高三数学逻辑知识点及典型例题

09级高三数学总复习讲义——逻辑与关联词
一、知识清单：
1．常用逻辑用语
（1）命题
命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。

（2）复合命题的真值
“非p
“p且q
“p且q
注：
1°像上面表示命题真假的表叫真值表；
2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q 同为假时为假，其他情况为真；
3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。

（3）四种命题
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

（4）条件
一般地，如果已知p q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。

可分为四类：
（1）充分不必要条件，即p ⇒q,而q ⇒p ；
(2)必要不充分条件，即p ⇒q,而q ⇒p ；
(3)既充分又必要条件，即p ⇒q ，又有q ⇒p ；
(4)既不充分也不必要条件，即p ⇒q ，又有q ⇒p 。

一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作：p ⇔q.“⇔”叫做等价符号。

p ⇔q 表示p ⇒q 且q ⇒p 。

这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

（5）全称命题与特称命题
这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

课前练习
1写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。

2:“若325≠≠≠+b a b a 或，则” 是____命题.(填真、假)
3命题“若ab =0，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为____________。

4：用反证法证明：已知x 、y ∈R ，x +y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个不小于1。

5已知.0>c 设P ：函数x c y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的 解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.
6:5____52x x x >><或.(填,⇒¿,⇐)
7:条件甲:12x y ≠≠且;条件乙:3x y +≠, 则乙是甲的_____条件.
8“α≠β”是cosα≠cosβ”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
9 已知p ：方程x 2+ax +b =0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
10．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表
知2( 3.841)0.05P K ≥≈．
对此，四名同学做出了以下的判断：
p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒
r ：这种血清预防感冒的有效率为95%
s ：这种血清预防感冒的有效率为5%
则下列结论中，正确结论的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）
（1） p ∧﹁q ； （2）﹁p ∧q ；
(3)（﹁p ∧﹁q ）∧（r ∨s ）； （4）(p ∨﹁r )∧(﹁q ∨s )
11.（重庆卷2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的A
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件 12、（重庆理2）命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）
A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<x
C.若1>x 或1-<x ，则12>x
D.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x
13、（重庆文5）“-1＜x ＜1”是“x 2＜1”的
（A ）充分必要条件 （B ）充分但不必要条件
（C ）必要但不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
14、（辽宁理10）设p q ，是两个命题：212
51:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
15、（辽宁文11）设p q ，是两个命题：251:||30:066
p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
典型例题：
例1．写出由下述各命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。

（1）p ：9是144的约数，q ：9是225的约数。

（2）p ：方程x 2－1=0的解是x=1，q ：方程x 2－1=0的解是x=－1；
（3）p ：实数的平方是正数，q ：实数的平方是0.
例2．（1）（2005北京2）“21=m ”是“直线
03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 （2）（2005湖南6）设集合A ＝｛x |
11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分
又不必要条件
例3．
（1）（2005江苏13）命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 ；
（2）判断命题：“若x x m 20+-=没有实根，则m ≤0”的真假性。

例4．命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p 是（ ）
A ．有些三角形不是等腰三角形
B ．所有三角形是等腰三角形
C ．所有三角形不是等腰三角形
D ．所有三角形是等腰三角形
实战演练：
1、（07天津文3） “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2、（07山东理7） 命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是
（A ）不存在x R ∈，3210x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3210x x -+≤
（C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3210x x -+>
3、（07山东理9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是
（1）:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。

（2）():1;()
f x p f x -= :()q y f x =是偶函数。

（3）:cos cos ;p αβ= :tan tan q αβ=。

（4）:;p A B A ⋂= :U U q C B C A ⊆。

（A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4)
4、（07福建文4）“|x |<2”是“x 2-x -6<0”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、（湖南理3）设M N ，是两个集合，则“M N ≠∅U ”是“M N ≠∅I ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
6、（07湖南文3） 设()2:400p b ac a ->≠，()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程有实根，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B . 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件
7、（07江西文10）设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3
q m ≥， 则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也
不必要条件 8、（07湖北理6）若数列{}n a 满足212n n
a p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9、（07海、宁理1文2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）
A ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥
B ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥
C ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >
D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
10、（07湖北文10）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：
①r 是q 的充要条件；
②p 是q 的充分条件而不是必要条件；
③r 是q 的必要条件而不是充分条件；
④┐p 是┑s 的必要条件而不是充分条件；
⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件.
则正确命题的序号是
A.①④⑤
B.①②④
C.②③⑤
D.②④⑤
11、（07浙江理1文3）“1x >”是“2x x >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
实战训练B
1．（08）原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.
A 、0
B 、1
C 、2
D 、4
2．（08）已知命题:p x ∀∈R ，02>x ，则( )
A ．:p x ⌝∃∈R ,02<x
B ．:p x ⌝∀∈R ,02<x
C ．:p x ⌝∃∈R ,x 2≤0
D ．:p x ⌝∀∈R ,x 2≤0
3．（08）命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是
A ．x R ∀∈，3210x x -+≤
B ．0x R ∃∈，3210x x -+<
C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤
D ．不存在x R ∈，3210x x -+>
4．（08）已知命题p: "x ÎR ，cosx ≤1，则
（ ） A ．1cos ,:≥∈∃⌝x R x p B ．:p Ø" x ∈R ，cos x ≥1
C ． 1cos ,:>∈∃⌝x R x p
D ．:p Ø" x ∈R ，cos x ＞1
5．（08）已知命题“若p 则q ”为真，则下列命题中一定为真的是（ ）
A ．若p ⌝则q ⌝
B ．若q ⌝则p ⌝
C ．若q 则p
D ．若q ⌝则p 6.（08福建)设集合A={x |
1
x x -＜0},B={x |0＜x ＜3＝,那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.（08广东）已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．()p q ⌝∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()()p q ⌝∨⌝
8．（06天津）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既
不充分也不必
要条件
9．（06年湖北卷）有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：
①φ=B A I 的充要条件是card ()B A Y = card ()A + card ()B ；
②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ；
③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ；
④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .
其中真命题的序号是 （ ）
A. ③、④
B. ①、②
C. ①、④
D. ②、③
10．（08）若“p 且q ”与“q p 或⌝”均为假命题，则
（ ）
A ．p 真q 假
B ．p 假q 真
C ．p 与q 均真
D ．p 与q 均假
11．（08）已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足)1()1(x f x f -=+，则“)
(x f 为偶函数”是“2为函数)(x f 的一个周期”的
（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。