泊松方程拉普拉方程
泊松方程与拉普拉斯
泊松方程与拉普拉斯泊松方程与拉普拉斯方程是数学领域中重要的偏微分方程，它们在物理学、工程学、计算机科学等各个领域有着广泛的应用。
本文将介绍泊松方程和拉普拉斯方程的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
泊松方程是一个二阶偏微分方程，通常用于描述电位、温度、流体静压力分布等问题。
其一般形式可以表示为：∆u = f(x,y,z)其中，u是待求函数，∆表示Laplace算子，f(x,y,z)是已知的函数。
泊松方程的求解过程包括确定边界条件、选择适当的解析方法等。
在一些特殊情况下，泊松方程可以通过分离变量、格林函数等方法精确求解。
拉普拉斯方程是泊松方程的特殊情况，即f(x,y,z)=0。
它表示了没有源项的稳定状态下的物理量分布。
例如，在无电荷的情况下，电势的分布可以由拉普拉斯方程描述。
泊松方程和拉普拉斯方程在实际问题中具有重要的应用。
下面将介绍它们在物理学、工程学和计算机科学中的具体应用。
一、物理学应用：1. 电场分布：根据泊松方程，可以求解电荷分布对电场的影响。
例如，在计算静电场、电容器以及电场中带电粒子的运动等问题时，泊松方程能够提供准确的分析结果。
2. 热传导问题：热传导是物体内部以及不同物体之间的热量传递过程。
泊松方程可以描述温度分布的稳定状态，因此可以求解热传导问题。
例如，在石油勘探中，泊松方程可用于分析地下温度场的分布。
二、工程学应用：1. 结构力学：泊松方程可用于模拟材料的弯曲、拉伸、压缩等受力状态。
例如，在工程结构设计中，可以利用泊松方程分析材料的变形和应力分布。
2. 流体力学：泊松方程可以用于模拟流体流动中的压力分布。
例如，在空气动力学中，可以用泊松方程求解空气流动的速度场和压力场。
三、计算机科学应用：1. 图像处理：在数字图像处理中，拉普拉斯算子可以用于图像边缘检测。
通过计算图像中像素灰度值的二阶导数，可以突出显示图像中的边缘结构。
2. 数值计算：泊松方程和拉普拉斯方程是数值计算领域中常用的方程之一。
第2章 静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程讲解
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
一个旋度方程和 一个散度方程。
同时，场量的散度与该场的标量源密度有关， 旋度与该场的矢量源密度有关。
9
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
静电场是守恒场
E d l 0（静电场的环流定理） C
静电场强的环路积分为零。
5
因此，电场强度
E
可以用一个标量
函数——电位函数的负梯度表示。
E
同时，静电场又是一个有散场， 静止电荷是静电场的散度源。
6
因此，可以从静电场的性质总结出：
在各向同性、均匀、线性的媒质中
2
y 2
2
z 2
圆柱坐标系：2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
球坐标系：
2
1 r2
r
r 2
r
1
r2 sin
sin
r2
1
sin 2
10
二、泊松方程和拉普拉斯方程 1、泊松方程 2、拉普拉斯方程
11
1、泊松方程
D E
E
（介质方程） （电场与电位的关系） D (E)
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
一次积分
EM第12讲泊松拉普方程
显然，由于两极板面无限大，故某x面上场在
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12.3 一维泊松方程的解
方向分布均匀，板面上的电荷密度
均为
常数。作一柱形闭合面，其上、下底面积为
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代入上式得:
应用高斯通量定理的解法物理概念清晰，而一维泊松
方程的求解法则更简单。
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小结
静电场的基本方程
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泊松方程与拉普拉斯方程 一维泊松方程的解
2
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12.3 一维泊松方程的解
例12-1 已知导体球的电位为U(设无穷远处的电位为
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0)，球的半径为a，求球外的电位函数。
静电场的基本方程
积分形式：
微分形式： E 0
D
或E
在线性、各向同性媒质中，本构关系为：
静电场是无旋有散场。
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12.2 泊松方程与拉普拉斯方程
解:
令球心为球坐标系原点，在
电位 因此电场具
函数满足拉普拉斯方程，且 有球对称性，电位
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
泊松方程和拉普拉斯方程的区别
泊松方程和拉普拉斯方程的区别泊松方程和拉普拉斯方程是数学中的两个重要方程，它们在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
虽然它们都属于偏微分方程，但是它们的性质和应用有很大的不同。
本文将从定义、性质和应用等方面对这两个方程进行比较和分析。
一、定义泊松方程和拉普拉斯方程都是二阶偏微分方程，它们的定义如下：泊松方程：$Delta u=f(x,y,z)$拉普拉斯方程：$Delta u=0$其中，$Delta$表示拉普拉斯算子，$u$表示待求函数，$f(x,y,z)$表示已知的函数。
泊松方程的右侧有一个非零函数，而拉普拉斯方程的右侧为零。
二、性质1.解的存在性和唯一性对于泊松方程，只有在给定边界条件的情况下才有解，并且解是唯一的。
这是由于泊松方程是一个椭圆型方程，其解析性质决定了解的存在性和唯一性。
对于拉普拉斯方程，解的存在性和唯一性则要根据边界条件和区域形状来判断。
在一些特殊的情况下，拉普拉斯方程可能没有解或者有多个解。
2.性质分析泊松方程和拉普拉斯方程的性质有很大的不同。
泊松方程是一个非齐次方程，其右侧有一个非零函数。
这意味着泊松方程的解会受到外部条件的影响，例如在流体力学中，泊松方程描述了流体中的压力分布，其解会受到外部物体的影响。
拉普拉斯方程是一个齐次方程，其右侧为零。
这意味着拉普拉斯方程的解不受外部条件的影响，它只与内部条件有关。
例如在电场中，拉普拉斯方程描述了电势的分布，其解只与内部电荷分布有关。
另外，泊松方程和拉普拉斯方程在解的性质上也有很大的不同。
泊松方程的解是一个调和函数，它具有良好的性质，例如可微性、可积性等。
而拉普拉斯方程的解则不一定是调和函数，其性质则要根据具体情况来判断。
三、应用泊松方程和拉普拉斯方程在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
下面分别介绍它们的应用。
1.泊松方程的应用(1)流体力学中的应用泊松方程可以描述流体中的压力分布，因此在流体力学中有广泛的应用。
例如在空气动力学中，泊松方程可以用来计算飞机翼的气动力。
泊松方程
泊松方程是在数学中的静电学，机械工程学和理论物理学中常见的偏微分方程。
它以法国数学家，几何学家和物理学家Poisson的名字命名。
泊松首先获得没有重力源的泊松方程△Φ= 0（即拉普拉斯方程）；考虑重力场时，△Φ= f（f为重力场的质量分布）。
后来，它扩展到了电场，磁场和热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，但也可以用分离变量法和特征线法求解。
泊松方程为△φ=f
在这里△代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密顿算符▽的平方)，而f 和φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，
因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程△φ=0.
泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation[1] 。
现在有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
数学上，泊松方程属于椭圆型方程(不含时线性方程)。
折叠编辑本段静电场的泊松方程
泊松方程是描述静电势函数V与其源(电荷)之间的关系的微分方程。
▽^2V=-ρ/ε
其中，ρ为体电荷密度(ρ=▽·D，D为电位移矢量。
)，ε为介电常
数绝对值εr*εo。
2.5泊松方程和拉普拉斯方程
１、求借电位φ呈完全对称分布； ２、无穷大边界面（如点电荷电场）
除上述情况外均须用其它方法求解。
解：泊松方程 2
为
0
0 x <d
<x 0
2 0 x 0d
0
x d U0 (x)
s(0) s(d)
E(x)
0x
x
d
d
0
U0
则 2
2
x2
d 2
dx2
0x 0d
d dx
0x2 20d
C1
第二章 静电场
d dx
0x2 20d
C1
0x3 60d
C1x
C2
x0 0
x d U0
C2 0
因球外无电荷，则空间电位满足拉普拉斯方程
2 0 球坐标系中
1 r2
d dr
(r2
d dr
)
0
即
r2
d
dr
C1
d
dr
C1 r2
第二章 静电场
r2
d
dr
C1
d
dr
C1 r2
C1 r
C2
而
r a时,
U0
C1 a
C2
r 时, 0 C2
故 aU0
r
C1 aU0
第二章 静电场
例：用解泊松方程的方法重求上例的电场强度。
第二章 静电场
❖ 求解泊松方程（或拉普拉斯方程）：
E 给定电荷分布，求解其方程得
（ E ）
若已知 E、
第二章 静电场
例：导体球的电位为U，球半径为 a ， 求球外的电位。（假定无穷远电位为0） 解：显然，导体球的电荷分布在球面上， 且呈球对称，故空间的电位也呈球对称， 仅是r 的函数。取球坐标系。
NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程
φ1 φ 2 ε1 = ε2 n n
第二章 静 电 场
四、介质分界面上电场方向的关系
当两种介质分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则 边界条件:
D1n = D 2 n
E1t = E2t
改写:
ε 1 E1 cos θ1 = ε 2 E 2 cos θ 2
E1 sin θ 1 = E 2 sin θ 2
ρv d 2φ 2 2 φ2 = = 2 ε0 dy
d 2φ3 2 φ3 = =0 2 dy
第二章 静 电 场 将上面三个方程分别分两次可得
φ1 = C1 y + C2 ρv 2 φ2 = y + C3 y + C 4 2ε 0 φ 3 = C5 y + C 6
由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们 只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。
圆柱坐标系中: 圆柱坐标系中 球坐标系中: 球坐标系中
第二章 静 电 场
四 . 一维泊松方程的求解
P.66 例2-9 例2-10
第二章 静 电 场 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为 ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的 函数。 ;
两式相除:
tgθ1 ε1 ε r1 = = tgθ 2 ε 2 ε r 2
------静电场的折射定理 静电场的折射定理
电场方向在 交界面上的曲折
第二章 静 电 场
泊松方程和拉普拉斯方程
❖ 泊松方程：
∵
静电场为无旋场，故可引入一标量电 位 来描述之。
而
D
将
D E 及 E 代入上式中
即
E
E
的泊松方程
2
（2-5-1）
2020/6/3
第二章 2.5
1
❖ 拉普拉斯方程：
若静电场中无电荷分布时，即
0
的拉普拉斯方程
则泊松方程为：
0
0d 6
则E(x) s (0) 0x2 0 20d
E
ax
(
0x2 20d
U0 d
0d 60
)
12
2020/6/3
第二章 2.5
8
➢ 作一柱形闭合面为S，底面积为S ，
下底在左极板内，上底在 x >d 侧柱面与 ax 平行。
极板内s(0，) s(d)
S
E dS
q
0
0
闭合面上、下底处
的电场强度为零， 0x
r
)
1
r2 sin
(sin
)
1
r 2 sin2
2 2
2020/6/3
第二章 2.5
3
❖ 求解泊松方程（或拉普拉 斯方程）：
给定电荷r 分布，求解其方程得
（Q E ）
E
若已知
rr E、D
2020/6/3
第二章 2.5
4
例：若半径为 a 的导体球面的电位
为解U：显0 ，然球，外导无体电球荷的，电求荷空分间布的在电球位面。上，
E
故
E
ax
( 0x2 20d
U0 d
0d 60
)
1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程是数学中非常重要且常用的偏微分方程。
它们在物理学、工程学以及其他科学领域都扮演着重要角色，并且在实际问题的建模和求解中经常被使用。
本文将从基本概念、物理背景和实际应用等多个方面来探讨这两个方程的特性和意义。
首先，我们来了解一下泊松方程和拉普拉斯方程的定义。
泊松方程是一个二阶偏微分方程，通常用来描述在给定区域内的电势或者重力势的分布情况。
它的一般形式可以表示为：∇²Φ = f(x,y,z)其中，∇²是拉普拉斯算子，Φ是待求的函数、f是给定的源项函数。
而拉普拉斯方程则是泊松方程的特殊情况，即当源项函数f等于零时，泊松方程转化为拉普拉斯方程。
泊松方程和拉普拉斯方程之所以如此重要，是因为它们具有一些非常有用的性质。
首先，它们是线性方程，这意味着可以利用线性代数和微积分的方法来求解。
其次，它们是椭圆型偏微分方程，这意味着在一定的边界条件下，问题是唯一可解的。
此外，这两个方程还具有良好的连续性和可微性质，这些特性使得它们在数值计算中具有较好的稳定性和收敛性。
在物理学中，泊松方程和拉普拉斯方程经常用来描述电场、电势、引力场、流体力学等等。
例如，当一个点电荷位于空间中时，其产生的电势满足泊松方程。
而当没有电荷分布时，空间中的电势满足拉普拉斯方程。
同样地，当液体或气体中不存在源项时，流场的速度势满足拉普拉斯方程。
因此，泊松方程和拉普拉斯方程是求解这些物理现象的重要工具。
除了物理学之外，泊松方程和拉普拉斯方程也在其他科学和工程领域中得到了广泛应用。
例如，在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯方程可以用来平滑图像和检测图像边缘。
在声学中，它们可以用来模拟声波传播和反射。
在电力系统中，泊松方程可以用来分析电网的稳定性和负荷分布。
在地理学中，它们可以用来模拟地形的变化和地下水流的分布。
这些仅仅只是应用领域的冰山一角，泊松方程和拉普拉斯方程的应用无处不在。
总之，泊松方程和拉普拉斯方程是数学中非常重要且常用的偏微分方程。
泊松方程和拉普拉斯方程概念分析
泊松方程和拉普拉斯方程概念分析首先，我们来介绍泊松方程。
泊松方程是一个偏微分方程，通常用于描述一个标量场的空间分布和变化。
在三维笛卡尔坐标系下，泊松方程可以写成如下形式：Δφ=f(x,y,z)其中，Δ表示拉普拉斯算子，φ表示待求解的标量场，f(x,y,z)表示已知的源函数。
泊松方程的解φ需要满足两个条件：其一是它在给定的区域内满足方程，即Δφ=f(x,y,z)，其二是它在区域的边界上满足一定的边界条件。
泊松方程具有如下的一些重要性质：1.线性性：泊松方程是一个线性方程，即满足线性叠加原理。
如果φ1和φ2是泊松方程的解，那么它们的线性组合aφ1+bφ2也是泊松方程的解，其中a和b是任意常数。
2.解的存在唯一性：在给定的边界条件下，泊松方程的解存在且唯一3.平均值性质：泊松方程的解在区域中任意一点的值等于该点处的所有邻域点值的平均值。
接下来，我们来介绍拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程是一个偏微分方程，通常用于描述一个标量场的稳定状态分布。
在三维笛卡尔坐标系下，拉普拉斯方程可以写成如下形式：Δφ=0其中，Δ表示拉普拉斯算子，φ表示待求解的标量场。
拉普拉斯方程的解φ需要满足边界条件。
拉普拉斯方程具有如下的一些重要性质：1.线性性：拉普拉斯方程也是一个线性方程。
如果φ1和φ2是拉普拉斯方程的解，那么它们的线性组合aφ1+bφ2也是拉普拉斯方程的解，其中a和b是任意常数。
2.解的存在唯一性：在给定的边界条件下，拉普拉斯方程的解存在且唯一3.零平均值性质：拉普拉斯方程的解在区域中任意一点的值等于该点处的所有邻域点值的平均值为零。
泊松方程和拉普拉斯方程在许多领域中有广泛的应用。
在电势场的分析中，泊松方程和拉普拉斯方程可以用于描述场的分布和变化，从而帮助求解电场和电势。
在热传导的研究中，拉普拉斯方程可以用于描述温度场的稳定状态。
此外，在流体力学、应力分析、声学、光学等领域中，泊松方程和拉普拉斯方程也有着重要的应用。
综上所述，泊松方程和拉普拉斯方程是数学分析中的两个重要方程。
泊松方程和拉普拉斯方程的区别
泊松方程和拉普拉斯方程的区别泊松方程和拉普拉斯方程都是常见的偏微分方程，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
虽然两者都描述了物理现象中的某种量的变化，但它们的本质区别是什么呢？本文将从定义、特点、求解方法等方面来探讨泊松方程和拉普拉斯方程的区别。
一、定义泊松方程和拉普拉斯方程都是二阶偏微分方程，它们的定义如下：泊松方程：$$Delta u=f(x,y,z)$$其中$Delta$为拉普拉斯算子，$u$为未知函数，$f(x,y,z)$为已知函数。
拉普拉斯方程：$$Delta u=0$$其中$Delta$为拉普拉斯算子，$u$为未知函数。
从定义上来看，两者的区别在于$f(x,y,z)$是否为0。
泊松方程描述了一个有源场的变化，而拉普拉斯方程描述的是一个无源场的变化。
二、特点泊松方程和拉普拉斯方程的特点也有所不同。
1. 泊松方程的特点泊松方程的特点在于它描述了一个有源场的变化，即$f(x,y,z)$不为0。
这种场的变化通常是由某种源头引起的，比如电荷、密度、温度等。
因此，泊松方程在物理学中有广泛的应用，如电场、热传导、流体力学等领域。
2. 拉普拉斯方程的特点拉普拉斯方程的特点在于它描述了一个无源场的变化，即$f(x,y,z)$为0。
这种场的变化通常是由场本身的性质引起的，比如电势、重力势、流速势等。
因此，拉普拉斯方程在物理学中也有广泛的应用，如静电场、重力场、流体静力学等领域。
三、求解方法泊松方程和拉普拉斯方程的求解方法也有所不同。
1. 泊松方程的求解方法泊松方程的求解方法通常需要给出边界条件，即在一定的边界上给出$u$的值或导数，以确定唯一的解。
求解泊松方程的方法有很多种，如分离变量法、格林函数法、有限差分法、有限元法等。
其中，分离变量法是最常用的方法之一。
它将$u$表示为一系列分离的函数的乘积形式，然后通过边界条件来确定每个函数的系数。
这种方法适用于具有一定对称性的问题，如圆柱形、球形等几何体。
泊松方程
泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。
是因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。
后推广至电场磁场，以及热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。
方程的叙述泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维直角坐标系，可以写成如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
泊松方程数学表达通常泊松方程表示为这里代表拉普拉斯算子，f为已知函数，而为未知函数。
当f=0时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件: 其中为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为: 其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数为一个校正函数，它满足通常情况下是依赖于。
通过可以给出上述边界条件的解其中表示上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
泊松方程应用在静电学很容易遇到泊松方程。
对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。
在国际单位制（SI）中：此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而是真空电容率（单位为法拉/米）。
如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：高斯电荷分布的电场如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度：此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为erf(x)代表的是误差函数。
泊松方程拉普拉方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
拉普拉斯方程和泊松方程
拉普拉斯方程和泊松方程
拉普拉斯方程和泊松方程是数学物理中常见的偏微分方程，它们在各个领域都有广泛的应用。
下面将对这两个方程进行介绍并展开讨论。
拉普拉斯方程是一个二阶偏微分方程，通常用于描述不存在任何源或汇的物理场。
它的形式可以表示为：
u = 0
其中，是拉普拉斯算子，u是待求解的物理场。
这个方程的解称为拉普拉斯函数，它在物理学中有许多重要应用，如电势场、温度分布以及流体静力学等。
泊松方程是拉普拉斯方程的一种特殊形式，加入了源项或汇项。
它的形式可以表示为：
u = f(x)
其中，f(x)是给定的源项或汇项。
泊松方程在物理学中描述了存在源或汇的物理场，例如电荷在电势场中的分布以及流体中的密度分布等。
拉普拉斯方程和泊松方程在数学物理中有广泛的应用，尤其在电场和热场的分析中经常使用。
对于给定的边界条件，可以通过求解这两个方程来得到相应场的分布情况。
在实际应用中，常常借助数值方法，如有限差分法或有限元法等，来求解这两个方程的数值解。
此外，拉普拉斯方程和泊松方程还与许多其他数学和物理概念密切相关。
例如，它们与调和函数、格林函数以及调和分析等有着紧密的联系。
这些联系使得拉普拉斯方程和泊松方程成为了研究和应用的重要工具。
总之，拉普拉斯方程和泊松方程在数学物理中具有重要的地位和广泛的应用。
它们的解可以帮助我们理解和描述不同领域的物理现象，同时也为数学分析提供了许多有趣的问题和方法。
拉普拉斯方程与泊松方程
拉普拉斯方程与泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程是数学领域中的两个重要概念，它们在物理学、工程学以及其他相关领域中都有着广泛的应用。
这两个方程在某些情况下可以简化问题的求解过程，并帮助我们理解和描述自然界中的各种现象。
首先，让我们回顾一下拉普拉斯方程。
在数学上，拉普拉斯方程是一个具有重要意义的偏微分方程，通常用于描述没有初始条件和边界条件的稳态问题。
它的一般形式可以表示为：∇²u = 0其中，∇²是拉普拉斯算子，u是待求函数。
这个方程告诉我们，在没有外部驱动力的情况下，函数u在空间中的取值不随时间变化，稳定在一个平衡状态。
拉普拉斯方程的解可以帮助我们分析物体内部的电场、温度场以及流体运动等问题。
在电磁学中，拉普拉斯方程可以用来描述电荷分布对电场的影响。
在热传导领域中，拉普拉斯方程可以帮助我们理解热量在物质内部的传递过程。
在流体力学中，拉普拉斯方程可以用来描述流体的速度分布和压力场。
接下来，让我们转向泊松方程。
泊松方程是一个与拉普拉斯方程密切相关的偏微分方程，用来描述有外部驱动力的稳态问题。
它的一般形式可以表示为：∇²u = f其中，f是源项函数，表示外部驱动力。
泊松方程可以看作是拉普拉斯方程的一种推广形式，它考虑了外部因素对问题的影响。
泊松方程的解可以帮助我们计算电场、重力场和流体静力学等问题。
在电磁学中，泊松方程可以用来描述电荷分布产生的电势分布。
在引力场中，泊松方程可以帮助我们理解质量分布对重力场的影响。
在流体力学中，泊松方程可以用来计算流体静力学中的压力分布。
拉普拉斯方程和泊松方程的解可以通过数值方法或解析方法求得。
在一些简单的情况下，可以使用分离变量法、格林函数或者傅里叶变换等数学工具来求解。
在更复杂的情况下，可能需要借助计算机模拟和数值计算的方法来得到近似解。
总的来说，拉普拉斯方程和泊松方程是数学中两个重要的方程，它们在物理学和工程学中有广泛的应用。
这两个方程可以帮助我们描述和解析各种稳态问题，从而加深我们对自然界中各种现象的理解。
2-3 泊松方程 拉普拉斯方程
解（1） P 电偶极矩（电矩） P q l + 1 q l E E 2 2 4 0 ( r l / 4) E E 2 E cos 1 q E P 2 2 2 4 0 ( r l / 4) E l/2 2 r 2 1/ 2 ( r l / 4) 1 ql + q q 2 2 3/ 2 l/2 l/2 4 0 (r l / 4)
P l
2 0 ln rP
无限长线电流在空间中产生的电位
2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
u u
2
式中： 2 称为拉普拉斯算符。 “ ”
u
2
在直角坐标系中：
u
2
x
2
u
2
y
偶极子
电偶极子是一种非常重要的物理模型
电偶极矩（电矩） p q l
(方向由负电荷指向正电荷)
q
p
l
q
电介质(中性分子)就可以作一个电偶极 子等效。此即电介质的电偶极子模型。
二、电偶极子激发的静电场
1、电偶极子中垂线上任一点的电场强度。
2、电偶极子延长线上任一点的电场强度。
用矢量形式表示为：
E
1
2
P
2 3/ 2
40 ( r l / 4)
若 r l
1 E 3 4 0 r
P
解(2)
q
l/2
O
l 2
q
2
q
E
A
E
q
x
i
r
i
泊松方程
泊松方程是偏微分方程，通常在静电学，机械工程和理论物理学的数学中找到。
它以法国数学家，几何学家和物理学家Poisson的名字命名。
泊松，首先，在没有重力源的条件下获得泊松方程，则δΦ= 0（即拉普拉斯方程）；当考虑重力场时，对于重力场分布的质量，ΔΦ= f （f）。
然后将其扩展到电场和磁场以及热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，但也可以用变量分离法和特征线法求解。
泊松方程为[2]
拉普拉斯算子在此表示，f和f可以是流形上的实数值或复数值的方程。
当流形在欧几里得空间中，并且拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写为
在三维笛卡尔坐标中，我们可以这样写
如果常数等于0，则该方程式变为齐次方程式，该方程式称为拉普拉斯方程式。
泊松方程可通过格林函数求解。
如何使用格林函数求解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
有许多数值解。
像张弛方法一样，周围的代数方法就是一个例子。
数学表达式编辑器
泊松方程通常表示为
这是Laplace运算符，其中f是已知函数，f是未知函数。
当f等于0时，此方程称为拉普拉斯方程。
要了解泊松方程，我们需要更多信息，例如狄利克雷边界条件：
哪里是有界开放集。
在这种情况下，基本函数用于构造泊松方程的解。
拉普拉斯方程的基本功能是：
此处，n是欧式维空间中单位球的体积，可以通过卷积获得解。
为了满足上述边界条件，我们使用格林函数
是一种校正功能，可以满足
通常取决于。
可以给出上述边界条件的解
哪里可以测量phi的表面。
该方程的解也可以通过变分法获得。
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泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程在SI制中，静磁场满足的方程为式中j为传导电流密度。
第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：。
在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为选用库仑规范，墷•r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程，式中纯数μr 为媒质的相对磁导率，真空磁导率μo=1.257×10-6亨／米。
在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程∇2Α=0。
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。
对比静电势的解，可得矢势方程的解。
参考书目郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。
J.D.杰克逊著，朱培豫译：《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。
(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye & Sons，New York，1976.)拉普拉斯方程拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。
求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、热力学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质基本概述拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。
该公式成为拉普拉斯方程定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z 二阶可微的实函数φ ：。
这组方程常常又写为或者；其中，div表示矢量场的散度（结果是一个标场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场）。
这方程又可写为；其中，Δ称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即，则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型微分方程。
偏微分算子或（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子。
边界条件拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域内定义的函数φ，使得在的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域边界处的温度函数φ本身，而是φ沿的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数的任意线性组合同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将各种通解线性组合起来，以满足所有边界条件。
二维拉普拉斯方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：。
解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
换言之，若z= x+ iy，并且，那么f(z)是解析函数的充要条件是u(x,y)，v(x,y)可微，且满足下列柯西-黎曼方程：。
上述方程继续求导就得到。
所以u满足拉普拉斯方程。
类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。
反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：，则等式。
成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。
上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：。
φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件：。
所以可以通过一个线积分来定义ψ。
可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。
于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。
这样的解称为一对共轭调和函数。
这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。
譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数，那么相应的解析函数为。
在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。
这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。
如果我们将函数f在复平面上以原点为中心，R为半径的圆域内展开成幂级数，即，将每一项系数适当地分离出实部和虚部。
那么这便是f的傅里叶级数。
流体动力学设、分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的和方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：[3]:99-101，无旋条件为：。
若定义一个标量函数，使其微分满足：，那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。
积分的结果函数称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。
的一阶偏导为：，无旋条件即令满足拉普拉斯方程。
的共轭调和函数称为速度势。
柯西-黎曼方程要求。
所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。
解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数静电学根据麦克斯韦方程组，二维空间中不随时间变化的电场(u,v)满足：，和，其中ρ为电荷密度。
第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件：，所以可以构造电势函数φ使其满足。
第二个麦克斯韦方程即：，这是一个泊松方程，当空间不包含自由电荷时，方程等号右边变为0，方程变为拉普拉斯方程。
三维拉普拉斯方程基本解拉普拉斯方程的基本解满足，其中的三维δ函数代表位于的一个点源。
由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么。
由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。
如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度。
求得在以点源为中心，半径为r的球面上有，所以。
经过类似的推导同样可求得二维形式的解。
格林函数格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。
譬如，可以满足，。
现设u为在V内满足泊松方程的任意解:，且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林定理（是高斯散度定理的一个推论），得到u n和G n分别代表两个函数在边界S上的法向导数。
考虑到u和G满足的条件，可将这满足狄利克雷边界条件的公式化简。
所以格林函数描述了量f和g对点函数值的影响圆球壳案例格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P'距球心。
需要注意的是，如果P在球内，那么P'将在球外。
于是可得格林函数为；其中，R表示距源点P的距离，R'表示距镜像点P'的距离。
从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。
设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。
此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。
于是球面内拉普拉斯方程的解为：[2]:64-65；其中，。
这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。
于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。
参考文献严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998.I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949.。