构造一元二次方程解题的常用方法

构造一元二次方程解题的常用方法

某些非一元二次方程的问题，如果能抓住特征，那么可以通过构造一元二次方程来解决，例说如下．

一、利用已知等式构造一元二次方程

例1 若a ，b ，c 为实数，且a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0，求证：a ＝b ＝c ．

证明 由已知等式，可构造关于c 的一元二次方程c 2－（a ＋b ）c ＋（a 2＋b 2－ab ）＝0．

∵c 为实数，

∴△＝[－（a ＋b ）]2－4（a 2＋b 2－ab ）

＝－（a －b ）2≥0．

∵a ，b 为实数，

∴（a －b )2≥0，－3(a －b )2≤0，

∴－3（a －b ）2＝0，

∴a ＝b ．

同理可证b ＝c ，

∴a ＝b ＝c ．

二、利用方程根的定义构造一元二次方程

例2 设a 2－2a －1＝0，b 4 －2b 2－1＝0，且1－ab ≠0，求2014221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭

的值． 解 由a 2－2a －1＝0，知a ≠0， 2

1210a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 又 ∵b 4－2b 2－1＝0，

∴(b 2)2－2b 2－1＝0，

由1－ab ≠0知

1a ≠b 2， 故1a

，b 2可视为方程x 1－2x －1＝0的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系，得

三、利用求根公式构造一元二次方程

例3 若x 432326218237515

x x x x x x x --++-++的值是______．

解 ∵x

＝4

∴ x ＝428130x x -+=的一个根，

当28130x x -+=时，

原式()()()()2228132110

81312x x x x x x x -++++=-+++

1052

=

=． 四、利用根与系数的关系构造一元二次方程

例4 已知实数a ，b ，c 满足a ＝b －6，c 2＝ab －9，求证：a ＝b ． 证明 ∵a ＝b －6，c 2＝ab －9，

∴a ＋b ＝6，c 2＝ab －9，

∴a 、b 是方程x 2－6x ＋c 2＋9＝0的两根，

∴△＝36 －4(c 2＋9)＝－4c 2≥0．

而c 为实数，－4c 2≤0．

∴－4c 2＝0，即△＝0．

此时，方程有两个相等的实数根，所以a ＝b ．

五、利用根的判别式构造一元二次方程

例5 已知n 2(p －m )2＝4mp (m －n )(n －p )，求证：

112m n p

+=． 证明，由已知n 2(p －m )2＝4mp (m －n )(n －p )，

得n 2(p －m )2－4mp (m －n )(n －p )＝0．

∴方程p (m －n )x 2＋n (p －m )x ＋m (n －p )＝0(m ≠n )有两个相等的实数根．

∵p (m －n )＋n (p －m )＋m (n －p )＝0，

∴方程的两个实数根为x 1＝x 2＝1．

根据根与系数的关系，得 ()

()11m n p p m n -⨯=-

化简得mn ＋np ＝2mp ， ∴112m n p

+=（m ≠n ） 当m ＝n 时，由已知可得p ＝m ， 此时亦有112m n p

+=成立， 综上，

112m n p

+=成立．