北京大学偏微2011秋期末考试题

2011-2012学年偏微分方程期末考试

1. 设3n ≥,20()n u C ∈,定义()x Γ如下：

21(2)||()(0)n n n x x x --Γ≠=

证明：

()()()n x y u y dy x u =-Γ-∆⎰

2. 设2()()u C C ∈Ω⋂Ω，这里Ω为n 中的有界区域，称u 为Ω上的下调和函数，

若0u -∆≤ （1） 试写出下调和函数满足的极值原理

（2） 证明：存在仅与Ω的直径有关的常数C 使得，下述问题任何解u 都满足sup |()|()x u x C F ∈Ω≤+Φ；

u f x u ϕ∂Ω⎧⎪⎨⎪⎩-∆≤∈Ω=

这里sup |()|x F f x ∈Ω=，sup |()|x x ϕ∈∂ΩΦ=

3. （1） 对于热方程的初值问题，写出其热核(,)H x t

（2） 定义u (x , t )如下： (,)(,)()u x t H x y t y dy ϕ=-⎰

证明：u (x , t )是如下初值问题的古典解 2(,)(,0)()t u a u f x t u x x x ϕ+⎧-∆=∈⨯⎪⎨=∈⎪

⎩

4. 对于热方程的混合问题：

2(,)[0,](,0)()(,)0(,)[0,]t u a u f x t T u x x x u x t x t T ϕ⎧-∆=∈Ω⨯⎪⎪=∈Ω

⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩

证明其能量不等式：

22220sup (,)+(,)(()(,))T T x Q Q t T u x t dx u x t dxdt M x dx f x t dxdt ϕΩΩ≤≤≤+⎰⎰⎰⎰

这里M 是只与a ，T 相关的常数

5. 对于热方程的混合问题：

2(,)[0,][0,](,0)()[0,]

(0,)(,)0[0,]t u a u f x t l T u x x x l u t u l t t T ϕ⎧-∆=∈⨯⎪⎪=∈⎨⎪==∈⎪⎩

写出其Green 函数G (x ,y ,t )

6. 用特征线法求解波动方程的初值问题：

20(,)(,0)()(,0)0tt t u a u x t u x x x u x x ϕ+⎧-∆=∈⨯⎪⎪=∈

⎨⎪=∈⎪

⎩