上海市高中数学竞赛试题及答案(word版)

高中数学竞赛

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .

2.已知正整数1210,,, a a a 满足:

3

,1102

>≤<≤j

i a i j a ,则10a 的最小可能值是 .

3.若17

tan tan tan 6

αβγ++=，

4

cot cot cot 5

αβγ++=-,

cot cot αβ

17

cot cot cot cot 5

βγγα++=-

，则 ()tan αβγ++= .

4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .

E1

C D 1

5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已

知

90∠=︒

AEF ，

,,==>AE a EF b a b

，则

=x .

6．方程

1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .

7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8

．

数

列

{}

n a 定义如

下：()122

1211,2,,1,2,22

+++===-=++ n n n n n a a a a a n n n .

若

2011

22012

>+m a ，则正整数m 的最小值为 .

二、解答题

9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，

AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为

()h x ．

求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．

O

D C

B

A

10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数

(sin )(4sin )()1sin a x x f x x

++=+的最小值．

11．（本题满分

16

分）正实数,,x y z 满足

94xyz xy yz zx +++=，求证：

（1）43xy yz zx ++≥；

（2）2x y z ++≥．

12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合

{

}1,2,,21n - 的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：

()a

1,21n A A ∈-∈；

()b A 中的元素（除

1外）均为A 中的另两个（可以相同）

元素的和．

（1）求(3)f 的值；

（2）求证：(100)108f ≤．

2012年上海市高中数学竞赛答案

1

2、92

3、11

4、(){},04-∞ 5

2 6、()()3,0,2,2

7、25

8、4025

9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

2222211

()(1)22

OB OC AB BC x +=

+=+． ①………（2分） 在OBC ∆中，由余弦定理

2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，

所以221OB OC OC +-⋅=， ②

由①，②得

21

x OB OC -⋅=． ③………（5分）

所以 1

44sin 2

ABCD OBC

S S OB OC BOC ∆==⋅⋅∠

OC =⋅21

2x -=，

故 ()AB h x ⋅21

2

x -=，

所以 21

()2x h x x

-=． ………（10分）

由③可得，210x ->，故1x

>．

因为

222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得

2211(1)22x x -+≥，

解得（结合1x >）

11x <≤+．

综上所述，21

()2x h x x

-=

，11x <≤+．…（14分）

10．解 (sin )(4sin )3(1)

()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x

++-=

=++++++．

当7

13

a <≤

时，02<≤，此时

3(1)

()1sin 221sin a f x x a a x

-=++

++≥+++，

且当(]()sin 11,1x =-∈-

时不等式等号成立，故

min ()2f x a =++． ……………（6分）

当7

3a >时

，

2>，此时“耐克”函数

3(1)

a y t t

-=+

在(

0,内是递减，故此时 min 3(1)5(1)

()(1)2222

a a f x f a -+==+++=．

综上所述，

min 72,1;3

()5(1)7,.

2

3a a f x a a ⎧

++<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ ………（14分）