上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案(共3套)

高二第一学期期末考试试卷
数学试题
注意：1．答卷前，将姓名、班级、层次、学号填写清楚．答题时，书写规范、表达准确．
2．本试卷共有21道试题，满分100分．考试时间90分钟．
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律零分．
1．若矩阵110A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()121B =，则AB =__________．
2．求行列式的值：111
111124
-=__________．
3．经过点()2,1P -且与直线0l ：20x y -=平行的直线l 的点法向式方程为__________．
4．椭圆2
2
14y x +=的焦距为__________．
5．双曲线22
1916
y x -=的渐近线方程是__________．
6．平面上的动点P 到定点1F 、2F 距离之和等于12F F ，则点P 的轨迹是__________．
7．已知圆()2
24x a y -+=被直线1x y +=
截得的弦长为a 的值为_________．
8．将参数方程22
2sin sin x y θ
θ
⎧=+⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为__________． 9．若,x y 满足条件3
2x y y x
+≤⎧⎨≤⎩，则34z x y =+的最大值为__________．
10．设P 是抛物线22y x =上的一点，(),0A a （01a <<），则PA 的最小值是__________．
11．过直线y x =上的一点作圆()()2
2
512x y -+-=的两条切线1l ，2l ，当1l 与2l 关于直线y x =对称时，它们之间的夹角为__________．
12．已知点(),P x y 是线段220x y +-=（,0x y ≥）上的点，则
1
x y
x ++的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律零分． 13．直线3450x y ++=的倾斜角是
（ ）
（A ）3arctan 4
- （B ）3arctan
4
π+ （C ）3arctan 4π⎛⎫
+-
⎪⎝⎭
（D ）3arctan 24π+
14．若点M 在曲线sin 2cos sin x y θ
θθ=⎧⎨=+⎩
（θ为参数）上，则点M 的坐标可能是 （ ）
（A ）1,2⎛ ⎝
（B ）31,42⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（C ）(
（D ）(
15．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是 （ ）
（A ）,33⎛
-
⎝⎭ （B ）0,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭ （C ）3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
（D ）13⎛⎫-
- ⎪ ⎪⎝⎭
16．关于曲线C ：441x y +=，则下列四个命题中，假命题．．．
是
（ ）
（A ）曲线C 关于原点对称
（B ）曲线C 关于直线y x =-对称
（C ）曲线C 围成的面积小于π （D ）在第一象限中y 随x 的增大而减小
三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．
17．（本题8分）已知两条直线1l ：5560x my ++=，2l ：()21520m x y m -++=． （1）当m 为何值时，1l 与2l 相交； （2）当m 为何值时，1l 与2l 平行．
18．（本题8分）已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；
（2）记点()2,0K -，若AK AF =，求AFK △的面积．
19．（本题10分）已知点()2,2P ，()0,4Q ，动点M 满足0PM QM ⋅=，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；
（2）当OP OM =时，求POM △的面积．
20．（本题12分）设椭圆22
1925
x y +=的两焦点为1F 、2F ．
（1）若点P 在椭圆上，且123
F PF π
∠=
，求12F PF △的面积；
（2）若AB 是经过椭圆中心的一条弦，求1F AB △面积的最大值．
21．（本题14分）抛物线2
2y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；
（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032
x >； （3）若直线l 的斜率依次为
1111
,,,,,2482n ，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为123,,,
,,
n N N N N ，求12231111
n n
N N N N N N -+++．
参考答案
一、填空题
1．121121000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭
2．6-
3．()()2210x y --+=
4
．5．34
y x =± 6．线段12F F 7．3或1- 8．2y x =-，[]2,3x ∈
9．11 10．a 11．
3
π 12．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
二、选择题 13．C
14．B
15．D
16．C
三、解答题 17．【解】
()()55553215
m
D m m m =
=--+-，()()651033215
x m
D m m m -=
=+--，
()56
4322y D m m m
-=
=-+--．
当5m =时，两直线平行；当5m ≠且3m ≠-时，两直线相交．
18．【解】（1）点A 的轨迹是以点F 为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，所以2
8y x =．
（2）过点A 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，则AH AF =
，所以AK =
，所以三角形AHK
是等腰直角三角形，所以AF KF ⊥，所以三角形AFK 的面积8S =． 19．【解】（1）M 的轨迹是以线段PQ 为直径的圆，所以点M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即()()2
2
132x y -+-=．
（2）设圆心为C ．因为OP OM =，所以()1,3OC =垂直于直线MP ，所以直线MP 的方程为
()()2320x y -+-=，即380
x y +-=．圆心到直线MP
的距离5d =
，
故弦长5
MP =，点O 到直线MP
的距离5h =，所以三角形POM
的面积116
2555
S =⋅⋅=．
20．【解】（1）设1P F m =
，2PF n =，在三角形12PF F 中，由余弦定理，()()2
221212122cos 21cos F F m n mn F PF m n mn F PF =+-∠=+-+∠，解得12mn =，所以三角形12F PF
的面积121
sin 2
S mn F PF =
∠= （2）因为直线AB 斜率存在，所以设其方程为y kx =，则点1F 到直线AB
的距离d =
．设
()11,A x y ，()
22,B x y ，联立直线与椭圆的方程：2
21925
y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩x ⇒=．则
21AB x x =
=-=
所以三角形1F AB
的面积12S AB d =
⋅⋅=，当且仅当0k =时，取得最大值12． 21．【解】（1）1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设l ：12y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，联立直线与抛物线的方程：
2122y k x y x
⎧⎛
⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨
⎪=⎩
()2222
204k k x k x ⇒+-+=（*）．因为l 交抛物线于两点，所以0k ≠且二次方程（*）根的判别式0∆>，解得()()1,00,1k ∈-⋃．
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理，2122
2
k x x k
-+=-，()121221y y k x x k +=++=，所以AB 中点的坐标为2221,2k k
k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭，所以02113
22x k =+>． （3）设(),0m m N x ，则1
42
m m x =
+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，所以
112231111
11194n n n N N N N N N --⎡⎤⎛⎫+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
．
高二年级第一学期数学期末考试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数i
i z +=
2(i 为虚数单位)，则=||z ．
2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 3．抛物线2
4y x =的焦点坐标为 ．
4
．6
2x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．
5．已知实数x 、y 满足不等式组5
2600
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ．
6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232
=+-a x x 的一个根,则实数=a ．
7．已知21,F F 为双曲线C ：12
2=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则
=⋅||||21PF PF ．
8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同
的安排方案种数为 ．
9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ
=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到
直线l
的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02
=++q px x （,p q 是常数）的两
个实根，则直线AB 的方程是 ．
11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足2
21sin cos 2
AP AB AC θθ=
⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．
12．
已知椭圆C ：)0(1
22
22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，
M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。

M 的最大值为 ．
二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=
-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（ ）．
（A ）⎡⎣（B ）⎡⎣（C ）⎡⎣（D ）⎡⎣
14．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2
，那么直线0sin sin 2
=-+a A y A x 与
直线0sin sin 2
=-+c C y B x 的位置关系是（ ）． （A ）平行 （B ）垂直（C ）相交但不垂直 （D ）重合
15．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则ABC ∆的形状是（ ）．
（A ）等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等边三角形
16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．
（A ）2
10x y +-= （B ）10x =
（C ）22
10x y x x +---= （D ）2
310x xy -+=
三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）
设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，
)(2
5|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知2||=
a ,1||=
b ,a 与b
的夹角为︒135.
(1)求)2()(b a b a
-⋅+的值；
（2）若k 为实数，求||b k a
+的最小值．
19．（本题满分14分, 第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；
（2）已知ABC ∆的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是02=-y x 和
01=-+y x ，求边BC 所在直线方程．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知点21,F F 为双曲线C ：)0(122
2
>=-b b
y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交
双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是2
22b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
教材曾有介绍：圆2
22r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。

我们将其结论推广：椭圆
12222=+b y a x （0>>b a ）上的点),(00y x 处的切线方程为1202
0=+b y
y a x x ，在解本题时可以直接应用。

已知，直线03=+-y x 与椭圆E ：12
22=+y a
x （1>a ）有且只有一个公共点．
（1）求a 的值；
（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点),2(m M ．
①设0m ≠，直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k 为定值． ②设m R ∈，求OAB ∆面积的最大值．
参考答案
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数i
i z +=
2(i 为虚数单位)，则=||z ．
3
2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．1
arctan
2
3．抛物线2
4y x =的焦点坐标为 ．10,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
4
．6
2x ⎛
- ⎝
的展开式中的常数项的值是 ． 60
5．已知实数x 、y 满足不等式组5
2600
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ． 20
6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232
=+-a x x 的根，则实数=a ．3
7．已知21,F F 为双曲线C ：12
2
=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，0
2160=∠PF F ,则
=⋅||||21PF PF ．4
8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同
的安排方案种数为 ． 90
9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ=+⎧⎨=-+⎩
（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到
直线l
的点的个数为____________．2 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02
=++q px x （,p q 是常数）的两
个实根，则直线AB 的方程是 ． 2
30(40)px y q p q ++=->
11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足2
21sin cos 2
AP AB AC θθ=
⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ． -2
12．已知椭圆C ：)0(1
22
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，
M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。

M 的最大值为
．222
222
1,1
01
a a
b b a b ⎧+-≥⎪⎨+<-<⎪⎩ 二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（ ）．B
（A ）[
]252,
252+-（B ）[
]25,
23（C ）[
]25,
22（D ）[
]
24,
23
14．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2
，那么直线0sin sin 2
=-+a A y A x 与
直线0sin sin 2
=-+c C y B x 的位置关系是（ ）．D （A ）平行 （B ）垂直（C ）相交但不垂直 （D ）重合
15．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-，则ABC ∆的形状是（ ）．A
（A ）等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等边三角形
16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．C
（A ）2
10x y +-= （B
）10x =
（C ）22
10x y x x +---= （D ）2
310x xy -+=
三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）
设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，
)(2
5|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．
z =
或z =……（8分）
当0222z m =
+=或…………（11分）
当0222
z m =-
-=或-…………（14分） 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知2||=
a
,1||=b ,a 与b
的夹角为︒135.
(1)求)2()(b a b a
-⋅+的值；
（2）若k 为实数，求||b k a
+的最小值．
（1）
)2()(b a b a -⋅+=2…………………………（6分） （2）当1k =时，||b k a
+的最小值为1………………………（14分）
19．（本题满分14分, 第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；
（2）已知ABC ∆的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是02=-y x 和
01=-+y x ，求边BC 所在直线方程.
（1）25110x y +-=………………………………（6分）
（2）A 关于01=-+y x 的对称点为B(-3，0) A 关于02=-y x 的对称点为198
(
,)55
C - :417120BC x y ++=…………………………（14分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知点21,F F 为双曲线C ：)0(122
2
>=-b b
y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交
双曲线C 于点M ，且0
2130=∠F MF ，圆O 的方程是2
22b y x =+．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =．
解（1）设2F 、M
的坐标分别为
)
、
)
0y )0(0>y
因为点M 在双曲线C 上，所以2
2
0211y b b
+-=，即20b y =，所以22MF b =
在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = 由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==
故双曲线C 的方程为：2
2
12
y x -= ……………（4分）
（2
）由条件可知：两条渐近线分别为10l y -=，
20l y += 设双曲线C 上的点),(00y x P ，设1l 的倾斜角为
θ，则tan θ=则点P
到两条渐近线的距离分别为1||PP =
2||PP =
……（6分）
因为),(00y x P 在双曲线:C 22
12
y x -=上，所以220022x y -=
22
1tan 121cos 21tan 123
θθθ--===-++，从而121
cos cos(2)cos 23PPP πθθ=∠=-=-…（8分）所以12PP PP
⋅220012212
339
x y PPP -=
∠=
⋅=……………（10分） （3）由题意，即证：OA OB ⊥．
设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=，且22002x y += ①当00y ≠时，将切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：
22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=
所以：20012122222
00004(24)
,(2)(2)
x y x x x x y x y x ++=-=---
又22
010201201201222200000
(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以222200001212222222
000000(24)8242()0(2)22y x x y OA OB x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==---
②当00y =时，易知上述结论也成立． 所以12120OA OB x x y y ⋅=+= 综上，OA OB ⊥，所以2AB OD =． ……………（16分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
教材曾有介绍：圆2
22r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。

我们将其结论推广：椭圆
12222=+b y a x （0>>b a ）上的点),(00y x 处的切线方程为1202
0=+b y
y a x x ，在解本题时可以直接应用。

已知，直线03=+-y x 与椭圆E ：12
22=+y a
x （1>a ）有且只有一个公共点．
（1）求a 的值；
（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点),2(m M ．
①设0m ≠，直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k 为定值． ②设m R ∈，求OAB ∆面积的最大值．
解：（1）联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=13
22
2y a x x y 整理得0232)11(2
2
=+++x x a 依题意0=∆即202)11
(
4)32(22
=⇒=⋅+⋅-a a
…………………………（4分） （2）①设),(11y x A 、),(22y x B 于是直线1l 、2l 的方程分别为
1211=+y y x x 、12
22=+y y x
x 将),2(m M 代入1l 、2l 的方程得0111=-+my x 且0122=-+my x 所以直线AB 的方程为01=-+my x ……………………（7分）
m k 11-
=，22m k =，所以2
1
21-=k k 为定值………………（10分） ②依题意联立⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=+=-+12
12
2y x my x 012)2(22=--+my y m 显然0>∆，由21,y y 是该方程的两个实根，
有22221+=
+m m y y ，2
1
22
1+-=m y y ………………（12分） OAB ∆面积1122
12x y S x y =
的绝对值，即121
||2S y y =-……（14分）
即2121
1)1(2)2()1(2]4)[(41222
22212
212
≤++++=++=-+=m m m m y y y y S 当0=m 时，S 取得最大值
2
2
………………（18分）
上海浦东新区高二第一学期期末教学质量检测卷
数学试卷
一、填空题：本大题共12个小题,每小题分,共36分.
1.已知112
lim =+-∞→n an n ，则实数a 的值为 ．
2.直线4
1
31:+=
-y x l 的一个方向向量可以是 ． 3.二元一次方程组⎩⎨
⎧=+=-8
35
2y x y x 的增广矩阵为 ．
4.如图，程序框图中，语句1被执行的次数为 ．
5.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2
n S n =，则=8a ．
6.设向量与的夹角为θ，)1,1(=，)1,1(-=-，则=θcos ．
7.用数学归纳法证明：)1(11121
3
2
≠--=+++++++c c
c c
c c c n n ，当1=n 时，左边为 ．
8.已知等差数列}{n a 中，6373a a =，且291=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，若n S 取得最大值，则
=n ．
9.求和：
=+++⨯+⨯)
1(1431321n n ． 10.已知)3,2(A ，)0,1(B ，动点P 在y 轴上，当||||PB PA +取最小值时，则点P 的坐标为 ．
11.若关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨
⎧=++=+m
my x m y mx 2
4有无穷多组解，则m 的取值为 ．
12.我们知道：
q
n q q p n q p q n n p n +∙--∙=++1
1)(，已知数列}{n a 中，11=a ，
)
1(2
21+++
=-n n n a a n n ),2(*N n n ∈≥，则数列}{n a 的通项公式=n a ．
二、选择题（每题3分，满分12分）
13.在平面上，四边形ABCD 满足=，0=∙，则四边形ABCD 为（ ） A ．梯形 B ． 正方形 C ． 菱形 D ．矩形 14.直线)0,0(0:>>=++b a c by ax l 的倾斜角是（ ） A ．)arctan(b a - B ．b
a arctan -π C ．
b a arctan 2+π
D ．b
a
arctan +π 15.已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，11=a ，43=a ，则此数列的前n 项和等于（ ） A ．12+n
B ．12-n
C ．
)14(31-n D ．)14(3
1
+n 16.若动点P 到x 轴、y 轴的距离之比等于非零常数k ，则动点P 的轨迹方程是（ ） A ．)0(≠=
x k x y B ．)0(≠=x kx y C ．)0(≠-=x k
x
y D ．)0(≠±=x kx y 三、解答题 （本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知直线023:=-+y x l 与圆2:2
2=+y x O 相交于B A ,两点.
（1）求弦AB 的长；
（2）求弦AB 的垂直平分线的方程.
18. 已知)2,1(=，)1,3(=，k -=，且⊥. （1）求向量b 在向量a 的方向上的投影； （2）求实数k 的值及向量的坐标.
19. 过点)2,1(P 作直线l 交x 轴正半轴于A 点、交y 轴正半轴于B 点 （1）若3=时，求这条直线l 的方程；
（2）求当三角形AOB （其中O 为坐标原点）的面积为4时的直线l 的方程.
20. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，82=a ，18510=S ，对每个正整数k ，在k a 与1+k a 之间插入1
3-k 个
3，得到一个新的数列}{n b . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n b 的前n 项和为n T .
21. 已知圆)0()()(:2
2
2
>=-+-a a a y a x C 的面积为π，且与x 轴、y 轴分别交于B A ,两点. （1）求圆C 的方程；
（2）若直线)2(:+=x k y l 与线段AB 相交，求实数k 的取值范围； （3）试讨论直线)2(:+=x k y l 与（1）小题所求圆C 的交点个数.
试卷答案
一、填空题（每小题3分，共36分） 1．1； 2．()43,； 3．⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-813521；
4．34； 5．15； 6．22； 7．2
1c c ++；8. 8； 9．1121+-n ； 10．()10,； 11．2； 12．
1
1
2231+-
⨯-n n . 二、选择题（每小题3分，共12分）
13. C ； 14. B ； 15. B ； 16．D ．
三、解答题 （本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 解：（1）因为圆心O 到直线l 的距离13
12
030=+-⨯+=
d ，
所以弦长2AB ===.
（2）弦AB 的垂直平分线的方程可设为03=+-c y x ， 由圆的性质知，弦AB 的垂直平分线经过圆心O ，所以，0=c ， 所以，弦AB 的垂直平分线的方程为03=-y x .
18．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 解：（1
）因为θ=⋅，
所以，向量在向量
52
1232
=++=
=
θ.…3分
（2）因为()k ,k k 213--=-=，且()21,=，
因为⊥，所以，0=⋅，即，()()021231=-⨯+-⨯k k ， 解得，1=k ，此时，()12-=,.
19．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 解：（1）显然直线l 的斜率k 存在且0<k ， 设l ：()21+-=x k y ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-
021,k A ，()k ,B -20.则，⎪⎭
⎫
⎝⎛=22,k ，()k ,PB --=1，由3=，
得，⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=k k 323
2
，即32-=k
所以，所求直线l 的方程为()213
2
+--=x y 或写成0432=-+y x . （2）由题意知，OB OA S AOB 2
1
=
∆()k k -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22121
()44212=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+
=k k ()0<k ， 则()44=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
+-k k ，解得2-=k . 此时直线l 的方程为()212+--=x y 或写成280x y +-=. 20．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
解：（1）由⎩⎨⎧=+=+185451081
1d a d a ，解得⎩⎨⎧==351d a ，
所以，()23315+=⨯-+=n n a n .
（2）只要把a k =3k+2在数列{}n b 的第几项确定，而{}n b 其余的项都是3，那么{}n b 确定了。

由题意知，在1a 与2a 之间插入03个3，在2a 与3a 之间插入13个3，在3a 与4a 之间插入23个3， ，在1k a -与k a 之间插入23k -个3.
所以， 数列{}n b 中的项3k+2排在第(k+30
+31
+32
+…+3k-2
)=
131
2
k k --+项。

故1*31
32,()2
3,k n k n k k N b n -⎧-+=
+∈⎪=⎨⎪⎩
为其它值 所以，当1*31
,2
k n k k N --=+∈ ()1123132k n k T a a a -⎛⎫-=++
++⋅ ⎪⎝⎭
()3358(32)2k k -=+++++()()
13317322k k k --+=+ 注意到1312k n k --=+，T n 可改写成()733()2n k k T n k +=+- 当13131122k k k n k ---+<<++，
且*n N ∈时， ()12()3n k T a a a n k =++
++-⋅()733()2k k n k +=+- 综合*n N ∈，()1*7331313(),(1),()222
k k n k k T n k k n k k N -+--=+-+≤<++∈ 21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
解：（1）因为圆C ：()()22
2a a y a x =-+-()0>a ，则圆的半径a r =， 所以，π=π2a ，即1=a
所以，圆C 的方程为()()1112
2=-+-y x . （2）因为圆C 的方程为()()1112
2=-+-y x ，所以，点()01,A 、()10,B . 由题意，直线l ：()2+=x k y 与线段AB 相交， 所以01
2101202221≤++-⋅++-=δ⋅δk k k k k ()()0123≤-⇒k k ，解得；2
10≤≤k ， 所以实数k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2
10,k . （3）因为圆心()11,C 到直线l ：02=+-k y kx 的距离1212++-=
k k k d ， 当06812>-⇒>k k d ，即0<k 或4
3>k 时，直线l 与圆C 没有交点； 当1=d ，即0=k 或43=
k ，直线l 与圆C 有一个交点; 当1<d ，即430<
<k 时，直线l 与圆C 有两个交点。