组合数的性质和应用

4.已知C C C C C K
0 n 1 n 2 n n n
化简 : C 2C 3C (n 1)C
1 n 2 n 3 n
n 1 n
变式(1)已知 C n = Cn ，求n的值
3n-6 （2）已知 C18 = C18 ，求n的值 n
13
7
巩固练习
1．方程 C C
(1)
例1 计算 198
( 2 )
C C
200
;
2
C
ห้องสมุดไป่ตู้2 200

200 199 21
19900
3 99
C 99;
C
3
3
3
100

2
100 99 98 3 21
161700
( 3 )
2C
3 8
C 9 C 8 .
3 2 2 3
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
n! A n(n 1)(n 2) (n m 1) m Cn C A m! m !(n m)!
m n m n m m
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
11
C
9
2
7
C
3 10
;
C 11 11! 11 10 9!2! 2! 2 11 10 11 2!
元素中取出m个的组合数是C n 1
m
含有a1的
元素与a1 组成, 有 C n 个
m 1
不含有a1的
m
从 a2 , a3, an 1中取出m 1个 从 a2 , a3, an 1中取出m个
元素组成, 有C n 个
m m 1
C
m n 1
Cn Cn
性质2
证明:
n! n! m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]! n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n! m!(n m 1)! m!(n 1 m)! (n 1)! m C n1 . m![( n 1) m]!
组合数的性质和应用
莆田第二中学高二1班
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m 表示. Cn 3、组合数公式:
又 C n 1, 所以规定 : C n 1即0! 1
n
=
nm Cn
C C
n
n
0 n
0
即从n个不同的元素中取出m个元素的组 合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组 m nm 合数 性质1
C
n
C
n
证明: 根据组合数的公式有: n! m C n m!(n m)!
C
nm n
变式：求证：C C C
n n n n1
n n2
C
n n＋m
C
n1 nm1
.
3.求值: (1)C C C C C C
4 5 4 6 4 7 4 8 4 9
4 10
(2)C C C C C
1 3 2 4 3 5
3 n
4 6
39 41
3 8 7 6 56 C8 3!
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多 765 3 少种取法? 35

C
7
3!

C
3 8
C7 C7
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 a1 , a2 , an 1 这n 1个不同的
n! (n m)![n (n m)]! n! m!( n m)!
引例2： 一个口袋内装有大小相同的7个白球和 一个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? 2 7 6
21 C7 2!
C C C C C C 63
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
小结
1.组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
2.组合数性质:
9
C
7!3! 3! 3 10 9 8 C10 3!
10! 10 9 8 C10
7
C 11 C 11
9
2
C 10 C 10
3
7
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法
一一对应
从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
m Cn
注
n m (1)当m 时, 利用这个公式可使 C n 的计算简化 2 m nm (2)当m n时, 公式 C n C n 变形为
C C
m n
c n 1 c n c n
m1 n
m
m
m 1
性质2
c n 1 c n c n
m
m
m 1
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 . 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
3 4 5 6 例2．计算： C7 C7 C8 C9
3 4 5 6 ( C C ) C C 解：原式＝ 7 7 8 9 4 5 6 C8 C8 C9 4 5 6 (C8 C8 ) C9 5 6 C9 C9 6 C10 10 9 8 7 4 210 C10 4!
x 28 3 x 8 28 的解集为（
D
）
A ． 4
B ． 9 D ． 4,9
8 n ，则
C ．
2．若 C
10 n
C
C 的值为
n 20
190
巩固练习 3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？ 解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法