无约束非线性规划
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非线性规划无约束问题.pptx
器在单位时间内的经济效益是最好的？
4
非线性规划
目标函数或约束条件中有非线性函 数的规划问题
5
非线性规划的最优解可能在其可行域中的任 意一点达到
不一定是全局最优解
6
背景 理论计算 相对于计算要求，计算能力仍十分有限
7
8
背景 为加快计算速度，必须明确各种方法的特点，
以针对不同问题选择最合适的方法
f(x2)＞f(x1)，去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]
f(x)
o a0 x2 x1 x*
b0 x
x1,x2 在x*的左侧
39
f(x2)＝f(x1)： a.去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1] b.去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]
f(x)
o a0 x2 x* x1 b x x1,x2 在x*的两侧0
2
f
(1.941,
3.854)
31.794 9.764
9.764 4
H
(
x2
)
2
f
(1.053,1.028)
11.194 2.212
2.212 4
H
(
x3
)
2
f
(0.6117,1.4929)
0.519 4.447
4.447
4
31
求得各点的H特征值和稳定点类型如下：
32
33
一维搜索法 多项式近似
斐波那契（Fibonacci）法（分数法） 0.618法 无需求导，根据函数值判断搜索方向 适用于求解已知极值区间的单峰函数
37
一维搜索法（消去法）
f(x2)＜f(x1)，去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1]
4
非线性规划
目标函数或约束条件中有非线性函 数的规划问题
5
非线性规划的最优解可能在其可行域中的任 意一点达到
不一定是全局最优解
6
背景 理论计算 相对于计算要求，计算能力仍十分有限
7
8
背景 为加快计算速度，必须明确各种方法的特点，
以针对不同问题选择最合适的方法
f(x2)＞f(x1)，去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]
f(x)
o a0 x2 x1 x*
b0 x
x1,x2 在x*的左侧
39
f(x2)＝f(x1)： a.去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1] b.去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]
f(x)
o a0 x2 x* x1 b x x1,x2 在x*的两侧0
2
f
(1.941,
3.854)
31.794 9.764
9.764 4
H
(
x2
)
2
f
(1.053,1.028)
11.194 2.212
2.212 4
H
(
x3
)
2
f
(0.6117,1.4929)
0.519 4.447
4.447
4
31
求得各点的H特征值和稳定点类型如下：
32
33
一维搜索法 多项式近似
斐波那契（Fibonacci）法（分数法） 0.618法 无需求导，根据函数值判断搜索方向 适用于求解已知极值区间的单峰函数
37
一维搜索法（消去法）
f(x2)＜f(x1)，去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1]
第二章 无约束非线性规划
例3
非线性规划问题
解：为其建立数学模型： 设该公司计划经营第一种设备 x1 件，第二种设备 x2 件，根据题意，其 其数学模型为：
MAX x1 , x2 0
f ( X ) 30x1 450x2
2 2
0.5 x1 2 x2 0.25x 800
非线性规划
T n x ( x ,..., x ) R 1 n 设 ，
x * 是的严格局部最优解或严格局部极小点，称 f ( x
)
极值存在的条件
１必要条件：设Ｒ是 n 维欧氏空间的某 一区域，f(X)为定义在Ｒ上的实值函数， Ｘ＊是区域Ｒ的内点，若f(Ｘ）在Ｘ＊处 可微，且在该点取得局部极小值，则必 有
f ( X *) f ( X *) f ( X *) 0 x1 x2 xn 5.1
f ( x * ) f ( x), x X, x x *
则称 x 是的严格整体最优解或严格整体极小点，称 f ( x * ) 是的严格整体最优值或严格整体极小值。
*
最优解和极小点
定义 5.1.2 对于非线性规划，若 x * X ，并且存在 x 的一
* n * N ( x ) x R x x ( 0, R) ，使 个领域
f ( x); gi ( x), i 1,..., p; hj ( x), j 1,...,q : R R ,
n
如下的数学模型称为非线性规划模型：
m i n f ( x ) s .t . g i ( x ) 0, i 1,..., p h j ( x ) 0, j 1,...,q
通 常 情 况 下 ， 目 标 函 数 f(x) 和 约 束 条 件 hi(X)和gi(X)为自变量Ｘ的非线性函数
第五小组_非线性规划-无约束极值问题
6 12 6 /17 ( , ) 17 17 12 /17 f ( X (1) )T f ( X (1) ) 1 0 = = = -12 f ( X (0) )T f ( X (0) ) 289 (-12, 6) 6 P (1) = -f ( X (1) ) + 0 P (0) f ( X (1) )T P (1) 17 l1 = = (1) T (1) ( P ) AP 10 X (2) = X (1) + l1 P (1) 1 = 1 6 /17 1 12 90 210 = - + = , 12 /17 289 -6 289 289
但P(i) ≠0 ,A为正定，即
a1 p(i )T AP(i ) = 0
p(i )T AP(i ) = 0 故必有ai= 0,i =1,2,L从而P（1）， P（2），… P（n）线性独立
非线性规划：无约束极值问题
梯度法 共轭梯度法 变尺度法 正定二次函数极小问题
二、基本定理
1 T • 无约束极值的一个特殊情形是： min f ( x) = X AX + BT X + c 2
梯度法 共轭梯度法 变尺度法
计算步骤：
（ 计算H ( k )，P k） = - H ( k )f ( X ( k ) ) （ 在P 0） 方向进行一维搜索，确定最佳步长l0
min f ( X ( k ) + lk P ( k ) ) = f ( X ( k ) + lk P ( k ) )
l
则X ( k +1) = X ( k ) + lk P ( k ) 满足精度要求，则停止迭代； 否则则重复上述步骤
非线性-无约束规划
6） 实用收敛性： ）
定义最优解集如下 S* = { x | x 具有某种性质 } 例：S*={x| x---g.opt} S*={x| x---l.opt} S*={x|∇f(x)=0} S*={x| f’(x)≤β} (β为给定实数,称为阈值） 当下列情况之一成立时 当下列情况之一成立时，称算法收敛具有该性质点 之一成立时， 1°∃x(k) ∈S*; ° 2°∀k，{X(k)}任意极限点∈S* ° 任意极限点∈ 任意极限点
* ak 为最优步长。 最优步长。 则称
根据单变量的驻点条件: 根据单变量的驻点条件 d f(xk+akPk)/dak=0 （当ak=ak* 时） 以及复合函数的求导法则可得： 以及复合函数的求导法则可得：
∇f ( x
k +1 T
) P =0
k
2） 缩小区间的非精确一维搜索
（1）单峰的概念 ） 若对任意λ 若对任意 1 ,λ2, α≤ 1º 若α2 ≤
停
11. 最优步长的一维搜索 1) 精确一维搜索（假定求目标函数极小值） 假定求目标函数极小值） * ak 是在给定 k和方向 是目标函数， 设f(X)是目标函数，如果 是在给定X 是目标函数 矢量P 通过f(x)=f(xk+akPk) 的极小化而产生 矢量 k下，通过
ak* = arg ak min f ( x k + ak P k )
∂ u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ ∂ l ∂x ∂y ∂r
2. 海瑟矩阵
海瑟矩阵是对称形式：
∂2 f ( X ) ∂x12 ∂2 f ( X ) 2 H ( X ) = ∇ f ( X ) = ∂x2 ∂x1 ...... ∂2 f ( X ) ∂xn ∂x1
非线性-无约束规划
f(x) 为凸集 S 上的严格凸函数。 性质: 当- f(x) 为凸函数（严格凸函数）时，则称
f(x) 为凹函数（严格凹函数）。
严格凸函数
凸函数
严格凹函数
x1
x 2
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
定理： f(x) 为凸集 S 上的凸函数 S 上任 意有限点的凸组合的函数值不大于各点函 数值的凸组合。
△可行方_ 向：
设 x∈S，d∈Rn, d≠0, 若存在 0
_
使 x d S, (0, ) ，
称d 为该点的可行方向。
同时满足上述两个性质的方向称 下降可行方向。
迭代算法的停止标准
1）
|| X k1 X k || 1
或
||
X k 1 || X k
X ||
k
考虑（fs）
s.t. x∈S
常用一种线性搜索的方式构造{xk}序列来求解 迭代中从一点出发沿下降可行方向找一个
新的、更优的点。
△下降方向 ：
设 x _∈S，d ∈Rn,d≠0,若存在 ，0
使 在
_
_
x _f点(x的 下d )降 方f (x向),。 (0, )
，称d 为
4 常用的搜索算法结构
以及
4) 全局收敛： 对任意初始点x(1), 算法均收敛。
5) 局部收敛： 当x(1) 充分接近解x*时，算法才收敛。
2. 实用收敛性：
定义解集
S* = { x | x 具有某种性质 }
例：S*={x|x---g.opt} S*={x|x---l.opt}
S*={x| f(x)=0} S*={x|f′(x)≤β } (β为给定实数,称为阈值
xn2
f(x) 为凹函数（严格凹函数）。
严格凸函数
凸函数
严格凹函数
x1
x 2
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
定理： f(x) 为凸集 S 上的凸函数 S 上任 意有限点的凸组合的函数值不大于各点函 数值的凸组合。
△可行方_ 向：
设 x∈S，d∈Rn, d≠0, 若存在 0
_
使 x d S, (0, ) ，
称d 为该点的可行方向。
同时满足上述两个性质的方向称 下降可行方向。
迭代算法的停止标准
1）
|| X k1 X k || 1
或
||
X k 1 || X k
X ||
k
考虑（fs）
s.t. x∈S
常用一种线性搜索的方式构造{xk}序列来求解 迭代中从一点出发沿下降可行方向找一个
新的、更优的点。
△下降方向 ：
设 x _∈S，d ∈Rn,d≠0,若存在 ，0
使 在
_
_
x _f点(x的 下d )降 方f (x向),。 (0, )
，称d 为
4 常用的搜索算法结构
以及
4) 全局收敛： 对任意初始点x(1), 算法均收敛。
5) 局部收敛： 当x(1) 充分接近解x*时，算法才收敛。
2. 实用收敛性：
定义解集
S* = { x | x 具有某种性质 }
例：S*={x|x---g.opt} S*={x|x---l.opt}
S*={x| f(x)=0} S*={x|f′(x)≤β } (β为给定实数,称为阈值
xn2
无约束非线性规划
常用的确定搜索方向的方法。 最速下降法 共轭梯度法 牛顿法 拟牛顿法（变尺度法）
一、最速下降法
问题：在x (k)处，沿什么方向d (k)，函数f(x)下降最快？
结论：负梯度方向是函数的最速下降方向。
最速下降法就是以x (k)处的负梯度方向作为搜索方向， 即令
d (k) f (x(k) )
求解问题
研究生《高级运筹学》课件
无约束非线性规划
2015年5月
本章内容
第一节：最优性条件 第二节：一维搜索 第三节：最速下降法和共轭梯度法 第四节：牛顿法和拟牛顿法
第一节: 最优性条件
本章仅讨论如下无约束非线性规划问题：
min f (x)
xRn
假定f(x)具有二阶连续偏导数。
一、 无约束极小化问题的最优性条件
计算函数值， f1＝f（a1）， f2＝f（b1）有下列三种情况：
f(b1) f(a1)
f(a1) f(b1)
f(a1)
f(b1)
a a1
b1
b
a a1
b1 b
a a1
b1 b
综合为两种情况：
①若f(a1)<f(b1), 则取 [a,b1]为缩短后的搜索区间。
②若f(a1)f(b1), 则取 [a1,b]为缩短后的搜索区间。
(k)
(k)
k
当方向d (k)给定，求最佳步长k, 就是求一元函数
() f (x(k) d (k) )
的极小点问题。 这一过程称为一维搜索。
二、一维搜索的方法：
1. 精确线搜索，即解方程： d() 0 d
2. 试探法；按照某种方式找试探点，通过一系列试探 点的比较确定极小点。 3. 函数逼近法：用较简单的曲线近似代替原来的曲线， 用近似曲线的极小点来估计原曲线的极小点。
一、最速下降法
问题：在x (k)处，沿什么方向d (k)，函数f(x)下降最快？
结论：负梯度方向是函数的最速下降方向。
最速下降法就是以x (k)处的负梯度方向作为搜索方向， 即令
d (k) f (x(k) )
求解问题
研究生《高级运筹学》课件
无约束非线性规划
2015年5月
本章内容
第一节：最优性条件 第二节：一维搜索 第三节：最速下降法和共轭梯度法 第四节：牛顿法和拟牛顿法
第一节: 最优性条件
本章仅讨论如下无约束非线性规划问题：
min f (x)
xRn
假定f(x)具有二阶连续偏导数。
一、 无约束极小化问题的最优性条件
计算函数值， f1＝f（a1）， f2＝f（b1）有下列三种情况：
f(b1) f(a1)
f(a1) f(b1)
f(a1)
f(b1)
a a1
b1
b
a a1
b1 b
a a1
b1 b
综合为两种情况：
①若f(a1)<f(b1), 则取 [a,b1]为缩短后的搜索区间。
②若f(a1)f(b1), 则取 [a1,b]为缩短后的搜索区间。
(k)
(k)
k
当方向d (k)给定，求最佳步长k, 就是求一元函数
() f (x(k) d (k) )
的极小点问题。 这一过程称为一维搜索。
二、一维搜索的方法：
1. 精确线搜索，即解方程： d() 0 d
2. 试探法；按照某种方式找试探点，通过一系列试探 点的比较确定极小点。 3. 函数逼近法：用较简单的曲线近似代替原来的曲线， 用近似曲线的极小点来估计原曲线的极小点。
Chap3无约束非线性规划
3. 置 ak1 k ,bk1 bk , k1 k , 计算 k1 ak1 0.618(bk1 ak1) 及 f (k1), 转5；
4. 置 ak1 ak ,bk1 k , k1 k , 计算 k1 ak1 0.382(bk1 ak1) 及 f (k1), 转5；
根据 Schwartz 不等式，有 f ( x)T d f ( x) d f ( x)
去绝对值，有
f ( x) f ( x)T d f ( x)
由上式可知，当
d f ( x) f ( x)
时左等号成立，且 fd ( x) f ( x)T d 取到最小值。 因此，在点 x 处，沿上式所定义的方向函数变化率最 小，即负梯度方向为最速下降方向。
a) 若H是正定的，则x(0) 是极小值点；
b) 若H是负定的，则x(0) 是极大值点。
其中
2 f
x12
2 f H |x(0) x2x1
2 f
xnx1
2 f x1x2
2 f x22
2 f xnx2
2 f
x1xn
点转化为求一元函数 () f (x(k) d (k) )的极小点。
一维搜索的方法：
• 微分学中求根法：求满足 d() 0 的λ
• 试探法
d
• 函数逼近法
1、平分法（二分法）
对于一元可微函数 f(x)，如果 x*是 极小点，则必有
a. f (x*) 0. b. 当 x < x* 时， f (x) 0. c. 当 x > x* 时， f (x) 0. 平分法的步骤：
怎样选取合适的 k , k 呢？
4. 置 ak1 ak ,bk1 k , k1 k , 计算 k1 ak1 0.382(bk1 ak1) 及 f (k1), 转5；
根据 Schwartz 不等式，有 f ( x)T d f ( x) d f ( x)
去绝对值，有
f ( x) f ( x)T d f ( x)
由上式可知，当
d f ( x) f ( x)
时左等号成立，且 fd ( x) f ( x)T d 取到最小值。 因此，在点 x 处，沿上式所定义的方向函数变化率最 小，即负梯度方向为最速下降方向。
a) 若H是正定的，则x(0) 是极小值点；
b) 若H是负定的，则x(0) 是极大值点。
其中
2 f
x12
2 f H |x(0) x2x1
2 f
xnx1
2 f x1x2
2 f x22
2 f xnx2
2 f
x1xn
点转化为求一元函数 () f (x(k) d (k) )的极小点。
一维搜索的方法：
• 微分学中求根法：求满足 d() 0 的λ
• 试探法
d
• 函数逼近法
1、平分法（二分法）
对于一元可微函数 f(x)，如果 x*是 极小点，则必有
a. f (x*) 0. b. 当 x < x* 时， f (x) 0. c. 当 x > x* 时， f (x) 0. 平分法的步骤：
怎样选取合适的 k , k 呢？
《高级运筹学》无约束非线性规划.ppt
bk ak ,
x*
1 2
(ak
bk
)
(1) 确定初始单谷区间的进退法
基本思想： 对f(x)任选一个初始点a1及初始步长h，通过比较这
两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函 数值大小，确定是否为 “高—低—高” 形态
计算步骤 Step1.选定初始点a1，初始步长h，计算
f 1＝f (a1), f 2＝f (a1 + h) Step2. 比较f 1和f 2。
计算公式：
x(k 1) x(k ) k d (k )
其中:
d k : 搜索方向
k : 步长
不同算法的区别在于得出搜索方向和步长的方式不同。
2. 选择搜索方向和步长的原则： （1） 目标函数值逐次减小，这种算法称为下降算法。
f (x(0) ) f (x(1) ) f (x(k) )
（2） 算法具有收敛性。 即：序列中的某一点，或序列的极限点是函数的极小点。
计算函数值， f1＝f（a1）， f2＝f（b1）有下列三种情况：
f(b1) f(a1)
f(a1) f(b1)
f(a1)
f(b1)
a a1
b1
b
a a1
b1 b
a a1
b1 b
综合为两种情况：
①若f(a1)<f(b1), 则取 [a,b1]为缩短后的搜索区间。
②若f(a1)f(b1), 则取 [a1,b]为缩短后的搜索区间。
研究生《高级运筹学》课件
无约束非线性规划
2015年5月
本章内容
第一节：最优性条件 第二节：一维搜索 第三节：最速下降法和共轭梯度法 第四节：牛顿法和拟牛顿法
第一节: 最优性条件
6-3无约束非线性规划问题的求解
使得 f ( x k k d k ) min f ( x k d k )。
4. 令 x k 1 x k k d k , 令 k : k 1 , 转2。
二、共轭梯度法 1. 共轭方向与正定二次函数 设A为n×n对称正定阵，X和Y是n维欧氏空间En中的两个 向量，若有 XTAY=0， 则称X和Y关于A共轭，或X和Y关于A正交。 n p , p , , p E 设A为n×n对称正定阵，若向量组 1 2 中任 n 意两个向量关于A共轭，即满足条件 piT Ap j 0 (i j; i, j 1,2,, n) ，则称该向量组为A共轭。 定理6-11 设为A为n×n对称正定阵，p1 , p2 ,, pn 为A共轭 的非零向量，则这一向量组线性无关。 证 设有实数k1 , k 2 ,, k n ，使得 k1 p1 k 2 p2 k n pn 0 0 i=1,2,…,n 用 piT A 左乘上式得： ki piT Api ， T 但 pi 0 且A为正定，从而 pi Api 0 故必有 ki 0 (i 1,2,, n) ，从而知 p1 , p2 ,, pn线性无关。
o
d (1)T Ad ( 2) 0,
即等值面上一点处的切 向量与由这一点指向极小点的向量关于A 共轭。
p0 , p1 ,, pk 1 (k n) 定理6-12 设 f ( X )是上面讲的二次正定函数， 为A共轭，则从任一点X 0出发，依次沿 p0 , p1 ,, pk 1 执行一维搜索，即 * min f ( X p ) f ( X k k k k pk )
2 f ( x ) A,
因为A 正定，所以 2 f ( x ) A 0 ,
x
第三章无约束非线性规划课件
a = l; l = u; u = a + 0.618*(b - a); else b = u; u = l; l = a + 0.382*(b-a);
end k = k+1; tol = abs(b - a);
end if k == 100000
disp('找不到最小值！'); x = NaN; minf = NaN; return; end x = (a+b)/2; minf = subs(f, findsym(f),x); format short;
eps = 1.0e-6; end l = a + 0.382*(b-a); u = a + 0.618*(b-a); k=1; tol = b-a; while tol>eps && k<100000
fl = subs(f , findsym(f), l); fu = subs(f , findsym(f), u); if fl > fu
引言
本章讨论如下的优化模型
min f (x)
xRn
x 其中 f 是
的实值连续函数，通常假定具有
二阶连续偏导数。
#
预备知识
#
预备知识
#
预备知识
#
最优性条件
#
最优性条件
定理的逆不成立，即梯度为零的点不一定是局部解。 #
最优性条件
#
迭代法
求解无约束优化问题的常用方法是数值解法，而数值
解法中最为常见的是迭代法。
step3.令xk 1 =
xk
f (xk ) ； f (xk )
step4.令k k 1,转step2.
end k = k+1; tol = abs(b - a);
end if k == 100000
disp('找不到最小值！'); x = NaN; minf = NaN; return; end x = (a+b)/2; minf = subs(f, findsym(f),x); format short;
eps = 1.0e-6; end l = a + 0.382*(b-a); u = a + 0.618*(b-a); k=1; tol = b-a; while tol>eps && k<100000
fl = subs(f , findsym(f), l); fu = subs(f , findsym(f), u); if fl > fu
引言
本章讨论如下的优化模型
min f (x)
xRn
x 其中 f 是
的实值连续函数，通常假定具有
二阶连续偏导数。
#
预备知识
#
预备知识
#
预备知识
#
最优性条件
#
最优性条件
定理的逆不成立，即梯度为零的点不一定是局部解。 #
最优性条件
#
迭代法
求解无约束优化问题的常用方法是数值解法，而数值
解法中最为常见的是迭代法。
step3.令xk 1 =
xk
f (xk ) ； f (xk )
step4.令k k 1,转step2.
无约束最优化和非线性规划
BFGS(Boryden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)公式 DEP(Davidon-Fletcher-Powell)公式 公式内容参见有关计算方法的书籍.
4.非线性规划的数学模型 非线性规划的数学模型
投资问题 设某公司下一个计划期内可用于投资的总资本为 b 万元, 可 选择的投资项目共有 n 个,分别记为1,2,3, …n.已知对第 j 个 项目投资ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ额为 aj万元,而收益总额为 cj 万元,问如何投资, 才能使利润率最高? 解:设投资决策变量 xj= 则问题归结为: 1,若对第 j 项目投资 0,若不对第 j 项目投资
与点X的位置无关 的位置无关. 海赛矩阵 2 f ( X ) = A ,与点 的位置无关
3,多元函数Taylor展开 ,多元函数 展开
一次展开 二次展开
f ( X ) = f ( X ) + f (ξ ) ( X X )
* T *
f ( X ) = f ( X ) + f ( X ) ( X X ) 1 * T 2 T * + ( X X ) f (ξ ) ( X X ) 2
是半正定的.
定理4 (二阶充分条件)设 f 在点 X * ∈ E n 二阶可微,如果f ( X * ) = 0
* 且Hessian矩阵 H ( X ) 是正定的,则 X * 是问题的严格局部 最优解. 定理5 (充要条件)设 f 是E n上的凸函数, * ∈ E n 则 X * 为全局 X
极值点的充要条件是 f ( X * ) = 0 .若 f 是严格凸函数, 则全局极值点是唯一的. 解法 1.搜索法
最优步长法. 3,一维搜索直接算法: = 1 试探 λ λ 决定步长的合理长度.
非线性规划-无约束问题
一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应用范围。
1.1 非线性规划问题及其数学模型
例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使这个容器的成本最低。
线性规划：
可能在其可行域中的任意一点达到。
非线性规划：
02
01
非线性规划的解的特点
目标函数是线性函数，可行域为凸集，求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。
线性规划：
01
有时求出的解是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。
非线性划：
02
1.2 极值问题
局部极值定义
定理1：极值存在的必要条件
称该点列{X(k)}收敛于X*. 由于算法产生的点列使目标函数值逐步减小，称这一算法为下降算法。
或
超线性收敛：当 1<<2, q>0，或＝1, q＝0时，称为超线性收敛速度
二阶收敛：当 =2 ，k充分大时有
收敛速度
一般地认为，具有超线性收敛或二阶收敛速度的算法是比较快速的算法。
对于不同的问题，要根据具体情况来选择算法，因为我们事先并不知道最优解，迭代到什么时候停止呢？常用的准则是：
01
02
01
迭代中我们从一点出发沿下降可行方向找一个新的、性质有所改善的点。
02
下降方向：
可行方向：设 ∈S，d∈Rn,d≠0,若存在 ，使 ，称d 为 点 的可行方向。
2
如果继续缩小区间[a,b1](或[a1,b])，就需要在区间[a,b1](或[a1,b])内取一点b2，并计算出f(b2)的值，并与f(a1)比较。
非线性规划—无约束问题
则称X * 为f(X )在上的全局极小点。 f(X *)为全局极小值。 若对于所有 X X * ，且X ，都有
f(X ) f(X *) 则称X * 为f(X )在上的严格全局极小点。 f(X *)为严格全局极小值。
如果将上述不等式反向 ，即可得到局部极 大值与全局极大值的定 义。
第11页
定理1：极值存在的必要条件
两边乘以“1”。 第5页
非线性规划的图解问题
图解法可以给人以直观概念，当只有两个自变量时， 非线性规划也像线性规划一样，可以利用图解法。
例：min f (X ) (x1 2)2 (x2 1)2
x1 x2 5 0
A
若令目标函数f ( X）＝C
C为某一常数。
则f ( X）＝C就代表一条曲线，
一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问 题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形 法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于 各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应 用范围。
第2页
非线性规划模型
例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方 形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧 面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使 这个容器的成本最低。
设容器的长为x1，宽为x2，则高为1/x1x2。根据题意 得：
min
f
( x1 ,
x2 )
50 x1x2
80[
1 x1x2
( x1
x2 )]
x1, x2 0
第3页
例：某公司经营两种设备，第一种设备每件售价30元， 第二种设备每件售价为450元，根据统计，售出一件 第一种设备所需营业时间平均为0.5小时，第二种设备 为（2＋0.25x2）小时，其中x2是第二种设备的售出数 量，已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小 时，试决定使其营业额最大的营业计划。
f(X ) f(X *) 则称X * 为f(X )在上的严格全局极小点。 f(X *)为严格全局极小值。
如果将上述不等式反向 ，即可得到局部极 大值与全局极大值的定 义。
第11页
定理1：极值存在的必要条件
两边乘以“1”。 第5页
非线性规划的图解问题
图解法可以给人以直观概念，当只有两个自变量时， 非线性规划也像线性规划一样，可以利用图解法。
例：min f (X ) (x1 2)2 (x2 1)2
x1 x2 5 0
A
若令目标函数f ( X）＝C
C为某一常数。
则f ( X）＝C就代表一条曲线，
一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问 题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形 法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于 各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应 用范围。
第2页
非线性规划模型
例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方 形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧 面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使 这个容器的成本最低。
设容器的长为x1，宽为x2，则高为1/x1x2。根据题意 得：
min
f
( x1 ,
x2 )
50 x1x2
80[
1 x1x2
( x1
x2 )]
x1, x2 0
第3页
例：某公司经营两种设备，第一种设备每件售价30元， 第二种设备每件售价为450元，根据统计，售出一件 第一种设备所需营业时间平均为0.5小时，第二种设备 为（2＋0.25x2）小时，其中x2是第二种设备的售出数 量，已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小 时，试决定使其营业额最大的营业计划。
e第六章 非线性规划-无约束极值
C＝{x：x，f(X)C}是凸集。
iii) 凸函数的判定（略）
§3 解和算法的基本性质 （9）
④凸规划定义：已知非线性规划：
min f(X) gj(X)≥0
若 f(X) 为凸函数， gj(X) 为凹函数，则称该规划为凸规划。 凸规划的局部极值点即为全局极值点。
线性规划为凸规划。 2．下降算法的收敛性问题（定性分析）（略） 迭代法，一维搜索概念的引出
表4-1
n Fn
0 1
1 1
2 2
3 3
4 5
5 8
… …
Fn又称为斐波那契常数，其含义是经过n次计算后，区间 缩短率为1/Fn，采用斐波那契常数进行一维寻优称为斐波 那契法。用该法寻优收敛快。计算次数少，然而每步取 点繁琐，且各步缩短率不同。为此，引出黄金分割法。
§1 一维最优化方法 （8）
黄金分割法与斐波那契法思路完全相同，仅仅是在区间内 的取点方式简单化，现不加推导的引出该法的区间内取点 规则。
1．极小点、凸集及其关系
①极小点定义 i) 对于X* Q，如果存在一个 >0，使所有与X*的距离
小于 的X Q（即X Q，且|X－X*|<）都满足不等式
f(X)≥f(X*)，则称X*为f在Q上的一个相对极小点或局部极 小点。若对于所有X Q，X≠X*且与X*距离小于 ，有 f(X)>f(X*)，则称X*为f在Q上的一个严格相对极小点。
区间[a0，b1]中只需取点b2，使 a0 b2 0.382a0 b，便又可 1
进行下一步计算。该法每迭代一次，使区间缩小到原来 的0.618倍，故又称0.618法。
§1 一维最优化方法 （10）
二、其它有关方法概述
1．牛顿切线法 2．抛物线拟合法
《高级运筹学》无约束非线性规划
求解方法简介
梯度法
基于目标函数的梯度信息，通 过迭代更新搜索方向和步长， 逐步逼近最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数（海 森矩阵）信息，构造一个二次 逼近模型，通过迭代更新搜索 方向和步长，逐步逼近最优解 。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想， 通过迭代更新搜索方向和步长 ，逐步逼近最优解。该方法在 求解大规模问题时具有较好的 收敛性和计算效率。
到该问题的最优解。
案例三：实际应用中的无约束非线性规划问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过解决一个实际应用中的无约束非线性规划问题，了解 无约束非线性规划在现实生活中的应用和价值。
该案例是一个实际应用中的无约束非线性规划问题，目标函 数为 f(x) = -(x1*x2*x3)，约束条件为 x1 + x2 + x3 = 1。 这个问题来自于化学反应优化领域，通过求解该问题可以找 到最优的反应条件，提高化学反应的效率和产物质量。
约束条件
等式约束
表示决策变量之间的关系，通常以等式形式给出。
不等式约束
表示决策变量的取值范围或与其他变量的关系，通 常以不等式形式给出。
无穷范数约束
对于一些特殊的无约束非线性规划问题，可能需要 考虑无穷范数约束，即决策变量的极限行为。
决策变量
连续型决策变量
在无约束非线性规划中，决策变量可以是连续的，也可以是 离散的。连续型决策变量通常在连续空间中进行优化。
案例一：简单的无约束非线性规划问题求解
总结词
通过求解一个简单的无约束非线性规划问，了解无约束非线性规划的基本概念和求解 方法。
详细描述
该案例是一个简单的无约束非线性规划问题，目标函数为 f(x) = x1^2 + x2^2 2*x1*x2，约束条件为 x1 + x2 = 1。通过使用非线性规划求解器，可以找到该问题的
运筹学 — 无约束非线性规划,约束非线性优化解析
则 x是 f (x) 的R上的最小点（全局极小点）
• 凸规划：
定义：若 R En 为凸集， f ( x) 是R上的凸函数， 则称规划：
min f (x) s.t. x R
为凸规划
定义：若规划问题：
min f (x) s.t. gi (x) 0 i 1, 2, m
其中 f (x) 为凸函数， gi (x) 为凹函数（或 gi (x) 为凸函数） ，则该规划问题为凸规划。
x
k+1
=x +k P
k
k
检查得到的新点x是否为极小值点或近似极小值点。若是， 停止迭代。否则，令 k：=k+1，回2步继续迭代。
• 确定最优步长
k： min f (x +P )
k k
求以 为变量的一元函数 f (xk +Pk ) 的极小值点 （一维搜索）
一维搜索重要性质：在 搜索方向上所得最优点 处的梯度和该搜索方向 正交。
t
(t1 ) 0.2082 (t2 ) 0.0611
b-t1=1.146-0.438>0.5
0 t1
t2
1.416
t
4、第四轮：
a = 0.438, t1=0.708, t2=0.876, b=1.146
(t1 ) 0.0611 (t2 ) 0.0798
b-t1=1.146-0.708<0.5 0
第四章非线性规划
凌翔 龙建成 交通运输工程学院
凸函数定义：
设 f (x) 为定义在n维欧氏空间E中某个凸集R上的函数，若 对任何实数 0 1 以及R中的任意两点 x1 和 x2 ，恒有：
f ( x1 (1 )x2 ) f (x1 ) (1 ) f (x2 )
第三章非线性规划无约束问题的最优化方法
x0
0p 0
1.919877 还需要经过10次迭代才
能满足精度要求
0.003070
第三节 牛顿法
3. 牛顿法的缺点： 牛顿法要求初始解离最优解不远，若初始点选得离最优解太
远时，牛顿法并不能保证其收敛，甚至也不是下降方向。因此， 常将牛顿法与最速下降法结合起来使用。前期使用最速下降法， 当迭代到一定程度后，改用牛顿法，可得到较好的效果。 4. 修正牛顿法 基本思想： 保留了从牛顿法中选取牛顿方向作为搜索方向，摒弃其步长恒 为1的做法，而用一维搜索确定最优步长来构造算法。
2
2
0
2e2 2 3
00 21 0
03
f x3 9
第二节 最速下降法
再从x(3)点 出发，沿x3轴方向e3进行一维搜索：
0 x 3 e3 0
3
00 00 13
f x 3 e3
32
f' 0 x4 x3
3
3
0
3e3 0 0
f x4 0
第二节 最速下降法
因为 x 1
x 4 ，0故.0以1 x(4)点作为新的x(1) ，进行新一轮迭代。
0
1 33 22
f x0
p0
52 5
42
f' x0
p0 5 5 0
22
01
第三节 牛顿法
x1 x0
1 p0 3
2
3
f x1
14
12 2
0
30
12 1 2
2
f x1
所以选取 x* x 1
1 3 作为极小点。 2
第三节 牛顿法
6. 修正牛顿法的缺点： 修正牛顿法虽然比牛顿法有所改进，但也有不足之处：
Matlab无约束非线性规划的求解
Matlab ⽆约束⾮线性规划的求解标准形式：min f (X )没有任何的约束条件，在matlab 中，fminsearch() 和 fminunc() 可⽤于求解⾮线性规划。
fminsearch 是⽤单纯形法寻优fminunc 为⽆约束优化提供了⼤型优化和中型优化算法MATLAB 求解⽆约束⾮线性规划的步骤①⾸先建⽴⼀个函数M ⽂件, 如 fun.m ，⽤以储存⽬标函数。
②其次，调⽤格式[x.favl,exitflag,output]=fminunc('fun',X0,options) 或[x.favl,exitflag,output]=fminsearch('fun',X0,options)等号左侧：x:返回最优解。
favl ：返回⽬标函数在最优解 x 点的函数值。
exitflag ：返回算法的终⽌标志。
output ：返回优化算法信息的⼀个数据结构。
等号右侧：第⼀个参数是调⽤⽬标函数储存的⽂件第⼆个参数是决策变量的初始值第三个输⼊参数 options 为设置优化选项参数例：给定初始值为[-1,1],求minf (x )=(4x 21+2x 22+4x 1x 2+2x 2+1)ex 11.编写函数fun.m:function f=fun(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);end 2.输⼊如下：x0=[-1,1];[x,f]=fminunc('fun',x0)3.运⾏结果显⽰：x =0.5000 -1.0000f =3.6609e-16min f (X )min f (x )=(4+2+4+2+1)x 21x 22x 1x 2x 2ex 1。
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无约束非线性规划
第一节 最优性条件 第二节 一维搜索
第三节 最速下降法和共轭梯度法
第四节 牛顿法和拟牛顿法(变尺度法)
第五节 信赖域法
#
引言
本章讨论如下的优化模型
min f ( x) n
xR
其中
f
是
二阶连续偏导数。
x
的实值连续函数，通常假定具有
#
预备知识
#
预备知识
#
预备知识
#
最优性条件
#
#
一维搜索——黄金分割法
a
x1
x2
b
如上图所示， [a, b]为搜索区间，黄金分割法首先根据黄金比例 产生两个内点x1 , x2 x1 a 0.382(b a ) x2 a 0.618(b a ) 然后根据f ( x1 ), f ( x2 )的大小来重新选择搜索区间。
(1).若f ( x1 ) f ( x2 ), 则搜索区间变为[x1 , b]; (2).若f ( x1 ) f ( x2 ), 则搜索区间变为[a, x2 ].
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
#
一维搜索——二分法
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
给定精确度
，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
x1；
⑴确定区间[a,b],验证 f (a) f (b) 0 ,给定精确度
⑵求区间(a,b)的中点 ⑶计算f( x1)；
f ( x
来终止迭代，其中
(k )
)
0 是给定的精度要求。
#
一维搜索
#
一维搜索——二分法
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法（bisection）
② 否则，当f (k ) f (k )时转步 ③ 当f (k ) f (k )时转步 ④
#
一维搜索——黄金分割法
ak 1 k b b ③ k 1 k k 1 k k 1 ak 1 0.618(bk 1 ak 1 )
初始点的选取依赖于方法的收敛性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。一个算法 称为收敛的，如果算法产生的序列{ x ( k ) }满足
k
lim x ( k ) x 0
其中x 是最优化问题的最优点。一个算法如果对于任意 给定的初始点都能够收敛，就说这个算法全局收敛或整体 收敛。有些算法只有当初始点接近或充分接近最优解时才 有收敛性，称这样的算法为局部收敛的方法。
#
最优性条件
迭代算法的步骤 第一步：给定最优解的一个初始估计，选择初始点x (0)，置k 0； 第二步：如果x ( k )满足最优解估计的终止条件，停止迭代； 第三步：确定下降方向d ( k ) , 使得目标函数f ( x )从x ( k )出发，沿 d ( k )方向，在射线x ( k ) d ( k ) ( 0)上选取步长k，使得 f(x ( k ) k d ( k ) )<f ( x ( k ) ) 则令x ( k 1) x ( k ) k d ( k ) . 第四步：得到最优解的一个更好的估计x ( k 1) x ( k ) k d ( k )，置 k k 1后转步2.
x ( k 1) x (k ) k d (k ) 其中k 称为步长，d ( k )称为搜索方向。通过迭代方式得到点列{x (k ) }使得 f ( x (0) ) f ( x (1) ) ... f ( x (k ) ) ...
#
迭代法
若产生的点列{ x ( k ) }逼近我们要求的极小点x , 则称 这个序列{ x ( k ) }为极小化序列。满足所对应的函数值 f ( x ( k ) )是逐次减小的算法称为下降算法。
⑤ 令k k 1, 转
；
①若f( x1)=0，则 x1 就是函数的零点； ③若 f ( x1 ) f (b) 0 ，则令a=
②若 f (a) f ( x1 ) 0，则令b= x ( 此时零点 x0 (a, x1 ) )； 1
⑷判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< 为a(或b);否则重复⑵~⑷
x1 (此时零点 x0 ( x1, b))；
,则得到零点近似值
#
一维搜索——黄金分割法
黄金分割法也叫0.618法，它是基于一种区间 收缩的极小点搜索算法，当确定搜索区间 [a,b]后，我们只知道极小点包含于搜索区间 内，但是具体是哪个点，无法得知。 1.算法原理
黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含 于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区 间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点 。
#
迭代算法
在大多数的算法中，k的选取是使f ( x)下降得最多，即沿射线 x ( k ) d ( k )求f ( x )的极小值，这是单变量的函数求极小点的问题， 称为一维搜索，也称为线搜索。
迭代的终止条件在不同的最优化方法中也是不同的。 理论上，根据最优性的一阶必要条件，以及算法的设 计思想，可以用
#
一维搜索——黄金分割法
2.算法步骤
用黄金分割法求无约束问题 min f ( x )的基本算法步骤如下
xR
选定初始区间[a1 , b1 ]及精度 0，计算试探点:
① 1 a1 0.382(b1 a1 )
1 a1 0.618(b1 a1 )
令 k 1
若bk ak , 则停止计算.
最优性条件
定理的逆不成立，即梯度为零的点不一定是局部解。 #
最优性条件
#
迭代法
求解无约束优化问题的常用方法是数值解法，而数值
解法中最为常见的是迭代法。
迭代法思想：
首先给出f ( x )的极小点一个初始估计x (0) , 通过某种方式产生 一个使目标函数值减小的方向d (0) , 确定一个实数0 , 从而可以确 定新的迭代点x (1) x (0) 0d (0)，这样下去我们由x (1)、d (1)、1可以 确定x (2)，...x ( k ) ......
第一节 最优性条件 第二节 一维搜索
第三节 最速下降法和共轭梯度法
第四节 牛顿法和拟牛顿法(变尺度法)
第五节 信赖域法
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引言
本章讨论如下的优化模型
min f ( x) n
xR
其中
f
是
二阶连续偏导数。
x
的实值连续函数，通常假定具有
#
预备知识
#
预备知识
#
预备知识
#
最优性条件
#
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一维搜索——黄金分割法
a
x1
x2
b
如上图所示， [a, b]为搜索区间，黄金分割法首先根据黄金比例 产生两个内点x1 , x2 x1 a 0.382(b a ) x2 a 0.618(b a ) 然后根据f ( x1 ), f ( x2 )的大小来重新选择搜索区间。
(1).若f ( x1 ) f ( x2 ), 则搜索区间变为[x1 , b]; (2).若f ( x1 ) f ( x2 ), 则搜索区间变为[a, x2 ].
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
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一维搜索——二分法
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
给定精确度
，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
x1；
⑴确定区间[a,b],验证 f (a) f (b) 0 ,给定精确度
⑵求区间(a,b)的中点 ⑶计算f( x1)；
f ( x
来终止迭代，其中
(k )
)
0 是给定的精度要求。
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一维搜索
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一维搜索——二分法
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法（bisection）
② 否则，当f (k ) f (k )时转步 ③ 当f (k ) f (k )时转步 ④
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一维搜索——黄金分割法
ak 1 k b b ③ k 1 k k 1 k k 1 ak 1 0.618(bk 1 ak 1 )
初始点的选取依赖于方法的收敛性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。一个算法 称为收敛的，如果算法产生的序列{ x ( k ) }满足
k
lim x ( k ) x 0
其中x 是最优化问题的最优点。一个算法如果对于任意 给定的初始点都能够收敛，就说这个算法全局收敛或整体 收敛。有些算法只有当初始点接近或充分接近最优解时才 有收敛性，称这样的算法为局部收敛的方法。
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最优性条件
迭代算法的步骤 第一步：给定最优解的一个初始估计，选择初始点x (0)，置k 0； 第二步：如果x ( k )满足最优解估计的终止条件，停止迭代； 第三步：确定下降方向d ( k ) , 使得目标函数f ( x )从x ( k )出发，沿 d ( k )方向，在射线x ( k ) d ( k ) ( 0)上选取步长k，使得 f(x ( k ) k d ( k ) )<f ( x ( k ) ) 则令x ( k 1) x ( k ) k d ( k ) . 第四步：得到最优解的一个更好的估计x ( k 1) x ( k ) k d ( k )，置 k k 1后转步2.
x ( k 1) x (k ) k d (k ) 其中k 称为步长，d ( k )称为搜索方向。通过迭代方式得到点列{x (k ) }使得 f ( x (0) ) f ( x (1) ) ... f ( x (k ) ) ...
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迭代法
若产生的点列{ x ( k ) }逼近我们要求的极小点x , 则称 这个序列{ x ( k ) }为极小化序列。满足所对应的函数值 f ( x ( k ) )是逐次减小的算法称为下降算法。
⑤ 令k k 1, 转
；
①若f( x1)=0，则 x1 就是函数的零点； ③若 f ( x1 ) f (b) 0 ，则令a=
②若 f (a) f ( x1 ) 0，则令b= x ( 此时零点 x0 (a, x1 ) )； 1
⑷判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< 为a(或b);否则重复⑵~⑷
x1 (此时零点 x0 ( x1, b))；
,则得到零点近似值
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一维搜索——黄金分割法
黄金分割法也叫0.618法，它是基于一种区间 收缩的极小点搜索算法，当确定搜索区间 [a,b]后，我们只知道极小点包含于搜索区间 内，但是具体是哪个点，无法得知。 1.算法原理
黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含 于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区 间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点 。
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迭代算法
在大多数的算法中，k的选取是使f ( x)下降得最多，即沿射线 x ( k ) d ( k )求f ( x )的极小值，这是单变量的函数求极小点的问题， 称为一维搜索，也称为线搜索。
迭代的终止条件在不同的最优化方法中也是不同的。 理论上，根据最优性的一阶必要条件，以及算法的设 计思想，可以用
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一维搜索——黄金分割法
2.算法步骤
用黄金分割法求无约束问题 min f ( x )的基本算法步骤如下
xR
选定初始区间[a1 , b1 ]及精度 0，计算试探点:
① 1 a1 0.382(b1 a1 )
1 a1 0.618(b1 a1 )
令 k 1
若bk ak , 则停止计算.
最优性条件
定理的逆不成立，即梯度为零的点不一定是局部解。 #
最优性条件
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迭代法
求解无约束优化问题的常用方法是数值解法，而数值
解法中最为常见的是迭代法。
迭代法思想：
首先给出f ( x )的极小点一个初始估计x (0) , 通过某种方式产生 一个使目标函数值减小的方向d (0) , 确定一个实数0 , 从而可以确 定新的迭代点x (1) x (0) 0d (0)，这样下去我们由x (1)、d (1)、1可以 确定x (2)，...x ( k ) ......