高三数学逻辑知识点及典型例题

09级高三数学总复习讲义——逻辑与关联词

一、知识清单：

1．常用逻辑用语

（1）命题

命题：可以判断真假的语句叫命题；

逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。

（2）复合命题的真值

“非p

“p且q

“p且q

注：

1°像上面表示命题真假的表叫真值表；

2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q 同为假时为假，其他情况为真；

3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。

（3）四种命题

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

（4）条件

一般地，如果已知p q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。

可分为四类：

（1）充分不必要条件，即p ⇒q,而q ⇒p ；

(2)必要不充分条件，即p ⇒q,而q ⇒p ；

(3)既充分又必要条件，即p ⇒q ，又有q ⇒p ；

(4)既不充分也不必要条件，即p ⇒q ，又有q ⇒p 。

一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作：p ⇔q.“⇔”叫做等价符号。p ⇔q 表示p ⇒q 且q ⇒p 。

这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

（5）全称命题与特称命题

这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

课前练习

1写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。

2:“若325≠≠≠+b a b a 或，则” 是____命题.(填真、假)

3命题“若ab =0，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为____________。

4：用反证法证明：已知x 、y ∈R ，x +y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个不小于1。 5已知.0>c 设P ：函数x c y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的 解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.

6:5____52x x x >><或.(填,⇒¿,⇐)

7:条件甲:12x y ≠≠且;条件乙:3x y +≠, 则乙是甲的_____条件.

8“α≠β”是cosα≠cosβ”的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

9 已知p ：方程x 2+ax +b =0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

10．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表

知2( 3.841)0.05P K ≥≈．

对此，四名同学做出了以下的判断：

p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒

r ：这种血清预防感冒的有效率为95%

s ：这种血清预防感冒的有效率为5%

则下列结论中，正确结论的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）

（1） p ∧﹁q ； （2）﹁p ∧q ；

(3)（﹁p ∧﹁q ）∧（r ∨s ）； （4）(p ∨﹁r )∧(﹁q ∨s )

11.（重庆卷2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的A

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件 (C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件 12、（重庆理2）命题“若12

A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12

C.若1>x 或1-x

D.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x

13、（重庆文5）“-1＜x ＜1”是“x 2＜1”的

（A ）充分必要条件 （B ）充分但不必要条件

（C ）必要但不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件

14、（辽宁理10）设p q ，是两个命题：212

51:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

15、（辽宁文11）设p q ，是两个命题：251:||30:066

p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

典型例题：