16 经济学中的常用函数
1.2 经济学中常见函数
一、需求函数、供给函数、价格函数
两个要点：(1) 愿意提供；(2) 能够提供 思考：下列能不能构成房地产供给量
(1) 想做房地产，但没资金盖房
×
(2) 有钱能盖房，不想做房地产生意 × 上一页 下一页 主页
经济学中常用函数
(二) 供给函数
高 Qs f (该商品价格 , 互补品价格 , 替代品价格， , 厂商预期 ) 等 2、供给函数 数 在影响供给量变动的诸多因素中，只考虑该 学 经 商品价格变动对供给量的影响． 济 供给函数定义——厂商对某种商品的供给量随该类 商品价格变化的函数关系． 商品供给量：Qs ，该商品价格：p 供给函数记作： Qs g( p)
一、需求函数、供给函数、价格函数
两个要点：(1) 愿意购买；(2) 能够购买 思考：下列能不能构成购房需求量
(1) 想买房，买不起
× ×
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(2) 有钱，不需要买房
经济学中常用函数
, 互补品价格 , 替代品价格， , 消费者预期 ) (一) 需求函数 Qd f (该商品价格 高 2、影响需求的因素
p
最高价格
高 等 数 学 经 济 类
o
最大需求量
Qd
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经济学中常用函数
高 (二) 供给函数【Supply Function】 等 数 1、供给量的概念【The Quantity of Supply ——Qs 】 学 厂商在一定时期内，在每一价格水平时，愿 经 意提供而且能够提供某种商品的数量． 济 类 供给是从厂商的角度考虑的
最大需求量
k Qd p
k 0, 0
越减越快
o
最高价格
p
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经济学里面的数学方程
经济学里面的数学方程经济学中常使用的数学方程和模型多种多样，它们帮助经济学家分析和预测经济现象。
以下是一些常见的经济学数学方程和模型：1.供需方程：o供给函数：Qs = f(Ps)o需求函数：Qd = g(Pd)当Qs = Qd时，市场达到均衡，此时的价格称为均衡价格，对应的数量称为均衡数量。
2.市场均衡模型：o P = MC = MR = AR其中，P是价格，MC是边际成本，MR是边际收益，AR是平均收益。
当边际成本等于边际收益时，企业实现利润最大化。
3.消费者行为模型：o效用函数：U = u(x1, x2, ..., xn)描述消费者在给定商品组合下的效用水平。
4.生产函数：o Q = f(K, L)其中，Q是产出，K是资本，L是劳动。
这个函数描述了给定资本和劳动投入下的最大产出。
5.成本函数：o TC = TFC + TVC其中，TC是总成本，TFC是固定成本，TVC是可变成本。
o AC = TC / Q其中，AC是平均成本。
o MC = ∆TC / ∆Q其中，MC是边际成本。
6.无差异曲线：用于描述消费者在不同商品组合之间获得相同效用水平的路径。
7.等产量线：在生产空间中，表示给定生产要素投入组合下能生产出的最大产量。
8.IS-LM模型：o IS曲线：描述产品市场均衡时利率与国民收入之间的关系。
o LM曲线：描述货币市场均衡时利率与国民收入之间的关系。
9.总需求-总供给模型：o AD = C + I + G + (X - M)其中，AD是总需求，C是消费，I是投资，G是政府支出，X是出口，M是进口。
o AS = Y其中，AS是总供给，Y是国民收入。
10.菲利普斯曲线：oπ = πe - β(u - un)其中，π是实际通货膨胀率，πe是预期通货膨胀率，u是实际失业率，un是自然失业率，β是调整系数。
这些方程和模型在经济学中被广泛应用，用于分析市场行为、消费者选择、生产决策、宏观经济政策等各个方面。
经济数学微积分经济学中的常用函数
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
经济学中常用的函数
因此一般地，需求函数是单调减少函数．
常用的需求函数有如下几种类型： 1、线性需求函数：Qabp (a0,b0); 2、二次需求函数：Qabpcp2 (a0,b0,c0); 3、指数需求函数：Qaebp (a0,b0).
价格函数：需求函数的反函数，记作PP(q)
p p0 p p0
供大于求，p下降 物资短缺，p上升
成本函数
某产品的总成本C (Q （) Q 表示产量）是指生产一
定数量的产品所需的费用（劳动力、原料、设
备等）总额．总成本包括不随产量变化而变化
的固定成本C 0 成本C 1 (Q )，即
，以及随产量变化而变化的变动
C(Q)C0C1(Q)．源自平均成本函数 C一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q QP 称为需求函数．
2、 ()()() 0 ，此时称为亏损生产， 即生产处于亏损状态，利润为负；
3、L(Q) 0，此时称为无盈亏生产，若把无盈亏
生产时的产量记为 Q 0 ，将其称为无盈亏点．
谢谢~~
a
10
供给函数
设p 表示商品价格，S 表示供给量，将供给量与商
品价格之间的函数关系S S p称为供给函数．
一般说来，商品价格低，生产者不愿生产， 供给减少；商品价格高，供给增加．
因此一般供给函数为单调增加函数．
常用的供给函数有如下类型：
经济学中的生产函数
经济学中的生产函数经济学中的生产函数是用来描述生产过程中投入和产出之间的关系的数学模型。
它是宏观经济理论中一个重要的概念，通过衡量投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解和分析经济增长、资源配置以及生产效率等问题。
本文将介绍生产函数的基本概念、不同形式的生产函数以及其在经济学中的应用。
生产函数的基本概念生产函数是通过将输入要素与产出数量相联系来描述生产过程的函数关系。
它通常表示为Q = f(K, L, ...)，其中Q表示产出数量，K表示资本投入，L表示劳动投入，...表示其他可能的生产要素。
生产函数假设其他影响因素保持不变的情况下，投入要素与产出之间存在一定的关系。
不同形式的生产函数常见的生产函数形式包括线性生产函数、柯布-道格拉斯生产函数和双曲线生产函数等。
线性生产函数的形式为Q = aK + bL，其中a和b为常数。
线性生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈线性关系，即资本和劳动的增加对产出的影响是恒定的。
柯布-道格拉斯生产函数的形式为Q = K^αL^β，其中α和β为正数。
柯布-道格拉斯生产函数假设资本和劳动投入对产出存在递增的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递增的。
双曲线生产函数的形式为Q = AK / (B + CK)，其中A、B和C为正数。
双曲线生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈递减的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递减的。
生产函数在经济学中的应用生产函数在经济学中有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 增长理论：生产函数是经济增长理论中的重要工具，通过描述投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解经济增长的来源与驱动力。
基于生产函数的分析，我们可以探讨如何提高生产要素的质量和效率，促进经济增长。
2. 资源配置：生产函数可以帮助我们优化资源配置，实现资源的高效利用。
通过权衡不同要素的投入和产出，我们可以确定最优的生产要素组合，以实现最大的产出效益。
第一章 函数 第五节 经济学中常用的几个函数课件ppt
C ( x ) ax b
每件产品的成本(称为单位成本或平均成本)为
C ( x) C ( x) x
2.总收益函数 (销售收入函数)
收益是厂商出售产品的收入, 总收益是厂商出售产品后的全 部收入. 设总收益为R, 某种产品的销售量为x, 价格为 p, 则销售收入 函数为
R p x
而价格 p 又可表为 x 的函数, 所以销售收入函数可看成 x 的
Q(70,170]
2.供给函数
生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的, 其中价格 是最主要的因素; 一般地, 价格越高,就越要加大供应, 因此
供给量Qs 是价格 p 的单增函数, 最简单的供给函数是如下
形式的线性供给函数.
Qs g( p) cp d
例6 某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂B冶炼.
已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里,它的垂足C 到 B的距离为 b公里. 又知铁路运价为 m 元/吨· 公里, 公路运价是 n元/吨· 公里(m < n), 为节省运费,拟在铁路上另修一小站M 作 为转运站, 那么总运费的多少决定于M的位置. 试求出运费与 距离 |CM| 的函数关系. 解 设 CM＝ x , 运费为 y, 则
问题中的常量和变量, 变量中的自变量和因变量, 以及它们
之间存在什么关系, 以确定函数关系, 根据实际问题的要求 指出定义域.
例3 某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只, 当价格
为每只800元时, 能卖出20只. 已知手机的价格高低与其需求
量多少是线性关系, 试建立该型号手机的需求量与价格之间的
实现的, 即如果需求量大于供给量则价格会上涨, 反之价格会
降低. 即市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动.
1.4 函数关系的建立及经济学中的常用函数
5.利润函数
企业生产经营活动的直接目的是获取利润 .若利润用 L 表示，在不考虑税收的情况下， L =总收益-总成本，即
L R(Q) C (Q).
若考虑国家征税费 T 的情况，则
L R(Q) C (Q) T (Q).
在不考虑税收的情况下，当销售成本 C (Q ) 超过销售 收益 R (Q ) 时，这种经营活动是亏本的； 当销售收益超过销 售成本时，这种经营活动是盈利的； 当 L(Q) 0 时，即 R(Q) C (Q) 时，则不亏不盈.通常将 L(Q) 0 的点 Q0 称为保本点.
但应用问题中的函数的定义域，除函数的解析式
外，还要考虑变量在现实问题中的具体含义.
例1.10 设有一块边长为 a 的正方形薄板，将它的四角
剪去边长相等的小正方形, 制作一只无盖盒子，试将盒子 体积表示成小正方形边长的函数.
解 设剪去的小正方形边长为 x, 盒子的体积为 V , 则
盒子的底面积为 (a 2x)2 , 高为 x, 故所求的函数关系为
C C (Q), 称为成本Fra bibliotek数.C (Q) Q 当产量（或销量）为 时的平均成本为 C (Q) . Q
4.收益函数
收益是指销售一定数量商品所得的收入，它既是销量
Q 的函数，又是价格 P 的函数，若收益用 R 表示，则
R PQ.
由研究目的不同，通过需求函数，既可以将收益函数 表示成价格的函数，也可以表示成销量的函数，即： （1）若需求函数 Q f ( P), 则 R Pf ( P); （2）若需求函数 P f 1 (Q), 则 R Qf 1 (Q).
a V x(a 2 x) , x (0, ). 2
2
年产量为x, 每台售250元， 例1.11 某工厂生产某种产品， 当年产量不超过600台时，可以全部售出；当超过600台时，
常用函数公式及用法
常用函数公式及用法函数在数学中是一种重要的工具，它将一个或多个输入值映射到输出值。
函数的应用十分广泛，包括数学、物理、经济学等领域。
下面将介绍一些常用的函数公式及其用法。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
线性函数在各种科学和工程问题中有很多应用，比如经济学中的供求关系和物理学中的速度和加速度等。
二、二次函数二次函数的表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数在几何学和物理学中有广泛的应用，比如描述抛射物的运动轨迹和分析电磁波在镜面上的反射等。
三、指数函数指数函数的表达式为y=a^x，其中a是正常数。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
指数函数在自然科学和经济学中有广泛的应用，比如放射性衰变、人口增长和利润增长等。
四、对数函数对数函数是指数函数的反函数，表示为y = loga(x)，其中a是正常数且a≠1、对数函数的图像是一条递增曲线，它与指数函数互为反函数。
对数函数在计算和控制论中有广泛的应用，比如简化复杂计算和描述信号传输的强度等。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们与三角形的角度和边长相关联。
三角函数在几何学和物理学中都有广泛的应用，比如测量角度、解决三角形的边长和角度、描述振动和波动等。
三角函数的表达式和图像具有周期性的特点。
六、指数增长函数指数增长函数的表达式为y = ab^x，其中a和b是正常数，且b>1、指数增长函数的图像呈现出指数级的增长趋势，常用于描述人口增长、细胞分裂和资本增长等。
七、对数增长函数对数增长函数是指数增长函数的反函数，表示为y = logb(x)，其中b是正常数且b>1、对数增长函数可以用于描述信息传输速度和事件发展速度等。
八、常数函数常数函数的表达式为y=c，其中c是常数。
经济学中常用的函数
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
1-3,4初等函数、经济学中常用函数
C (Q ) 200 Q 5 Q Q 2
200 Q C (20) 5 25 2 Q 20 Q
20
如
在应用时，供给函数也可由一些简单初等函数去近似。
线性函数 幂函数
Q aP b , a 0 , b 0 ; Q kP a , a 0 , k 0;
指数函数
Q aebP等。 0 , b 0 ,a
21
均衡价格:若市场上某种商品的供给量与需求量相等, 这时称这种商品的供、需达到了平衡,此时 该商品的价格称为均衡价格.常记为 P或者P . 此时， Q( P) S ( P)
9
正切函数
的定义域为
D( f ) { x | x R, x ( 2n 1)
2
, n为整数}
余切函数
的定义域为
D( f ) { x | x R, x n , n为整数 }
正切函数和余切函数的值域都是(－∞,+∞),且它
们都是以为周期的函数，它们都是奇函数.
10
11
C 1 (q )
固定成本: 固定不变的成本,该成本不随产量 q 为产品 的变化而变化.例如: 厂房,机器设备,管理费用等. 的产量 可变成本: 可以变化的成本,该成本会随产量 的变化而变化.例如: 购买原料的费用,工人的生 产奖金等.
24
一方面, 可以想象, 生产产量越大, 成本就越高, 因而为增 函数 , 一般地 , 成本函数的图形大致类同于下图.
经济学中常用的函数
微分学在经济中的应用§1 经济学中的常用函数一、需求函数消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动力。
这种源动力的核心主要有两个：一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。
影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。
忽略其他因素，只考虑与价格的关系就得到了需求函数)(P f D =， （1-1）需求函数通常是单调下降函数（如图1-1所示）。
产生下降的原因有两个：一是收入效应，二是替代效应。
注：需求量与价格有时也是按上升方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格越高，越被人门人为是珍品，因而需求量就越大。
下列函数可作为需求函数：线性函数 )0,0(>>-=b a bP a D ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>--=c b a cP bP a D ，指数函数 )0,0(>>=-b A Ae D bP ，幂 函 数 )0,0(>>=-ααA AP D 。
二、供给函数供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量，需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。
所以，供给和需求是相对的概念，这就是 说产生了和生产者之间的一对永恒的矛盾。
产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。
影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。
忽略其他因素，只考虑与 价格的关系就得到了供给函数：)(P g Q =， （1-2）供给函数通常是单调上升函数（如图1-2所示）。
注：供给量与价格有时也是按下降方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格上升后，人们就会把存货拿出来出售，供给量增加，当价格上升到一定程度后，人们以为它更珍贵，就不会再提供给市场。
因而价格上涨供给量反而减少。
经常采用的供给函数有如下形式：线性函数 )0,0(>>+-=d c dP c Q ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>++-=c b a cP bP a Q ，指数函数 ),0,0,0(A B k B A B Ae Q kP >>>>-=， 幂 函 数 )0,0,0(>>>-=-ααB A BAP D 。
经济数学经济学中常用的函数
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
A
指数函数：Q aebP , 其中 A 0 , b 0
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
第五节
经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P)
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP,
D1-5经济学中的常用函数
第五节第五节 经济学中的常用函数经济学中的常用函数第一章一、需求函数二、供给函数三、总成本函数、总收益函数总利润函数四、库存函数一、需求函数如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为 Q 是 P 的函数。
记作)(P f Q =则 f 称为需求函数.需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．,bP a Q −=线性需求函数：常见的需求函数：2cPbP a Q −−=二次曲线需求函数：( 其中 a , b , c , A > 0 )0,≥b a 幂函数：00A Q kP ,A ,k −=>>其中bP Q Ae−=指数需求函数：例 1设某商品的需求函数为)0,(>+−=b a b aP Q .00时的价格时的需求量和讨论==Q P 解,0b Q P ==时它表示价格为零时的需求量为 b ，称为饱和需求量；,0ab P Q ==时它表示价格为,时a b 无人愿意购买此商品.二、供给函数如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为 Q 是 P 的函数。
记作)(P G Q =则 G 称为供给函数.供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数：0,,>−=b a b aP Q 其中幂函数：指数函数：0,0,>>=k A kP Q A 其中0,0,>>=b A ae Q bP 其中例2 设产品的需求函数为供给函数为 ()s s Q Q P = 在同一个坐标系中作出需求曲线D 和供给曲线S（如图），如果曲线D和曲线S 的交点00(,)P Q （或记为(,)e e P Q ）就是供需平衡点,而P 或e P 称为均衡价格，0Q 或e Q 称为均衡数量. 当0P P ¹时，市场力量会推动P 趋向0P 。
寻求0P 是金融经济学的主要问题之一。
经济数学1.6经济学中常用的函数
经济数学 1.需求函数与供给函数 • 例1 当鸡蛋收购价为每千克4.5元时，某收购站 每月能收购5000kg.若收购价每千克提高0.1元， 则收购量可增加400kg，求鸡蛋的线性供给函数. 解： 设鸡蛋的线性供给函数为 由题意得
5 0 0 0 c 4 .5 d 5 4 0 0 c 4 .6 d
经济数学
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资本4元，单位售价8元。 • 求
(1) 总成本函数;
练习
(2) 单位成本函数;
(3) 销售收入函数; (4) 利润函数. 解
C ( x ) 4 x 1000
1000 x
C (x)
4
R ( x )
8 x
L( x ) R ( x ) C ( x ) 4 x 1000
经济数学 3. 价格函数、收入函数、利润函数 (3) 利润函数
总利润 L ( q ) 等于总收入 R ( q ) 与总成本 C ( q ) 的差，所以总利润函数为 ：
L (q ) R (q ) C (q )
：
q
个单位产品时的平均利润为：
L (q ) q R (q ) C (q ) q
L
Q Q ( p)
常见的需求函数有以下几种类型：
线性需求函数 二次需求函数
Q a bp (a 0, b 0)
2
Q a bp cp
(a 0, b 0, c 0)
指数需求函数
Q Ae
bp
( A 0, b 0)
经济数学 1.需求函数与供应函数 (2) 供应函数
Q c dp
Q a bp cp
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16 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直截了当关系外, 还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的阻碍有关. 现在我们只考虑商品的价格因素, 其他因素临时取定值. 如此, 对商品的需求量确实是该商品价格的函数, 称为需求函数. 用Q 表示对商品的需求量, p 表示商品的价格, 则需求函数为:
()Q Q p =,
鉴于实际情形, 自变量
p , 因变量Q 都取非负值. 一样地, 需求量随价格上涨而减少, 因此通常需求函数是价格的递减
函数.
常见的需求函数有: 线性需求函数: Q a bp =-, 其中a ,b 均为非负常数;
二次曲线需求函数: 2Q a bp cp =--, 其中a , b , c 均为非负
常数;
指数需求函数: bp Q ae -=, 其中a ,b 均为非负常数. 幂函数：
0,0,>>=-k a kP Q a 其中 需求函数()Q Q p =的反函数, 称为价格函数, 记作:
()p p Q =,
也反映商品的需求与价格的关系.
二、供给函数
供给的含义：在某一时刻内，在一定的价格条件下，生产者情愿同时能够售出的商品．
供给量记为S , 供应者情愿同意的价格为
p , 则供给量与价格之间的
关系为: ()S S p =,
称为供给函数, p 称为供给价格, S 与p 均取非负值. 由供给函数所作图形称为供给曲线.
一样地，供给函数能够用以下简单函数近似代替：
线性函数: ,b aP Q -=, 其中a ,b 均为非负常数;
幂函数：: 0,0,>>=k a kP Q a
其中;
指数函数: bP ae Q =, 其中a ,b 均为非负常数. 需求函数与供给函数紧密有关, 把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中, 由于需求函数是递减函数, 供给函数是递增函数, 它们的图形必相交于一点, 这一点叫做均衡点, 这一点所对应的价格0p 确实是供、需平稳的价
格, 也叫均衡价格; 这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量. 当市场价格p 高于均衡价格0p 时, 产生了“供大于求”的现象, 从而使市场价格下降; 当市场价格
p 低于均衡价格0p 时, 这时会产生“供不应求”的现象, 从而使市场价格上升; 市场价格的调剂确实是如此实
现的. 应该指出, 市场的均衡是临时的, 当条件发生变化时, 原有的均衡状态就被破坏, 从而需要在新的条件下建立新的均衡.
例1 某商品的需求量Q 与价格p 的关系由
23123Q p += 给出, 而供给量Q 与价格p 的关系由 22099Q Q p --=-
给出, 试求市场达到供需平稳时的均衡价格和均衡需求量. 【解】 要求均衡价格和均衡需求量, 即解方程组 2220993123Q Q p Q p ⎧--=-⎨+=⎩, 得到两组结果111201p Q =⎧⎨=-⎩ 和 22156p Q =⎧⎨
=⎩. 明显,第一组结果没有意义, 故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量
为6个单位.
三、生产函数 供需平 衡价格 供需平稳0P
生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一样讲来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素 .为方便
起见，我们临时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情形 . 例 2
)(22)2()()(x g cx x g cx x g x g x a a a a ===由于间的函数关系为与产出设投入
时，可见，当1=a 规模酬劳不变；
时，当1<a 如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模酬劳递减； 时，当1>a 如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模酬劳递增 .
四、成本函数
成本是指生产某种一定数量产品需要的费用, 它包括固定成本和可变成本.
若记总成本为C , 固定成本为0C , Q 为产量, 1()C Q 为可变成本, 则成本函数为: 01()()C C Q C C Q ==+,
其中, 00,0,C Q ≥> 明显成本函数是递增函数, 它随产量的增加而增加.
（2）平均成本函数
平均成本是指生产每单位产品的成本, 记为C , 即平均成本函数为: 01()()=+C C Q C Q C Q Q Q =,
平均成本的大小反映企业生产的好差, 平均成本越小讲明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低, 效益更好.
五、收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用 Q 表示出售的产品数量，R 表示总收益, R 表示平均收益，则 Q Q R R Q R R )(,)(==
如果产品价格 p 保持不变，则
p R PQ Q R ==,)(
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。
即
)()()(Q C Q R Q L -=
例3 某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的费用为50元，估量售价80元，求总成本函数，平均成本函数，总收益函数,总利润函数和平均利润函数.
解 设产量为q ，则总成本函数,平均成本函数,总收益函数分不为 ()1000050C q q =+, 10000()50C q q =+, ()80R q q =.
而总利润函数为
()80(1000050)3010000L q q q q =-+=-．
平均利润函数为: ()1000()30L q L q q q ==-.
七、库存函数
设某企业在打算期 T 内，对某种物品总需求量为Q ，由于库存费用及资金占用等因素，明显一次进货是不划算的，考虑平均的分 n 次进货，每次进货批量为 n
Q
q = ，进货周期为 n T t = . 假定每件物品的贮存单位时刻费用为 1C ，每次进货费用为 2C ，每次进货量相同，进货间隔时刻不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 2q
，
在时刻 T 内的总费用 E 为 q Q C Tq C E 2121+= .2121为进货费用为贮存费，，其中q
Q C Tq C 八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数 t b ka y =
在经济推测中，经常使用该曲线.
.100lg 时，图形如上页所示，当<<<b a k
且无限增大时，
t
>
，曲线当
由图可见0
y=
其无限与直线k
，
接近
且始终位于该直线下方. 在产品销售推测中，当推测销售量充分接近到k 值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和.。