北师大2012量子力学试题

3 3 cos ， Y11 sin e i ； 4 8
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 。 2 0
l 1 时，算符 Lx 在 Lz 表象的表示矩阵为：
六．（25 分） 两个电子被紧紧地束缚在晶体的相邻位置上，可分辨， 也不考虑它们的空间 运动。 它们的自旋分别为 s1 和 s2 。 两个电子之间的相互作用可以用如下的哈密顿量表 示： H J ( s1 x s 2 x s1 y s 2 y ) ，其中 J 0 是常数。 (1) 求出这个系统的能级和属于各个能级的本征态（自旋部分） 。 (2) 现在在 z 方向加一个匀强磁场 B ， 求出系统的能级。 (3) 接上问， 请画出能级随 B 变化的示意图。
一．选择题（共 25 分） 。 写清每题的题号及所有正确答案，多选、少选、选错均不得分。 1. 一维粒子处于势函数 V ( x ) 中，已知 V ( x ) 是实值偶函数，且 ( x ) 是能量本征方程的 一个解，则 (A) ( x ) 必为偶函数 (C) ( x ) 必为实值函数 2. (B) ( x ) 一定是能量本征方程的解 (D) ( x ) 的复共轭函数 ( x ) 一定是能量本征方程的解


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北京师范大学 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
部（院、系） ： 物理系 科目代码： 959
科目名称：
量子力学
（所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效） 参考公式： 泡利矩阵 x
0 1 0 i 1 0 ， y ， z 1 0 i 0 0 1
（转背面！ ）
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二．（25 分）已知 H 0
p2 V ( x ) 的某个能级是 E ， 若系统变为 H H 0 p （ 为常 2m
数） ， 求该能级的变化。 （提示：此题需严格求解，可在动量表象下计算） 三．（25 分）在某自旋态
中， 测 sz 的概率是 ， 测 s x
ห้องสมุดไป่ตู้
(C)

(D)

ˆ、 B ˆ ˆ BA ˆ的本征态，本征值非零，则 ˆ满足 AB ˆˆ 0 。 若 是 A 厄米算符 A ˆ的本征态 (A) 必为 B ˆ的本征态 ˆ 必为 A (B) B
ˆ ˆ的本征态 (D) B ˆ在 中的平均值必为零。 必为 B (C) A
*
以下哪个（些）数字可能是氢原子能级的简并度 (A) 2 (B) 4 (C) 7 (D) 9
3.
ˆ满足 A ˆ2 A ˆ，则 若算符 A ˆ 的本征值只可能是 0 或 1 (A) A ˆ 必为厄米算符 (B) A
ˆ 在任何态的平均值为非负实数 (D) A ˆ必为常数算符 (C) A
4. 以下哪个（些）算符一定为厄米算符 (A) 5. (B)
2
1 2
3 的概率是 ， 求 所 2 4
有可能的独立解， 结果用 sz 表象 与 表示。 四．（25 分） 考虑一个沿 x 方向运动的一维电子， 其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可 写成
H
1 ( p a z ) 2 x 2m
其中 , 为常数。 令 2m 1 ， 1 。 (1) 当 a 0 时， 写出能量本征值和相应的本征态。 (2) 当 a 0 ， 0 时， 写出能量本征值和相应的本征态。 (3) 设电子处于动量为 k 的态， 将哈密顿量中的 x 作为微扰， 写出能量本征值和本 征函数到一级近似。 (4) 接上问， 在一级近似下， 画出能量动量关系示意图。 五．（25 分）考虑一个类氢原子： 无自旋质量为 m 的粒子在中心力场中运动，原子处于 z 方 向均匀磁场中。 哈密顿量可写为 H 比于原子磁矩 。 (1) 写出原子角动量各分量的期望值的时间演化方程。 (2) 假设原子在 t 0 时刻处于 2 p 轨道， Lx 的本征态，求 t 时刻波函数。 (3) 接上问， 原子角动量发生进动，求进动周期？ （转下页！ ） 科目代码： 959 科目名称：量子力学
p 2 e2 LL z ， Lz 为角动量 z 分量， L 正 2m r

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科目代码：
959
科目名称：量子力学
(4) 接(2)问， 在 t 时刻测量 Lz 的可能值和相应几率是多少？ (5) 接(2)问， t
时， 测量 Lx 的可能值和几率是多少？ 2L
注：本题可能用到的公式如下 球谐函数 Y10