2017中考数学试卷汇编——圆(带答案)

•••CB 平分Z ABD ,
圆的有关性质
一、选择题
1. （ 2016 •山东省滨州市•分）如图，AB 是O O 的直径，C , D 是O O 上的点，且OC //BD , AD 分别与BC , OC 相交于点E , F ,则下列结论：
①AD 丄 BD ;②/AOC = /AEC ;③CB 平分Z ABD :④ AF =DF ;⑤ BD =2 OF ; ©△CEF ^z BED ,其中一定成立 的是（ ）
A .②④⑤⑥
B .①③⑤⑥
C .②③④⑥
D .①③④⑤
【考点】圆的综合题.
【分析】①由直径所对圆周角是直角，
② 由于/AOC 是O O 的圆心角，/ AEC 是O O 的圆内部的角角，
③ 由平行线得到/ OCB = Z DBC ，再由圆的性质得到结论判断出/ OBC = ZDBC ;
④ 用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤ 用三角形的中位线得到结论；
⑥ 得不到厶CEF 和Z BED 中对应相等的边，所以不一定全等.
【解答】解：①、••• AB 是O O 的直径，
•••ZADB=90 ° ,
•••AD 丄 BD ,
② 、T /AOC 是O O 的圆心角，/ AEC 是O O 的圆内部的角角，
•••ZAOC MZAEC ,
③ 、T OC //BD ,
•••/OCB = Z DBC ,
••OC = OB ,
•••ZOCB = Z OBC ,
•••ZOBC = Z DBC
,
④、T AB是O O的直径,
•••/ADB=9 0° ,
•••AD 丄BD,
••OC//BD,
•••ZAFO=90 ° ,
•••点O为圆心，
•••AF= DF,
⑤、由④有，AF= DF ,
•••点O为AB中点，
•••OF是△ABD的中位线，
•••BD=2 OF,
△:EF和A BED中，没有相等的边，
• dCEF 与ABED 不全等，
故选D
【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌
握圆的性质.
2 .（2016 •山东省德州市•分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有
勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）
A. 3步
B. 5步
C. 6步D . 8步
【考点】三角形的内切圆与内心.
【专题】圆的有关概念及性质.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径.
【解答】解：根据勾股定理得：斜边为膚1尹=17 ,
8+15-17
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r= -------------- ------- =3 （步），即直径为6步,
故选C
【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt AABC ,三边长为a ,b , c （斜边），其内切圆半径r=一㊁一
3 .（2016 •山东省济宁市•分）如图，在O O中，―AOB=40。

，则zADC的度数是（）
A. 40 °
B. 30 °
C. 20 ° D . 15 °
【考点】圆心角、弧、弦的关系.
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出/ AOC = Z AOB=50。

，再由圆周角定理即可得出结论.
【解答】解：•••在O O中，'!■=",
•••zAOC= Z AOB,
vzAOB=40 ° ,
•••厶OC=40 ° ,
•••/ADC = WZAOC=20 ° ,
故选C.
4. （2016 •云南省昆明市・4分）如图，AB为O O的直径，AB=6 , AB丄弦CD ,垂足为G, EF切O O于点B, ZA=30 °，连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（）
A . EF//CD B.^COB是等边三角形
—131
C. CG= DG D . 「'的长为—-n
【考点】弧长的计算；切线的性质.
【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A;根据等边三角形的判定定理判断B;根据垂径定理判断C; 利用弧长公式计算出「'的长判断D.
【解答】解：T AB为O O的直径，EF切O O于点B,
•••AB丄EF,又AB 丄CD,•••EF//CD, A 正确；••AB 丄弦CD,
• zCOB=2 Z A=60
•••兀OB是等边三角形，B正确；
••AB 丄弦CD,
•••CG=DG, C 正确；
—60 x n x 3
■「的长为：=n, D错误，
故选：D.
5. （2016 •浙江省湖州市•分）如图，圆O是Rt△K BC的外接圆，/ ACB=90 °,A=25 °，过点C作圆O的
切线，交AB的延长线于点D，则/D的度数是（）
A . 25 °
B . 40 °
C . 50 °
D . 65 °
【考点】切线的性质；圆周角定理.
【分析】首先连接OC,由/A=25 °，可求得ZBOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC丄CD，继而求得答案. 【解答】解：连接OC,
••圆O 是Rt△KBC 的外接圆，/ ACB=90 ° ,
•••AB是直径，
• ZA=25 ° ,
•••/BOC=2 Z A=50 ° ,
••CD是圆O的切线，
•••OC丄CD,
•••/D=90。

-启OC=40 ° .
故选B.
，又OC=OD ,
6.
（2016 •浙江省绍兴市4分）如图，BD 是O O 的直径，点A 、C 在O O 上,.=厂，/AOB =60。

，则/BDC 的度数是（ ）
A . 60 °
B . 45 °
C . 35 °
D . 30 °
【考点】圆周角定理.
【分析】直接根据圆周角定理求解.
【解答】解：连结OC ,如图，
= ■',
ZAOB = £X 60 ° =30 ° .
故选D .
7 . （2016广西南宁3分）如图，点A,B,C,P 在O O 上, CD 丄OA , CE 丄OB ，垂足分别为D , E , /DCE =40 则/P 的度数为（ ）
A . 140 °
B . 70 °C. 60 °D . 40
【考点】圆周角定理.
【分析】先根据四边形内角和定理求出/ DOE 的度数，再由圆周角定理即可得出结论.
【解答】解：• CD 丄OA , CE 丄OB ,垂足分别为 D , E ,/DCE =40 ° ,
•••/DOE=180 ° - 40 ° =140 ° , 1 •••ZP=^/DOE =70 ° . 2
故选B .
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半是解答此题的关键.
8 . (2016 贵州毕节 3 分)如图，点 A , B , C 在O O 上,/ A =36 °,£=28 °，则zB=(
)
•••ZBDC=* P
A. 100 °. 72 C 64 °D. 36 °
【考点】圆周角定理.
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到/ OAC= Z C=28。

，根据等腰三角形的性质解答即可. 【解答】解：连接OA ,
••OA = OC,
•••/OAC= Z C=28 ° ,
•••/OAB=6 4 ° ,
••OA = OB,
•••ZB= Z OAB=64 ° ,
故选：C.
9.（2016河北3分）图示为4 X4的网格图，A, B, C, D, O均在格点上，点O是（）
第9题图
A . △ACD的外心B. △ABC的外心
C.A ACD的内心 D . △ABC的内心
答案：B
解析：点O在△ABC夕卜，且到三点距离相等，故为外心。

知识点：外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

内心：三角形内心到三角形三条边的距离相等。

（也就是内切圆圆心
10. （2016 •山东潍坊•分）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM方向滑动•下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）
O B O丘M O B O 5 M
【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线.
【分析】先连接OP，易知OP是Rt△KOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
可得OP=」-AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心
的圆弧上.
【解答】解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△KOB斜边上的中线，
所以OP=」-AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线.
11. （2016 •陕西•分）如图，O O的半径为4 , SBC是O O的内接三角形，连接OB、0C.若Z BAC与/BOC
互补，则弦BC的长为（）
A. 3打:
B. 4 .「；
C. 5 一 . 6 二
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形.
【分析】首先过点0作0D丄BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得/ BOC的度数, 然后根据等腰三角形的性质，求得/ OBC的度数，禾U用余弦函数，即可求得答案.
【解答】解：过点0作0D丄BC于D ,
贝U BC=2 BD,
•••/ABC 内接于O O,/BAC 与/BOC 互补，
•••ZBOC=2 /A, /BOC+ /A=180 ° ,
•••/BOC=120 ° ,
••OB=OC,
•••/OBC= /OCB=$3O ° ,
• O O的半径为4 ,
•••BD=OB?cos ZOBC=4 x—=2 ■:,
••BC=4 .；.
故选：B.
12. (2016 •四川眉山•分)如图，A、D是O O上的两个点，BC是直径.若/ D=32。

，则zOAC=( )
A. 64 °
B. 58 °
C. 72 °
D. 55 °
【分析】先根据圆周角定理求出/ B及/BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出/ OAB的度数，进而可得出结论. 【解答】解：t BC是直径，/ D=32 ° ,
•••/B= /D=32 °，启AC=90
••OA = OB,
•••ZBAO= Z B=32 ° ,
•••/OAC= /BAC-/BAO=90 ° - 32 ° =58 °.
故选B.
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半是解答此题的关键.
13. (2016 •四川攀枝花)如图，点D ( 0, 3), O (0 , 0), C (4 , 0)在0 A上，BD是O A的一条弦,
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】连接CD，可得出/ OBD = Z OCD，根据点D (0, 3), C (4 , 0 )，得OD=3 , OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin ZOBD即可.
【解答】解：••• D ( 0, 3), C (4 , 0),
--OD =3 , OC =4 ,
VZ COD=90° ,
•••CD= J/ + 4‘=5 ,
连接CD，如图所示:
vzOBD = Z OCD ,
• •sin ZOBD = sin ZOCD = 0D_2
CD =莎
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的 关键.
14. （ 2016 •黑龙江龙东•分）若点O 是等腰△ ABC 的外心，且/ BOC =60 °，底边BC =2U^ABC 的面积为 （ ）
A . 2+ . _；
B . 一
C . 2+ . 一；或 2 - . ：_；
D . 4+2 .:或 2 -.'；
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质.
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况 下MBC 的面积，本题得以解决.
【解答】解：由题意可得，如右图所示，
存在两种情况，
当△ABC 为△A i BC 时，连接 OB 、OC ,
•••点O 是等腰△ ABC 的外心，且/ BOC =60。

，底边BC =2 , OB = OC ,
•••血BC 为等边三角形， OB =OC =BC =2 , OA i 丄BC 于点D ,
•••CD =1 , OD = " - ■-,
15 . （ 2016 •黑龙江齐齐哈尔分）下列命题中，真命题的个数是（
）
① 同位角相等
② 经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
2X (2-
S A 為班 g =2
当△ABC 为A A 2BC 时，连接 OB 、OC ,
•••点O 是等腰△ ABC 的外心，且/ BOC =60 ，底边BC =2 , OB = OC ,
•••血BC 为等边三角形， OB = OC = BC =2 , OA i 丄BC 于点D ,
•••CD=1 , OD = J* _ l 2=Vi ,
BC-D 2X C2+V3?
2 '2 1
由上可得，△ ABC 的面积为- .「或2+ J ：,
故选C .
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
A. 1个
B. 2个
C. 3个D . 4个
【考点】命题与定理.
【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根
据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可
判断中点四边形为矩形.
【解答】解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；
顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确.
故选A.
16 .（2016 •湖北黄石3分）如图所示，O O的半径为13，弦AB的长度是24 , ON丄AB，垂足为N，贝U ON=（）
A . 5
B . 7
C . 9
D . 11
【分析】根据O O的半径为13，弦AB的长度是24 , ON丄AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长. 【解答】解：由题意可得，
OA=13 , Z ONA =90 °,AB=24 ,
•••AN =12 ,
••QN=「[ I :: _ ' ■，
故选A.
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，禾U用垂径定理解答问题.
17 . （2016 •湖北荆州•分）如图，过O O外一点P引O O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B, OP交
O O于点C,点D是优弧丝■一上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若Z APB=80UZkDC 的度数是（
由四边形的内角和定理，得
ZAOC = /BOC =50 由圆周角定理，得
ZADC== ZAOC =25
° , 2
故选：C .
【点评】 本题考查了切线的性质，切线的性质得出 [ =「■是解题关键，又利用了圆周角定理.
二、填空题
1. （2016 •重庆市A 卷4分）如图，OA , OB 是O O 的半径，点C 在O O 上，连接AC , BC ,若Z AOB =12O
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半可得答案.
【解答】解：••• OA 丄OB ,
•••ZAOB=120 ° ,
II •••ZACB=120 °疋=60 ° ,
故答案为：60 .
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
B . 20 °
C. 25 °
D. 30 /BOA =360
90 90 80 ° =100 ° ,
o A . 15 o
【分
析】 【解
答】
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
2. （2016 •广西百色・3）如图，O O 的直径AB 过弦CD 的中点E,若/C =25。

，则zD = 65 °
B
【考点】圆周角定理.
【分析】先根据圆周角定理求出/ A 的度数，再由垂径定理求出/ AED 的度数，进而可得出结论.
【解答】解：•••/C =25 ° ,
•••/A = Z C =25 ° .
•••O O 的直径AB 过弦CD 的中点E ,
•••AB 丄 CD ,
•••/AED=90 ° ,
•••ZD=90 ° - 25 ° =65 ° .
故答案为： 65 ° .
3（2016 •贵州安顺• 分）如图，AB 是O O 的直径，弦CD 丄AB 于点E ,若AB =8 , CD =6 ,则BE = 4 -匸
【分析】 连接OC ,根据垂径定理得出 CE = ED = CD =3，然后在Rt △OEC 中由勾股定理求出 OE 的长度, 最后由BE = OB - OE ，即可求出 BE 的长度.
【解答】解：如图，连接O C .
•••弦CD 丄 AB 于点 E , CD =6
,
1_
•••CE= ED= ■: CD=3 .
•••在Rt△OEC 中，/ OEC=90 °,CE=3 , OC=4 ,
•••OE== 一
/•BE= OB - OE=4 - S .
故答案为4 - H .
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度.
4 . （2016海南4分）如图，AB是O O的直径，AC、BC是O O的弦，直径DE丄AC于点P.若点D在优
【考点】圆周角定理；垂径定理.
【分析】解：由AB和DE是O O的直径，可推出OA=OB=OD=4 , ZC=90 °，又有DE丄AC,得到OP//BC, 于是有A AOP s公BC，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】解：••• AB和DE是O O的直径，
/.OA = OB = OD =4，/C=90 ° ,
又T DE丄AC,
•••OP//BC,
•••ZAOP s/ABC,
0P 二AD
• • ,
0P^_
即•：-，
•••OP=1.5 .
•••DP=OP+OP=5.5 ,
故答案为：5.5 .
【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.
5. （2016 •青海西宁•分）0 O的半径为1，弦AB= _ :，弦AC=〔：；，则/BAC度数为_ 【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形.
【分析】连接OA，过O作OE丄AB于E, OF丄AC于F,根据垂径定理求出AE、FA值,
形的知识求出/ OAB 和Z OAC，然后分两种情况求出/ BAC即可.
【解答】解：有两种情况：①如图1所示：连接OA，过O作0E丄AB于E, OF丄AC于F, /.z OEA= Z OFA=9 0 ° ,
由垂径定理得：AE=BE= _ , AF= CF=
•••J OAE=30 °,Q AF=45 °,「. BAC=30 ° +45 ° =75 ° ;
②如图2所示: 连接OA，过O作OE丄AB于E, OF丄AC于F,
•••zOEA_ Z OFA_90 ° ,75。

或5
根据解直角三角
由垂径定理得：AE_ BE_-，AF_CF_ ••，cos ZOAE^^_ 一
汨cos ZOAF_7T7 •••Z OAE_30 °,Q AF_45 ° ,
•••/BAC_45 ° - 30 °
_15
cos ZOAE=,cos ZOAF=
o
故答案为：75 °或.
6. (2016 •吉林•分)如图，四边形ABCD内接于O O,/DAB=130 °，连接OC,点P是半径OC上任意
点，连接DP, BP,^U/BPD可能为80 度(写出一个即可).
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理.
【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出/ DCB的度数，根据圆周角定理求出/ DOB的度数, 得到/ DCB v/BPD v/ DO B.
【解答】解：连接OB、OD ,
•••四边形ABCD 内接于O O，/DAB =130 ° ,
•••/DCB=180 ° - 130 ° =50 ° ,
由圆周角定理得，/ DOB=2 /DCB=100 ° ,
•••ZDCB v/BPD vZ DOB，即50 °v/PD v 100 ° ,
••/BPD 可能为80 ° ,
故答案为：80 .
7. (2016 •四”泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A ( 1 , 0) , B ( 1 - a , 0) , C ( 1+ a,
0) ( a > 0 ),点P在以D ( 4 , 4 )为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足ZBPC =90 ° , 则a的最大值是6 .
【考点】三角形的外接圆与外心.
【分析】首先证明AB = AC = a,根据条件可知PA=AB = AC=a ,求出O D上到点A的最大距离即可解决问题. 【解答】解：v A ( 1 , 0) , B ( 1 - a , 0), C ( 1+ a , 0) ( a > 0),
(1 - a) = a , CA = a+1 - 1= a ,
•••AB =1
■ ■AB = AC ,
•••/BPC=90 ° ,
•••PA = AB = AC= a,
如图延长AD交O D于P '，此时AP '最大，
•••A ( 1 , 0 ) , D ( 4 , 4),
■'■AD =5 ,
•••AP ' =5+仁6 ,
「•a的最大值为6 .
故答案为6 .
8. （2016 •黑龙江龙东•分）如图，MN是O O的直径，MN =4 ,/AMN =40。

，点B为弧AN的中点，点P 是直径MN上的一个动点，则PA+ PB的最小值为 2 .「；.
【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理.
【分析】过A作关于直线MN的对称点A '，连接A'B,由轴对称的性质可知A'B即为PA+ PB的最小值，由对称的性质可知「匕：再由圆周角定理可求出/ A ON的度数，再由勾股定理即可求解.
【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A '连接A'B,由轴对称的性质可知A'B即为PA+ PB的最小值, 连接OB, OA ' ,AA ',
vAA '关于直线MN对称，
•Ji J,
•ZAMN =40 ° ,
•••AON =80。

，启ON=40 ° ,
•••ZA'OB=120 ° ,
过O作OQ丄A B于Q ,
在Rt ZAOQ 中，OA ' =2 ,
•••A 'B=2 A 'Q=2 ：:,
即PA+ PB的最小值2 一
故答案为：2 .；.
三、解答题
1. (2016 •四”泸州)如图，A ABC内接于O O , BD为O O的直径，BD与AC相交于点H ,
AC的延长线与过点B的直线相交于点E,且Z A = / EB C .
(1 )求证：BE是O O的切线；
(2 )已知CG // EB，且CG 与BD、BA 分别相交于点F、G，若BG ? BA =48 , FG^ :, DF =2 BF, 求AH的值•
【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定.
【分析】(1 )欲证明BE是O O的切线，只要证明Z EBD =90 ° •
BC AB o
(2 )由△ABC s^CBG，得一一=一一求出BC，再由ABFC ^A BCD，得BC2= BF?BD 求出BF , CF,
CG , GB ,再通过计算发现CG= AG ,进而可以证明CH = CB ,求出AC即可解决问题.
【解答】(1 )证明：连接CD ,
•••BD是直径，
•/BCD =90 ° ,即Z D + / CBD =90 ° ,
•ZA= / D , /A = / EBC ,
•/CBD + / EBC =90 ° ,
•••BE是O O切线.
(2 )解：T CG //EB ,
.BC= AB
BG= BC即BC2= BG?BA =48 ,•••BC=4 .'；,
•••CG //EB,
•••CF 丄BD ,
•••△3FC
S ABCD ,
•••BC2= BF?BD ,
•••BF=4 ,
在RTABCF中，CF=(詁_時=4血,
•••CG= CF+ FG=5 .'：,
在RTABFG 中，BG= ] 「i 「=3 '打V BG ?BA =48 ,
•••和xf 艰卩AG =5 ■'：,
「•CG = AG ,
•••ZA= / ACG = / BCG , Z CFH = / CFB =90 •••/CHF = / CBF ,
•••CH = CB=4 乙
•/△KBC S MBG ,
•CG = BG,
CB-CG 20/3
•••AC==-,
•••AH = AC - CH =
2 . (2016 •四川攀枝花)如图，在△ AOB中，/AOB为直角，OA=6 , OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0 v t < 5)以戸为圆心，PA长为半径的O P与AB、
OA的另一个交点分别为C、D,连结CD、Q C.
(1 )当t为何值时，点Q与点D重合？
(2 )当0 Q经过点A时，求O P被OB截得的弦长.
(3 )若0P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围.
B
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)由题意知CD丄OA ,所以△ACD s公BO,利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时, 则，AD+OQ = OA，列出方程即可求出t的值；
(2 )由于0 v t w 5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s,过点P作PE丄OB于点E,利用垂径定理即可求出O P被OB截得的弦长；
(3 )若0 P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与O P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围.
【解答】解：(1 )v OA=6 , OB=8 ,
•••由勾股定理可求得：AB=10 ,
由题意知：OQ = AP=t,
••AC是O P的直径，
•••CD//OB, •••ZACD s 公BO ,
.忆AD
•鮑 F A ，
6
•••AD——，
当Q 与D 重合时，
AD +OQ =OA ,
•-- + t =6，
•t -丄；
• I ；
(2 )当0 Q 经过A 点时，如图1 ,
OQ = OA - QA =4 ,
• ••t=^4 S,
•PA =4 ,
•••BP = AB - PA =6 ,
过点P 作PE 丄OB 于点E ,O P 与OB 相交于点F 、G ,
连接PF ,
•••PE//OA ,
••Z PEB sZ AOB , PE EP 18 •••PE =：—，
(3 )当QC 与O P 相切时，如图2,
此时 Z QCA =90
••OQ = AP =t ,
•'•AQ =6 - t , AC =2 t ,
•由勾股定理可求得:
由垂径定理可求
知:
v/A = Z A ,
/QCA =Z ABO ,
•••ZAQC S ^ABO , AQ AC
'AB ~0A S-1
10 &
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根 据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答.
3. (2016 •山东潍坊)正方形ABCD 内接于O O ,如图所示，在劣弧 "上取一点E ,连接DE 、BE ,过点D 作DF IIBE •'•t= 13
13
i ■■
•当0 *t 亍
时，O P 与QC 只有一个交点, 当QC 丄OA 时,
此时Q 与D 重合,
由（1）可知：t =〒-,
• 当」厂v t W5时，O P 与QC 只有一个交点，
综上所述，当，O P 与QC 只有一个交点，t 的取值范围为:
5
(2) DG=BE.
【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理.
【分析】(1 )直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出/ BED= Z BAD=90 ZBFD= Z BCD=90 ° ,z EDF=90。

，进而得出答案；
(2 )直接利用正方形的性质的度数是90。

，进而得出BE=DF,则BE=DG .
【解答】证明：(1 )•••正方形ABCD内接于O O,
•••ZBED= Z BAD =90。

，启FD= ZBCD=90 ° ,
又•DF//BE,
•••ZEDF+ Z BED=180 ° ,
•••ZEDF=90 ° ,
•四边形EBFD是矩形；
(2 )) •正方形ABCD内接于O O ,
•的度数是90 ° ,
•••ZAFD=45 ° ,
又•••/GDF=90 ° ,
• ZDGF= Z DFC=45 ° ,
•••DG = DF,
又••在矩形EBFD中，BE=DF ,
•••BE= DG .
4. (2016 •广西桂林・8)已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积?
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式--海伦公式
(其中a ，b ，c 是三角形的三边长， | x] ，S 为三角形的面积)
例如：在厶ABC 中，a =3，b =4，c =5，那么它的面积可以这样计算:
"=3 , b =4 , c =5
=6 •・3=^讥口-乱)(p-b) c)=Mb%3X2X 1 =6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公 式等方法解决.
如图，在△ ABC 中，BC =5 , AC =6 , AB =9
(1 )用海伦公式求△ ABC 的面积;
(2 )求△ABC 的内切圆半径 r .
【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用.
【分析】(1)先根据BC 、AC 、AB 的长求出P ,再代入到公式 S = .「匸_匸L 二
J 即可求得S 的 值；
(2 )根据公式S==r (AC + BC +AB )，代入可得关于r 的方程，解方程得r 的值.
【解答】 解：(1 )v BC =5 , AC =6 , AB =9 ,
•••p=
并给出了证明。