LSD法的 局限性，用于平均数间的所有相互比较） ☆ 新复极差测验(SSR法)又称Duncan法 （new multiple range method) ☆ SNK－q检验(student Newman Keuls) （多个均数间全面比较）又 q检验 Dunnett检验 （多个实验组与对照组比较） Tukey(真正显著差法HSD: 用单一值作为判断的标准) 、 • 还有Scheffe、 Waller 、BON等比较方法
总和Ti 平均 xi 72 18 92 23 56 14 116 29 T=336
=21
自由度和平方和的分解
总变异自由度：
药剂间自由度：
DFT=(nk-1)=(44)-1=15
DFt=(k-1)=4-1=3
药剂内自由度：
矫正数
DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
T2 3362 C 7056 nk 4 4
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得 到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
2 记为 MST（或 S T ）、MSt（或 S t2）和MSe
2 ）。 e
（或 S 即
2 MST ST SST / df T 2 MSt S t SSt / df t
MSe
2 Se
SS e / df e
案例 1 分析 • 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent Factor：% Contrasts选项: Post
List：促销方式
多项式比较
Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
药剂 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
x
18 20 10 28
苗高观察值 21 20 24 26 15 17 27 29
13 22 14 32
药剂处理间 药剂处理内（误差）
总
3 12
15
504 98
602
168.00 8.17
20.56* *
F 0.05(3,12)=3.49 F 0.01(3,12)=5.92
2. 什么叫多重比较
多重比较就是指在 F 测验的前提下，
如果否定了无效假设，只是表明试验的总变
异主要来源于处理间的变异，这也仅仅说明
第六章 方差分析ANOVA
（Analysis of Variance)
方差分析的基本原理
多重比较Biblioteka 单向分组资料的方差分析
两向分组资料的方差分析 数据转换
• t 检 验 法 只 适用于两个处理平均数 • 间差异显著性检验。 • 1、计算工作量大 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和 检验的灵敏度降低
Y C＝(N 1) S
i, j 2 ij
N
2
总 N 1
2
校正系数： C
( Yij )
i 1 j 1
a ni
N
( Yij )
i, j
N
2
N
SS组间 ni (Yi Y )
2 i 1 i 1
a ni
a
a
( Yij )
j 1
ni
2
ni
C
•
• 其中：P-value —— P 值，为检验中达到的显著性水平， • 其含义与 t 检验中“P(T<=t)单尾”相同。 • F crit —— 在水平 （默认0.05）下拒绝域的临界值 F。 • ∵ P-value = 0.00014 < 0.001 • 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著影响。 •
2 3 4
凡两极差≥LSRa，则为在a水平上差异显著； 反之，不显著。
处理 D B A C 平均数 29 23 18 14 P=2 D-B=6* B-A=5* A-C=4 P=3 D-A=11** B-C= 9** P=4 D-C=15**
3. q测验
• 与SSR法相似，唯一区别仅在计算LSRa 时，不是查SSRa，而是查qa（附表7）， 查qa后 LSRa=SE· qa 所以不再详述。
SS组内 (Yij Yi )
i 1 j 1
2
( ni 1) S
i 1
a
2 i
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
s1 F ( 1 , 2 ) 2 s2
DF 3 SS 504 MS 168 F 20.56** F临界值 F0.05(3,1 2)=3.49 F0.01(3,1 2)=5.95
氏t值表可得到
(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差 数与 LSD0.05 、LSD0.01 比较，作出统计推断。
2. 新复极差测验(SSR法) A. 计算LSRα B. 排序 C. 比较
LSRa=SE· SSRa
SE
2 se 或 n
MSe n
SSR通过查附表8求得 查表时：列为误差自由度
方差分析结论：
特价销售的效果最好， 买一送一次之，广告宣传 和有奖销售的效果最差， 两者间无显著差异。
第六章
第二节 多重比较
为什么要进行多重比较 怎样进行多重比较 如何表示多重比较的结果 如何选择多重比较的方法
一、为什么要进行多重比较
为什么要进行多重比较
什么叫多重比较
多重比较的优点
1. 为什么要进行多重比较？
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm) 药剂 苗高观察值 总和Ti A 18 21 20 13 72 B 20 24 26 22 92 C 10 15 17 14 56 D 28 27 29 32 116 经方差分析得下表：
变异来源 DF SS MS F 显著F值
平均 xi 18 23 14 29
第二节 多重比较
为什么要进行多重比较 怎样进行多重比较 如何表示多重比较的结果 多重比较方法的选择
三、如何表示多重比较的结果
有三种方法： • 标记字母法 • 列梯形表法 • 划线法
1. 标记字母法
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)
药剂 A B C D 苗高观察值 18 20 10 28 21 24 15 27 20 26 17 29 13 22 14 32 总和Ti 72 92 56 116 平均
„
xi
xij
„ „
xk
„
xkj
„
T xij x
x
平方和与自由度的分解 在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。 将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要 将总均方分解为处理间均方和处理内均方。
总变异平方和（Total variation）： ：分解为处理间
对多个处理平均数进行差异显著性检验，不宜 采用t检验法，须采用方差分析法。
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是按照设计类型将变量的总变
异分解为若干部分，再通过比较各部分的
变异做出统计推断的检验方法。
• 自由度和平方和的分解 • F分布与F测验
一、自由度和平方和的分解
设有k组数据，每组有n个观察值
2
变异来源 处理间
处理内（误差）
总
12
15
98
602
8.17
F>=F0.05, P<=0.05, 否定H0，处理间差异（极） 显著
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效 果，选择下属4个门店，分别采用不同促销 方式，对包装食品各进行了4个月的试验。 • 试验结果如下：
行p为测验极差的平均数个数
2. 新复极差测验(SSR法)
A. 计算LSRα
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)
药剂 苗高观察值 总和Ti 平均 xi
B. 排序
C. 比较
A B C D
18 20 10 28
21 24 15 27
20 26 17 29
13 22 14 32
72 92 56 116
18 23 14 29
1. 最小显著差数法(LSD法)
(1) 列出平均数多重比较表 比较表中各
处理按其平均数从大到小自上而下排列； (2)计算最小显著差数 LSD0.05 和 LSD0.01 ；
LSD t s
MSe为处理间误差方差
x1 x2
S xi x j 2MS e / n
ta : 通过附表4：学生
k 1
ij
组间的均方： MSt st 2 组内的均方： MSe se
2
n ( x i x ) 2
(x
xi )
2
k (n 1)
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
总的平方和：
组间平方和： 组内平方和：
SST xij C 602
2
SSt
Ti
n
2
504
SSe SST SSt 602 504 98
1. 总变异: 所有测量值之间总
的变异程度，计算公式
SS总 Yij Y Y C
a 2 a i 1 j 1 i 1 j 1 2 ij ni ni
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe
总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe 总的均方： MST
sT
2
(x
ij
x)
2
nk 1
处理 D B A C
平均数 xi 29 23 18 14
2. 新复极差测验(SSR法)
P SSR 0.05
3.08 3.23 3.33
SSR 0.01
4.32 4.55 4.68
LSR 0.05
4.40 4.62 4.76
LSR 0.01
6.18 6.51 6.69
A. 计算LSRα
B. 排序
C. 比较
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异； 组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异； 组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
进一步的分析
由 SPSS 软件的运行输出结果还可得：
x1 x3
101.875，
158.175
x2 x4
106.95
129.775
• 由 SPSS 软件的运行输出结果还直接可得 到对各 i 的 t 检验结果如下（ =0.05）： • 1 2 4 • (广告宣传) 1 • (有奖销售) 2 • (买一送一) 4 * * • (特价销售) 3 * * *
组别 １
观察值(xij, i=1,2,„,k; j=1,2,„,n)
x11 x12 „ x1j „ x1n
总和 平均 均方 T1
x1
x2
s12
２
„ i „ k
x21
„ xi1 „ xk1
x22
„ xi2 „ xk2
„
„ „ „ „
x2j
„
„
x2n
„ xin „ xkn
T2
„ Ti „ Tk
s22
„ si2 „ sk2
促销方式 A1(广告宣传) A2(有奖销售) A3(特价销售) A4(买一送一) 104.8 112.3 143.2 145.6 与上年同期相比(%) 95.5 104.2 107.1 109.2 150.3 184.7 111.0 139.8 103.0 99.2 154.5 122.7
超市管理部门希望了解： ⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？ ⑵哪种促销方式的效果最好？
了k个处理的平均值有显著差异，但是并不
能说明两两平均数间的显著差异，这就需要
进行多个平均数间的两两比较，即多重比较
3. 多重比较的优点
• 比较的精确度增大了
• 所得到的结论更全面，更可靠了
二、怎样进行多重比较
常用的有： 最小显著差数法(Least significant difference, LSD法) LSD－t检验 （有专业意义的均数间比较） 最小显著极差法(Least significant ranges, LSR法):这个方法是不 同平均数间的比较采用不同的显著差数标准，克服了LSD法的 局限性，用于平均数间的所有相互比较） ☆ 新复极差测验(SSR法)又称Duncan法 （new multiple range method) ☆ SNK－q检验(student Newman Keuls) （多个均数间全面比较）又 q检验 Dunnett检验 （多个实验组与对照组比较） Tukey(真正显著差法HSD: 用单一值作为判断的标准) 、 • 还有Scheffe、 Waller 、BON等比较方法
总和Ti 平均 xi 72 18 92 23 56 14 116 29 T=336
=21
自由度和平方和的分解
总变异自由度：
药剂间自由度：
DFT=(nk-1)=(44)-1=15
DFt=(k-1)=4-1=3
药剂内自由度：
矫正数
DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
T2 3362 C 7056 nk 4 4
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得 到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
2 记为 MST（或 S T ）、MSt（或 S t2）和MSe
2 ）。 e
（或 S 即
2 MST ST SST / df T 2 MSt S t SSt / df t
MSe
2 Se
SS e / df e
案例 1 分析 • 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent Factor：% Contrasts选项: Post
List：促销方式
多项式比较
Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
药剂 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
x
18 20 10 28
苗高观察值 21 20 24 26 15 17 27 29
13 22 14 32
药剂处理间 药剂处理内（误差）
总
3 12
15
504 98
602
168.00 8.17
20.56* *
F 0.05(3,12)=3.49 F 0.01(3,12)=5.92
2. 什么叫多重比较
多重比较就是指在 F 测验的前提下，
如果否定了无效假设，只是表明试验的总变
异主要来源于处理间的变异，这也仅仅说明
第六章 方差分析ANOVA
（Analysis of Variance)
方差分析的基本原理
多重比较Biblioteka 单向分组资料的方差分析
两向分组资料的方差分析 数据转换
• t 检 验 法 只 适用于两个处理平均数 • 间差异显著性检验。 • 1、计算工作量大 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和 检验的灵敏度降低
Y C＝(N 1) S
i, j 2 ij
N
2
总 N 1
2
校正系数： C
( Yij )
i 1 j 1
a ni
N
( Yij )
i, j
N
2
N
SS组间 ni (Yi Y )
2 i 1 i 1
a ni
a
a
( Yij )
j 1
ni
2
ni
C
•
• 其中：P-value —— P 值，为检验中达到的显著性水平， • 其含义与 t 检验中“P(T<=t)单尾”相同。 • F crit —— 在水平 （默认0.05）下拒绝域的临界值 F。 • ∵ P-value = 0.00014 < 0.001 • 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著影响。 •
2 3 4
凡两极差≥LSRa，则为在a水平上差异显著； 反之，不显著。
处理 D B A C 平均数 29 23 18 14 P=2 D-B=6* B-A=5* A-C=4 P=3 D-A=11** B-C= 9** P=4 D-C=15**
3. q测验
• 与SSR法相似，唯一区别仅在计算LSRa 时，不是查SSRa，而是查qa（附表7）， 查qa后 LSRa=SE· qa 所以不再详述。
SS组内 (Yij Yi )
i 1 j 1
2
( ni 1) S
i 1
a
2 i
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
s1 F ( 1 , 2 ) 2 s2
DF 3 SS 504 MS 168 F 20.56** F临界值 F0.05(3,1 2)=3.49 F0.01(3,1 2)=5.95
氏t值表可得到
(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差 数与 LSD0.05 、LSD0.01 比较，作出统计推断。
2. 新复极差测验(SSR法) A. 计算LSRα B. 排序 C. 比较
LSRa=SE· SSRa
SE
2 se 或 n
MSe n
SSR通过查附表8求得 查表时：列为误差自由度
方差分析结论：
特价销售的效果最好， 买一送一次之，广告宣传 和有奖销售的效果最差， 两者间无显著差异。
第六章
第二节 多重比较
为什么要进行多重比较 怎样进行多重比较 如何表示多重比较的结果 如何选择多重比较的方法
一、为什么要进行多重比较
为什么要进行多重比较
什么叫多重比较
多重比较的优点
1. 为什么要进行多重比较？
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm) 药剂 苗高观察值 总和Ti A 18 21 20 13 72 B 20 24 26 22 92 C 10 15 17 14 56 D 28 27 29 32 116 经方差分析得下表：
变异来源 DF SS MS F 显著F值
平均 xi 18 23 14 29
第二节 多重比较
为什么要进行多重比较 怎样进行多重比较 如何表示多重比较的结果 多重比较方法的选择
三、如何表示多重比较的结果
有三种方法： • 标记字母法 • 列梯形表法 • 划线法
1. 标记字母法
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)
药剂 A B C D 苗高观察值 18 20 10 28 21 24 15 27 20 26 17 29 13 22 14 32 总和Ti 72 92 56 116 平均
„
xi
xij
„ „
xk
„
xkj
„
T xij x
x
平方和与自由度的分解 在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。 将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要 将总均方分解为处理间均方和处理内均方。
总变异平方和（Total variation）： ：分解为处理间
对多个处理平均数进行差异显著性检验，不宜 采用t检验法，须采用方差分析法。
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是按照设计类型将变量的总变
异分解为若干部分，再通过比较各部分的
变异做出统计推断的检验方法。
• 自由度和平方和的分解 • F分布与F测验
一、自由度和平方和的分解
设有k组数据，每组有n个观察值
2
变异来源 处理间
处理内（误差）
总
12
15
98
602
8.17
F>=F0.05, P<=0.05, 否定H0，处理间差异（极） 显著
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效 果，选择下属4个门店，分别采用不同促销 方式，对包装食品各进行了4个月的试验。 • 试验结果如下：
行p为测验极差的平均数个数
2. 新复极差测验(SSR法)
A. 计算LSRα
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)
药剂 苗高观察值 总和Ti 平均 xi
B. 排序
C. 比较
A B C D
18 20 10 28
21 24 15 27
20 26 17 29
13 22 14 32
72 92 56 116
18 23 14 29
1. 最小显著差数法(LSD法)
(1) 列出平均数多重比较表 比较表中各
处理按其平均数从大到小自上而下排列； (2)计算最小显著差数 LSD0.05 和 LSD0.01 ；
LSD t s
MSe为处理间误差方差
x1 x2
S xi x j 2MS e / n
ta : 通过附表4：学生
k 1
ij
组间的均方： MSt st 2 组内的均方： MSe se
2
n ( x i x ) 2
(x
xi )
2
k (n 1)
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
总的平方和：
组间平方和： 组内平方和：
SST xij C 602
2
SSt
Ti
n
2
504
SSe SST SSt 602 504 98
1. 总变异: 所有测量值之间总
的变异程度，计算公式
SS总 Yij Y Y C
a 2 a i 1 j 1 i 1 j 1 2 ij ni ni