《第一讲 优选法· 三、黄金分割法——0.618法》
高中数学 第1讲 优选法 三 黄金分割法——0.618法(一)练习 新人教A版选修4-7-新人教A版
三 黄金分割法——0.618法（一）一、基础达标1.有一优选问题，存优X 围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( )A.12B.13C.14D.15解析 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以第二个试点最好为14.答案 C2.在存优X 围[10，100]安排两个实验点x 1，x 2，则x 1，x 2关于( )对称.解析 x ＝x 1＋x 22＝10＋1002＝55. 答案 C3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优X 围缩小为原来的( )2345解析 由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验后，存优X 围缩小为原来的0.6183.答案 B4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优X 围缩小到区间________上.解析 如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，1]，两次试验后存优X 围缩小到区间[0，0.2]上.答案 [0，0.2]5.人体的正常体温为36～37 ℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1 ℃)解析 36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.答案 22.2～22.86.一个身高为170 cm 的人，肚脐离地面的最佳高度为__________ cm(精确到 1 cm).解析 由170×0.618＝105.06≈105.答案 105二、能力提升7.已知一种材料的最佳加入量在110 g 到210 g 之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析 根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g)答案 171.8或148.28.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1 000 g 到2 000 g 之间，假设最佳点在1 400 g ，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解 由0.618法知x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618(g)，x 2＝1 000＋2 000－x 1＝1 382(g).由于1 382 g 接近1 400 g ，所以此时的存优X 围为(1 000，1 618)，∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236(g).9.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 为长轴的右端点，B 当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆为“黄金椭圆”. (1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB 为黄金双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的弦，M 为AB 的中点，若AB ，OM 的斜率存在，求k OM ·k AB .解 (1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF ⊥AB .则BO ＝b ，FO ＝c ，OA ＝a ，在Rt△ABF 中，b 2＝ac .又∵b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a－1＝0.∴e ＝c a ＝1±52.又e ＞1， ∴e ＝1＋52. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ②由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2. ∵M 是AB 的中点，且x 1≠x 2，∴x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 0y 0. 故k OM ·k AB ＝y 0x 0·y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2＝1＋52. 三、探究与创新10.已知线段AB ，怎样作出它的黄金分割点？解 法一 在AB 的端点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB ，连接AD ，在AD 上截取DE ＝DB ，再在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图1. 事实上，由作法可知AD ＝52AB ，则AC ＝AE ＝AD －DB ＝AD －12AB ＝5－12AB ， 即证.图1法二 在AB 上作正方形ABMN ，在AN 上取中点E ，在NA 的延长线上取EF ＝EB .以AF 为一边作正方形ACDF ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图2.事实上，由AC ＝AF ＝EF －AE ＝EB －AE ＝AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2－12AB ＝5－12AB ，即证.图2。
华罗庚的0.618优选法
华罗庚的0.618优选法是一种用于寻找最优解的方法，其中0.618是黄金分割比。
在华罗庚优选法中，通常使用黄金分割比来调整搜索范围，以加速搜索过程。
假设我们有一个目标函数f(x)，我们希望找到使f(x)最小的x值。
初始搜索范围是[a, b]，其中a < b。
每次迭代，我们将搜索范围调整为[a, b]和[b, a + b]的0.618和0.382倍，即[a, b × 0.618]和[b × 0.382, a + b]。
在每次迭代中，我们计算两个新搜索范围的函数值，并选择其中函数值较小的一个进行下一次迭代。
通过这种方式，我们可以更快地找到使f(x)最小的x值。
经过多次迭代，搜索范围逐渐缩小，函数值也逐渐减小。
最终的搜索范围是：（4.999997320276196，5.000002679723804），在这个搜索范围内，函数的最小值是：9.00001607835。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议查阅华罗庚相关的书籍或论文。
高中数学 第1讲 优选法 三 黄金分割法——0.618法(二)练习 新人教A版选修4-7-新人教A版
三黄金分割法——0.618法（二）一、基础达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A.1.618B.1.5C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最佳点时，达到精度0.001所做试验的次数至少为( )(已知lg0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382.则b＝( )A.3B.2.618C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL 到110 mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量为________mL.解析 由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL. 答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，若在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，则存优范围是________________________________________.解析 最佳点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618]. 答案 [1.382，1.618] 二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最佳值.a n 表示第n 次试验加入量(结果取整数)，则a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.若a 2为好点，则a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236； 若a 1为好点，则a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764. 答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最佳点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最佳温度为1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度. 解 因最佳温度为1001 ℃.试验范围为 2 000－1 000＝1 000(℃)可知，达到精度为0.001，则用0.618法寻找最佳点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.若已知目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最佳点探求时，设第n 次试验加入量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就说试验点a n－1的结果比试验点a n要好，即a n－1与a n中a n－1为好点.(1)如果b2＝b1时，则说明了什么？此时存优范围可怎样取？(2)若在已试验的过程中，都有b2n－1＝b2n时，则这个试验的存优范围是如何变化的？精度可怎样计算？解(1)由b2＝b1，说明a2与a1的试验效果一样好.又因为目标函数f(x)是[m，n]上是一个单峰函数，x＝c是最佳点，且f(a2)＝f(a1)，则根据f(x)在[m，c]和[c，n]上单调，可知a2，a1不会同在[m，c]或[c，n]上，因此a2，a1分别在c的两侧，即c在保留的中间范围[a2，a1]上，故存优范围是[a2，a1].(2)当b2n－1＝b2n时，由(1)可知，最佳点c保留在中间范围[a2n，a2n－1]上.由a2，a1是区间[m，n]两个黄金分割点知，若n－m＝1，则有a1－a2＝0.618－0.382＝0.236，即经过2次试验后，存优范围缩小为原来的0.236.每经过2次试验，可得出存优范围是前面的0.236倍.即经过2n次试验后的精度δ2n＝0.236n.三、探究与创新10.膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料.由于产品产量低、成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用.为了解决这一问题，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验.在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度1 300 ℃～1 400 ℃范围内进行优选.(精确到10 ℃)请完成以下填空：(1)首先找出第一试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50 kg/m3(每立方米50公斤).(2)又找出第二试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65 kg/m3.两试点比较，1 360℃时质量较好，故将______________________________________.(3)再找出第三试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55 kg/m3，并有少量粘炉.两试点比较，1 360 ℃时质量较好.根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度.用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定.解析(1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340，1 400]之间，故把1 340以下部分舍去.(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340，1 380]之间，故把1 380以上部分舍去.从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360知，可把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度. 答案(1)1 360 (2)1 340 1 340 ℃以下部分舍去(3)1 380 1 360。
高中数学 1.3 黄金分割法 0.618法课件 新人教A版选修4
【自主解答】 在因素范围[1 000,2 000]内，用 0.618 法
课 前
安排试验，第一个试点 x1，
当 堂
自 主
满足 x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618.
双 基
导
达
学
第二个试点 x2 满足，
标
x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.
试验结果，如果 x1 的效果比 x2 好，消去 x2＝1 382 以下
新课标 ·数学 选修4-7
三 黄金分割法——0.618 法
课 前
1．黄金分割常数
当 堂
自
双
主
基
导 学
2．黄金分割法——0.618 法
达 标
课 堂
1.了解 0.618 法进行试验设计的原理．
课
互 动
课标解读 2.掌握用 0.618 法解决不限定次数的优选问题，从
时 作
探
业
究
而找到试验区间中的最佳点.
菜单
菜单
新课标 ·数学 选修4-7
课
前
自
主
导 学
2．黄金分割法——0.618 法
(1)定义：利用 黄金分割常数ω
叫做黄金分割法，又叫做 0.618法
当 堂 双 基 达 标
确定试点的方法
；它是最常用
课 堂
的
单因素单峰目标函数
的优选法之一．
课
互
时
动
作
探
业
究
菜单
新课标 ·数学 选修4-7
课
当
前 自
(2)确定试点的方法
达 标
素进行优选．已知此因素范围为[1 000，2 000]，用 0.618 法
高中数学 1.3 黄金分割法 0.618法教案 新人教A版选修4
三黄金分割法——0.618法1．黄金分割常数2．黄金分割法——0.618法课标解读1.了解0.618法进行试验设计的原理．2.掌握用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.1．黄金分割常数(1)在试验中为最快地达到或接近最佳点，在安排试点时，最好把握两个原则： ①使两个试点关于[a ，b ]的中心a ＋b2对称；②保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同． (2)黄金分割常数常用ω表示，且ω＝5－12≈0.618. 2．黄金分割法——0.618法(1)定义：利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法，又叫做0.618法；它是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一． (2)确定试点的方法类别 第一试点第二试点… 第n 试点计算 方式 x 1＝小＋0.618×(大－小) x 2＝小＋大－x 1 …x n ＝小＋大－x m 原理用黄金分割 法确定x 1 加两头减中间…加两头减中间①定义：用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为δn ＝n 次试验后的存优范围原始的因素范围. ②0.618法中，n 次试验后的精度δn ＝0.618n －1_.1．如何通过缩小存优范围来寻找最佳点？【提示】 先在因素范围[a ，b ]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把区间[a ，b ]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a 1，b 1]，再在[a 1，b 1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的．2．在黄金分割法——0.618法中，如果两个试点的结果一样，应如何舍去区间？ 【提示】 当两个试点的结果一样时，可同时舍去两个试点外侧的区间． 3．在存优范围[a ，x 1]内取第三个试点x 3，则x 3与x 2的相对位置如何？ 【提示】 如图所示：结合黄金分割常数原理可知x 2，x 3关于区间[a ，x 1]的中心a ＋x 12对称且x 3在x 2的左侧.用0.618法确定试点为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选．已知此因素范围为[1 000，2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？【思路探究】 第一个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”来确定．【自主解答】 在因素范围[1 000,2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x 1， 满足x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618.第二个试点x2满足，x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.试验结果，如果x1的效果比x2好，消去x2＝1 382以下部分，则第三个试点x3满足，x3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764.示意图如下：0．618法满足的原则是：(1)每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称；(2)每次舍去的区间长占舍去前的区间长的比例数应相同．例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？【解】由于x2的效果比x1的效果好，消去x1＝1 618以上部分，此时的存优范围为[1 000,1 618]，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236.∴第三个试点应选在1 236处.0.618法的应用调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100 kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1 000 g到2 000 g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量．(1)写出这个试验的操作流程．(2)达到精度0.001需要多少次试验？【思路探究】(1)利用0.618法确定第一个试点x1―→利用对称性确定第二个试点x2―→利用x n＝小＋大－x m来确定第n个试点(2)确定精度―→求试验次数【自主解答】用一张纸条表示1 000～2 000 g，以1 000为起点标出刻度．(1)试验可按以下步骤进行：①做第一次试验：第一次试验的加入量为：(2 000－1 000)×0.618＋1 000＝1 618(g)，即取1 618 g柠檬汁进行第一次试验．②做第二次试验：取第一点的对称点做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：加两头，减中间．即第二点的加入量为：1 000＋2 000－1 618＝1 382(g)．③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1 618 g以上的部分：如果第一点较好，则去掉1 382 g以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1 382 g以下的部分，即存优范围为[1 382,2 000]，在此范围找出第一点(即1 618)的对称点做第三次试验．即第三次试验的加入量为：2 000－1 618＋1 382＝1 764(g)．④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1 764 g以上部分，如果第三点好些，则去掉1 618 g以下部分．假设第三点好些，则在留下部分(即[1 618,2 000])找出第三点(即1 764)的对称点做第四次试验．第四点加入量为：2 000－1 764＋1 618＝1 854(g)．⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍．在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止．(2)精度σ≤0.001.所以0.618n－1≤0.001，得n≥lg 0.001/lg 0.618＋1，即n≥16.故需要16次试验．黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头、减中间”的方法来确定．(2012·浏阳模拟)用0.618法寻找试验的最优加入量时，若当前存优范围是[2,3]，好点是2.382，则此时要做试验的加入量值是________．【解析】由题意可知，此时要做试验的加入量值为2＋3－2.382＝2.618.【答案】 2.618(教材第10页习题1.3第3题)举出现实生活或学习过程中可应用0.618法寻找最佳点的例子．已知一种材料的最佳加入量在100 g到200 g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.【命题意图】本题主要考查了优选法中的黄金分割法(0.618法)及第一试点的取法，属基础题．【解析】用0.618法确定第一次试点的加入量由下面公式算出：第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(200－100)×0.618＋100＝161.8.第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝200－(200－100)×0.618＝138.2.【答案】161.8或138.21．假设因素区间为[1,2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A．1.618 B．1.5C．1.382 D．1.618或1.382 【解析】用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382.【答案】 D2．假设因素区间为[0,1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0,0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上．( )A．[0,0.1] B．[0.1,1]C．[0,0.2] D．[0.2,1]【解析】如图所示：∵峰值在(0,0.1)内，故应舍去区间[0.2,1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0,0.2]上．【答案】 C3．对于上题中，舍去区间占舍去前的区间的比例数是________．【解析】上题中舍去区间为[0.2,1]其区间长度为0.8，占舍去前的区间的比例数为0.8.【答案】0.84．用0.618法确定试点时，经过4次试验后，存优范围缩小为原来的________．【解析】由n次试验后的精度δn＝0.618n－1可知，4次后的精度为0.6183，即存优范围缩小为原来的0.6183.【答案】0.6183(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每题5分，共20分)1．有一优选问题，存优范围为[10,20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( )A．12 B．13C．14 D．15【解析】在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10,20]的中点15对称．所以第二个试点为14.故选C.【答案】 C2．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 mL 或小于3 000 mL时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为( )A．4 500,3 500 B．4 382,3 618C．4 236,3 764 D．4 618,3 618【解析】x1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.【答案】 C3．(2012·湖南师大附中模拟)配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 ml 到110 ml之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是( )A．35 ml B．40.9 mlC．33.6 ml D．86.4 ml【解析】由黄金分割法可知，第一个试点为x1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为：x2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为：10＋71.8－48.2＝33.6 ml.【答案】 C4．用0.618法寻找最佳点时，要达到精度0.01的要求需要做的试验次数是(lg 0.618＝－0.21)( )A．8 B．9 C．10 D．11【解析】由题意得0.618n－1≤0.01，∴n－1≥lg 0.01lg 0.618≈9.52，∴n≥10.52.∴n＝11时就可以达到精度0.01的要求．【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．(2012·长沙模拟)用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，则第二试点x2应选在________处．【解析】第一试点x1＝2＋(4－2)×0.618＝3.236，由对称性可知x2＝(2＋4)－3.236＝2.764.【答案】 2.7646．已知一种材料的最佳加入量在110到210之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.【解析】第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(210－110)×0.618＋110＝171.8(g)．第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝210－(210－110)×0.618＝148.2(g)．【答案】171.8或148.2三、解答题(每题10分，共30分)7．在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料．若每吨需要加入某元素的量在1 000 g到2 000 g之间，假设最佳点在1 400 g，如果用0.618法试验，求第三个试验点．【解】由0.618法知x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618 g，x2＝1 000＋2 000－x1＝1 382 g.由于1 382 g接近1 400 g，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236 g.8．农场主有2 400 m长的篱笆，想把一块沿着河的矩形土地围起来，沿河的一面不用围，已知矩形宽的边长为x m，其范围为500 m≤x≤700 m，要求所得值与最好值相差不超过10 m．怎样才能使所围的面积最大？【解】由题意设面积为S，则S＝x(2 400－2x)＝2x(1 200－x)．当x＝500时，S＝700 000，x＝700时，S＝700 000.x1＝623.6，x2＝576.4，∴Sx1＝Sx2＝718 886.08.∴x3在存优范围(576.4,623.6)中，∴x3＝605.569 6，x4＝594.430 4，∴Sx3＝Sx4＝719 937.959 1.∴x5在存优范围(594.430 4,605.569 6)中，∴x5＝601.314 425 6，x6＝598.685 574 4，∴Sx5＝Sx6＝719 996.544 6.此时601.314 425 6－598.685 574 4＝2.628 851 2＜10.∴矩形的宽为(598.685 574 4,601.314 425 6)之间任一值时都符合题意，精确值为x ＝600 m.创新应用9．膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料．由于产品质量低，成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用．为了解决这一薄弱环节，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验．在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度 1 300℃～1 400℃范围内进行优选．(精确到10℃)请完成以下填空：(1)首先找出第一点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50公斤/m3(每立方米50公斤)．(2)又找出第二点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65公斤/m3.两点比较，1 360℃时质量较好，故将________．(3)再找出第三点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55公斤/m3，并有少量粘炉．两点比较，1 360℃时质量较好．根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定．【解析】(1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340,1 400]之间，故把1 340以下部分丢掉．(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340,1 380]之间，故把1 380以上部分丢掉．从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360可知，把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．【答案】(1)1 360 (2)1 340 1 340以下部分丢掉(3)1 380 1 360教师备选10．若某实验的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量，分别以a n表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．(1)a1＝________；(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，则a5＝________.【解析】(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为a1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.(2)易知a2＝100＋1 100－718＝482.因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此可知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优区间为[482,1 100]，所以a3＝482＋1 100－718＝864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优区间为[482,864]，所以a4＝482＋864－718＝628.同理可求得a5＝628＋864－718＝774.【答案】(1)718 (2)774。
华罗庚的0.618优选法
华罗庚的0.618优选法华罗庚是中国著名的数学家，也是国内外公认的“数学奇才”。
他在数学研究领域做出了许多重要的贡献，其中包括0.618优选法。
本文将介绍华罗庚的0.618优选法的原理和应用。
一、0.618优选法的原理华罗庚的0.618优选法是基于黄金分割的原理。
黄金分割是指将一段线段分割为两个部分，使整段线段与较长的部分之比等于较长的部分与较短的部分之比。
该比例约等于1：0.618（或约等于0.618：1），即0.618是黄金分割的比例之一。
在数学中，黄金分割比例0.618被广泛应用于各个领域。
华罗庚将这一比例引入数学模型，并运用到实际问题的研究中，提出了0.618优选法。
二、0.618优选法的应用1. 金融领域0.618优选法在金融领域的应用尤为广泛。
金融市场中存在着许多波动，而这种波动具有一定的规律性。
利用0.618优选法可以帮助投资者预测金融市场价格的涨跌趋势，并进行精确的买卖决策。
根据0.618优选法，投资者可以通过计算最高价与最低价之间的0.618和1.618的比例来确定买入和卖出的时机。
当价格接近0.618比例时，投资者可以考虑买入；当价格接近1.618比例时，考虑卖出。
2. 工程设计0.618优选法在工程设计中的应用也非常广泛。
在建筑设计中，黄金分割比例被广泛运用于各个部分的尺寸设定，使建筑物更加美观、谐调。
根据0.618优选法，设计师可以将建筑物的比例按照0.618的比例进行分割，使整体造型更加均衡和谐。
同时，比例的运用还可以在细节处展现金融市场中0.618优选法的精髓，进一步提升设计的美感。
3. 股票市场0.618优选法对股票市场也有一定的应用。
在股票的买卖决策中，投资者可以利用0.618黄金分割比例来判断股价的涨跌趋势。
以股票价格为基准，投资者可以观察价格的波动，并利用0.618黄金分割比例来确定进退。
当股价上涨到接近0.618比例时，即达到了一个低风险买入点；当股价上涨到接近1.618比例时，即达到了一个高风险卖出点。
三、黄金分割法——0.618法
我们希望能“最快” 我们希望能“最快”找到或接近最佳 点的方法不只针对某个具体的单峰函数， 点的方法不只针对某个具体的单峰函数， 而是对这类函数有普遍意义.由于在试验 而是对这类函数有普遍意义 由于在试验 之前无法预先知道哪一次试验效果好， 之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪 一次差，即这两个试点有同样的可能性作 一次差， 为因素范围[a, 的分界点 的分界点， 为因素范围 b]的分界点，所以为了克 服盲目性和侥幸心理， 服盲目性和侥幸心理，在安排
2 假设因素区间为[0, 1]，取两个试点 假设因素区间为 ， 、 10 1 1 中的单峰函数， ，那么对峰值在 (0, ) 中的单峰函数， 10 10 4 的区间(图 ； 两次试验便去掉了长度为 的区间 图 1)； 5 2 的函数， 但对于峰值在 ( ,1) 的函数，只能去掉长度 10 1 的区间(图 ，试验效率就不理想了. 为 的区间 图 2)，试验效率就不理想了 10
课后作业 1.阅读教材 阅读教材P.5-10 阅读教材
怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？ 怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？ ？ ？
2 假设因素区间为[0, 1]，取两个试点 假设因素区间为 ， 、 10 1 1 中的单峰函数， ，那么对峰值在 (0, ) 中的单峰函数， 10 10 4 的区间(图 ； 两次试验便去掉了长度为 的区间 图 1)； 5 2 的函数， 但对于峰值在 ( ,1) 的函数，只能去掉长度 10 1 的区间(图 ，试验效率就不理想了. 为 的区间 图 2)，试验效率就不理想了 10
往往取其近似值0.618.相应地，也把黄 相应地， 往往取其近似值 相应地 金分割法叫做0.618法. 金分割法叫做 法
二、黄金分割法——0.618法 黄金分割法 法 例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的 炼钢时通过加入含有特定化学元素的 材料，使炼出的钢满足一定的指标要求. 材料，使炼出的钢满足一定的指标要求 假设为了炼出某种特定用途的钢， 假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨 需要加入某元素的量在1000g到2000g之 需要加入某元素的量在 到 之 间，问如何通过试验的方法找到它的最 优加入量？ 优加入量？
人教版高中选修4-7三黄金分割法——0.618法课程设计
人教版高中选修4-7三黄金分割法——0.618法课程设计一、引言三黄金分割法，简称“0.618法”，又称“黄金分割法”，是一种非常重要的数学工具。
它的重要性在于它可以应用到多个领域，比如美学、设计、金融和科学等等。
在本次课程设计中，我们将主要聚焦于三黄金分割法在美学和设计领域的应用。
二、教学目标1.理解三黄金分割法原理和基本公式2.掌握如何使用三黄金分割法进行美学和设计上的创作3.掌握如何使用计算机软件进行美学和设计上的创作三、教学内容1. 基本概念•什么是三黄金分割法？•三黄金分割法的历史和起源•三黄金分割法的定义和构成2. 美学和设计上的应用•三黄金分割法在绘画和艺术设计中的应用•三黄金分割法在摄影和电影制作中的应用•三黄金分割法在建筑和室内设计中的应用3. 计算机软件的运用•如何使用Photoshop进行三黄金分割法的应用•如何使用Illustrator进行三黄金分割法的应用•如何使用AutoCAD进行三黄金分割法的应用四、教学过程1. 基本概念三黄金分割法的定义和构成是首要的，要让学生知道什么是三黄金分割法，以及它的历史和起源。
2. 美学和设计上的应用为了更好地理解三黄金分割法在美学和设计上的应用，我们将会为学生展示一些经典或者创新的案例，并带领学生进行实践操作。
这样既能让学生更深刻地理解三黄金分割法的应用，也能够让他们摆脱单一的理论学习。
3. 计算机软件的运用由于如今的美学和设计工作都需要和计算机软件结合，因此在本课程中我们也将介绍如何使用Photoshop、Illustrator、AutoCAD等计算机软件来应用三黄金分割法。
我们将按照学生的水平以及前面所反馈的练习情况来进行操作。
五、参考资料在本课程设计中，我们将会提供丰富的参考资料，包括但不限于以下几个方面：1.三黄金分割法相关的经典著作和文献2.三黄金分割法在美学和设计领域的经典案例分享3.计算机软件操作案例和教学视频六、总结在本次课程设计中，我们将通过理论与实践相结合的方式，让学生更好地理解三黄金分割法在美学和设计上的应用。
优选法-0.618法
２００７．１２在我们的日常生活和生产中，许多方面都涉及优选．比如做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，那么碱究竟放多少才合适呢？这就是一个优选问题．再比如，为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多或太少都会出现不理想的结果，那究竟应该加入多少碳，钢才能达到最高强度呢？这也是一个优选问题．要解决这样的优选问题并非轻而易举，所以通常解决的方案是：进行试验，从中进行筛选，直至得到理想结果．就以上面提到的馒头里放碱的情况为例，通常的试验过程是：这次碱放多了，下次就放少一点，下次碱放少了，再下次再放多一点，以此类推．可以肯定的是，试验效果一次比一次好，最终获得碱的合适加入量，做出口味颜色皆佳的馒头．因此，解决一个优选问题，往往需做若干次试验．而安排这些试验的方法又必须讲究科学，进行合理选择．例如，对钢中加入多少碳的优选问题，假设已估出每吨加入量在１０００克到２０００克之间．若用均分法来安排试验，则应选取１００１克、１００２克……为试验点，共需做１０００次试验，若按一天做一次试验计算，则需花将近三年的时间才能完成，这种费时费力又不讨好的安排方法显然不可取．这就需要我们大幅减少试验次数，迅速找到最佳点．为此，数学家们设计了运用数学原理科学地安排试验的方法，这就是人们所说的“优选法”．我国著名数学大师华罗庚从１９６４年起，走遍大江南北的二十几个省（市），推广优选法．他在单因素优选问题中，用得最多的是“０．６１８法”，“０．６１８法”是根据黄金分割原理设计的，所以又称之为黄金分割法．生活中的数学□江苏林革４１中学生数理化·配合华师大教材图１下面，我们就用黄金分割法来安排上面提到的钢中加碳量的试验．根据“０．６１８法”确定的第一个试验点是在试验范围的０．６１８处，这点的加入量可由下面公式算出：（大－小）×０．６１８＋小．即第一点加入量为：（２０００－１０００）×０．６１８＋１０００＝１６１８（克）．如图１．如图１，再在第一点的对称点处做第二次试验，这一点的加入量可用下面公式计算（此后各次试验点的加入量也按下面公式计算）：大－中＋小．即第二点的加入量为：２０００－１６１８＋１０００＝１３８２（克）．比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉１６１８克以上的部分；如果第一点较好，则去掉１３８２克以下部分．现在假定试验结果第二点较好，那么去掉１６１８克以上的部分，在留下的部分找出第二点的对称点做第三次试验（如图２）．第三点的加入量为：１６１８－１３８２＋１０００＝１２３６（克）．再将第三次试验结果与第二点比较，现在仍假定试验结果第二点好些，则去掉１２３６克以下部分，在留下的部分找出第三点的对称点做第四次试验（如图３）．第四点加入量为：１６１８－１３８２＋１２３６＝１４７２（克）．再把第四次试验结果与第二点比较，并取舍，在留下的部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止．经过一次又一次试验，一次又一次比较取舍，可以看出，优选法的特点是使试验范围逐步缩小，逐步接近结果的最佳点．简单地说，用“０．６１８法”能以较少的试验次数，迅速找到最佳点．这种黄金分割法在很多厂矿企业选择配比方法、操作工艺等方面都起到了重要作用，不仅减少了试验成本，降低了消耗，而且提高了质量，增加了产量．例如，粮食加工通过优选加工工艺，一般可提高出粮率一个百分点到三个百分点，如果按全国全年的口粮加工总数计算，一年就等于增产几亿千克粮食．“０．６１８法”是华罗庚大师在推广优选法时发扬光大的，他以在数学的实际应用领域中巨大的贡献为广大数学工作者作出了表率，对数学的应用价值进行了极具说服力的诠释．生活中的数学探索创新苑图２图３４２。
(教师用书)高中数学 1.3 黄金分割法 0.618法课件 新人教A版选修4-7
【自主解答】 用一张纸条表示 1 000～2 000 g， 以 1 000 为起点标出刻度．
(1)试验可按以下步骤进行： ①做第一次试验：第一次试验的加入量为： (2 000－1 000)×0.618＋1 000＝1 618(g)， 即取 1 618 g 柠 檬汁进行第一次试验． ②做第二次试验： 取第一点的对称点做为第二次试验点， 这一点的加入量可用下面公式计算 ( 此后各次试验点的加入 量也按下面公式计算)：加两头，减中间．即第二点的加入量 为： 1 000＋2 000－1 618＝1 382(g)．
试点外侧的区间．
3．在存优范围[a，x1]内取第三个试点 x3，则 x3 与 x2 的 相对位置如何？
【提示】 如图所示：
结合黄金分割常数原理可知 x2，x3 关于区间[a，x1]的中 a＋x1 心 2 对称且 x3 在 x2 的左侧.
用0.618法确定试点
为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因 素进行优选．已知此因素范围为[1 000，2 000]，用 0.618 法 安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效 果比第二点好，第三个试点应选在何处？
三
黄金分割法——0.618 法 1．黄金分割常数
2．黄金分割法——0.618 法
1.了解 0.618 法进行试验设计的原理． 课标解读 2.掌握用 0.618 法解决不限定次数的优选问题，从 而找到试验区间中的最佳点.
1．黄金分割常数 (1)在试验中为最快地达到或接近最佳点， 在安排试点时， 最好把握两个原则： a＋b 对称 ； ①使两个试点关于[a，b]的中心 2 ②保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同 ． 5－1 (2)黄金分割常数常用 ω 表示，且 ω＝ 2 ≈ 0.618 .
黄金分割点---0.618无处不在
黄金分割点---0.618无处不在黄金分割概述把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这个分割点就叫做黄金分割点（golden section ratio通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0.618)/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。
人与黄金分割在人体中包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”（如：脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等）几乎身体相邻的每一部分都成黄金比，随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身）的认识的日益深入，人类关于“黄金分割比”这一神奇比例的了解也越来越丰富人体最适应的温度乃是用黄金分割率切割自身的温度,因为人正常体温是37.5度，它和0.618的乘积为23.175℃，在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。
人们发现自然界中这一神奇比例几乎无所不在。
从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，几乎都暗含着这种比例结构。
养生学中的黄金率几千年前古希腊学者提出的“黄金分割率”（0．618），在保健养生方面也有许多适用价值，甚至能帮助我们破译养生学中许多难解之谜。
1、舒适温度人体在环境温度为22℃～24℃时，感觉最舒适。
因为人的正常体温37℃与0．618的乘积为22.8℃，在这一环境温度中，机体的新陈代谢和生理节奏均处于最佳状态。
2、理想睡眠近来科学家研究证实，每天7．5小时是最理想的睡眠时间，长期这样睡眠的人大多既健康又长寿。
一天中白昼和夜晚各为12小时，人最理想的睡眠刚好是夜晚12小时的0．618（7．416），即近7.5小时。
数学《优选法》教案(选修)
诚西郊市崇武区沿街学校第一讲优选法一、优选法和单峰函数教学目的：1．通过丰富的生活、消费案例，使学生感受到生活中存在着大量的优选问题；2．理解优选法和单峰函数的概念。
教学重点：单峰函数的概念教学难点：单峰函数的概念的理解教学过程一、什么叫优选法？人们经常会遇到这样的问题：选取"适宜"的配方；寻找"适宜"的操作和工艺条件；给出产品的"合理"设计参数；把仪器调节器试到"适宜"的程度；等等。
所谓"适宜"、"合理"，数学上叫最优。
例如如何使产品质量最好、产量最高，或者者在一定质量要求下如何使本钱最低、消耗原材料最少、消费周期最短等等"最优"性问题，都常常引起人们的关心。
怎样才能到达"最优"呢？举个最简单的例子，比方蒸馒头；要想蒸得好吃、不酸不黄，就要使碱适量。
假设我们如今还没有掌握使碱量的规律，而要通过直接理论的方法去探究这个规律，怎样才能用最少的实验次数就找到最理想的结果呢？换句话说，用什么方法指导我们进展实验才能最快地找到最优方案呢？这个方法就叫作优选法。
优选法的用途很广。
上面以蒸馒头问题为例，是考虑到了它通俗易懂，而且能说明选优的问题处处有、常常见。
有许多例子说明优选法有许多更重要的用途。
例如，某仪器表研究所在制造某种仪表时，为了找到一种能去除金属外表氧化皮的酸洗液，在未掌握优选法时，在两年的时间是是中做了无数次试验，勉强找到了一个配方，配洗效果仍不理想；酸洗时间是是半小时，然后还要用刷子刷。
当掌握了优选法后，抑制了盲目性，用了不到一天的时间是是，只做了十四次试验就找到了一种新的酸洗液配方。
按照新配方，只需三分钟，氧化皮就自然剥落，而且材料外表光滑，既不需用刷子刷，又没有腐蚀痕迹。
（1） 最正确点：（2） 优选问题：（3） 优选法：优选法是根据消费和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最正确点的科学试验方法。
4.7.3 黄金分割法—0.618法
不难得出:x2+x-1=0 解之:x≈0.618
尽快的找到最佳点的两个原则是什么？
（1）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中 心对称；（2）每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应 为相同。 • 根据上面的两个原则，得出应满足 (b-x1)/(b-a)=(x1-x2)/(x1-a)
课题:黄金分割法---0.618法
把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,就是 黄金分割法.
• 案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料， 使炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出 某种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的量在 1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它 的最优加入量。 最朴素的想法是:以1g为间隔,从1001开始,直到 1999,把1000g到2000g的所有情况都做一遍实验, 一定可以得到最优值.
加入量(结果都取整数).
(1) 求a1，a2.
(2) 若干次试验后的存优范同包含在
区间[700, 750]内，请写出{an}的前6项.
(3) 在条件(2)成立的情况下，写出第
6次试验后的存优范围.
解：(1) 由黄金分割法知：第一次的加入量 为：a1=100+0.618×(1100－100)=718. 所以a2=100+1100－718=482. (2) 因为[700, 750]包含存优范围．所以最优 点在区间[700, 750]上. 由此知前两次试验结果中，好点是718，所 以此时存优范围取[482, 1100]， 所以a3=482+1100－718=864， 同理可知第三次试验后，好点仍是718，此 时存优范围是[482, 864] 所以a4=482+864－718=628. 同理可求得a5=628+864－718=774； a6=628+774－718－684.
黄金分割法
黄金分割法——0.618法（1）黄金分割常数 记618.0215≈-=ω为黄金分割常数。
（2）定义试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法。
（3）试验点的选取原则：①每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；②每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应相同。
（4）试验点的选取方法设n x 表示第n 个试验点，存优范围内相应的好点是m x ，因素范围的两端分别记为小头和大头，则小）（大小-⨯+=618.01x ；12x x -+=大小； 一般：m n x x -+=大小。
可概括为“加两头，减中间”。
分数法（1）定义优选法中，用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫做分数法。
（2）斐波那契数列),,2(,1,12110N n n F F F F F n n n ∈≥+===--即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……（2）分数法的最优性①在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从)1(1-+n F 个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点；②在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从)1(1-+n F 个试点中找出最佳点。
（3）试验点的选取方法设n x 表示第n 个试验点，存优范围内相应的好点是m x ，因素范围的两端分别记为小头和大头，则小）（大小-⨯+=+11n n F F x ；12x x -+=大小； 一般：m n x x -+=大小。
可概括为“加两头，减中间”。
练习1. 在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 ml 或小于3 000 ml 时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为（ ）Ａ. 4 500，3 500 Ｂ. 4 382，3 618 Ｃ. 4 236，3 764 Ｄ. 4 618，3 6182.某主妇在学做用一定量的面粉蒸馒头时，按照邻居的建议放了１３克碱后发现馒头发黄且有碱味，决定自己用分数法找出合适的放碱量，则她第１，２次试点的放碱量分别为 克和 克.3.用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，第一试点1x 应先在 处；若1x 处结果比2x 好，那么3x 应选在 处。
2.黄金分割法——0.618法-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
2. 黄金分割法——0.618法-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、引言优化设计中的黄金分割法，也称为0.618法，是一种基于数学原理的试验设计方法，广泛应用于各行各业的优化设计和科学实验中。
本文主要介绍该方法原理、应用场景及实践操作。
二、基本原理黄金分割法基于斐波那契数列，每个数是前两个数之和。
数列中相邻两数之比逐渐接近0.6180339887，这一比例被称为黄金分割率。
黄金分割法依赖数学原理和数据来确定最优化的参数。
在试验设计中，可以将黄金分割法应用于寻找设计参数、优化配比、提高产品质量等方面。
根据黄金分割法的原理，选择合适的样本比例、数据范围和实验方案，不断调整参数，最终达到优化目的。
三、应用场景黄金分割法广泛应用于工程设计、产品研发、市场营销等多个领域。
以下是一些常见的应用场景：1.工程设计中的优化设计：根据黄金分割法的原理，在确定初始参数后，通过实验数据不断调整最优参数，以达到最佳效果。
2.产品模型设计：黄金分割法可以用于确定产品模型各部分的尺寸比例，以使整体效果更加协调。
3.金融、股市投资：通过黄金分割法的原理，可以根据数据的走势和规律预测股票、外汇等市场的走向，指导投资决策。
四、实践操作以下是黄金分割法在试验设计中的实践步骤：步骤一：制定实验计划在实验设计之前，需要制定实验计划。
需要识别实验目的、确定实验要素和范围、设置参数、确定实验方案等。
步骤二：确定样本量和数据范围在试验设计中，样本量和数据范围是重要的考虑因素。
根据黄金分割法的原理，可以根据样本量和数据范围确定最优化的参数。
步骤三：执行实验并记录数据实验执行时需要记录实验数据，包括实验样本数据和实验结果数据。
数据分析和评估是后续步骤中的重要环节。
步骤四：分析和优化数据在实验完成后，需要对数据进行分析和优化。
通过基于数学原理的黄金分割法，可以识别数据的规律和变化趋势，从而优化实验结果。
五、总结黄金分割法是一种基于数学原理的试验设计方法，广泛应用于各行各业的优化设计和科学实验中。
黄金分割法
• 1.黄金分割常数的导出 • 教材举例说明试验效率(x)
o
0.1 0.2
1
x
o
0.1 0.2
1
x
图1-5
• 为了合理选取试验点，需要注意两点： –每次要进行比较的两个试验点，应关于相应 试验区间的中心对称； –每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例 数应为相同。
（三）黄金分割法—0.618法
• 试验点的选取： x1=小+0.618× (大－小)； x2=小+大－x1。 一般：xn=小+大－xm.
小 大
小
大
xn
xm
xm
xn
概括为“加两头，减中间”，
（三）黄金分割法—0.618法
• 如果两次试验结果一样，在一般情况下，仅保 留中间范围，会不会划去最佳点呢？这个问题 可以引导学生根据单峰函数的定义找出答案。 • 精度的讨论把有关不等式、指数、对数的知识 与0.618法结合起来，教学中可以让学生对这个 问题进行自主探究。 • “阅读材料 黄金分割研究史”拓展性学习的材 料，可以供学生自学，也可以在教学中将其中 一些内容穿插与讲授之中，以丰富教学内容， 传播数学文化。
（三）黄金分割法—0.618法
a x2 x1 b
a x3 x2 x1
bx x x 根据上面的两个原则，得出应满足： ba x a
1 1 1
图1-6
图1-7
2
0
1-x
x
1
0 2x-1x-1
x
教科书是对一般的情况进行推导，为了简单起见， 可以假设试验区间为0， 1， 1 x 2x 1 1 5 ,即x x 1 0得x 0.618 1 x 2
0.618法 黄金分割法
三、0.618法(黄金分割法)
1. 0.618法的基本原理:
如下图所示，设[a,b]是单谷函数 (t )初始搜索区 间，λ，μ是对称插入的两个点(λ<μ).设搜索区间 长度的缩短比值恒为α，则有:
(1)＝a+(1- )(b-a),1 ( ) (2) a (b a ), 2 ( ) (3)若1 2，令b , , 2 1
绝对误差 |t-t*| 。记a a0 , b b0 , 0.618。
(b
a)
1 2
5
舍去负根，得α＝0.618 即，每次搜索区间的缩短比为α＝0.618，而 插入点λ，μ的位置为：
λ＝b－α(b－a)=a+(1－α)(b－a)
2. 0.618法的算法
• 0.618法的算法如下: 设 (t ) 是单谷函数， a0 , b0 是初始搜索区间，要求 精的确极小点的近似值 t 与精确极小点t*的最大
a
b , 为待定常数。 ba ba
不妨设缩短后的区间为[a,μ]中在插入一个ξ,为使 下一次的搜索区间的长度缩短比仍为α,应有:
a
ba
a a
b a ba a
a
b a (b a ) a ( a) a
a＋(1-（b-a）,1 ( ), 转（4）
（4）若|b-a| 2 ,令t 0.5(b a), 输出t , 计算 停止；否则转（3）。
谢谢
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我们用存优范围与原始范围的比值 来衡量一种试验方法的效率，这个比值 叫做精度，即n次试验后的精度为
n次试验后的存优范围 n 原始的因素范围
用0.618法确定试点时，从第2次试验 开始，每一次试验都把存优范围缩小为原 来的0.618.因此，n次试验后的精度为
n 0.618
n1
一般地，给定精度，为了达到这 个精度，所要做的试验次数n满足
0.618
n1
1,
即 所以
(n 1) lg0.618 lg 0.
lg n 1. lg0.618
黄金分割法适用目标函数为单峰的 情形，第1个试验点确定在因素范围的 0.618处，后续试点可以用“加两头，减 中间”的方法来确定.
课后作业
1.阅读教材P. 5-P.10； 2.《学案》第一讲第三课时.
x
1 5 黄金分割常数： ，用表示. 2
试验方法中，利用黄金分割常数 确定试点的方法叫做黄金分割法.由于
5 1 是无理数，具体应用时，我们 2
往往取其近似值0.618.相应地，也把黄 金分割法叫做0.618法.
二、黄金分割法——0.618法
例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的 材料，使炼出的钢满足一定的指标要求. 假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨 需要加入某元素的量在1000g到2000g之 间，问如何通过试验的方法找到它的最 优加入量？
0
x
1
0
1 x
x
1
0
0
1 x
x
1
1 x
x
0
1 x
x
1
0 2x 1 1 x
x
0
1 x
x
1
0 2x 1 1 x
2x 1 1 x x 1
x
第1个试验点:0.618处， 后续试点: “加两头，减中间” 0
1 x
x
1
0 2x样选取各个试点，可以最快地 达到或接近最佳点？
怎样选取各个试点，可以最快地 达到或接近最佳点？ 在安排试点时，最好使两个试点 关于[a,b]的中心 a b 对称.
2
怎样选取各个试点，可以最快地 达到或接近最佳点？ 在安排试点时，最好使两个试点 关于[a,b]的中心 a b 对称.
2
为了使每次去掉的区间有一定的 规律性，我们这样来考虑：每次舍去 的区间占舍去前的区间的比例数相同.
第一讲 优选法
三、黄金分割法——0.618法
一、黄金分割常数
对于一般的单峰函数，如何安排 试点才能迅速找到最佳点？
2 假设因素区间为[0, 1]，取两个试点 、 10 1 1 ，那么对峰值在 ( 0, ) 中的单峰函数， 10 10 4 两次试验便去掉了长度为 的区间(图 1)； 5 2 但对于峰值在 ( ,1) 的函数，只能去掉长度 10 1 为 的区间(图 2)，试验效率就不理想了. 10