高中数学奥林匹克系列训练题

高中数学奥林匹克系列训练题（1）

(2001/3/1)

班级 姓名 学号 得分

1.如果正整数54321,,,,x x x x x

满足条件54321x x x x x ++++

54321x x x x x ⋅⋅⋅⋅=，

求5x 的最大值.

2.如图，ABCD 是一个凸四边形，

且满足ADB CBD ∠=∠2，

CDB ABD ∠=∠2，CB AB =.

求证：CD AD =. (2000年加拿大MO)

3.若函数2

1321)(2+-=x x f 在区间[]b a ,上的最小值为a 2,最大值为b 2,求[]b a ,. (2000年全国联赛)

4.设p 、q 、r 为素数, 解不定方程r q p p q =+.

5.已知1=++z y x ,且x 、y 、+∈R z ，求证:

36941≥++z y x . 6.已知函数c x b x a x f ++=sin sin )(2,其中c b a ,,是非零实数,甲、乙两人做

一游戏,他们轮流确定系数c b a ,,(如甲令1=b ,乙令2-=a ,甲再令3=c )后,如果对于任意实数x ,0)(≠x f ,那么甲得胜,如果存在实数x 使0)(=x f ,那么乙得胜, 甲先选数,他是否有必胜策略? 为什么? 如果c b a ,,是任意实数, 结论又如何? 为什么? (1997年希望杯)

7.已知(1) d c b a ,,,都属于{}4,3,2,1;

(2)a d d c c b b a ≠≠≠≠,,,;

(3){}d c b a a ,,,min =; 求所有不同四位数abcd 的个数. (2000年全国联赛)

8.在ABC ∆中,O 为外心,H 为垂心,在AB 上取点O ',使AO O A ='，在AC 上取点H '，使AH H A ='.

求证:AO H O =''. 供题人:王卫华

9.设,,321N n n S n ∈++++= 求1

)32()(++=

n n S n S n f 的最大值. (2000年全国联赛)

10.已知R c b a ∈,,,方程02=++c bx ax 有两个实根,且ab c ac b c b a -+->-22)(.

求证:方程在)2,0(内至少有一根. 供题人: 李红