第7讲-----通项公式及前n项和的求法

② f ( 1 ) f ( 1 ) f (1) f (1) f (2) f (3) f (2009）+f (2010 ）
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错位相减法：针对数列
an
bn
或
an bn
的数列求和应用此法，其中
an
是等差数列，
bn
是
等比数列．
【EG】求和 Sn 1 3a 5a 2 (2n 1) a n1(a 0).
【例
2】（1）已知公差不为
0
的等差数列
an
的首项
a1
(a1
R
)
，且
1 a1
，1 a2
，1 a4
成等比数列．
①求数列{an} 的通项公式；
②对 n N* ，试比较
1 a2
1 a2 2
1 a23
...
1 a2 n
与
1 a1
的大小．
（2）已知{an}是递增的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，且 S5=5，a3，a4，a7 成等比数列． ①求数列{an}的通项公式；②求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；
【EG】在等差数列 an 中，它的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn 8 ，S2n 14 ，则 S3n
．
倒序相加：如果一个数列 an 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，
那么这个数列求和可用倒叙相加法，如等差数列前 n 项和公式的推导： 设 Sn a1 a2 a3 an 1 an ，
通项公式和前 n 项和的求法
1.（襄阳市 2015-2016）已知数列{an}是等比数列，a9 是 1 和 3 的等差中项，则 a2a16= ．
2.（荆州市 2015-2016）若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有（ ）
①{2an+1}，②｛a 2n｝，③{an+1﹣an}，④{2an+n}．
n
项和：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) d 2
（2）等比数列的前 n 项和： Sn naa11(1(1qqq1n)) (q 1)
（3）12 22 n2 1 n n 12n 1
6
（4） 13
23
33
n3
1 4
n n 12
（5）求等差数列 an 的前 n 项和：一般地，数列an 与数列 an 的前 n 项和 Sn 与 Sn ：当
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【巩固】在等比数列{an}中，a1=1，a4=8 ①求数列{an}的通项公式； ②若 a3，a5 分别为等差数列{bn}的第 6 项和第 8 项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|（n∈N*）
【例
3】（1）设
f
(x)=
x2 ， x2 1
求：① f (1) f (1) f (1) f (2) f (3) f (4) ； 432
【巩固】（1）数列﹣1， 4 ，﹣ 9 ， 16 ，…的一个通项公式是（ ） 3 57
A．an=（﹣1）n• n 2 2n -1
B．an=（﹣1）n• n（n 1） 2n -1
C．an=（﹣1）n•
n 2n
2
1
D．an=（﹣1）n•
n（n 1） 2n 1
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（2）数列{an}中，a1=1，a2=2，数列{bn}满足 bn a n1 （-1）na n ，n∈N+． ①若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前 100 项和 S100； ②若数列{bn}是公差为 2 的等差数列，求数列{an}的通项公式．
（3）已知数列{an}的前
n
项和为
Sn，且满足
an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2），a1=
1 2
．
①求证：{ 1 }是等差数列；②求 an 的表达式． Sn
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公式法：直接应用等差数列或等比数列的求和，公式以及整数的平方和、立方和公式．其相 关公式有：
（1）等差数列的前
A．1 个 B．2 个
C．3 个
D．4 个
3.（武汉二中 2015——2016）已知数列{an}的首项 a1=1，且 an+1=2an+3，n∈N+ （1）求证：数列{an+3}是等比数列； （2）求数列{n（an+3）}的前 n 项和 Tn．
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方法一：用观察法（不完全归纳法）求数列的通项． 【EG】（1） 1 ，4，9 ，16 ， ；
倒序得： Sn an an1 a3 a2 a1
相加得： 2Sn (a1 an ) (a2 an 1) (an 1 a2 ) （an a1），由等差数列的性质，得
2Sn
n(a1
an )
， Sn
n(a1 2
an )
【EG】求和 S sin2 1 sin2 2 sin2 3 sin2 89 ．
n
1）
【EG】数列 an 的前 n 项和 Sn n2 (n≥1) ，求它的通项公式．
【例 1】（1）观察这列数：1，2，3，3，2，1，2，3，4，4，3，2，3，4，5，5，4，3，4，
5，6，6，5，4，…，则第 2016 个数是（ ）
A．335
B．336
C．337
D．338
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2 5 10 17
（2）1，- 1 , 1 , 1 , 1 , ； 3 7 15 31
方法二：运用等差（等比）数列的通项公式．
【EG】在等差数列 an 中， a5 10 ，a2 31 ，求通项公式 an ．
方法三：已知数列{an }前 n
项和
Sn
，则 an
S1 Sn
S n 1
n
1 n
2（注意：不能忘记讨论
ak 0 时，有 Sn = Sn ；当 ak 0 时，有 Sn =- Sn ．若在数列中，有一些项不小于零，而其余
各项均小于零，设其和分别为 S 、 S ，则有 Sn = S + S ， Sn = S - S =2 S - Sn = Sn -2 S
注：①公比含字母时一定要讨论；②无穷递缩等比数列时， S a1 ； 1 q
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（2）已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且 a2=9，a4=81． ①求数列{an}的通项公式 an；②若 bn=log3an，求证：数列{bn}是等差数列．
（3）已知数列{an}的前 n 项和 Sn，a1=2，2Sn=（n+1）an﹣n2an+1，数列{bn}满足 b1=1， bnbn+1=λ•2an． ①求数列{an}的通项公式； ②是否存在正实数λ，使得{bn}为等比数列？并说明理由．