小学数学 比例应用题(一).教师版

比例应用题（一）
教学目标
1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题
知识点拨
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小 升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：
完 成 了 各 自 任 务 的 40% 和 60% ， 所 以 两 个 工 程 队 承 包 的 修 建 公 路 长 度 之 比 为
3 40% : 1 60% 9 : 2 ．
【答案】 9 : 2
【例 10】 A 、 B 、C 三项工程的工作量之比为1: 2 : 3 ，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开
【例 4】 甲、乙两个工人上班，甲比乙多走 1 的路程，而乙比甲的时间少 1 ，甲、乙的速度比是
5
11
【考点】比例应用题
【难度】2 星
【题型】解答
【关键词】2008 年，清华附中
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
．
2
【解析】甲走的路程是乙走的路程的 6 ，甲用的时间是乙用的时间的 11 ，所以甲的速度是乙的速度的
设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为 x 、 y 、 z .经过 k 天，则：
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
4
2kx 2 ky 1 3ky 3 kz 2 kz 1 kx 3
将⑶代入⑵，得 ky 2 kx 4 ，将⑷代入⑴，得 2kx 2 2 kx ， x 4 ，
成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更 好、更巧的解法。 4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题
例题精讲
模块一、比例转化
【例 1】 甲、乙、丙三个数，已知甲:（乙+丙） 4 : 3，乙:丙 2 : 7 ，求甲:乙:丙。
积的 1 ，圆 B 的阴影部分面积占圆 B 面积的 1 ，圆 C 的阴影部分面积占圆 C 面积的 1 ．求圆 A 、
6
5
3
圆 B 、圆 C 的面积之比．
【考点】比例应用题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】设 A 与 B 的 共 同 部 分 的 面 积 为 x ， A 与 C 的 共 同 部 分 的 面 积 为 y ， 则 根 据 题 意 有
一、比和比例的性质
性质 1：若 a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质 2：若 a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质 3：若 a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x 为常数) 性质 4：若 a: b=c：d，则 a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果 a÷b=k(k 为常数)，则称 a、b 成正比； 反比例：如果 a×b=k(k 为常数)，则称 a、b 成反比．
9 50
；所以，丙组中男、女会员人数之比为
1 10
:
9 50
5:9
．
【答案】 5:9
【巩固】 某团体有100 名会员，男女会员人数之比是14 :11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数
之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12 :13 、 5 : 3、 2 :1，那么丙组有多少名男会员？
【考点】比例应用题
工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成
的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的
比是多少？
【考点】比例应用题
【难度】4 星
【题型】解答
【关键词】2007 年，华杯赛，总决赛
【解析】根据题意，如果把 A 工程的工作量看作1，则 B 工程的工作量就是 2 ， C 工程的工作量就是 3 ．
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】由甲等于乙、丙两数和的 1 ，得到甲等于三个数和的 1 1 ，同样的乙等于甲、丙两数和的
3
3+1 4
1 1 ，同样的丙等于甲、乙两个数和的 5 5
2+1 3
7 5 12
，所以甲:乙:丙 1 : 1 : 5 3 : 4 : 5 ． 4 3 12
【答案】 3 : 4 : 5
ab
ab
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
例如：两个类别 A 、B ，元素的数量比为 a : b (这里 a b )，数量差为 x ，那么 A 的元素数量为 ax ， ab
B 的元素数量为 bx ，所以解题的关键是求出 a b 与 a 或 b 的比值．
ab
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
A
5 4
B
Leabharlann Baidu
C
6
x
y
，
x
B 5
，
y
C 3
，于是得到
5 4
B
C
6
B 5
C 3
，这条式子可
化简为 B 15C ，所以 A 5 B C 20C .最后得到 A : B : C 20 :15 :1.
4 【答案】 A : B : C 20 :15 :1
【例 7】 地球表面的陆地面积和海洋面积之比是 29∶71，其中陆地的四分之三在北半球，那么南、北半 球海洋面积之比是（ ）
1
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况， 将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题 时，要注意以下几点：
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。 3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是
，那么甲的
2 3
、乙的
2
倍、丙的一半这三个
数的比为
4
2 3
:
1
2
:
3
1 2
即
8 3
:
2
:
3 2
，化简为16
:12
:
9
.
【答案】16 :12 : 9
【例 3】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的 1 ，乙等于甲、丙两数和的 1 ，丙等于甲、乙
3
2
两数和的 5 ，求甲:乙:丙. 7
【考点】比例应用题
3
3
7k
将 x 4 代入⑴，得 y 6 ．代入⑶，得 z 3 ．
7k
7k
7k
甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是 4 : 6 : 3 4 : 6 : 3 ． 7k 7k 7k
【答案】 4 : 6 : 3
【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖
A. 284∶29 B. 284∶87 C. 87∶29
【考点】比例应用题
【难度】2 星
【关键词】华杯赛，六年级
D. 171∶113 【题型】选择
【解析】解：设地球表面积为 1，
则北半球海洋面积为：0.5－0.29× 3 ＝ 1.13 44
南半球海洋面积为：0.71－ 1.13 ＝ 1.71
4
4
南北半球海洋面积之比为： 1.71 ∶ 1.13 ＝171∶113
【考点】比例应用题
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】由乙 :丙 2 : 7 可得到乙: 乙 丙 2 : 9 ，丙: 乙 丙 7 : 9 ，而甲: 乙丙 4 : 3 ，
所以：甲:乙 :丙 4 : 2 : 7 12 : 2 : 7 ． 399
【答案】12 : 2 : 7
【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2 倍也等于丙的 2 ，那么甲的 2 、乙的 2 倍、丙的
所以甲工程队承包任务的 40% 等于乙工程队承包任务的 60%3 180% ，所以甲工程队的承包
的任务是乙工程队承包任务的180% 40% 450% ，所以两个工程队承包的修建公路长度之比
为 450% :1 9 : 2 ．
(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于 3 :1 ，而他们分别
4
7
林的面积是 6 份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3 份。3 份的面积是 450 平方米，可见 1
份面积是 450÷3=150（平方米），即水池面积是 150 平方米。
【答案】150
【例 6】 如下图所示，圆 B 与圆 C 的面积之和等于圆 A 面积的 4 ，且圆 A 中的阴影部分面积占圆 A 面 5
【考点】比例应用题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】以总人数为
1，则甲组男会员人数为
10
10 8
7
3
3
1
3 10
，女会员为
3 10
1 3
1 10
，乙组男会员
为
10
8 8
7
5 5
3
1 5
，女会员为
1 5
3 5
3 25
；丙组男会员为
3 3+2
3 10
1 5
1 10
，女会员为
2 3+2
1 10
3 25
5
10
6 11 12 ，即甲、乙的速度比是12 :11 ． 5 10 11
【答案】12 :11
【例 5】 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的 3 是草地；圆的 6 是竹林；竹林比草地多占地 450
4
7
平方米． 问：水池占多少平方米?
【考点】比例应用题
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】正方形的 3 是草地，那如果水池占 1 份，草地的面积便是 3 份；圆的 6 是竹林，水池占 1 份，竹
3
3
一半这三个数的比为多少？
【考点】比例应用题
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】甲 的 一 半 、 乙 的 2 倍 、 丙 的 2 这 三 个 数 的 比 为 1:1:1 ， 所 以 甲 、 乙 、 丙 这 三 个 数 的 比 为 3
1
1 2
:
1
2
:
1
2 3
即
2
:
1 2
:
3 2
，化简为
4
:1:
3
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】会员总人数100 人，男女比例为14 :11，则可知男、女会员人数分别为 56 人、 44 人；又已知甲
组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为 50 人，乙、丙人数之和为 50 人，可设
丙组人数为 x 人，则乙组人数为 50 x 人，又已知甲组男、女会员比为12 :13 ，则甲组男、女
【例 9】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的
一段时间后，分别剩下 60% 、 40% 的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)
之比 3 :1 ，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.
【考点】比例应用题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】 (法一)甲工程队以 3 倍乙工程队建设速度，仅完成了 40% 的承包任务，而乙工程队完成了 60% ，
会 员 人 数 分 别 为 24 人 、 26 人 ， 又 已 知 乙 、 丙 两 组 男 、 女 会 员 比 例 ， 则 可 得 ：
24 5 (50 x) 2 x 56 ，解得 x 18 ．即丙组会员人数为18 人，又已知男、女比例，可得丙
8
3
组男会员人数为18 2 12 人． 3
【答案】12
二、主要比例转化实例
① xa yb； x y； ab；
yb
xa ab xy
② x a mx a ； x ma (其中 m 0 )；
yb
my b y mb
③ x a x a ； x y a b ； x y a b ；
yb
x y ab
x
a
x y ab
④ x a ， y c x ac ； x : y : z ac : bc : bd ；
yb zd
z bd
⑤ x 的 c 等于 y 的 d ，则 x 是 y 的 ad ， y 是 x 的 bc ．
a
b
bc
ad
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例如：将 x 个物体按照 a : b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体
数量与 x 的比分别为 a : a b 和 b : a b ，所以甲分配到 ax 个，乙分配到 bx 个.
的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5 : 6 ；③甲、乙两校获二等奖的人
数总和占两校获奖人数总和的 20% ；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50% ；⑤甲校获
二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百
分数等于多少？
4
4
答案：D
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
3
【答案】D
【例 8】 某俱乐部男、女会员的人数之比是 3: 2 ，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比 是10 : 8 : 7 ，甲组中男、女会员的人数之比是 3 :1 ，乙组中男、女会员的人数之比是 5 : 3 ．求
丙组中男、女会员人数之比．