根的判别式的六种常见应用

根的判别式的六种常见应用

方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．

应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况

1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．

2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.

(1)不解方程，判别方程根的情况；

(2)若方程有一个根为3，求m的值．

应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围

3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，

(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

应用3：利用根的判别式求代数式的值

4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1

（2m－1）2＋2m

的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题

5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )

A ．没有实数根

B ．有一个实数根

C ．有两个不相等的实数根

D ．有两个相等的实数根

应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状

6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4

＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．

应用6： 利用根的判别式探求菱形条件

7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14

＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．

(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？

参考答案

1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，

∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.

对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，

Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，

∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．

2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．

(2)将x ＝3代入方程中，得

9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.

3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.

∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，

即Δ≥0.

∴不论m 为何值，方程总有实数根．

(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得

x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m

. ∴x 1＝2m

，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，

∴2m

是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，

∴m ≠2，∴m ＝1.

4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，

即2m －1＝±4.

∴m ＝52或m ＝－32

. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114

； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3

＝－526.

5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.

∴k －1>0，解得k>1.

又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.

∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .

6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4

＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4

＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，

∴此三角形是直角三角形．

7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，

∴AB ＝AD.∴Δ＝0，

即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.

此时原方程为x 2－x ＋14

＝0， ∴x 1＝x 2＝12

， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12

. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14

＝0， 解得m ＝52

， 故原方程为x 2－52

x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12

. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭

⎫2＋12＝5.