向量的线性运算基础测试题含答案
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【分析】
由向量 与 均为单位向量，可得向量 与 的模相等，但方向不确定．
【详解】
解：∵向量 与 均为单位向量，
∴向量 与 的模相等，
∴ .
故答案是：D.
【点睛】
此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
7．点 在线段 上，且 ，若 ，则 的值等于（）．
A． B． C． D．
【答案】D
③因为 ， ，所以m和n同号，所以 与 的方向一定相同，故③正确；
④因为 ， ，所以m和n异号，所以 与 的方向一定相反，故④正确．
故选D.
【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
11．设 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，那么
【答案】D
【解析】
【分析】
D．如果m＝0或 ＝ ，那么m ＝ ，不正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
13．若 ， ，而且 ≠0， 与 是（ ）
A． 与 是相等向量B． 与 是平行向量
C． 与 方向相同，长度不等D． 与 方向相反，长度相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 ， ，由此确定 与 位置和数量关系．
【解析】
【分析】
根据已知条件即可得： ，从而得出： ，再代入 中，即可求出m的值.
【详解】
解：∵点 在线段 上，且
∴
∴
∴
故选D.
【点睛】
此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.
8．若点 为平行四边形的中心， ， ，则 等于（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，故C不符合题意；
，故D符合题意.
故选D.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．
【详解】
根据向量的运算法则，即可知A（结合律）、B、C（乘法的分配律）是正确的，D中的 是有方向的，而0没有，所以错误．
A． ∥ B．| |=2C．| |=﹣2| |D． =﹣
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵ 是单位向量，且 ， ，
∴ ， ， ， ，
故C选项错误，
故选C.
19．如果 （ ， 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A． // B． -2 =0C． = D．
【答案】B
【解析】
试题解析：向量最后的差应该还是向量. 故错误.
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】
解:∵在平行四边形 中, ， ，
∴ , ,M分别为AC、BD的中点,
∴ ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意.
故选B.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
① ， 时， 与 的方向一定相反；
② ， 时， 与 是平行向量；
③ ， 时， 与 的方向一定相同；
④ ， 时， 与 的方向一定相反．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可.
【详解】
解：①因为 ，1＞0， ，所以 与 的方向一定相反，故①正确；
②因为 ，1≠0， ，所以 与 是平行向量，故②正确；
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可．
【详解】
解：A.设 为单位向量，那么 ，此选项说法正确；
B.已知 、 、 都是非零向量，如果 ， ，那么 ，此选项说法正确；
C.四边形 中，如果满足 ， ，即AD=BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形的重心性质得到： ；结合平面向量的三角形法则解答即可．
【详解】
∵在△ABC中，AD是中线， ，
∴ ．
∴
又∵点O是△ABC的重心，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出 是解题的关键．
4．已知 、 为非零向量，下列说法中，不正确的是
C． 和 方向互相垂直D． 和 之间夹角的正切值为5
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可．
【详解】
∵已知 ， 为非零向量，如果 ＝﹣5 ，
∴ ∥ ， 与 的方向相反，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
18．已知 是单位向量，且 ，那么下列说法错误的是（ ）
故选B.
20．在平行四边形 中， 与 交于点 ，若设 ， ，则下列选项与 相等的向量是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】
解:∵在平行四边形 中, ， ，
∴ , ,M分别为AC、BD的中点,
∴ ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
D．如果m＝0或 ＝ ，那么m ＝0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断．
【详解】
解：A．向量是既有大小又有方向，| |＝| |表示有向线段的长度， ＝ 表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；
B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；
C. ＝k （k≠0）⇔ ∥ ，所以C选项正确；
【解析】
【分析】
由AC=BD，可得AD=BD，即可得 与 是平行向量， ，继而证得结论．
【详解】
A、∵AC=BD，
∴ ，该选项错误；
B、∵点C、D是线段AB上的两个点，
∴ 与 是平行向量，该选项正确；
C、∵AC=BC，
∴AD≠BD，
∴ 与 不是相反向量，该选项错误；
D、∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴ ，该选项错误；
向量的线性运算基础测试题含答案
一、选择题
1．下列各式正确的是（）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量计算法则依次判断即可.
【详解】
A、 ，故A选项错误；
B、 ，故B选项错误；
C、 ，故C选项错误；
D、 ，故D选项正确；
故选D.
【点睛】
本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.
9．下列各式中错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可.
【详解】
解：A. ，故本选项错误，B，C，D，均正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
10．已知 、 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（）．
D、已知非零向量 ，如果向量 ＝﹣5 ，那么 ∥ ，正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
15．如图，点 、 在线段 上， ，那么下列结论中，正确的是（）
A． 与 是相等向量B． 与 是平行向量
C． 与 是相反向量D． 与 是相等向量
【答案】B
D.平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．
17．已知 ， 为非零向量，如果 ＝﹣5 ，那么向量 与 的方向关系是（ ）
A． ∥ ，并且 和 方向一致B． ∥ ，并且 和 方向相反
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．
16．下列说法不正确的是( )
A．设 为单位向量，那么
B．已知 、 、 都是非零向量，如果 ， ，那么
C．四边形 中，如果满足 ， ，那么这个四边形一定是平行四边形
D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
C．如果| |＝| |，那么 ＝ 或 ＝﹣ D．已知非零向量 ，如果向量 ＝﹣5 ，那么 ∥
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】
解：A、如果k＝0， 是非零向量，那么k ＝0，错误，应该是k ＝ ．
B、如果 是单位向量，那么 ＝1，错误．应该是 ＝1．
C、如果| |＝| |，那么 ＝ 或 ＝﹣ ，错误．模相等的向量，不一定平行．
【详解】
解：由 ， ，而且 ≠0，得到： ， ，
所以 与 方向相反，且| |＝5| |．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．
14．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0， 是非零向量，那么k ＝0B．如果 是单位向量，那么 ＝1
2．若 是非零向量，则下列等式正确的是（）
A． ；B． ；C． ；D． .
【答案】B
【解析】
【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果
【详解】
∵ 是非零向量,
∴
故选B
【点睛】
此题考查平面向量，难度不大
3．如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设 ，那么向量 用向量 表示为（ ）
A． B．
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可；
【详解】
解：A、 ，正确；
B、 ，正确；
C、如果 ，那么 ，错误，可能共线；
D、如果 ，那么 或 ，正确；
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．若 、 都是单位向量，则有（）．
解：∵A、B、C均属于向量运算的性质，是正确的；
∵D、如果 = ，则m=0或 = ．∴错误．
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
12．下列命题正确的是（ ）
A．如果| |＝| |，那么 ＝
B．如果 、 都是单位向量，那么 ＝
C．如果 ＝k （k≠0），那么 ∥
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 、 都是单位向量，可得 ．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
解：∵ 、 都是单位向量
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．
6．若向量 与 均为单位向量，则下列结论中正确的是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由向量 与 均为单位向量，可得向量 与 的模相等，但方向不确定．
【详解】
解：∵向量 与 均为单位向量，
∴向量 与 的模相等，
∴ .
故答案是：D.
【点睛】
此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
7．点 在线段 上，且 ，若 ，则 的值等于（）．
A． B． C． D．
【答案】D
③因为 ， ，所以m和n同号，所以 与 的方向一定相同，故③正确；
④因为 ， ，所以m和n异号，所以 与 的方向一定相反，故④正确．
故选D.
【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
11．设 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，那么
【答案】D
【解析】
【分析】
D．如果m＝0或 ＝ ，那么m ＝ ，不正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
13．若 ， ，而且 ≠0， 与 是（ ）
A． 与 是相等向量B． 与 是平行向量
C． 与 方向相同，长度不等D． 与 方向相反，长度相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 ， ，由此确定 与 位置和数量关系．
【解析】
【分析】
根据已知条件即可得： ，从而得出： ，再代入 中，即可求出m的值.
【详解】
解：∵点 在线段 上，且
∴
∴
∴
故选D.
【点睛】
此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.
8．若点 为平行四边形的中心， ， ，则 等于（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，故C不符合题意；
，故D符合题意.
故选D.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．
【详解】
根据向量的运算法则，即可知A（结合律）、B、C（乘法的分配律）是正确的，D中的 是有方向的，而0没有，所以错误．
A． ∥ B．| |=2C．| |=﹣2| |D． =﹣
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵ 是单位向量，且 ， ，
∴ ， ， ， ，
故C选项错误，
故选C.
19．如果 （ ， 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A． // B． -2 =0C． = D．
【答案】B
【解析】
试题解析：向量最后的差应该还是向量. 故错误.
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】
解:∵在平行四边形 中, ， ，
∴ , ,M分别为AC、BD的中点,
∴ ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意.
故选B.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
① ， 时， 与 的方向一定相反；
② ， 时， 与 是平行向量；
③ ， 时， 与 的方向一定相同；
④ ， 时， 与 的方向一定相反．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可.
【详解】
解：①因为 ，1＞0， ，所以 与 的方向一定相反，故①正确；
②因为 ，1≠0， ，所以 与 是平行向量，故②正确；
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可．
【详解】
解：A.设 为单位向量，那么 ，此选项说法正确；
B.已知 、 、 都是非零向量，如果 ， ，那么 ，此选项说法正确；
C.四边形 中，如果满足 ， ，即AD=BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形的重心性质得到： ；结合平面向量的三角形法则解答即可．
【详解】
∵在△ABC中，AD是中线， ，
∴ ．
∴
又∵点O是△ABC的重心，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出 是解题的关键．
4．已知 、 为非零向量，下列说法中，不正确的是
C． 和 方向互相垂直D． 和 之间夹角的正切值为5
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可．
【详解】
∵已知 ， 为非零向量，如果 ＝﹣5 ，
∴ ∥ ， 与 的方向相反，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
18．已知 是单位向量，且 ，那么下列说法错误的是（ ）
故选B.
20．在平行四边形 中， 与 交于点 ，若设 ， ，则下列选项与 相等的向量是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】
解:∵在平行四边形 中, ， ，
∴ , ,M分别为AC、BD的中点,
∴ ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
D．如果m＝0或 ＝ ，那么m ＝0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断．
【详解】
解：A．向量是既有大小又有方向，| |＝| |表示有向线段的长度， ＝ 表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；
B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；
C. ＝k （k≠0）⇔ ∥ ，所以C选项正确；
【解析】
【分析】
由AC=BD，可得AD=BD，即可得 与 是平行向量， ，继而证得结论．
【详解】
A、∵AC=BD，
∴ ，该选项错误；
B、∵点C、D是线段AB上的两个点，
∴ 与 是平行向量，该选项正确；
C、∵AC=BC，
∴AD≠BD，
∴ 与 不是相反向量，该选项错误；
D、∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴ ，该选项错误；
向量的线性运算基础测试题含答案
一、选择题
1．下列各式正确的是（）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量计算法则依次判断即可.
【详解】
A、 ，故A选项错误；
B、 ，故B选项错误；
C、 ，故C选项错误；
D、 ，故D选项正确；
故选D.
【点睛】
本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.
9．下列各式中错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可.
【详解】
解：A. ，故本选项错误，B，C，D，均正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
10．已知 、 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（）．
D、已知非零向量 ，如果向量 ＝﹣5 ，那么 ∥ ，正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
15．如图，点 、 在线段 上， ，那么下列结论中，正确的是（）
A． 与 是相等向量B． 与 是平行向量
C． 与 是相反向量D． 与 是相等向量
【答案】B
D.平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．
17．已知 ， 为非零向量，如果 ＝﹣5 ，那么向量 与 的方向关系是（ ）
A． ∥ ，并且 和 方向一致B． ∥ ，并且 和 方向相反
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．
16．下列说法不正确的是( )
A．设 为单位向量，那么
B．已知 、 、 都是非零向量，如果 ， ，那么
C．四边形 中，如果满足 ， ，那么这个四边形一定是平行四边形
D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
C．如果| |＝| |，那么 ＝ 或 ＝﹣ D．已知非零向量 ，如果向量 ＝﹣5 ，那么 ∥
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】
解：A、如果k＝0， 是非零向量，那么k ＝0，错误，应该是k ＝ ．
B、如果 是单位向量，那么 ＝1，错误．应该是 ＝1．
C、如果| |＝| |，那么 ＝ 或 ＝﹣ ，错误．模相等的向量，不一定平行．
【详解】
解：由 ， ，而且 ≠0，得到： ， ，
所以 与 方向相反，且| |＝5| |．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．
14．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0， 是非零向量，那么k ＝0B．如果 是单位向量，那么 ＝1
2．若 是非零向量，则下列等式正确的是（）
A． ；B． ；C． ；D． .
【答案】B
【解析】
【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果
【详解】
∵ 是非零向量,
∴
故选B
【点睛】
此题考查平面向量，难度不大
3．如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设 ，那么向量 用向量 表示为（ ）
A． B．
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可；
【详解】
解：A、 ，正确；
B、 ，正确；
C、如果 ，那么 ，错误，可能共线；
D、如果 ，那么 或 ，正确；
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．若 、 都是单位向量，则有（）．
解：∵A、B、C均属于向量运算的性质，是正确的；
∵D、如果 = ，则m=0或 = ．∴错误．
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
12．下列命题正确的是（ ）
A．如果| |＝| |，那么 ＝
B．如果 、 都是单位向量，那么 ＝
C．如果 ＝k （k≠0），那么 ∥
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 、 都是单位向量，可得 ．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
解：∵ 、 都是单位向量
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．
6．若向量 与 均为单位向量，则下列结论中正确的是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】