复变函数.ppt

(t t0 ) f (t )dt f (t0 ).
(8.10)
此性质称为 函数的筛选性质.
(t t0)
1
o t0 t
δ函数的筛选性质表明，任何一个连续函数都对应着一
个确定的数 f(0) 或 f(t0), 这一性质使得δ函数在工程技术中有 着较广泛的应用. 人们也常常以此来定义δ函数.
另外，在工程技术中，除了用到单边指数衰减函 数等以外，还常常会遇到单位脉冲函数．因为有许多 物理现象具有脉冲性质，如在电学中，要研究线性电 路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力 学中，要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况 等．要研究此类问题就会涉及单位脉冲函数．
1. 单位脉冲函数的概念及其性质
例 1 在电流为零的电路中,某一瞬时(设为 t 0) 进入 一单位电量的脉冲,求电路中的电流强度 i(t).
若用 q(t) 表示上述电路中的电荷函数, 则
q(t)
1, 0,
t t
0; 0.
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
i(t ) dq(t ) lim q(t t) q(t) ,
dt t0
t
q(t )

1, 0,
t 0; t 0.
i(t) dq(t) lim q(t t) q(t)
dt
t0
t
i(t)
0, ,
t 0, t 0.
所以，当 t 0 时, i(t) 0;
当 t 0 时，由于 q(t) 是不连续的，从而在通
(t )e jtdt

e jt
t0 1,
即单位脉冲函数包含各种频率分量且它们具
有相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱.
函数与1构成傅氏变换对，由傅氏逆变换定义知
F 1[1] 1

e
j t d


(t ).
2
(8.12)
注意：δ函数的傅氏变换仍采用傅氏变换的古典定 义，但此时的广义积分是根据δ函数的定义和运算 性质给出的，而不是在普通意义下的积分值，故δ
2
sintd
0


1

1


1,
2 2

1 2

1




2


0,
t 0; t 0,
这就表明 1 ( ) 的傅氏逆变换为 f (t) u(t). j
即单位阶跃函数的傅氏变换为 1 ( ). j
单位阶跃函数 u(t) 与 1 ( ) 构成傅氏变换对. j
函数的傅氏变换是一种广义的傅氏变换.
根据这一概念，可以对一些常用的函数如常数、 单位阶跃函数以及正、余弦函数等进行傅氏变换， 尽管这些函数不满足绝对可积的条件.
F 1[1] 1

e
j t d


(t)
(8.12)
2
例 3 求函数 f1(t ) 1 与 f2(t ) e j0t的傅氏变换.
弱
lim
0

(t
)


(
t
).
这表明， 函数可以看成一个普通函数序列 的弱
极限.
的图形为
(t)
1

对任意 0, 显然有 o t

(t)dt
1dt 1.

0

因此在定义中有 (t)dt 1.
(t)
1
工程上, 常将 函数称为单位脉冲函数,
例5 证明单位阶跃函数 u(t) 的傅氏变换为 1 ( ). j
证 设 F ( ) 1 ( ), f (t) F 1[F()], 则 j
f (t) 1
F ( )e jtd 1

[
1
( )]e jtd
2
例2 画出函数 F ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 的图形.
F ( )
解 F() 在 0 与 0 处的冲激强度
分别为 和-，其图形为
0 o 0

２. δ函数的傅氏变换
由δ函数的定义，可得出δ函数的傅氏变换为
F() F[ (t)]
2 j
1


(
)e
j t d

1
1 e jtd
2
2 j
1 1 sint d ,
2 0
为了证明 f (t) u(t), 必须计算积分 sint d，
0
由
sin x dx


可知，
0x
2
当 t 0 时， sint d ,
F[1] 2 () F[e j0t ] 2 ( 0 )
例4 求 f (t) cos0t 的傅氏变换.
解：由傅氏变换的定义有
F ( ) F[ f (t)]

cos
0t

e

j t
dt
1 (e j0t e j0t ) e jtdt 2
并将 函数用一个长度为1的有向线段
o
t
来表示，这个线段的长度表示 函数的积分值， 称为 函数的冲激强度.
函数的基本性质
性质1 设 f (t) 是定义在实数域 R 上的有界函数，且
在 t 0 处连续，则

(t) f (t)dt f (0),
(8.9)
若 f (t ) 在 t t0 点连续，则
性质 2 函数为偶函数, 即 (t) (t).
性质 3 设 u(t ) 为单位阶跃函数：
1, t 0; u(t) 0, t 0,
(8.11)
则有
t
(t)dt u(t),

d u(t ) (t).
dt
这一性质说明，广义函数与普通函数之间可以相互转化.
对于任何一个无穷次可微的函数 f (t), 如果满足


(t) f (t)dt lim

0
(t ) f (t )dt,
其中


(t
)


1

,
0 t ;
0, t 0 或 t 0,
则称 (t) 的弱极限为 函数, 记为 (t ), 即
§2 单位脉冲函数 (δ函数)
傅里叶级数与傅里叶变换以不同的形式反映了周期
函将数它与们非 统1周 一. 期 起单函 来位数 呢脉的？冲频更函谱具数特体的性地，说概是，念否是及可否其以 能性通 将质过 离某 散种 频手 谱段 以
连绍续的频单谱 位２的 脉.δ方 冲式 函函表 数数现与的出广傅来义氏呢傅变？里换这叶就变需换要。引入下面将要介
0
2
当 t 0 时，有 sint d 0,
0
当 t 0 时，令 u t, 则
sintd
0

sin(u)
du
0
u
0
sin u du
u


2
,
将结果代入 f (t) 的表达式中，当 t 0 可得，
f (t)
1 1
解：由傅氏变换的定义及(8.12)式有
F1( ) F[ f1(t)]
e jtdt



e
j d

2

( ),

F2( ) F[ f2(t)]
e j0t e jtdt

e j( 0 )tdt

2 ( 0 ).
定义 满足以下两个条件
(1)

(t
)

0, ,
t 0; t 0,

(2) (t)dt 1
的函数称 函数.
(8.7) (8.8)
δ函数是一个广义函数，它没有普通意义下的
“函数值”，所以，它不能用通常意义下“值的对 应关系”来定义．在广义函数论中， δ函数是定义 在某基本空间上的连续泛函．为了方便起见，仅把δ 函数看作是弱收敛函数序列的弱极限：
常导数的意义下，q(t) 在这点是不可导的，若形式地
计算这点的导数，则得
q(0 t) q(0)
i(0) lim
t0
t

lim
t0


1
t


,
因而，在通常意义下的函数类中找不到一个函
数能够用来表示上述电路中的电流强度. 为了描述 这种电路上的电流强度，必须引进一个新的函数， 即所谓的单位脉冲函数，或称狄拉克 (Dirac) 函数.
1 (e j(0 )t e j(0 )t )dt 2
[ ( 0 ) ( 0 )].
F[cos0t] [ ( 0 ) ( 0 )]
同理可知 F[sin0t] j [ ( 0 ) ( 0 )].
通过上述的讨论，我们可以看出引进δ--函数的 重要性，它使得在普通意义下的一些不存在的积分， 有了确定的数值；而且利用δ--函数及其傅氏变换可 以很方便地得到工程技术上许多重要函数的傅氏变换； 并且使得许多变换的推导大大地简化.
Biblioteka Baidu