苏教版一元二次方程
苏科版数学七年级上册4.1《一元二次方程》教学设计
苏科版数学七年级上册4.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是苏科版数学七年级上册第四单元的第一节内容。
本节内容主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。
教材通过引入生动有趣的故事情境，激发学生的学习兴趣，让学生在情境中感受数学与生活的紧密联系。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握一元二次方程的知识，为学生后续学习函数、不等式等知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，掌握了方程、不等式等基本概念。
但学生对于一元二次方程的理解和应用还需加强。
通过本节课的学习，学生需要能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现一元二次方程的解法规律，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念、解法及应用。
2.难点：一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生动有趣的故事情境，激发学生的学习兴趣，让学生在情境中感受数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳，发现一元二次方程的解法规律。
3.小组合作学习：培养学生团队合作意识，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的故事情境课件，引导学生进入学习状态。
2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习使用。
3.板书设计：设计简洁明了的板书，帮助学生理解和记忆一元二次方程的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个生动有趣的故事情境，引导学生进入学习状态。
例如，讲述一个关于国王奖励国际数学家的问题，引发学生对数学的兴趣。
苏教版九年级数学(上册)一元二次方程的解法公式法
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0. 2.计算Δ ；
方程有两个不等的实数根
提示：方程必须
b b2 4ac x
2a
要转化成一般形 式才能确定系数
(4) 44 2 11, 3.代入 ； 21
即 x1 2 11, x2 2 11. 4.定根 ；
新课讲解
(2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ ＝ b2 － 4ac ＝ ( － 4)2 － 4×5×( － 1) ＝
36>0.
方程b有两b个2 不4a等c 的实(数4根) 36 4 6
x
.
2a
25
10
1 即 x1 1, x2 5 .
新课讲解
(3)方程化为x2－8x＋17＝0. a＝1，b＝－8，c＝17. Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0. 方程无实数根．
所以x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
新课讲解
知识点1 公式法
由上可知，一元二次方程ax2 bx c 0 （a 0）
的根由方程的系数a，b， c 确定．因此，解一元二次方程时，
可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 ，b当2 4ac 0
时，将a，b，c代入x 式 子b b2 4ac
的根是( C )
当堂小练
2. 已知4个数据：－ 2 ，2 2 ，a，b，其中a， b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则这4个数 据的中位数是( A )
A．1 C．2
B. 1
2
D. 1 2
苏教版九年级上册数学一元二次方程教案
苏教版九年级上册数学一元二次方程教案【教学目标】1. 理解一元二次方程的定义、一次项系数、二次项系数、常数项等概念。
2. 掌握解一元二次方程的基本方法，能够独立解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，提高学生的数学素养。
【教学重难点】1. 掌握一元二次方程的定义和性质。
2. 理解解一元二次方程的基本方法，掌握使用“公式法”和“配方法”解方程的技巧。
3. 学会应用一元二次方程解决实际问题。
【教学过程】1. 引入（5分钟）1）通过一元二次方程的解法让学生见到数学的神奇之处；2）教师利用一元二次方程的形式引发学生思考，如何求这个方程的解？2. 学习一元二次方程的性质（20分钟）1）概念解释：一元二次方程的定义和一次方程相似，都是一个带一个未知数的等式，但一元二次方程中未知数有平方项。
比如：$ax^2+bx+c=0$。
2）要点讲解：一元二次方程中三个系数分别为一次项系数$a$、二次项系数$b$和常数项$c$。
系数$a$不为0，否则该方程不是二次方程。
3）解题方法：推导出“公式法”和“配方法”公式法：对于一般的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，解法是：首先通过$\Delta=b^2-4ac$判断$ax^2+bx+c=0$，有无实根，然后用解根公式$x=\frac{ -b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$求出方程的根。
配方法：通过变形，将一元二次方程转化为形如$(px+q)^2=k$的等式，称为配方法。
其中，$p,q$为已知常数，$p$可以由方程的二次项系数$a$求出，即$p=\sqrt{a}$。
3. 阐述一元二次方程的解法（20分钟）1）用公式法解一般一元二次方程，注意：二次项系数$b$为负数时，括号内前面要加上负号。
2）用公式法根据已知条件求解实际问题中的一元二次方程。
3）用配方法解非一般的一元二次方程。
例如$x^2+4x=5$，可以通过将该等式移项，形变为$(x+2)^2=9$，从而得出$x+2=3$或$x+2=-3$。
苏教版九年级数学一元二次方程课件
（2）解方程（x2－x）－4（x2－x）－12=0．
❖ 2、山西特产专卖店销售核桃，其进价每千克 40元，按每千克60元出售，平均每天可售出 100千克，后来进过试场调查发现，单价每降 低2元，则平均每天的销售量增加20千克。若 该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240元，请回答：
一元二次方程复 习课（一）
❖解方程： ❖1、2(1+x)2=4.5 ❖2、x(x-2)=x ❖3、x2-4x-5=0(用配方法） ❖4、2x2-4x+3=0(用公式法）
(1)直接开平方法
一
元 二 (2)因式分解法
次
ax2=b(b≠0)
1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式
适应于没有一次项的 一元二次方程
设：减掉的正方形的边长为Xcm，则
。
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？
如果有，求出这个最大值和此时减掉的正方 形的边长。如果没有，说明理由。
设：剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面
积为ycm2，则y与x的函数关系为：
。
❖ （2）若在正方形硬纸板的四周减掉一些 矩形、正方形，如图，将剩余部分折成一 个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方 体盒子的表面积为550cm2，求此时长方 体盒子的长、宽、高。
适应于左边能分解 为两个一次式的积， 右边是0的方程
方 程 (3) 配方法 的
当二次项系数为1的时 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方
适应于任何一个 一元二次方程
解 法
(4)公式法
当b2 4ac 0
时
苏教版数学九年级上册教学设计《1-1一元二次方程》
苏教版数学九年级上册教学设计《1-1一元二次方程》一. 教材分析苏教版数学九年级上册《1-1一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经学习了有理数、代数式、方程等知识的基础上进行学习的。
本节课主要让学生了解一元二次方程的定义、解法以及应用。
通过本节课的学习，培养学生解决实际问题的能力，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生在已知知识的基础上进行进一步的探究。
在学生的学习过程中，可能会遇到解方程步骤繁琐、对公式记忆不牢固等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义、解法以及应用。
2.掌握求解一元二次方程的基本方法，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程的定义、解法以及应用。
2.重点：一元二次方程的定义，解法（公式法、因式分解法等）。
3.难点：对一元二次方程解法的灵活运用，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的定义、解法。
2.利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学问题，提高解决实际问题的能力。
3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中互相交流、启发，共同提高。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生将实际问题转化为数学问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示一元二次方程的解法过程。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题。
例如，设计一道关于面积的问题，让学生尝试用数学知识解答。
2.呈现（10分钟）介绍一元二次方程的定义，展示一元二次方程的一般形式。
讲解一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。
3.操练（10分钟）让学生在小组内互相讨论，尝试用所学知识解决实际问题。
苏教九年级数学上册《一元二次方程的解法》课件
四解：写出方程两个解; Zx xk
➢回顾与思考
按下列要求解方程：
1 x2 1 60直 接 开 平 方 法 ； 2 2 x2 5 x 3 0配 方 法 3 x2 2 x 1 公 式 法 ； 4 3y 1 2yy 1 因 式 分 解 法 .
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
➢归纳小结
①公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适 用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首 先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法” 等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考 虑配方法）
1.2. 一元二次方程的解法复习
➢回顾与思考
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 2.你能说出每一种解法的特点吗? Zx xk
➢回顾与思考
直接开平方法
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
即形如x2=k(k≥0)或 xh2k(k0)
xk xhk
➢回顾与思考
配方法
1.化1:把二次项系数化为1; Zx xk 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
4.变形:化成 xh2k(k0)
5.开平方：求解Zx xk
★一除、二移
1.先把一元二次方程化为一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0).
最新苏教版一元二次方程解法讲义
课题一元二次方程的解法教学目标1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解方程，会应用判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开方法中的分类讨论与换元思想，配方法中的转化思想，理解求根公式的推导过程，以及因式分解降次的实质.重难点透视学习重点：掌握一元二次方程的解法.学习难点：体会解法中蕴含的数学思想.考点一元二次方程的解法知识点剖析序号知识点预估时间掌握情况1 直接开方法配方法复习302 公式法解一元二次方程303 因式分解法解一元二次方程304 练习小结30教学内容一、知识要点梳理知识点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.关于一元二次方程的判定1.判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．思路点拨：判定一个方程是不是一元二次方程，要看它是否能整理为ax2+bx+c=0的形式，并且仅当a≠0时，它才是一元二次方程．总结升华：虽然根据“只有一个未知数，且未知数的最高次数是2”可以对一些一元二次方程作出初步的判定，但却不十分严格，如(2)题，如果只从原方程看．就会做出错误的判断．举一反三：【变式1】判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．思路点拨：首先整理成一元二次方程的一般形式，再根据二次项的系数的取值来讨论、判定．总结升华：对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．知识点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.总之，用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.一元二次方程的一般形式、各项及各项的系数的确定一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0；(2)．思路点拨：利用等式的性质作变形．总结升华：值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式1】已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．思路点拨：整理为一般形式．总结升华：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．用直接开平方法解一元二次方程3.解方程3x2-24=0．总结升华：应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．总结升华：在使用直接开平方法时，x2=k(k≥0)是方程化归、变形的目标．形如的方程，都可以变形为(k≥0)的形式．由，所以只需≥0，就可以用直接开平方法求解．4.解方程(x-3)2=49．总结升华：应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：【变式1】解下列方程：(1)(x+5)2=225；(2)(3y-2)2=27；(3)3(b+4)2=96；(4)5(4-3n)2=320．思路点拨：运用换元的思想，把方程中形如ax+b的式子看作一个整体，利用直接开平方法求解．总结升华：本例的解法是直接开平方法的运用，也是换元思想的运用．通过这种方法，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解．应当注意，这种转化的思想是解一切高于一次的一元方程的基本指导思想．【变式2】解方程(1)(3x+1)2=7；(2) 9x2-24x+16=11.思路点拨：：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解.2．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.用配方法解一元二次方程5.用配方法解方程x2-7x-1=0．总结升华：一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式1】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)3x2-4x-2=0；(3)x2+6x+8=0；(4)x2-4x+6=0．总结升华：(1)此例运用了配方法，把原方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式，用直接开平方法可以求出这个方程的根；(2)这种解法是解一元二次方程的最基本的方法，这种解法的关键步骤是配方；(3)配方的关键是在方程的两边都加“一次项系数一半的平方”；3．公式法解一元二次方程：(1)一元二次方程求根公式：对于一元二次方程进行配方：当时，，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．注意：△≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．(2)归纳一元二次方程根的情况：对于一元二次方程，其中，称为一元二次方程根的判别式．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 一元二次方程的根及根的判别式6.不解方程，判定方程根的情况(1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0 (4)x2-7x-18=0思路点拨：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．举一反三：【变式】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．思路点拨：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范围．用公式法解一元二次方程7.利用公式法求解方程5(x+1)-3x2=x(x+3)．举一反三：【变式1】利用公式法解方程.(1)2x2-8x+3=0；(2)2x2-8x=-5.4．因式分解法解一元二次方程：(1)因式分解法解一元二次方程：将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法.(2)因式分解法算理：(A、B至少一个为0)(3)用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.(4)常用因式分解法：提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.三、规律方法指导一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法，但所有解法都是通过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次.一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.直接开平方法是最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法).课堂总结课后作业。
苏教版初二数学解一元二次方程的根的性质与应用
苏教版初二数学解一元二次方程的根的性质与应用一、引言一元二次方程在数学学科中具有重要的地位，它的解的性质和应用也是我们必须了解和掌握的内容。
本文将介绍苏教版初二数学中关于一元二次方程解的性质及其应用的相关知识。
二、一元二次方程的定义及解的性质1. 定义：一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x 表示未知数，a、b、c是已知实数且a、b、c均可为负数。
解一元二次方程就是找到使该方程等号成立的未知数x的值。
2. 解的性质：a. 一元二次方程的解一般有两个，可以是实数根或复数根。
b. 如果一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac大于0，则方程有两个不相等的实数解。
c. 如果一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac等于0，则方程有两个相等的实数解。
d. 如果一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac小于0，则方程没有实数解，但有两个共轭的复数解。
三、一元二次方程解的应用1. 求解实际问题：通过解一元二次方程，我们可以应用到很多实际问题的解决中。
比如求解抛物线运动的高度、时间、距离等问题，求解炮弹的落点、抛物线的焦点等等。
2. 求解几何问题：a. 解两点确定直线的问题：已知平面上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，求直线AB的方程，变量为x。
b. 解切线问题：已知抛物线的焦点、准线及一点，求切线的方程。
c. 求解交点的问题：已知两个图形的方程，求它们的交点坐标。
3. 求解数学建模问题：在数学建模问题中，一元二次方程的解常常呈现出一些特殊的应用，例如求解优化问题、拟合问题等。
四、实例分析实例一：已知一元二次方程2x²+3x-2=0，求解其实数根。
解：根据一元二次方程的解的性质，计算判别式：Δ=(3)²-4×2×(-2)=9+16=25根据判别式的值，可知Δ大于0，因此该方程有两个不相等的实数根。
进一步应用求根公式，计算出x₁=(-3+√25)/4，x₂=(-3-√25)/4。
2023苏教版九年级数学上册《一元二次方程的解集》教案
2023苏教版九年级数学上册《一元二次方程的解集》教案教学目标- 理解一元二次方程的定义和基本形式。
- 研究如何求解一元二次方程，并掌握解的分类。
- 掌握一元二次方程实数解和复数解的求解方法和应用。
- 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
教学重点- 学生能够准确理解一元二次方程的基本概念和求解方法。
- 学生能够熟练运用一元二次方程的求解方法解决实际问题。
教学准备- 教师准备一定数量的课堂练题，以巩固学生的解题能力。
- 教师准备演示教学所需的投影仪或白板等教学设备。
教学过程导入教师通过简单的例子引出一元二次方程的概念，解释其定义和基本形式。
知识讲解- 教师使用幻灯片或白板，介绍一元二次方程的一般形式和符号表示。
- 教师讲解一元二次方程解的分类，包括实数解和复数解的概念，并讲解实数和复数的定义。
解题示范- 教师以简单的一元二次方程为例，演示如何求解方程并确定解的类型。
- 教师给予学生解题技巧和方法，并在白板上逐步解析示范题。
练与巩固- 学生个别或小组完成一系列练题，加深对一元二次方程解的理解和应用能力。
- 教师通过评讲练题，帮助学生发现和纠正错误。
拓展与应用- 教师设计一些实际问题，让学生运用已学知识求解并解释解的意义。
- 学生分组进行讨论和展示，提高解决问题的合作能力和表达能力。
总结与评价教师总结一元二次方程解集的求解方法和应用，让学生回顾所学知识，并评价学生的研究情况。
教学评价- 学生能够准确理解一元二次方程的定义和基本形式。
- 学生能够独立解决一元二次方程的求解问题，并判断解的类型。
- 学生能够将所学的知识运用到实际问题中，并给出合理解释。
- 学生能够合作讨论和展示问题解决过程，提高合作与表达能力。
教学延伸学生可以进一步拓展已学知识，探究更复杂的一元二次方程，以及一元多次方程的解集求解方法。
参考资源- 《数学九年级上册》，苏教版，2023年版- 幻灯片或白板等教学设备。
新苏教版九年级数学上册《一元二次方程》教案
新苏教版九年级数学上册《一元二次方程》教案一元二次方程》教案教学目标：1.理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否为一元二次方程；2.知道一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=(a≠0)及其各项及系数，常数项。
教学重点：通过实际问题情境，用建模思想列出方程，体会一元二次方程的定义及意义。
教学难点：理解并能使用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件。
教学过程：一、情境创设：问题1：正方形的面积是2cm²，求它的边长。
问题2：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花圃的面积是24m²，求花圃的长和宽。
问题3：如图，梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m，如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
二、自学：观察归纳观察上面所列的方程，讨论它们与我们所学的一元一次方程有什么异同？一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑：1）只含有一个未知数；2）未知数最高次数为2；3）方程是整式方程；4）有的方程要整理后才能判断是否为一元二次方程。
三、互助探究：1、一元二次方程的一般形式任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数。
注意：（1）二次项系数a≠0；（2）方程化为一般形式后才能确定二次项、一次项、常数项。
思考：1）当b=0，c=0时，方程ax^2+bx+c=(a≠0)的形式为ax^2=0；2）当b=0，c≠0时，方程ax^2+bx+c=(a≠0)的形式为ax^2+c=0.它们都是一元二次方程。
2、例题精讲例1、已知方程(m-2)x-(m+3)x=4m。
1）当m=5时，此方程为一元一次方程；2）当m≠5时，此方程为一元二次方程。
苏教版-九年级数学一元二次方程及解法
一元二次方程1.知识.能力聚焦1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
判断一个方程是否是一元二次方程：（1）方程是整式方程；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.2.方法.技巧平台2.一元二次方程的解〔根〕使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解〔根〕例题1把以下方程化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项，假设方程不是一元二次方程，请说明理由。
〔1〕()226923x x x ++=-〔2〕()()222127x x x --=+例题2以下哪些数时一元二次方程243xx -=-的根？-3，-2，-1,0,1,2,3,43一元二次方程的判定假设方程无法确定为一元二次方程时，我们常将方程化为一般形式，并确定未知数是否只有1个，未知数最高次数为2，最高次数的项的系数为非零实数。
如()()22112x x +=-+化为一般形式为42x =，不是一元二次方程 ()()22221x x -=+化为一般形式为2820x x +-=是一元二次方程。
【规律】任何一个一元二次方程经过整理〔去括号、去分母、移项、合并同类项〕都可化成一元二次方程的一般形式。
3.创新.思维拓展易错点1：对一元二次方程的定义理解不透一元二次方程的定义包括三方面内容：〔1〕是整式方程；〔2〕只含有一个未知数；〔3〕未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。
例 以下关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②2223x x +=; ③2250x x --=；④2332x x -=，其中一定是一元二次方程的有〔 〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个易错点 2：写一元二次方程的各项时易错假设要指出一元二次方程的各项，必须先把一元二次方程写成一般形式，即各项是在方程为一般形式的前提下定义的，在写时一定要注意符号问题。
假设二次项系数为负数，一般把方程两边都乘以 -1，化为正数。
苏教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
知识的升华
课外生物活动小组要在兔舍外面开设一个面积为 20平方米的长方形活动场地，它的一面靠墙，其 余三边利用长为13米的旧围栏。已知兔舍墙面宽7 米。
1、求兔活动场地的长和宽 2、能否围成面积为22平方米的长方形？ 3、能够围成面积最大的长方形的面积是多少？为
什么？
创新
知识思的维升华
请你根据生活经验，编一道关于 增长率的应用题，并解答。要求： 1、符合生活实际； 2、语言表达清晰。
3) 4y=1－3 y² 2
x 1 2 5 x 1 6 0
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
1、填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
苏科版九年级上册第1章一元二次方程课件
一元二次方程 (1)
温故知新
．
（1）一元二次方程的有关概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做 一元二次方程．
一元二次方程的一般情势： ax2 bx c 0a 0
一元二次方程的解（根）：使方程成立的未知数的值，就是一 元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
题目 2：把方程 x2+2（x﹣1）＝3x 化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣2＝0
B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0
D．x2﹣2x﹣1＝0
题目 3： 已知方程 x2＋mx﹣3＝0 的一个根是 1，则 m 的值为
.
（2）一元二次方程的解法 题目 5：用配方法将方程 x2﹣6x＝1 转化为（x+a）2＝b 的形式，则 a，b 的值分别为
例 2 阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将 x2﹣1 视为一个整 体，然后设 x2﹣1＝y，将原方程化为 y2﹣3y＝0，①解得 y1＝0，y2＝3． 当 y＝0 时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1 当 y＝3 时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2 ∴原方程的解为 x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 解答问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数 学思想； （2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0．
.
题目 10：下列一元二次方程中，两个实数根之和为 1 的是 ( A． x2 x 2 0 B． x2 x 2 0 C． x2 x 2 0
) D． x2 x 2 0
例 1 若关于 x 的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0 是一元二次方程，则 m＝ ． 变式：关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0 有实数根，则整数 a 的最大值是 ．
苏教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共19张PPT)
根据题意，得 x(192x)24
问题情境 （3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加 到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？
解： 设平均每年增长的率 百是 分x.
根据题意，得 5(1x)2 7.2
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面 的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m。设梯子的 底端到墙面的距离是xm，怎样用方程来描述其中的 数量关系？
5(1x)2 7.2
(x1)2x2 52
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
例题例讲题解讲解二 一 常次 数次项 项项、、都二一是次次包项项括系系符数数号、、的
?
[例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1) 3 x (x 1 ) 5 (x 2 )
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
x2 2
?
整理得：
2x21x924
5x210x2.2
2x22x24
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
x2 2
常数项。
(1).x2 x2 (2)4x1x2
(3)2.x23x1 (4)x.(x3)2
走进中考
p2x3xp2p0
1、（苏州）若
C
是关x
于A 、 的p 为 一元二任 次方,B 程、 ，p 意 则0 ,（C 、 实 p ）0 ,D 、 数 p 0 或 1
最新苏教版九年级数学上册第1章第二节一元二次方程的解法第二课教案
优质精选教案最新苏教版九年级上册数学（第一章）教案班级：时间：教师：第二节一元二次方程的解法第二课教学目标【知识与能力】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会配方法是一种重要的数学方法. 【过程与方法】经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+nnmx形式的过程，理解配方法的意义，体会转化的思想，向学生渗透知识来源于生活.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----配方法.【情感态度价值观】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.教学重难点【教学重点】掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为的（x＋h）2= k（k≥0）形式.教学过程1.填空1、请写出完全平方公式。
（a＋b）2 = （a-b）2 =2、用直接开平方法解下例方程：（1）5)3(2=+x（2）134)5(2=+-x2、将下列各进行配方：（5）2x +b x ＋_____＝（x ＋___）23.两个方程之间有什么联系？提示：能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？ 定义： 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.目的：把左边转化成（。
）2=k 的形式，右边的k 是一个非负数。
例1：用配方法解下列方程(1)x2 － 4x ＋3 =0(2)x2 ＋ 3x －1=0注意：配方时， 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方小结：用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义，方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.1 用配方法解下列方程：(1) x2＋12x =－9 (2) －x2＋4x －3=0?0462=++x x 想一想如何解方程02422=-+x x 程用配方法解一元二次方?5962=++x x 想一想如何解方程知识梳理与小结课堂反馈练习（一）（看谁准确率高）1、填空：（1）++x x 62（ ）＝（ ）2（2）2x －8x ＋（ ）＝（ ）2（3）2x ＋x ＋（ ）＝（ ）2（4）42x －6x ＋（ ）＝4（ ）22、用配方法解方程：（1）2x ＋2x ＝5； （2）2x －4x ＋3＝0；（3）2x ＋8x －2＝0；（4）276x x +=-课堂反馈练习（二）(看谁又快又准)1、解下列方程：（1）2x +2x-3=0；（2）2x +10x+20=0；（3）2x -6x=4；（4）2x -x=1；（5）2x -7x+12=0； （6）2x +6x-16=0本节课主要学习了用配方法解一元二次方程，配方时一定要注意等式两边都加一次项系数一半的平方，尤其要注意负号。
苏教版九年级数学(上册)一元二次方程的解法-因式分解法
新课讲解
练一练
1 因式分解法解下列方程：
(1) x2＋x＝0；
(2) 3x2－6x＝－3；
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0，
于是得x＝0，或x＋1＝0，x1＝0，x2＝－1. (2) 移项，化简，得x2－2x＋1＝0，
因式分解，得(x－1)2＝0，
于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.
新课讲解
方法
理论依据
适用方程
关键步骤
主要特点
直接开 平方法
平方根的定义
(ax+b)2=n(a≠0，n≥0) 型方程
开平方
求解迅速、准确，但 只适用于一些特殊结
构的方程
因式分
若ab=0，则 a=0 能化为一边为0，另一 边为两个因式乘积的形
分解因式
求解迅速、准确，但
解法
或b=0
式的方程
适用范围小
配方法 完全平方公式
公式法
配方
所有一元二次方程 所有一元二次方程
配方
代入求根 公式
解法烦琐，当二次项 系数为1时用此法比
较简单
计算量大，易出现符 号错误
谢谢 大家
新课导入
知识回顾
解一元二次方程的基本思路是什么? 降次
我们已经学过哪些解一元二次方程的方法? 直接开平方法，配方法，求根公式法.
新课导入
情景导入
根据物理学规律，如果把一个物体从 地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体 经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面( 结果保留小数点后两位)?
A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5
2.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ D ）
苏教版九年级上册数学第一章一元二次方程电子课件
设花圃的宽是xm，则花圃的长是（19－2x）m， 可得：x(19－2x)＝24．
1.1 一元二次方程
【数学活动】
问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增
加到9.8万册． 问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量
之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们 之间的关系？
课本练习P17练习1、2．
1.2 一元二次方程的解法（5）
【小结】
1．什么是一元二次方程根的判别式？
2．一元二次方程根有几种情况？
【课后作业】
课本习题1.2，P20第7、9题．
1.2 一元二次方程的解法（6）
1.2 一元二次方程的解法（6）
【问题情境】
如何解方程 x2 －x =0 ． 既可以用配方法解，也可以用公式法来解.
1．把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2．求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时没有实数根．
3．代入求根公式：
．
4．写出方程的解：x1、x2． 【课后作业】
课本习题1.2，P20第4题．
1.2 一元二次方程的解法（4）
1.2 一元二次方程的解法（5）
1.2 一元二次方程的解法（5）
设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x， 图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为5 （1＋x）2万册，
可得：5（1＋x）2 ＝9.8．
1.1 一元二次方程
【思考与探索】
如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端 与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m ． 设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描 述其中的数量关系？
苏教版【数学】九年级全册知识点梳理
第一章一元二次方程一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
一元二次方程课件苏科版九年级数学上册
为 5(1+x) 万册，两年后为 [5(1+x)](1+x) 万册，
可以用方程
5(1+x)2
.
概念学习 观察下列方程有什么共同点？
（1）
x2=2
（2） -2x2+19x=24
（3） 5x2+10x+5
1、方程两边都是整式 2、方程中只含有一个未知数 3、未知数的最高次数是2
概念归纳
1.一元二次方程定义： 像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知
（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方 程，叫做一元二次方程．
讨论
根据等式的性质，如何将等号右边等于0？
x2=2
x2-2=0
-2x2+19x=24
-2x2+19x-24=0
5x2+10x+5
5x2+10x-=0
一般形式：ax2+bx+c=0
小结
1.一元二次方程定义： 像这样的方程两边都是整式，只含有一个未
概念学习
问题1.正方形桌面的面积是2m.设正方形桌面的边长是xm，
可以用方程 x2=2
.
问题2.矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，花圃的面积是24m设花圃的宽是xm可以用方程
x(19-2x)=24 .
概念学习
问题3.某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册.设图
书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后
知（一元），并且未知数的最高次数是2（二次 ）的方程，叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0
例题讲解：
【例 1】有下列方程：
第一章 一元二次方程《苏教版九年级数学上册》
D．以上都不对
新课讲解
知识点2 一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
为什么要限制
a ≠0， b， c
可以为0吗？
新课讲解
二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：
指出方程各项的 系数时要带上前 面的符号哟.
（1）如何解这类方程? （2）如何用这类方程解决一些实际问题?
新课讲解
知识点1 一元二次方程的定义
合作探究
问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm， 宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然 后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方 盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2， 那么铁皮各角应切去多大的正方形?
⑤整理后未知数的最高次数不是2.
新课讲解
练一练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0
C．x2＋
1 x
＝2
B．x2＋1－x2＝0 D．x2－x－2＝0
2 如果方程(m－3)xm2－7－x ＋3＝0是关于x一元二次方程，
那么m的值为( C )
A．±3
B．3
C．－3
感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?
解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关
A
系： AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高 x m，可得方程x2＝2(2－x).
整理，得x2＋2x－4＝0.
B
新课导入
思考
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专题：增长率问题：1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。
设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________；
2、宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下：
月份一二三四五六
产量(台) 50 51 48 50 52 49
(1)求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数；
(2)由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？
专题：行程问题：1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。
已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？
2、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。
返回时比去时每小题少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。
求学生返回时步行的速度。
3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.
专题：经济问题：1、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
2、黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？
3、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元现售，并快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出四分之五时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？
专题：工程问题：1、为加强防汛工作,市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固,由于采用新的加固模式,现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米,因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天.为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加固224米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加多少米?
2、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合
做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；
C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？
3、一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若
两队合作6天可完成，共需工程费10200元；若甲单独完成，甲队比乙队少用5天，但甲队的工程费每天比乙队多300元.
(1)甲单独完成需要几天？
(2)工程指挥部决定从两个队中?一个队单独完成此工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？。