2019年9月江苏省南通市海安县2019-2020学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷及参考答案

江苏省南通市海安县2019—2020学年度第一学期高三期初调研考试
数学试卷
2019.9
第I 卷(必做题,共160分)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.已知集合A ＝{0,2,6,8},B ＝{﹣2,4,6},则A B ＝ .
2.已知复数z ＝(1﹣2i)·i,其中i 为虚数单位,则z 的模为 .
3.某厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,其中A 型号产品有18件,则n 的值为 .
4.函数y =的定义域为 .
5.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为72,则三棱锥A 1—BCD 的体积为 .
6.右图是一个算法流程图,则输出的n 的值为 .
7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：22
21x y a
-=(a ＞0)的右焦点的坐标为,0),则
该双曲线的两条渐近线方程为 .
8.某饮品店提供A,B 两种口味的饮料,且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量.甲、乙二人各随机点一杯饮料,且甲只点大杯,乙点中杯或小杯,则甲、乙所点饮料的口味相同的概率为 . 9.已知函数()sin(2)(0)2
f x x π
ϕϕ=+<<图象的一条对称轴方程为x ＝
6
π
,则ϕ的值为 .
10.设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞1),前n 项和为n S .若存在m N *
∈,使得2m m a a ++＝
15
2
m a +,
且29m m S S =,则正整数m 的值为 .
11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知正方形OABC,其中OA ＝a (a ＞1),函数y ＝3x 2交BC
于点P,函数12
y x
-=交AB 于点Q,则当AQ ＋CP 最小时,a 的值为 .
12.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝3,AD ＝1,CB ＝CD,∠ADB ＝∠BCD ＝
2
π
,则AC BD ⋅的值为 .
13.在△ABC 中,已知点M 为AB 的中点,CM ＝1,
1tan A ,1tan C ,1
tan B
成等差数列,则AB 的长为 .
14.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 1：x ﹣y ＋2＝0与x 轴交于点A,点B 在直线l 1上,直
线l 2：x ＋3y ﹣1＝0上有且仅有一点C 满足：AC ⊥BC(A,B,C 两两互不相同),则点B 的横坐标的所有可能值之积为 . 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)
在△ABC 中,已知BC ＝3,AC ﹣AB ＝2,cosB ＝12
-. (1)求AB,AC 的值； (2)求sin(B ﹣C)的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB ⊥BC,点D 为棱C 1C 的中点,AC 1与A 1D 交于点E,BC 1与B 1D 交于点F,连结EF.
(1)求证：AB ∥EF ；
(2)求证：平面A 1B 1D ⊥平面B 1BCC 1.
17.(本小题满分14分)
现有一张半径为1 m 的圆形铁皮,从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分),并卷成一个深度为h m 的圆锥筒,如图2.
(1)若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为
23
π
rad,求圆锥筒的容积； (2)当h 为多少时,圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的右焦点为F,左、
右顶点分别为A 1,A 2,上、下顶点分别为B 1,B 2,连结B 2F 并延长交椭圆于点P,连结PA 2,A 1B 2.
记椭圆C 的离心率为e .
(1)若e ＝
1
2
,A 1B 2.①求椭圆C 的标准方程；②求△B 2A 1F 和△PA 2F 的面积之比. (2)若直线PB 2和直线PA 2的斜率之积为9
2
-,求e 的值.
19.(本小题满分16分)
已知函数2()x x bx c
f x e ++=(e 为自然对数的底数),()f x '为()f x 的导函数,且(1)
f '0=.
(1)求实数c 的值；
(2)若函数()f x 在x ＝0处的切线经过点(﹣1,0),求函数()f x 的极值；
(3)若关于x 的不等式()f x ≤2对于任意的x ∈[0,2]恒成立,求实数b 的取值范围.
20.(本小题满分16分)
若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =(p ,q N *
∈),必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P.
(1)若数列{}n a 具有性质P,且1a ＝1,2a ＝2,4a ＝3,5a ＝2,67821a a a ++=,求3a ； (2)若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比大于1的等比数列,15b c =,51b c =,
n n n a b c =+,判断{}n a 是否具有性质P,并说明理由；
(3)设{}n b 是无穷数列,已知1sin n n n a b a +=+(N n *
∈),求证：“对任意的1a ,{}n a 具有性
质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.
第II 卷(附加题,共40分)
21.【选做题】本题包括A,B,C 三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A.选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝ 32 x y ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦,α＝41⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,A α＝94⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. (1)求实数x ,y 的值；
(2)求矩阵A 的特征值.
B.选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中,O 为极点,点M(0ρ,0θ)在曲线C ：4sin ρθ=上,直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直,若0θ＝
3
π
,求0ρ及l 的极坐标方程.
C.选修4—5：不等式选讲
对于正实数x ,y 满足11x -≤,21y -≤,求证：12x y -+≤.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在空间直角坐标系O—xyz中,四棱锥P—ABCD的底面ABCD在平面xOy上,其中点A与坐标原点O重合,点D在y轴上,CD⊥AD,BC∥AD,顶点P在z轴上,且PA＝AD＝CD ＝2,BC＝3.
(1)求直线PB与平面PCD所成角的大小；
(2)设E为PD的中点,点F在PC上,且PF1
PC3
,求二面角F—AE—P的正弦值.
23.(本小题满分10分)
近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
(1)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望；
(2)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.
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